Funktsiooni mõiste (0)

Funktsiooni mõiste
Kui  hulga  X  igale  elemendile  x on  seatud  vastavusse 
kindel element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on 
defineeritud funktsioon, mida tähistatakse kujul 
y = f (x)
Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks.
Hulka 
f(X) 
Nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks.
•Olgu meil hulk X, elementidega x , x x
1
2,  3, ....
• ja hulk Y, elementidega y , y y
1
2,  3, ....
•Igale elemendile hulgast X  seatakse  
vastavusse üks element hulgast Y
Hulk Y
Hulk X
y2
x
y = f (x )
2
2
y
2
3
x3
y1
x1
y = f (x )
1
1
•Eeskirja, mis selle seose määrab, nimetatakse 
funktsiooniks
Funktsiooni loomulik määramispiirkond:
Argumendi väärtuste hulk, mille korral funktsiooni 
määrav  eeskiri  on rakendatav.  Vaatleme  ainult 
reaamuutuja funktsioone, st nii X kui ka Y 
koosnevad reaalarvudest.
*  jagatise  nimetaja ei tohi võrduda nulliga
1
X ⊂ R
f (x ) =
X = ]− ∞ −
3 ∪ ]− ;
3
∞
x + 3
* paarisjuure argument peab olema mittenegatiivne
X ⊂ R
f (x) =
2x − 7
X = [
5
3
∞
*logaritmfunktsiooni argument peab olema positiivne
X ⊂ R
f (x) = log ( 3
x + )
1
X = ]− ;
1
∞
1
Funktsiooni  muutumispiirkond
Eeskirja kohaselt määramispiirkonna kõigi punktide
teisendamisel saadud reaalarvude alamhulk on 
funktsiooni muutumispiirkond. Argumendi igale
väärtusele vastab üks ja ainult üks funktsiooni
väärtus. Funktsiooni mingi väärtus võib vastata ainult
ühele argumendile (üks-ühene funktsioon) või
mitmele  argumendile.
f (x) = ln x
Y = R
f (e) = 1
f (x)
2
= x −1
Y = [− ;
1
∞
f ( )
2 =3
f (− )
2 = 3
...
f (x) = sin x
Y = [
1
1
−
f ( )
0 =0
f (±π) = 0
Määramispiirkonna määrab:
1.funktsiooni olemus
nt. Kui funktsioon on f= ln x, siis x ei saa omada 
mittepositiivseid väärtusi. Seega 
määramispiirkond on kõik positiivsed  reaalarvud
2. ülesande püstitus
Nt. Kui hulk X tähistab kaubakogust, siis on 
määramispiirkonnaks kõik mittenegatiivsed arvud, 
sest negatiivne kaubakogus ei oma majanduslikku 
mõtet
Funktsioonide määramisviise
1. Valemi abil
Olgu eeskiri (funktsioon) f(x)=x2+3
Järelikult x =3 vastab y= 32+3 =12
x =10 vastab y= 102+3 =103
jne
Seega valem näitab, milliseid tehteid ja millises 
järjrkorras tuleb funktsiooni väärtuste 
saamiseks argumendi väärtustega  sooritada .
2
2. Funktsiooni esitamine graafiku abil
Funktsiooni y = f(x) graafiuks on punktide hulk <
Olgu funktsioon y = 0,4x3+2,5
Arvutame välja y väärtuse x = -5...5 korral
X
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
-47,5
-23,1
-8,3
-0,7
2,1
2,5
2,9
5,7
13,3
28,1
52,5
Kanname saadud arvud xy-teljestikku
60
y
40
20
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
-20
-40
-60
Ühendades punktid, olemegi saanud funktsiooni 
y =0,4x3+2,5 graafiku
y
60
40
20
0
-6
-4
-2
0
2
4
6x
-20
-40
-60
3
Tabeli abil
Tabeli abil esitatakse fuktsiooni siis, kui 
kas määramispiirkond või 
muutumispiirkond on lõplikud. 
