Loogika konspekt 1-5 (0)

1_fl_i-v
L1. SISSEJUHATUS
Mõtlemine on käsiteldav kui igasugune aktiivne vaimne protsess. Tulemuslikku mõtlemist iseloomustab abstraheerimine, analüüs ja süntees. Mõtlemisvahendite põhjal võib seda jaotada · kaemuslik-motoorne, · kujundlik · sõnalis-loogiline (verbaal-loogiline). Sõnalis-loogiline mõtlemine tugineb mõistetele. Verbaalne mõtlemine avaldub inimese oskuses ... · opereerida mõistetega, neid võrrelda ja analüüsida; · püstitada hüpoteese, formuleerida kontseptsioone ja teooriaid ; · seletada olemasolevaid teadmisi; · saada uusi teadmisi olemasolevate põhjal. Ratsionaalne mõtlemine on järjekindel ja reeglipärane (ehk loogiline) mõtlemine. See võib olla korrigeeritud kogemusega, mille allikaks peetakse tegelikkust . Eesmärgiks on sageli tegelikkusega kohanemine. Irratsionaalne mõtlemine võib olla nt · preloogiline (müüdiline) · superloogiline (müstiline). Ratsionaalse mõtlemise seaduspärasusi ja vorme uurib loogika . Kreekakeelse sõna lÒgoj ( logos ) tähendusi: üleslugemine, arveteõiendus, õigustamine, suhe, proportsioon seletamine, tõestamine, mõistus, aruanne, esitlemine , (tõsi)lugu, lausung , sõna, väljend; õpetus; filosoofias: inimmõtlemine ja kõnelemine, teaduslik ratsionaalsus . Sõna ,,loogika" levinud tähendusi: · seaduspärasus maailmas, sündmuste loogika; · seaduspärasus mõtetes, mõtlemise loogika; · loogika kui vahend (teadus, filosoofia vms), mis uurib mõtlemise fundamentaalseid aspekte . (Mis on mõtlemine, seda uurib veel mitmeid teadusi, nt psühholoogia.) Verbaalne mõtlemine on seotud vajadusega kommunikatsiooni järele ning seda teostatakse peamiselt kõne (sõnade) abil. Kõne objektiks on sageli tegelikkus, kuid selleks võivad olla ka sõnad või mõisteid. Vajadusel tuleb eristada kolme sfääri:
SEMANTILINE KOLMNURK : Mõtlemine MÕISTE (nt `hunt')
Tegelikkus D Kõne OBJEKT, ASI (nt hunt) SÕNA (nt "hunt", " susi ", ,,wolf")
Loogika uurib mõtlemise paratamatuid aspekte, ehk seda, mis teeb ratsionaalsest mõtlemisest tulemusliku mõtlemise. (Mõelda, sh tulemuslikult, saab ka ebaloogiliselt.) Formaalne loogika on õpetus õige mõtlemise üldistest struktuuridest ehk mõtlemis- vormidest, mis on väljendatavad keele vahendusel. (Informaalne loogika on õpetus tulemusliku mõtlemise üldistest struktuuridest, mis võivad olla ka formaalselt mitteanalüüsitavad või mis võivad avalduda ka mitteverbaalselt.) 2_fl_i-v
Väide on tõene, kui selle sisu vastab tegelikkusele (tõe korrespondentsteooria). Väide on väär, kui selle sisu ei vasta tegelikkusele. See kehtib formaalses loogikas ning on kokkuleppeline. Loogiliselt õige arutelu käigus saame tõestest eeldustest paratamatult tõese järelduse, st loogika uurib tõeste teadmiste saamise reegleid. Formaalloogiliselt õige arutlus võib olla sisuliselt ebaõige, nt juhul, kui eeldused on väärad. LOOGIKA PÕHJENDAMISEST Normativism (antipsühhologism) ­ loogika kirjeldab, kuidas inimene peab mõtlema, annab õige mõtlemise reeglid ehk normid. ( Aristoteles , R. Descartes , I. Kant , E. Husserl ) Psühhologism ­ loogika on kirjeldav teadus. Loogika seadused kirjeldavad seda, kuidas inimene mõtleb. Vaimselt tervel inimesel on psühholoogiline sund nende reeglite kohaselt mõelda. Loogika kirjeldab mõtlemist. (J.S. Mill, H. Spencer , E. A. Lange) Konventsionalism ­ loogikaseadused on kokkuleppelised. (R. Carnap ) TÕE KÄSITLEMISVIISIDEST (vt Blackburn. Filosoofialeksikon. 