Mida nimetatakse muutuva suuruse muutumispiirkonnaks? (lk 3) Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks suuruseks. Näiteks ühtlase liikumise korral on kiirus jääv suurus ja läbitud teepikkus muutuv suurus. Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks 5. Defineerida ühene funktsioon, ühese funktsiooni argument, sõltuv muutuja, määramispiirkond ja väärtuste hulk. (lk 3 - 4) Ühene funktsioon on funktsioon vaid ühe muutujaga ehk y=f(x), puuduvad liitfunktsiooni omadused. Argument ehk muutuja on x ja sõltuv muutuja on y (sellel on oma kindel väärtus, mis sõltub x-st). Muutuva suuruse ehk x-i kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks 6. Millist funktsiooni nimetatakse mitmeseks? (lk 4)
hulka X . Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X rajapunkt kui igas tema ümbruses leidub nii hulga X punkte kui ka neid punkte, mis ei kuulu hulka X . Sisepunkt ei saa olla rajapunkt. Sisepunkt on alati kuhjumispunkt. Rajapunkt võib olla kuhjumispunkt. 1 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Funktsioon, tema graafik Olgu X mingi reaalarvude hulk. Kui x tähendab mis tahes arvu hulgast X , siis öeldakse, et x on muutuv suurus ehk muutuja hulgas X . Iga arvu x X nimetatakse muutuja x väärtuseks. Definitsioon: Kui igale arvule x X on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv y , siis öeldakse, et hulgas X on määratud funktsioon y = f ( x ) ja kirjutatakse: y = f ( x ) , x X . Muutujat x nimetatakse funktsiooni argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja muutujat y tema
Näiteks : valgud, nukleiinhapped jne Bioloogilised makroelemendid: lipiidid, valgud, sahhariidid, nukleiinhapped Polümeer- keemiline ühend mille molekul koosneb paljudest keemilise sidemetega seotud korduvatest struktuuriühikutest Monomeer- väikese molekulmassiga ühend, mis on võimeline liituma iseenda molekuliga, moodustades pikki ahelaid Süsivesikud ehk sahhariidid- on orgaanilised ühendid, mis sisaldavad süsinikku, vesinikku ja hapnikku Süsivesikute ülesanded : Energeetiline funktsioon ( sahhariide kasutatakse esmase energia allikana, sest süsivesikutest saadakse energiat kiirelt kätte) Struktuurne ehk ehituslik funktsioon( tselluloos taimerakukestades, kitiin lülijalgsete toestes) Varuaine ülesanne ( glükogeen loomades, seentes ning tärklises ja inuliin taimedes ) Kaitsefunktsioon( süsivesikud kaitsevad organismi külmumise eest ) Ligimeelitamise funktsioon ( õite magus nektar meelitab putukaid ligi ) Sahhariidide jaotamine:
Süsivesikute ületarbimise ohud: Rasvumine, risk II tüüpi suhkrutõve tekkeks, suhkur toidus mõjutab käitumist Süsivesikute alatarbimise ohud: Ajutegevuse häired, kaariese teke 6.Lipiidid. Lipiidide funktsioonid ja näited iga funktsiooni kohta. Oskad eristada loetelust süsivesikud. Rasvade üle ja alatarbimise ohud. Lipiidid jagunevad: lihtlipiidid, liitlipiidid, tsüklilised lipiidid Funktsioonid: 1) energeetiline funktsioon (2 korda rohkem energiat kui sama koguse sahhariidide või valkude lagundamine), 2) ehituslik funktsioon (fosfolipiidid ja kolesterool kuuluvad rakumembraani koostisesse), 3) varuaine funktsioon, 4) ainevahetuslik funktsioon, 5) kaitse funktsioon, 6) lahusti funktsioon 7. Valgud. Tead valkude ehitust ja nende ülesandeid. Tead erinevaid valgustruktuuri ja neid olevaid sidemeid. Tead mõisteid renaturatsioon, denaturatsioon.
· Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Hulka Y = {f(x) || x X} nimetatakse funktsiooni f väärtuste hulgaks. · Funktsiooni esitusviisid. 1. Tabel Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. 2. Analüütiline Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. 3.Graafiline Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Funktsiooni f graafiku definitsioon on järgmine: G = {P = (x, f(x)) || x X} . · Graafiku omadused: o Kui f(x) > 0, siis graafik paikneb ülalpool xtelge. o Kui aga f(x) < 0, siis graafik jääb xteljest allapoole.
· Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Hulka Y = {f(x) || x X} nimetatakse funktsiooni f väärtuste hulgaks. · Funktsiooni esitusviisid. 1. Tabel Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. 2. Analüütiline Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. 3.Graafiline Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Funktsiooni f graafiku definitsioon on järgmine: G = {P = (x, f(x)) || x X} . · Graafiku omadused: o Kui f(x) > 0, siis graafik paikneb ülalpool xtelge. o Kui aga f(x) < 0, siis graafik jääb xteljest allapoole.
