Matemaatiline analüüs I, II kollokviumi spikker (0)

1. Funktsiooni diferentseeruvuse geomeetriline tõlgendus.
Funktsiooni diferentsiaal on kõverjoonele y = f(x) tõmmatud puutuja ordinaadi muut, mis vastab argumendi numbrile ∆x=dx.
2. Funktsiooni kõrgemat järku tuletised .
3. Funktsiooni diferentsiaal ja selle omadused. Kõrgemat järku diferentsaalid.
Avaldist f’(x)∆x nimetatakse funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks ehk esimest järku tuletiseks kohal x ja tähistatakse dy või df, dy=df= f’(x)∆x. Võttes y=x, saame dy=dx = x’∆x= ∆x, dx – argumendi diferentsiaal dy=f’(x)dx f’(x)= .
Omadusi: *funktsiooni diferentsiaal on võrdeline argumendi muuduga *nullist erineva tuletise korral on funktsiooni muut ekvivalentne funktsiooni diferentsiaaliga piirprotsessi ∆x->0
*f’(x)=
*d(f+g) = df + dg
*d(f+g) =df*g + f*dg
*d() = .
Funktsiooni y=f(x) n-järku diferentsiaaliks nimetatakse diferentsiaali selle funktsiooni n-1-järku diferentsiaalist.
4. Parameetriliselt antud funktsiooni tuletis . Kõrgemat järku tuletised parameetriliselt antud funktsiooni korral.
Analoogiliselt leiame kõrgemat järku tuletised.
5. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Kõrgemat järku tuletised ilmutamata funktsiooni korral.
Funktsioon on esitatud ilmutamata kujul, kui on antud avaldis , mis sisaldab nii argumenti x kui ka funktsiooni väärtust y ja võrdub nulliga. Võtame mõlemast poolest tuletise, eeldades, et y on x-i funktsioon. Kõrgemat järku leiame analoogselt.
6. Keskväärtusteoreemid.
Rolle’i teoreem : Kui funktsioon on pidev lõigul [a, b] ja diferentseeruv vahemikus (a, b) ning f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) punkt c, kus f'(c) = 0.
Lagrange ’i keskvaartusteoreem: Kui funktsioon f on pidev loigul [a, b] ja diferentseeruv vahemikus (a, b), siis leidub punkt c ∈ (a, b), et f(b) − f(a) = f'(c)(b − a).
Cauchy keskväärtusteoreem: Kui funktsioonid f ja g on pidevad loigul [a, b] ja diferentseeruvad vahemikus (a, b), kusjuures g'(x) =/= 0, siis leidub vahemikus (a, b) punkt c, et
Kui funktsioon f on pidev lõigul [a,b], st leidub L>0 nii, et iga x1 ja x1 korral lõigust [a,b] kehtib
7. L’Hospitali reegel.
8. Taylori valem. Jääkliikme kujud. Maclaurini valem.
1. Cauchy kuju: Rn(x) = (0 0, et
0 Fermat’ teoreem: Kui funktsioonil f(x) on punktis x lokaalne ekstreemum ja funktsioon f(x) on diferentseeruv punktis x, siis funktsiooni tuletis selles punktis on null, st f’(x)=0.
10. Lokaalsed ekstreemumid . Statsionaarsed ja kriitilsed punktid. Tarvilikud ja piisavad
tingimused.
Oeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 0 -range lokaalne miinimum.
Oeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne ekstreemum, kui funktsioonil f(x) on punktis x kas lokaalne miinimum voi lokaalne maksimum. Oeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x range lokaalne ekstreemum, kui funktsioonil f(x) on punktis x kas range lokaalne miinimum voi range lokaalne maksimum.