2002: lk 456 ja viited) · Korrespondents ehk vastavusteooria (Aristoteles) · Referentsuse teooria (R. Descartes ) · Pragmatism (C.S. Peirce , W. James, C . Lewis jt) · Koherentsusteooria (R. Carnap) · Semantiline ehk tähendusteooria (A.Tarsky) · Traditsiooni (kokkuleppe) teooria (B. Barnes, P. Feuerabend ) C. Wilson (Oxfordis 1899-1915). Soovitas alati vahet teha: · milliseid mõttevorme väide väljendab ­ loogika; · väite verbaalsed struktuurid ­ grammatika; · mida väide maailma kohta ütleb ­ metafüüsika Loogika mõiste autoriks peetakse kas Demokritost või Zenonit Kitionist (stoik). Aristoteles õpetas, et loogika objektiks pole mitte mõtlemine üldse, vaid mõtlemise vormid. Põhilised mõtlemisvormid on mõiste (sõna), otsustuse e lause (väide) ning otsustustest koosnev arutlus. I. Kant nimetas selle formaalseks loogikaks.
PÕHILISED LOOGIKASEADUSED (aksioomid)
IDENTSUSE SEADUS (Printsiip pärinevat Aristoteleselt, reegli sõnastas G. W. Leibniz ) (ld principum(lex) identitatis; ik principle (law) of identity ): Ühes ja samas arutluses, ühes ja samas suhtes peab iga mõiste või väide, kui ta esineb arutluses korduvalt, olema kasutatud iseendaga identselt. Sümbolkujul: AA või p p, kus A tähistab mõistet, p otsustust (väidet, propositsiooni), samasust, järelduvust. Identsuse nõue on suhteline ja kontekstitundlik.
VASTURÄÄKIVUSSEADUS (VASTURÄÄKIVUST VÄLISTAV SEADUS) (ld principum contradictionis; ik law of contradiction): Kui mõnes arutluses peetakse tõeseks kaht otsustust, millest üks jaatab seda, mida teine eitab, siis öeldakse, et arutlus on vasturääkiv. Sümbolkujul: ¬(p & ¬p) , kus p tähistab otsustust (väidet), & konjunktsiooni (koostõesust) ning ¬ eitust. Ühes ja samas suhtes ei saa olla tõene, et väide p ja väide mitte-p on korraga tõesed. On veel sõnastatud ka nii: Ükski lause ei saa olla iseendaga vastuolus ehk lause ei saa olla korraga tõene ja väär. (Reegli autoriks peetakse Aristotelest.) 3_fl_i-v
VÄLISTATUD KOLMANDA SEADUS (ld principum exclusi tertii; ik law (principle) of the excluded third ( middle ) ): Kahest väitest, millest üks eitab seda, mida teine jaatab, on üks tingimata tõene ja teine väär ning kolmandat võimalust ei ole. Sümbolkujul: (p ¬p) , kus p tähistab otsustust (väidet), ¬ eitust ning disjunktsiooni (vähemalt ühe väite tõesust). Reegel välistab kompromissi vasturääkivas arutluses. Ei saa olla, et lause ja selle eitus on korraga väärad või korraga tõesed. (Reegli autoriks peetakse Aristotelest.)
KÜLLALDASE ALUSE SEADUS (ld principum rationis sufficientis; ik principle of sufficient reason ): Ühtki lauset ei saa pidada tõeseks ega vääraks ilma küllaldase aluseta . Reegli autoriks on G.W. Leibnitz. (Reegli kuuluvus klassikalisse loogikasse on vaieldav.)