-1 pöördfunktsioonil x=f (y) leidub tuletis kohal f(x), kusjuures Tõestus: Leiame funktsiooni f -1(y) tuletise kohal f(x): Logaritmiline Lause: Kui f(x)D(X) ja f(x)>0 (xX), siis Tõestus: Lause eeldustel saame millest järeldub lause väide . 4. Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis Kui funktsioon on esitatud parameetrilisel kujul , kusjuures funktsioonid on diferentseeruvad vahemikus (, ) ja on lõigul [, ] rangelt monotoonne ning , siis , täpiga tähistatakse tuletist parameetri järgi. Tõestus: 5. Kõrgemat järku tuletised. Leibnizi valemi tõestus. Definitsioon
monotoonseteks suurusteks. Kasvavaid ja kahanevaid muutuvaid suurusi nimetatakse rangelt monotoonseteks suurusteks. Def. Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui leidub niisugune konstant M > 0 , et kõik muutuva suuruse väärtused, alates mingist väärtusest, täidavad x M tingimust - M x M , s.t. 3. Funktsiooni definitsioon, funktsiooni määramispiirkond ja muutumispiirkond. Kasvav ja kahanev funktsioon. Funktsiooni esitusviise. Funktsioonide liike. Def. Kui muutuja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Argumendi x muutumispiirkonda X nimetatakse funktsiooni y määramispiirkonnaks. Funktsiooni väärtused, mis vastavad kõigile argumendi väärtustele piirkonnas X, moodustavad funktsiooni muutumispiirkonna.
Teoreem 1: Kui funktsioonil f(x) on olemas piirväärtus punktis a, siis piirväärtus on ühene Tõestus: 10. Funktsiooni pidevus (definitsioonid, tingimused pidevuseks ja näited, geomeetriline tõlgendus, tehted pidevate funktsioonidega). Definitsioon: funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks kohal a, kui f(x) piirväärtus kohal a võrdub funktsiooni f(x) väärtusega sellel kohal Tingimused pidevuseks: 1) funktsioon peab olema määratud kohal a 2) funktsioon peab olema lõplik piirväärtus koheal a 3) peab kehtima võrdus limx→a f(x) = f(a) Näited: Geomeetriline tõlgendus: geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevus seda, et graafikul on väärtuste muutmine y-telje sihis kuitahes väike, kui vaid muutmine x-telje sihis on piisavalt väike Tehted pidevate funktsioonidega: f(x) + g(x); f(x) − g(x); f(x)g(x); f(x) /g(x) 11
Mat teooria II 1. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Loetleda diferentsiaali omadused. 2. Olgu antud funktsioon, mis diferentseerub punktis a ja eeldame, et Teades, et Nii me näitasime, et Tähistades ja vahe järgmiselt Kehtib võrratus: Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: Korrutades saadud avaldist saame: kus Nüüd näemegi, et koosneb kahest liidetavast, mis kahanevad piirprotsessis Võrdleme neid suuruseid suhtes: Lisaks kehtib veel: · Diferentsiaali omadused: 1. 2. 3. 4. 5. 3
-Lihtlipiidid -Fosfolipiidid -Steroidid (kolesterool ja mitmed hormoonid) -Hormoonid (loomorganismide sisekretsiooninäärmetes) 3. Tähtsus : Lipiidid on organismide energiaallikaks. Energeetiline, ehituslik. Rasvkude kaitseb mehaaniliste mõjutuste eest. Bioregulaarne ja ainevahetuslik. 4. Joonis : Koosneb glütseroolist ja rasvhappejääkidest 5. Funktsioonid : energeetiline struktuurne kaitsefunktsioon lahusti funktsioon varuained VALGUD 1. Mõiste : Valgud e proteiinid on aminohapetest moodustunud polümeerid. Nende molekulmass varieerub väga suures vahemikus, sest eri valkude koostisesse kuuluvate aminohappejääkide arv algab mõnekümnest ja võib ulatuda tuhandetesse. Valgud moodustuvad vaid elusorganismides. 2. Valgud jagunevad : lihtvalgud liitvalgud 3
Aminohappejääkide vahel on peptiidside. Loomsed koed- 50% orgaaniliest ainest on valgud. Uuenevad pidevalt, liitspetsiifilised. Liitvalgud e proteiidid koosnevad valgulisest ja mittevalgulisest osast Lihtvalgud e proteiinid koosnevad ainult aminohappe jääkidest Aminohapped valke moodutavad 20 aminohapet, 8 on sellised, mida inimorganism ise ei sünteesi ehk peab saama neid toiduga Valkude biofunktsioonid: 1. Ensümaatiline ehk biokatalüütiline funktsioon. Ensüüme on vaja, sest ta paneb käima reaktsiooni kuna meie kehatemp on liiga madal, kuid ei osale selles. Valgud on ensüümid ehk starterid ehk katalüsaatorid. 2. Osad hormoonid on valgud. Osad valgud on lipiidid. 3. Retseptorid (miski mis tunneb miski ära, nt lukk ja võti), asub rakumembraanis 4. Ehituslik funktsioon. Tsütoskelett (rakuskelett), küünte ja juuste keratiin, kõõluste kollageen, kromosoomide histoonid (kude). 5. Liikumine
Funktsiooni mõiste Kui hulga X igale elemendile x on seatud vastavusse kindel element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on defineeritud funktsioon, mida tähistatakse kujul y = f (x) Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Hulka f(X)={yY: leidub x X nii, et f (x) = y} Nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. ·Olgu meil hulk X, elementidega x1, x2, x3, .... · ja hulk Y, elementidega y1, y2, y3, .... ·Igale elemendile hulgast X seatakse vastavusse üks element hulgast Y
Süsivesikud 10. Neelu asend Ühendab suuõõnt söögitoruga ja ninaõõnt kõriga, olles ainsaks kohaks, kus õhu ja toiduteed ristuvad 11. 1. osad ninamine osa e. ninaneel suumine osa, ulatub pehmesuulaest kõri juurdekäiguni kõrimine osa, on neelu alumine kõige pikem ja kitsam osa, mis paikneb kõri taga ja kõriga ühendab teda kõri juurdekäik. 12. Mis on ja millest koosneb lümfoidne neelurõngas? Mis on selle funktsioon? Koosneb kurgumandlitest, keelemandlist, tõrvemandlist ja neelumandlist ja funktsiooniks kaitsemehanism haigustekitajate vastu 13. Söögitoru pikkus 2530cm Funktsioon .Toidu juhtimine suust makku. 1. Ehituslik iseärasus Lihaskest ülemises vöötlihas, keskmises segalihas, alumises silelihaskude. Lihaskest koosneb ringkihist ja pikikihist lihaskihist. 14
VAAGNAVÖÖTMELIHASED EESMINE RÜHM (1) LIHASED ALGAB KINNITUB FUNKTSIOON Fikseeritud alajäseme puhul Viimaselt rinnalülilt, kallutab kere ettepoole, Niude - Suur nimmelihas köikidelt nimmelülidelt ja Kinnituvad ühise kõõluse väldib tahapoole kukkumist.