Punkti a nimetatakse diferentseeruva funktsiooni f(x) statsionaarseks punktiks, kui f'(a) = 0. Punkti a nimetatakse funktsiooni f(x) kriitiliseks punktiks, kui a on statsionaarne punkt voi punktis a ei ole sel funktsioonil tuletist
Tarvilik tingimus: Funktsioonil y = f(x) saavad olla ekstreemumid vaid nendes punktides, kus f’(x) = 0 või ei eksisteeri Piisavad:
11. Kumerus , nõgusus, käänupunktid. Seos teist järku tuletisega.
Oeldakse, et funktsiooni f(x) graafik on kumer punktis a (tapsemini punktis (a, f(a))), kui leidub punkti a selline δ-umbrus, et funktsiooni f(x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a − δ, a + δ) allpool (tapsemini, mitte ulalpool) puutujat, mis on tõmmatud punktis (a, f(a)) funktsiooni graafikule. Oeldakse, et funktsiooni f(x) graafik on kumer hulgal X, kui sellefunktsiooni graafik on kumer hulga X igas punktis.
Oeldakse, et funktsiooni f(x) graafik on nogus punktis a (tapsemini punktis (a, f(a))), kui leidub punkti a selline δ-umbrus, et funktsiooni f(x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a − δ, a + δ) ulalpool (täpsemini, mitte allpool) puutujat, mis on tõmmatud punktis (a, f(a)) funktsiooni graafikule. Oeldakse, et funktsiooni f (x) graafik on nogus hulgal X, kui selle funktsiooni graafik on nogus hulga X igas punktis.
Kui f''(x) on pidev punktis a, siis f''(a) 0 ⇒ funktsiooni f(x) graafik on nogus punktis a. Kui f(x) ∈ C[a, b] ja ∃ f''(x) (x ∈ (a, b)), siis funktsiooni f(x) graafiku kumerusest (nogususest) vahemikus (a, b) jareldub, et x ∈ (a, b) ⇒ f''(x) ≤ 0 (f''(x) ≥ 0).
Oeldakse, et punkt a (täpsemini punkt(a, f(a))) on funktsiooni f(x) graafiku käänupunkt, kui leidub selline δ > 0, et funktsiooni f(x) graafik on kumer hulgal (a − δ, a) ja nogus hulgal (a, a + δ) voi nogus hulgal (a − δ, a) ja kumer hulgal (a, a + δ).
12. Joone asümptoodid. Asümptootilised avaldised .
Kui joone y=f(x) punkti P kaugenemisel lõpmatusse punkti P kaugus mingist sirgest läheneb tõkestamatult nullile , siis seda sirget nimetatakse joone asümptoodiks.
*vertikaalasümptoodid x=a; *kaldasümptoodid y=kx+b,
1. Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning summa tuletis on tuletiste summa.
2. Korrutise tuletise valemi tuletamine .Teoreem: Kui on olemas tuletised u’(x) ja v’(x), siis on olemas ka tuletis (u(x)v(x))’, mis avaldub kujul (u(x)v(x))’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x). Tõestus: Märkides y=f(x)=u(x)v(x), leiame: 1) ∆y=f(x+∆x) – f(x)= u(x+∆x)v(x+∆x) – u(x)v(x) = (u+∆u)(v+∆v) – uv= uv+∆uv + u∆v+∆u∆v – uv=∆uv + u∆v+∆u∆v; 2); 3)y’= , kus tuletise olemasolu tõttu funktsioon v on pidev ja seega . (M.O.T.T)
3. Jagatise tuletise valemi tuletamine.
Teoreem: Kui on olemas tuletised u’(x) ja v’(x), siis on olemas ka tuletis (u(x)/v(x))’, mis avaldub kujul (u(x)/v(x))’= u’(x)v(x)-u(x)v’(x)/. Tõestus: Märkides y=f(x)=u(x)/v(x), leiame: 1) ∆y= f(x + ∆x)=( u(x+∆x))/v(x+∆) – u(x)/v(x)=( u+∆u)/v+∆v – u/v =( uv+∆uv - uv - u∆v)/v(v+∆v)=( ∆uv-u∆v)/v(v+∆v); 2) ∆y/∆x =((∆u/∆x)v – u(∆v/∆x))/v(v+∆v); 3)y’= = (u’v – uv’)/, kus tuletise olemasolu tõttu funktsioon v on pidev ja seega . (M.O.T.T)
4. Liitfunktsiooni tuletise valemi tuletamine.
Kui funktsioonidel f(x) ja g(u) eksisteerivad lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja f(x), siis liitfunktsioonil g(f(x)) on lõplik tuletis kohal x, kusjuures Tõestus: Tähistame u=f(x). Siis y=g(u). Kui ∆u≡0, siis g pidevuse tõttu ∆y=0 ning seega Kuna ∆u≡0, siis g diferentseeruvuse tõttu on tõkestatud. Seega valem kehtib. Muudel juhtudel y’= (diferentseeruvusest järeldub pidevus)== g’(f(x))f’(x).(M.O.T.T.)