LOOGIKA AJALOOST (vt Tamme, Tammet , Prank . Loogika. 1997, lk 19-51) Parmenides (~540-470 eKr) eristab meeltel põhineva arvamuse dÒxa mõistusega tunnetatavast tõest ¢l» qeia . Temalt on ka samasuse seadus (olemise kaudu). Herakleitos (~540-480 eKr). Dialektik. Võttis kasutusele seaduse mõiste (lÒgoj) ja mõiste kui mõtlemise objekti. Zenon Eleast(~490-430) Apooriad Parmenidese kaitseks. Protagoras (~480-410), Gorgias, Prodikos ja teised sofistid. Tõdede subjektiivsus. Mõistete täpsustamine. Sünonüümid. Loogika mõiste üks võimalik autor on Demokritos (~460-370 eKr). Tõestamise teooria. Loogika seadused. Vastandab tegelikult oleva ja kindla teadmise sofistidele. Induktsioon . Sokrates (470-399). Induktsioon ja üldiste tunnuste leidmine üksikutes mõistetes. Platon (427-347). Väitluskunsti ülesanne on vastuolude avastamine. ARISTOTELES (384-322) Loogika on tööriist kõikide teaduste jaoks. Võttis kasutusele muutujad, väite komponendid (1) kvantor , (2) subjekt , (3) koopula, (4) eitus, (5) predikaat. Süllogismid. Modaalsed väited. Stoikud: Zenon Kitionist (333-264) ja eriti Chrysippos (279-206). Lausearvutuse elemendid. Keskajal Boethius (480-525). Aristoteles ladina keelde. Skolastikud panevad aluse ka analüütilisele filosoofiale. Raimon Lull (1235- 1315 ) Võtab kasutusele sümbolid. G. W. Leibnitz ( 1646 -1716). Idee ­ luua universaalne sümbolkeel, mida võib kontrolloda ka masinaga . Tegi palju matematilise loogika jaoks, kuid ei avaldanud. G. Boole (1815-64) Lausearvutus. Seda arendas A. de Morgan . (1806-1871). Gottlob Frege (1848-1925) Esimest järku predikaatarvutus . Georg Cantor (1845-1918). Hulgateooria ja paradoksid. Bertrand Russell (1872-1970). Paradoksid, tüüpide teooria Alfred Tarski ( 1902 -1983). Objektkeel ja metakeel. Kurt Gödel (1906-1978). Mittetäielikkuse teoreem . Alan Turing (1912-1954). Universaalne programmeeritav arvuti. 4_fl_i-v
L2. MÕISTEÕPETUSEST KONTEKST ja TEKST Lingvistiliselt nimetatakse kontekstiks seda lausungi osa, mis ümbritseb teatud üksust ja võib mõjutada nii selle tähendust kui grammatilist rolli. Kontekst (ik context) on kõnekeskkond, millel võib olla oma roll ütluse tähenduslikkuse määramisel. Tekst (ik text) on kõne peasisu. Tekst on see, mida kõne otseselt väljendab ehk ka see, millest räägitakse. Tekst koosneb sõnadest, mis on seotud lauseteks. Lause (ik sentence) on kommunikatsiooniühik, väikseim entiteet, mis kannab sõnumit (väidet, käsku, küsimust jne). G. Frege järgi on sõnadel tähendus vaid lause kontekstis. Klassikalises (formaalses) loogikas käsitletakse selliseid laused , mille puhul on teada, kas need on tõesed või väärad, ning seda määratletakse enamasti toetudes Aristotelese korrespondentsteooriale: lause loetakse tõeseks, kui selle sisu vastab tegelikkusele. Sõna (ik word) on loogika kontekstis käsiteldav kui mõiste või mõistetevahelise seose keeleline väljendusvorm. (On palju sõnu, mida võib käsitleda teisiti, kuid need jäävad peaaegu alati väljapoole formaalse loogika huvisfääri, nt Juhhei!) Erinevaid sõnu, mis tähistavad sama mõistet, nimetatakse sünonüümideks: nt