Seevastu kõigi naturaalarvude hulgal N ei ole ühtegi sisepunkti, s.t. No = ∅. Tuua 2 näidet reaalarvude hulkadest, millel pole sisepunkte Kõigi naturaalarvude hulgal N Hulk F = [0, 1] E, E ⊂ [0, 1] 6. Funktsiooni mõiste Funktsiooni f : D → R mõiste: Olgu D mittetühi reaalarvude hulk, s.t. D ⊂ R ja D ̸= ∅. Kui igale arvule x hulgast D on mingi eeskirja järgi seatud vastavusse üheselt määratud arv y, mida me tähistame f (x), siis öeldakse, et hulgas D on defineeritud funktsioon f. Tuua näiteid tema analüütilise esituse kohta: Olgu funktsioon f antud seosega Selle parem pool omab mõtet vaid juhul, kui ≥ 0. Selleks on kaks võimalust: a) x ≥ 0 ja x > 5 ning b) x ≤ 0 ja x < 5. Juhul a) on mõlemad võrratused rahuldatud, kui x > 5, juhul b) aga siis, kui x ≤ 0. Kokkuvõttes on funktsiooni f määramispiirkonnaks hulk D := (−∞, 0] ∪ (5,∞) . Esitada paaris- ja paaritu funktsiooni definitsioon:
Asend Kõhuõõne tagasein Funktsioon on Uriini juhtimine neeruvaagnast kusepõide 6. Kusepõis VESICA URINARIA maht 500-700 ml Asend Väikevaagna eesmine osa Funktsioon on Uriini talletamine 7. Kusiti URETHRA Funktsioon on kusepõie perioodiline tühjendamine Naise kusiti pikkus 3,3-3,5 cm, paikneb tupe ees URETHRA FEMININA Funktsioon: Uriini väljutamine Mehe kusiti pikkus 18-25 cm, paikneb URETHRA MASCULINA Osad: Eesnäärme-, membraan- ja käsnosa Funktsioon: Uriini väljutamine, seemnevedeliku väljutamine 8. Munasari lad. k. OVARIUM kr. k. OOPHORON Funktsioon on Munarakkude kasvamine ja areng ning toodetakse naissugu hormoone 9. Mõisted Folliikulid Vedelikuga täidetud põis, kus asub munarakk
3)Võimu kandjana ja selle objektina oli veresuguluses oleva sugukonna asemele tekkinud uus inimkooslus-rahvas 5. Riigi mõiste. 1)avalik võim 2)territoorium, millel see avalik võim kehtib 3) rahvas, kes elab sellel territooriumil ja on riigivõimuga õiguslikult seotud. Riik on erilisel viisil organiseerunud rahvas, kes teostab teataval territooriumil suveräänset võimu. 6. Riigi funktsioonid. Riigi funktsioon on riigi tegevuse põhisuund, mis vastab riigi ees seisvatele ülesannetele ja annab riigile sotsiaalmajandusliku ja poliitilise iseloomustuse. Need tegevuse põhisuunad on objektiivse iseloomuga, st nende teostamine ei sõltu riigi suvast, nende iseloomu määravad riigi eesmärgid ja ülesanded, mis omakorda sõltuvad ühiskonna ajaloolise arengu tasemest, majanduslikust ja sotsiaalsest arengust tingitud vajadustest,
Pöördkehade ruumala arvutamine · Pöördehade ruumala arvutamisel kasutatakse pöördkeha poolküljeristlõike funktsioonivalemit ja määratud integraali. 1) On vaja funktsioonivalemit, millest pöördkeha moodustada. Olgu selleks y = f ( x) 2) Et leida ruumala, tuleb funktsioon võtta ruutu, selle ruutu integreerida ja korrutada - h ( f ( x) ) dx , kus integraali rajad määravad pöördkeha kõrguse x-teljel. 2 ga: V = 0 · Näide KOONUSE moodustumisest: x 1) Võtame näiteks funktsiooni y = ja määramispiirkonnaks X = [ 0; 4] 4 2) Järgmiseks leiame ruumala:
Nt · kolesterool- on vajalik loomarakkuse mambraanide ehituses: annab tugevuse (vt. 8 küsimus) · hormoonid- i. testosteroon (meessuguhormoon), ii. östrogeen (naissuguhormoon), iii. progesteroon (naissuguhormoon). iv. neerupealiste hormoonid. v. D-vitamiin hormoon, mida meie keha sünteesib päikesevalguse abil. Kokkuvõte- liipide funktsioonid Energeetiline funktsioon. Lipiidide koostises olevad rasvhapped on olulised energia saamise seisukohast lipiidid on kõige energiarikkamad inimtoidu komponendid: 1g annab 38,9 kJ, so 9,3 kcal Ehituslik funktsioon. Fosfolipiidid ja kolesterool kuuluvad rakumembraani koostisse. Varuaine funktsioon. Loomadel varurasv , taimedel õlid seemnetes, viljades ja mesilaskärjed (vahad). Ainevahetuslik funktsioon
muutumispiirkonnast vastavusse teatud hulga suuruse y väärtusi, kusjuures leidub vähemalt üks x väärtus, millele vastab mitu y väärtust. Funktsiooni esitusviisid: 1) Esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. 2) Analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. 3) Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Suvaline y-teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis. See omadus tuleneb otseselt funktsiooni ühesusest. Tõepoolest: kui leiduks y-teljega paralleelne sirge, mis lõikaks graafikut mitmes punktis, siis oleks