Sobiv on juhul, kui on tegemist lõpliku 
arvu katsete või vaatluste tulemustega
a2006 TTU M.Veimer 
10
Majandusfunktsioone
Näide
d Ettevõtte  tootmisplaan  näeb ette valmistada teatud
toodet vähemalt 10 parti d nädalas. Ka on teada, et ettevõte
suudab nädalaga toota kõige rohkem 100  parti d ning ühe
parti müügihind on  300  eurot,   kusjuures  mittetäielike
parti de müük pole võimalik. 
Tähistades tehase nädalatoodangu tähega Q ja tulu
tähega Π, saame funktsiooni
Π = 300*Q
Q sõltumatu  muutuja  ehk argument 
Π sõltuv muutuja
Määramispiirkonnaks  on  hulk  1<
0
ja funktsioon Π = f (Q) on antud valemiga Π = 300Q.
Märkame, et see funktsioon seab hulga  igale elemendile 
vastavusse kindla positiivse täisarvu 
(10 partiile vastab 3000 eurot, 11 partiile 3300 eurot jne 
kuni 100 partiile vastab 30 000 eurot). 
Definitsioonis märgitud hulgaks Y võib seega võtta näiteks 
positiivsete täisarvude hulga  või vahemiku. 
Funktsiooni muutumispiirkonnaks aga on hulk
3<
0
Milline on selle tulufunktsiooni  graafik ? 
Mis juhtub määramis ja muutumispiirkonnaga, kui müüa 
on võimalik ka mittetäielikke partiisid? Milline on siis 
funktsiooni graafik
4
Pakkumis- ja nõudlusfuktsioonid
Nõutav kogus Q (või Q ) on toote ühikuhinna p funktsioon, 
D
mida väljendatakse
Q=f (p) või QD=f (p)
ja nimetatakse nõudlusfunktsiooniks.
Pakutav kogus Q (või QS) on toote ühikuhinna p funktsioon, 
mida väljendatakse kujul
Q=f (p)  või QS=f (p)
ja nimetatakse pakkumisfunktsiooniks.
Sageli kasutatakse nõudlusfunktsiooni ja 
pakkumisfunktsiooni pöördfunktsioone:
1
p
f −
(Q )
−1
p = g (Q )
D
S
Seega, kui Q=f (p)  teostab  teisenduse  p
Q, siis selle 
pöördf. Teostab teisenduse Q
p.
Hinda p*, mille puhul nõudlus võrdsustub pakkumisega 
nimetatakse tasakaaluhinnaks. Vastavat kaubakogust Q*
nimetatakse tasakaalukoguseks.
Pöördfunktsioon
Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooni saame, 
kui seame selle funktsiooni 
muutumispiirkonna f(X) igale elemendile y
vastavusse need funktsiooni y=f(x) 
määramispiirkonna elemendid x, mille korral 
f(x)=y. Kirjutame 
1
x
f −
( y)
a2006 TTU M.Veimer 
15
5
Tulu-, kulu- ja kasumifuktsioonid
Püsiv  kogukulu  (TFC)– kulu, mis ei sõltu kauba 
tootmismahust 
Muutuv kogukulu (TVC)– kulu, mis ei sõltub kauba 
tootmismahust 
Tootmise kogukulu – TC (Q )=TFC+TVC
Kogutulu  – tulu, mis saadakse toote müügist 
R(Q)=pQ  
(p on ühe ühiku hind)
Ettevõtte kasum –
π (Q) = R(Q) − C(Q)
Tasuvuspunkt – müügimaht, mille puhul tulu ja kulu on 
võrdsed.
Firma toote nõudlusfunktsioon on esitatav kujul
Q = 490 − 1
0
2
p .
D
Milline on vähim hind, mille puhul nõudlus 
puudub? Leida lineaarne pakkumisfunktsioon, 
teades, et  tasakaaluhind  on 20 ja hinna 10 
puhul moodustab pakkumine 200 ühikut.
6