koer; peni. Samakujulisi sõnu, mis tähistavad erinevaid mõisteid, nimetatakse homonüümideks: nt sõna täht võib tähistada taevatähte või kirjatähte. Sõna tähendus sõltub indiviidi maailmapildist, emakeelest, ühiskondlikust seisundist jpm. Erialases sõnakasutuses on vajalik, et sõna oleks võimalikult täpselt piiritletud tähendusega. Selliseid sõnu (vahel ka sõnaühendeid) nimetatakse terminiteks (erialaterminiteks, ka konkreetse eriala, nt matemaatika terminiks). Analüütilise filosoofia rajaja Gottlob Frege (1848-1925) ütles, et sõnade puhul peame eristama kolme asja: mõte, tähendus ja osutus. Nt S teab, et Koidutäht on Ehatäht. Neist mõeldakse erinevalt, kuid lause on tõene, kuna neil on üks osutus ( denotaat , ik reference ). Frege eristas väljendi tähendust selle mõttest. Keelelise väljendi tähenduse (ik meaning , sens) all mõistetakse seda objekti või objektide klassi, mida antud väljend tähistab ehk nimetab. Väljendi mõtte (ik thought ) all mõistetakse tema mõttelist sisu, st seda väljendis sisalduvat infot, tänu millele väljend ühe või teise objekti või objektide klassiga ühendusse viiakse. MÕISTE (ik concept , term ) on mõtlemise vorm, mis peegeldab esemeid ja nähtusi terviklikena nende oluliste tunnuste kaudu. (Märkus: eesti keeles võib sõna mõiste osutada ka sõnale või sõnade rühmale, mida kasutatakse mõistest rääkimiseks. Inglise keeles aga on mõtlemise sfääri kuuluv mõiste pigem ikka concept ning term on kõnesfääri kuuluv sõna või sõnade rühm.) Tunnus (ik characteristic ) on iseloomulik omadus, mille poolest asjad ja nähtused üksteisega sarnanevad või erinevad. Üksiktunnus (ik singular characteristic) on teatava objekti (eseme, nähtuse jne) mingi konkreetne iseloomulik tunnus. Oluline tunnus (ik essential characteristic) väljendab teatava objekti olemust. Juhuslik (ebaoluline) tunnus (ik accidental characteristic) on tunnus, mis mingil esemel, nähtusel jne võib esineda aga võib ka mitte esineda. Mõiste loogilise struktuuri põhielemendid: · Mõiste sisu (ik connotation, intension, comprehension) on oluliste tunnuste hulk mida jagavad kõik objektid, millele antud mõiste osutab. Mõiste sisu võib käsitleda kui selle mõistega haaratud objektide oluliste tunnuste summat . · Mõiste maht (ik denotation, extension) on nende objektide hulk, millel on need olulised tunnused, mida mõiste väljendab. Mõiste mahtu võib käsitleda kui selle mõistega haaratud objektide summat. 5_fl_i-v
Mahu alusel jagunevad mõisted: · üldmõisted (ik general term, universal concept) ­ nt maja, inimene, naturaalarv ; · üksikmõisted (ik singular term) ­ nt väikseim naturaalarv, Võru linn, lähim täht. · tühjad mõisted (nullmõisted, ik empty term) ­ nt igiliikur , ümmargune ruut. See jaotus on kontekstitundlik. Sisu alusel käsitletavaid mõistete klasse : Absoluutsed mõisted (ik absolute term) nt taim, riie , on sellised, mis oma tähenduses ei eelda teise eseme, nähtuse olemasolu ega mingit suhet sellesse. Suhtelised e korrelatiivsed mõisted (ik relative term) nt vend, paremale, on sellised, mis peale selle eseme, nähtuse, mida nad tähistavad, eeldavad veel teise