LIHTSUSTAMINE TÕENÄOSUSE ÜLESANDED: TÕENÄOSU FUNKTSIOON FUNKTSIOON FUNKTSIOON VÕRRANDID Geomeetria PROTSENT VEKTOR, VÕRRANDITE KOOSTAMINE Integraal, pindala arvutamine JADA
[a,b] osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide valikust, siis öeldakse, et =1 ( ) + ()( - -1 ) + ( ()( - ) + =+1 ( ) ) + (( ) - *Kui funktsioonil f on olemas algfunktsioon F ja t = (x) on diferentseeruv, siis kehtib funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul [a,b] ning seda piirväärtust ()) = 1 () + 2 () + (( ) - ()) kus 1 on lõigu [, ] tükeldus muutujate vahetuse valem nimetatakse funktsiooni f(x) määratud integraaliks ehk Riemanni integraaliks lõigul punktidega x0,x1, ..., xk-1 , c ja 2 on lõigu [, ] tükeldus punktidega c, xk, ..., xn-1, xn.
Tõestus: Märkides y=f(x)=u(x)v(x), leiame: 1) y=f(x+x) f(x)= u(x+x)v(x+x) u(x)v(x) = (u+u)(v+v) uv= Analoogiliselt leiame kõrgemat järku tuletised. uv+uv + uv+uv uv=uv + uv+uv; 2); 3)y'= , kus tuletise olemasolu tõttu funktsioon v on 5. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Kõrgemat järku tuletised ilmutamata funktsiooni korral. pidev ja seega . (M.O.T.T) Funktsioon on esitatud ilmutamata kujul, kui on antud avaldis, mis sisaldab nii argumenti x kui ka 3. Jagatise tuletise valemi tuletamine. funktsiooni väärtust y ja võrdub nulliga
Protseduur Tee_Vektor() teeb vektori, milles on samapalju elemente kui maatriksis veerge, etteantud ko eduure Loe_Tab ja Loe_Rivi ks või ristkülikmaatriks adest, kus peadiagonaali element on postiiivne arv uues maatriksis B() iimane element on negatiivne e keskmise, mis asuvad ülevalpool peadiagonaali arv n, maksimaalse elemendi t t arvuga s t arvust suuremate elementide summa sis veerge, etteantud kohta töölehel Funktsioon maks_veerus(A(), m, veerg) Funktsioon A(), m, veerg S=0 maks = A1, veerg i = 1...m ei Ai,veerg>maks Ai, j < 0 maks = Ai, veerg S=S+Ai,j maks_veerus=maks neg_kesk_üpd=0 maks_veerus Funktsioon neg_kesk_üpd(A(), m) A(), m
12. A Fistful of Monads 12.2 The Monad type class Monad defineeritakse järgnevalt class Monad m where return :: a -> m a (>>=) :: m a -> (a -> m b) -> m b (>>) :: m a -> m b -> m b x >> y = x >>= _ -> y fail :: String -> m a fail msg = error msg return on funktsioon, mis võtab endasse ühe sisendi ehk a, milleks võib olla suvaline andmetüüp (näiteks 1, "a" jne) ja see sisend muudetakse monadic value-ks ning pannakse context-i. (>>=) on funktsioon, mida nimetatakse bind, mis võtab endasse 2 sisendit. Esimene sisend ehk m a on suvalist tüüpi, mis peab olema monadic value ja teine sisend ehk (a -> m b) on funktsioon, mis võtab sisse ühe suvalise muutuja ja muudab selle monadic value-ks ja selle tüüpi
lootevedelik kaitseb loodet põrutuste eest). Orgaanilised ühendid I Süsivesikud e sahhariidid 1) monosahhariidid e lihtsuhkrud a) pentoosid riboos / desoksüriboos || b) heksoosid glükoos / fruktoos 2) oligosahhariidid (2-3 ahelat) disahhariidid maltoos / sahharoos / laktoos [ mõlemad esimesed on magusad ] 3) polüsahhariidid e liitsuhrud a) tärklis tselluloos || b) glükogeen kitiin Funktsioonid 1) Energeetiline funktsioon 1g süsivesiku lõhustumisest tekib 17,6 kJ energiat. 2) Struktuuri funktsioon liigjalgsete välistoes (seened, putukad) ; tselluloos taimerakkude toestus. 3) Ligimeelitav funktsioon õienektar 4) Varuaine tärklis taimsetes ja glükogeen loomsetes organismides + seentes 5) Kaitsefunktsioon suhkrustumine kaitseb külmumise eest. 6) Biosünteetiline funktsioon - lähteaineks teistele ainetele. ( süsivesikud lipiidid | glükoos deskoksüriboos / riboos )
süsteemi, mille pikkuste summa on väiksem kui ε. See peab näiteks paika lõpliku arvu punktide korral, st kui D= {xk є R| k=1,2,…..n} (xk sisaldava vahemiku pikkus < ε/n), sauti kui punkte on lõpmata palju, aga me saame nad nummerdada(loenduv hulk) , st D={ xk є R|kєN} (xk sisaldava vahemiku pikkus < ε/2 astmes k. Leidub ka muidu hulki, mille Lebesgue mõõt on null. Seega vastavalt Lebesgue’i teoreemile on integreeruv tõkestatud funktsioon, millel on lõplik või loenguv hulk esimest liiki katkevuspunkte. Tõestame järgnevas mõned erijuhud: Lause : Lõigul integreeruv funktsioon on tõkestatud sellel lõigul. Näidata, et konstantne fn on integreeruv Lause . Iga lõigul konstantne funktsioon on sel
Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Tõõ Detail Üliõpilane Õppemärkmik Õppejõud Vilipõld Õpperühm Palun täitke tühjad lahtrid MASB-11 Detail Ülesande püstitus Analüüs, skeem, valemid Materjalid Värvid Detail. Exceli valemid Funktsioon INDEX Tabel Korterid Funktsioon MATCH VBA funktsioon Otsi_Nr Funktsioonide INDEX ja MATCH kooskasutus Funktsioon VLOOKUP Detail. Kasutaja funktsioonid Detail. VBA funktsioonid ruumala ja täispindala leidmiseks VBA funktsioonid otsimiseks paralleelsetest vektoritest Detail. Makro Detail. VBA makro. Struktuur ja protseduurid Detailide tootmine Koondandmed materjalide koguste ja maksumuste kohta Koondandmedvärvide koguste ja maksumuste kohta Funktsioon SUMIF Rakendus "Detail" Ülesande püstitus Ettevõte valmistab erinevatest materjalidest, erineva kujuga ja mõõtmetega detaile, mis
üks või mitu alaealist last. Tagab meie rahvastiku jätkamise aga pole kindel, kas kõikide pereliikmete majanduslik heaolu on rahuldatud erinevalt üksikvanemaperest, kus tavaliselt mõlemad vanemad on elus ja toetavad last, kui nad eraldi on. Hoolitsusfunktsioon jääb siin alla ainult laiendatud perekonnale, kuna seal on kõik omavahel lähisuguluses, partnerlus- või hõimlussuhteis ning nad hoolivad üksteisest väga. Hariv/kultuurne ja turvalisuse funktsioon oleks selles perekonnas üle rahuldava täidetud. 2)Uuspere-on peretüüp, mille vähemalt ühel liikmel on olnud tuumperekond, st ta on enne korduskooselu olnud abielus/vabaabielus. Soojätkamis funktsioon on olnud eelnevalt edukas, aga ei saa garanteerida, et see on samaedukas, kui laiendatud perekonnas. Seksuaalsuhted ona paremad kui üksikvanemaperes, kus on ainult üks vanem. Majanduslik rahuldatus peaks olema kõigil, kuna aravatavasti on kasulastel olemas ka endised vanemad, kes nendest
Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Hulka Y = {f(x)||x X} nimetatakse funktsiooni f väärtuste hulgaks. Funktsiooni esitusviisid. Esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Olgu antud funktsioon f, mille argument on x, sõltuv muutuja y ja määramispiirkond X. Kanname tasandile ristuvad x- ja y-teljed. Vaatleme selles teljestikus joont G, mis koosneb kõikvõimalikest punk- tidest P = (x,f(x)), kusjuures P esimene koordinaat x jookseb läbi kogu määramispiirkonna X
3) D = [a, b ) = {x : a x < b} D = {a, b} hulk D ei ole lahtine ega kinnine 1 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 2. Mitme muutuja (m-muutuja) funktsiooni mõiste Def. Kui hulga D R m igale punktile P = ( x1 ,..., x m ) on vastavusse seatud kindel reaalarv z , siis öeldakse, et hulgal D on määratud m-muutuja funktsioon f . Kirjutame: z = f (P ) või z = f ( x1 ,..., x m ) Hulka D nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Funktsiooni z = f (P ) loomulikuks määramispiirkonnaks nimetatakse punktide P hulka, mille korral funktsiooni määrav eeskiri omab mõtet. Def. M-muutuja funktsiooni f graafikuks nimetatakse hulka { ( f ) = ( x1 ,..., x m , z ) R m +1 : ( x1 ,..., x m ) R m , z = f ( x1 ,..., x m ) . } 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus
Ligikaudse arvutamise valem: f ( x + x ) f ( x ) + f ( x ) x 2. Kõrgemat järku tuletised. Funktsiooni teist järku tuletiseks ehk teiseks tuletiseks nimetatakse tema tuletise tuletist ja seda tähistatakse sümboliga y või f ( x ) : y = ( y ) = f ( x ) 3. Ilmutamata funktsiooni mõiste. Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine ühe näite põhjal. Kui mingis vahemikus ( a, b ) määratud funktsioon y = f ( x ) on selline, et võrrand F ( x, y ) = 0 muutub samasuseks, kui selles võrrandis y asendada avaldisega f ( x ) , siis funktsioon y = f ( x ) on võrrandiga F ( x, y ) = 0 määratud ilmutamata funktsioon. Olgu antud argumendi x ilmutamata funktsioon y järgmise võrrandiga: 2x y = y - y - x = 0
17.sajandi lõpp nõidade 2003 – esimene kloonitud imetaja, 1920- aastal said USA-s naised lammas Dolly põletamised – rootsia ajal valimisõiguse Hariduse 3 funktsiooni • sotsiaalne funktsioon • humanistlik funktsioon • professionaalmajanduslik funktsioon. • Läbi aegade ei ole haridus alati ja kõigile indiviididele kättesaadav olnud. • Haridus ja selle funktsioonid sõltuvad majanduses, kultuuris ja teistes valdkondades toimuvate muutuste tagajärjel asetleidvast ühiskonna arengust. Hariduse funktsioonid (1) Sotsiaalne funktsioon – kasvatada eliiti, luua erinevaid ühiskonnakihte, sotsiaalseid staatusi: kõrgema haridustaseme kaudu võib jõuda kõrgema staatusega positsioonile