5. Pöödfunktsiooni tuletise valemi tuletamine.
Teoreem: kui funktsioonil y=f(x) on kohal x tuletis f’(x)≠0, siis pöördfunktsiooni tuletis Tõestus: Pöördfunktsiooni argumendiks on y, st Eelduse kohaselt on funktsioon y=f(x) diferentseeruv kohal x, järelikult ka pidev kohal x. Pideva funktsiooni pöördfunktsioon x= on samuti pidev vastaval kohal y, st sellest, et ∆y ->0 järeldub, et ka ∆x -> 0. Siit saame, et (M.O.T.T.)
6. Logaritmilise tuletise valemi tuletamine.
7. Parameetriliselt antud funktsiooni tuletise valemi tuletamine.
8. Leibnizi valemi tõestus.
9. Rolle’i teoreemi tõestus.
10. Lagrange’i keskväärtusteoreemi tõestus.
Kui funktsioon f on pidev loigul [a, b] ja diferentseeruv vahemikus (a, b), siis leidub punkt c ∈ (a, b), et f(b) − f(a) = f'(c)(b − a).
11. Cauchy keskväärtusteoreemi tõestus.
Kasutame Lagrange’i teoreemi. Selleks defineerime abifunktsiooni h(x) := (f(b) − f(a))g(x) − (g(b) −g(a))f(x). Lagrange’i keskväärtusteoreemi põhjal leidub punkt c ∈ (a, b), kus 0 = (f(b)−f(a))(g(b)−g(a)−(g(b)−g(a))(f(b)−f(a)) = h(b)−h(a)
13. Näidata, et kui funktsiooni tuletis on positiivne (negatiivne), siis funktsioon kasvab (kahaneb).
14. Taylori valemi tuletamine (n=2 või üldjuhul).
Seega jätkub 15
15. Taylori valemi jääkliikme Lagrange’i kuju tuletamine (n=2 või üldjuhul).
16. Lokaalse ekstreemumi piisavate tingimuste tuletamine. Esimest järku tingimused (f' märgi muutus).
17. Lokaalse ekstreemumi piisavate tingimuste tuletamine. Kõrgemat järku tingimused (f''(a) või fn+1 (a) märk).
18. Näidata, et f''märk määrab kas meil on tegemist antud punktis kumera või nõgusa funktsiooniga.
Vaatleme joont võrrandiga y = f(x) ehk funktsiooni y = f(x) graafikut tasandil xy -teljestikus. Eeldame et funktsioon f on kõikjal diferentseeruv. Viimane on vajalik selleks et joonel y = f(x) oleks igas punktis puutuja. *Öeldakse et joon y = f(x) on nõgus kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb. *Öeldakse et joon y = f(x) on kumer kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb. *Kui puutuja tõus suureneb siis joon muutub järsemaks. Seega nõgus joon kaardub ülespoole. *Seevastu puutuja tõusu vähenedes muutub joon laugjamaks. Seega kumer joon kaardub allapoole. *Kuna joone y = f(x) puutuja tõus punktis (x, f(x)) võrdub funktsiooni f tuletisega siis me võime väita et seal kus f ‘ kasvab on joon y = f(x) nõgus ja seal kus f ‘ kahaneb on joon y = f(x) kumer. Saame järgmised laused: 1. Kui f ‘ ‘ (x) > 0 iga x  (a; b) korral siis f ‘ on kasvav vahemikus (a; b). 2. Kui f ‘ ‘ (x) 0 iga x  (a; b) korral siis joon y = f(x) on nõgus vahemikus (a; b). 2. Kui f ‘ ‘ (x) 19. Käänupunkti piisavate tingimuste tõestus.
20. Joone kaldasümptoodi parameetrite leidmine. y=kx+b
12. Tõestada L’Hospitali reegel määramatuse korral.