eseme, nähtuse olemasolu. Abstraktsed mõisted (ik abstract term) nt headus , vabadus, tähistavad esemete, nähtuste, omadusi, olekuid ning tehteid, mis on mõeldavad eraldi esemest, nähtusest. Konkreetsed mõisted (ik concrete term) nt taim, kolmnurk, kuu, tähistavad kindlalt piiritletuid esemeid, nähtusi, isikuid, fakte, sündmusi ning teadvuse seisundeid. Positiivsed mõisted (ik positive term) nt mõttekas, tark, surelik, loll , tähistavad ühe või teise kvaliteedi, tunnuse olemasolu. Negatiivsed mõisted (ik negative term) nt mõttetu, surematu, mitteloll, tähistavad mingi kvaliteedi, tunnuse puudumist. Kogumõisted e koondavad mõisted (ik collective term) nt inimkond , armee , rahvas, mets, tähistavad esemete, nähtuste gruppi kui tervikut . Koondavat mõistet tähistav sõna on küll tavaliselt ainsuses, kuid mitte alati. Nt Koer on loom (kõik koerad on loomad). Maja on ehitis (kõik majad on ehitised) Koer suri ära (konkreetne koer) Mõiste sisu kasvades mõiste maht väheneb ning mõiste sisu kahanedes mõiste maht suureneb. Mõiste sisu nimetatakse selgeks (ik clear ), kui on teada kõik põhilised tunnused, mida ta hõlmab. Mõiste mahtu nimetatakse järsuks, kui iga elemendi kohta võib öelda, kas ta kuulub antud klassi (hulka) või mitte. Selgelt määratletud mõiste sisule vastab ka selgelt piiritletud maht. Mõisted, mis ei oma selget sisu on ebamäärased (ik obscure ) ning nende maht on laialivalguv ( piiritlemata ). Mõiste tähendus sõltub subjekti maailmapildist. Kõige üldisemaid mõtlemise vorme (kitsamalt võttes mõisteid) nimetatakse kategooriateks. (Nt ruum, aeg, reaalsus , paratamatus , vaim, mateeria , fakt, sündmus.) Kui tahetakse korrastatud viisil kirjeldada ükskõik millist objekti või nähtust, siis saab seda teha kategooriate abil. Tänapäeval kasutatakse kirjeldamiseks kolme põhilist kategooriat: · asi (ik thing , object); · omadus (ik attribute, property); · suhe (ik relation). Kasulik on teada veel kolme klassikalist kategooriat: · olemasolu (ik existence, ld existencia); · olemus (ik essence, ld essencia või substantia); · seisund (ik state, ld stati ).
Sisu järgi on mistahes kaks mõistet kas võrreldamatud või võrreldavad. Mõistetevaheliste suhete määratlemine sõltub määratleja teadmistest ja oskustest. Kui kaks mõistet omavad kas ühte või mitut ühist sisulist tunnust, siis nimetatakse neid võrreldavateks (ik comparable). Mõisteid saab võrrelda ainult siis, kui nende vahel on mingi sisuline sarnasus. Võrreldamatud (ik incomparable) mõisted ei oma ühtegi ühist tunnust. Sellised mõisted on absoluutselt erinevad (seegi määratlus on kontekstitundlik). 6_fl_i-v
Mõistete mahtude vahelist seost näidatakse nn Euleri diagrammide (ringide) abil. ( Sveitsi matemaatik Leonhard Euler , elas aastatel 1707-1783). Nt mõisted K ­ kass ja M ­ must kass
K M
Suurema ovaali sisu kujutab endast kogu mõiste K mahtu, st kõikide kasside hulka. Väiksema ovaali sisu kujutab endast kogu mõiste M mahtu, st kõikide mustade kasside hulka, mis aga kuulub samas ka kasside hulka. Mõisted jagunevad mahu alusel kaheks liigiks : 1. Ühitatavad (e. ühendatavad) on sellised mõisted, mille mahtudes on ühiseid elemente: 1.1. Samased ehk identsed (ik identical) mõisted, nt: T ­ täisnurkne rööpkülik; R ­ ristkülik. T; R