läheneb nullile?(Tõestada) c. Loetleda diferentsiaali omadused c.1. c.2. c.3. c.4. c.5. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid.Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. a. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid a.1. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui a.1.1. Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses a.1.2. Igakorral kehtib võrratus; a.2. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui a.2.1. Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses a.2.2. Iga korral kehtib võrratus a.3. Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. b
hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. Funktsiooni definitsioon: Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks (ehk üheseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks. Funktsiooni argument, sõltuv muutuja, määramispiirkond ja väärtuste hulk: Olgu antud funktsioon f, mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks y. Muutuja y väärtust, milleks funktsioon f kujutab argumendi x, nimetatakse funktsiooni f väärtuseks kohal x ja tähistatakse sümboliga f(x). Seega võime kirjutada seose y = f(x) , (1.1) mis väljendab muutuja y "seotust" argumendiga x funktsiooni f kaudu. Seost (1.1) nimetatakse funktsiooni võrrandiks. Mõnikord kasutatakse funktsiooni ja sõltuva muutuja tähistamiseks ühte ja sama sümbolit. Sellisel juhul omab võrrand (1.1) kuju y
1.10 Funktsiooni tuletis DEF 1.Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nim. funktsiooni y=f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f´(x)=limy/x, piirprotsessis x->0 DEF 2. Kui funktsioonil f(x) on tuletis kohal x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. f´(x0) <->f(x) D(x0) DEF 3. Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x+)=limy/x, piirprotsessis x->0+ DEF 4. Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x-)=limy/x, piirprotsessis x->0- Funktsiooni tuletis: Lause 1. Funktsiooni f(x) diferentseeruvusest punktis x järeldub selle funktsiooni pidevus punktis x,st Tõestus. Funktsiooni diferentseeruvus punktis x tähendab, et .
esmaspäev, 3. veebruar 2014. a 1. Määramispiirkond 7. Kasvamis ja X kahanemisvahemiku 2. Kas funktsioon on paaris- d X või ja X paaritu? 8. Käänukohad Xk 3. Perioodilisus 9. Kumerus- ja 4. Nullkohad Xo nõgususvahemikud X ja X 5. Positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad 10. Asümptoodid X ja X + - 11. Toetudes andmetele 6. Ekstreemumkohad skitseerime graafiku Xe
i i Määramata integraal on lineaarne operaator, st ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = sõltu [a,b] osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide ξi valikust, siis öeldakse, et funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul [a,b] ning seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x) määratud b ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx ja/või ∫ cf ( x ) dx =c
funktsiooni väärtus. g. Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f(-x)=f(x) iga x korral määramispiirkonnast X. Graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. h. Funktsiooni f nimetatakse paaritu funktsiooniks, kui f(-x)= -f(x) iga x korral määramispiirkonnast X. Graafik on sümmeetriline O-punkti suhtes. i. Funktsioon f on piirkonnas X kasvav, kui selles piirkonnas igale suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus, s.t kui x 1< x 2 , siis f (x 1)< f ( x 2) . j. Funktsioon f on piirkonnas X kahanev, kui selles piirkonnas igale suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus, s.t kui x 1< x 2 , siis f (x 1)> f ( x 2) . 3
Nad on olemas tehetel implikatsioon,ekvivalents ja moodul summast 2-ga. Mis on n-muutuja loogikafunktsioon? N-muutuja loogikafunktsioon f(x1,x2......,xn) on vastavus n-muutuja Boole Ruumist {0,1}n loogikaväärtuste hulka {0,1} Mis on argumentvektor ja mida ta esitab? Argumentvektor on loogikamuutujate väärtuskomplekt, mis esitab funktsiooni igale üksikule muutujale omistatud väärtust 1 või 0. Mida näitab loogikafunktsiooni tõeväärtustabel? Näitab, millise väärtuse omandab funktsioon mingite muutujate väärtustekomplekti korral. Mis on funktsioonide 1-de piirkond? Mis on 0-de piirkond? Kuidas neid tähistatakse? Funktsioonide 1-de piirkonna moodustavad need argumentvektorid, mille korral funktsioon omandab väärtuse 1, 0-de piirkonna puhul omandab 0-i. Tähist vaata lk 162 kõige ülemine osa. Mis on funktsiooni mitteoluline muutuja? N-muutuja loogikafunktsiooni mingi muutuja on funktsiooni mitteoluline muutuja, kui sellele
[4] Tõnso, T., Veelmaa, A. Matemaatika XII klassile. "Mathema", Tallinn, 1995. [5] Piskunov, N. Diferentsiaal- ja integraalarvutus. "Valgus", Tallinn, 1981. 3.1 Algfunktsioon ja määramata integraal Kursuse eelnevas osas käsitlesime ühe muutuja funktsiooni y = f (x) tuletise y = f (x) leid- misega seotud küsimusi. Teame, et funktsiooni f (x) = 2x tuletis on f (x) = 2 ja funktsiooni f (x) = sin x tuletis on f (x) = cos x. Vaatleme nüüd vastupidist ülesannet. Olgu antud funktsioon y = f (x). Kuidas leida sellist funktsiooni y = F (x), mille tuletiseks oleks antud funktsioon y = f (x), st kuidas leida funktsiooni y = F (x), kui on teada, et F (x) = f (x)? Funktsioon f (x) = 2x osutub näiteks funktsiooni F (x) = x2 tuletiseks, funktsioon f (x) = sin x on aga funktsiooni F (x) = - cos x tuletiseks. Sel juhul öeldakse, et funktsioon F (x) = x2 on funktsiooni f (x) = 2x algfunktsioon. Funktsioon F (x) = - cos x on aga funktsiooni f (x) = sin x algfunktsiooniks.
MUUTUJA VAHETUS MÄÄRAMATA INTEGRAALIS Meil on funktsioon y = f(t). See tähendab, et suurus t on suuruse igrek funktsioon, y sõltub suurusest t. ÄRME UNUSTA, ET FUNKTSIOON POLE MIDAGI MUUD KUI MUUTUV SUURUS, MIS SÕLTUB mingil viisil MINGITEST TEISTEST SUURUSTEST. Aga seisame vastu olukorrale, kus ka t sõltub omakorda teisest muutujast: t=( x), mis tähendab, et t on omakorda x funktsioon. Nii saame kokkuvõtlikult kirjutada, et y= f[(x)]. Sellist põhimõtet saab kasutada ka integreerimises, kui meil on funktsiooni f(x) integraal f(x) dx , aga me ei saa integraali otseselt leida, kuna meil on tegemist liitfunktsiooniga ja suurus x sõltub omakorda mingist teisest suurusest. Sel juhul teeme integraalis kõigepealt muutuja vahetuse ja lahendame integraali kõigepealt ,,uue" muutuja järgi. Asendame x-i avaldise x=(t)
Näide: Ya funktsiooni minimeerimine Ya= 21 + 20 + 31 + 321 + 30 + 320 Yb funktsiooni minimeerimine Yb= 31 + 30 + 320 + 310 Yc funktsiooni minimeerimine Yc= 31 + 30 + 21 + 10 + 321 Yd funktsiooni minimeerimine Yd= 210 + 320 + 210 + 310 Ye funktsiooni minimeerimine Ye= 320 + 310 + 31 + 10 Yf funktsiooni minimeerimine Yf= 321 + 32 + 10 + 20 + 31 Yg funktsiooni minimeerimine Yg= 31 + 21 + 320 + 210 + 321 Logic converter Ya funktsioon Ya= 320 + 31 + 321 + 20 + 310 Yb funktsioon Yb=32 + 310 + 320 + 20 + 310 Yc funktsioon Yc= 31 + 30 + 32 + 32 + 10 Yd funktsioon Yd= 320 + 210 + 310 +210 + 210 Ye funktsioon Ye= 20 + 32 + 10 + 30 Yf funktsioon Yf= 321 + 32 + 10 + 20 + 31 Yg funktsioon Yg= 310 + 32 + 31 + 30 Kokkuvõte Töö eesmärgiks oli saada tööle ühekohaline kümnendarvdisplei, mis kuvaks numbreid 0-9 ja tähti A-F
Valgud Valgud on aminohapetest moodustunud polümeerid. Aminohapped seotakse omavahel peptiid sidemetega. Valgu aminohappelist järjestust nimetatakse esimest järku struktuuriks. 1. Järjest 2. Keerdunud, heeliks, volditi 3. Gloobul 4. Kvarternaarstruktuur Valkude struktuuri võib muuta denaturatsiooniga ja renaturatsiooniga. Valkude ülesanded: 1. Ensüümide funktsioon 2. Ehituslik funktsioon, karvad, kabjad,sõrad 3. Kaitsefunktsioon 4. Regulatoorne funktsioon 5. Liikumisfunktsioon 6. Transportfunktsioon 7. Retseptorfunktsioon 8. Energeetiline funktsioon Nukleiinhape Nukleiinhapped on biopolümeerid, mille monomeerideks on nukleotiidid. DNA ja RNA DNA ja RNA ülesanded: DNA pärilikuse info sälitamine ja õige aegne ülekandmine, koopia valmistamine, mRNA pärilikkuse avaldumine jaotub kolmeks, informatsiooni
tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. 3. Funktsiooni mõiste. Funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond, graafik. Funktsiooni põhilised esitusviisid. Liitfunktsioon, pöördfunktsioon. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Perioodilised funktsioonid. Põhilised elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsioonid. Funktsioon - Kui igale arvule x X on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv y , siis öeldakse, et hulgas X on määratud funktsioon y=f(x) ja kirjutatakse y=f(x), x X Määramis ja muutumispiirkond - Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks ja hulka Y = { y | y = f ( x ) , x X } tema väärtuste hulgaks ehk muutumispiirkonnaks Funktsiooni graafik - funktsiooni graafikuks nimetatakse punktide (x,y) hulka {(x,y)|y=(x), x X } Funktsiooni põhilised esitlusviisid: 1. Esitus ilmutatud kujul. Esitatakse valemiga y = f ( x ) , mis näitab, millised tehted tuleb teostada
KOED Epiteel, side, närvi ja lihaskude Epiteelkude Ehitus: · rakuvaheainet on vähe · rakud paiknevad tihedalt üksteise kõrval · teistest kudedest eraldatud basaalmembraaniga · esinevad ka limanäärmed, epiteelrakud, närvilõpmed funktsioon: · vooderdab kehaõõnt katab keha ja elundite pingu · võimaldab ainevahetust väliskeskkonna ja organismi vahel · eristab nõresid · osaleb haavade paranemisel Liigid: · katteepiteel · ripsepiteel · silinderepiteel · näärmeepiteel Sidekude Ehitus: · palju rakuvaheainet · rakke on koes vähe funktsioon: · kaitseülesanne · tugiülesanne · tagab elastsuse, vetruvuse · toitefunktsioon sidekoe liigid: · rasvkude · luu ja kõhrkude · veri Lihaskude Ehitus: · pikad ja peenikesed rakud · lihas koosneb lihaskiududest funktsioon: · kokkutõmbumisvõime · erutusvõime Liigid: · vöötlihaskude · silelihaskude · s...
ANIOONID HCO3- - vajalik süsihappegaasi väljaviimiseks kehast P Kuulub luukoe koostisesse. ORGAANILISED ÜHENDID - biomolekulid: sahhariidid, lipiidid, valgud, nukleiinhapped,vitamiinid 1. Süsivesikud- jagunevad liht-(1 molekul) ja liitsuhkruteks (mitu molekuli) *Lihtsuhkrud- 5 või 6 süsinikuga - 5C riboos, desoksüriboos - 6C- glükoos, maltoos *Liitsuhkrud - tärklis, tselluloos, kitiin, sahharoos Milleks on süsivesinikke vaja? - Energeetiline funktsioon: 1g lõhustamisel saab 17,6kJ energiat - Ligimeelitav funktsioon: taimed meelitavad putukaid ligi - Kaitsefunktsioon: taimel külmumise eest - Varuaine: taimedel tärklis(juurtes, lehtedes), loomadel glükogeen(maksas) - Toitaineks: väikelastele - Struktuurne: tselluloos taimede kestas, kitiin putukate ümber või seeneraku kestas. LIPIIDID e. RASVAD - steroidid - hormoonid RASVAD ON NII TAHKED KUI KA VEDELAD!!!!! - vahad Koostis: - glütserool
Kolesterooli funktsioonid: * tugevdab rakumembraane *tõstab erütrotsüütide osmootset resistentsust * osaleb steroolide ainevahetuses * on mõningate bioloogiliste aktiivsete ühendite(sapphapped) sünteesi algaineks ja osalevad ühendite moodustamises. Hüdrogeenimine ja trans-rasvhapped: Hüdrogeenimine ehk tahkestamine võimaldab saada vedelust taimeõlist sobiva konsistentsi ja muude omadustega hästi säiliva tahke rasva. Lipiidide biofunktsioonid: Energeetiline funktsioon *varulipiidid *peaksid katma mõõduka ja keskmine kehalise koormuse korral katma 25-30% Varuaine funktsioon *talletatakse organismis varuks(nahaalune rasvkude) *depoorasv *organismis 10-20% kehakaalust *Toiduga saadud lipiididest omastab umbes 95% Struktuurne funktsioon *rakumembraanide struktuurikomponent tugevdab rakumembraani Kaitsefunktsioon *termoregulatsioon nahaalune rasvkude *mehhaaniline kaitse amortiseeriv kiht
Struktuurne: · Kitiin (lülijalgsed, seenerakukestad) · Tselluloos (taimerakukestad) Varuaine: · Tärklis (taimedes) · Glükogeen (loomades) Toiteaine: · piimasuhkur imetajate piimas. Kaitse: · Taimedes rakutsütoplasma suhkrustamine kaitseb külmumise eest. · Limad · Antikehades Ligimeelitav: · Õistaimede nektar putukate ligimeelitamiseks Bioegulatoorne: · Süsivesikud ja valgud kuuluvad hormoonide kosstisesse. Transpordi funktsioon: · Transporditakse glükoosi · Taimedel tõusev ja laskuv vool · Loomadel veres Lipiidid 1.rasvhapped (looduses harva vabalt) a)küllastunud b)küllastumata(õline vedelik) 2.lihtlipiidid e lihtrasvad (kõik lipiidid on alkoholide ja rasvapete estrid) a)nutraalrasvad- >glütserool+3rasvhappejääki, b) vahad 3.liitrasvad (lihtrasv+muu ühend) glükolipiidid(rakumembraanides) fosfolipiidid 4.steroidid tsüklilised ühendid
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