1.2. Ristuvad (ik overlapping) mõisted, nt: Y ­ üliõpilane; M ­ muusik . Y M
1.3.Subordinaarsed ehk alluvussuhtes olevad mõisted, nt: O ­ okaspuu; M - mänd (mõiste M on alluv (ik subalternate) mõiste O suhtes, O on allutav (ik superalternate) mõiste M suhtes). O M
2. Ühitamatud (ühendamatud) on sellised mõisted, mille mahtudes pole ühiseid elemente: 2.1. Kaasalluvad (B ja C on alluvad mõiste A suhtes), K M nt: P ­ puu; M ­ mänd; K ­ kask . P 2.2. Kontraarsed ehk vastupidised (ik contrary opposition terms ) nt: M ­ must; A ­ valge V (nad on kaasalluvad mõiste V ­ värvus suhtes). A M
2.3. Kontradiktoorsed ehk vasturääkivad (ik contradictory opposition terms) Nt: M ­ must; V A B B ­ mittemust (kaasalluvad mõiste V ­ värvus suhtes). Vasturääkivad mõisted täidavad kogu allutava mõiste mahu. ÜLESANDEID: 2.1. Määratlege järgnevad mõisted mahu (üld-, üksik ja tühi) ning sisu (absoluutne/suhteline, abstraktne /konkreetne, positiivne/negatiive, kogumõiste) alusel: Auto, Maa, õiglus, valitsus, saamatu , kodukäija. 2.2. Määrake mõistetevahelised suhted Euleri ringide abil: 2.2.1. Maa, Marss, planeet, taevakeha . 2.2.2. Auto, liiklusvahend, pereauto, mänguauto. 2.2.3. Koer, hunt, loom, koduloom , elusolend, surnud hunt. 2.2.4. Headus, kurjus, inimlikkus, jumalikkus. 7_fl_i-v
MÕISTE DEFINITSIOON
Mõiste sisu täpsustamiseks on kasutusel peamiselt kaht tüüpi määratlusi: · ostensiivsed (Id ostentus 'näitamine'); · verbaalsed (Id verbum 'sõna, väljend').
Ostensiivselt saab mõistet määratleda, kui näidata mingile objektile (või selle kujutisele vms) ja öelda, mis see on. Nii ei saa määratleda kõiki mõisteid, nt selliseid abstraktseid mõisteid nagu õiglus, olemine, mõte, tõde jne. Verbaalsete määratluse korral avatakse mõiste sisu teiste mõistete ja/või kirjelduste abil. Defineerimise alla peetakse enamasti silmas verbaalset määratlemist kuid räägitakse ka ostensiivsest defineerimisest.
Definitsioon (ld definitio) on verbaalloogiline operatsioon mille abil avatakse mõiste sisu. Definiendum (ehk defineeritav , tähistatakse Dfd) on mõiste, mida defineeritakse (määratletakse, piiritletakse). Definiens (ehk defineeriv , tähistatakse Dfn) on mõiste(d) või väljendid, mille abil defineeritava mõiste sisu avatakse. Kui definitsioonis on Dfd ja Dfn selgesti eristatavad ja vastastikku asendatavad , siis on tegemist ilmse definitsiooniga; teistel juhtudel on tegemist mitteilmse definitsiooniga. Levinuim ilmse definitsiooni liik on reaaldefinitsioon ehk klassikaline definitsioon, nt: Rööpkülik on nelinurk , mille vastasküljed on paralleelsed. Ristkülik on rööpkülik, mille nurgad on täisnurgad. Ruut on ristkülik, mille küljed on võrdsed. Sellist tüüpi määratlust nimetatakse ka defineerimiseks soomõiste ja liigierisuse kaudu.
KLASSIKALINE DEFINEERIMINE
1. Tuleb leida lähim mõiste, mille suhtes määratletav mõiste (Dfd) on alluv. Seda protsessi nimetatakse üldistamiseks. Nt mõiste ruut üldistamise tulemus on mõiste ristkülik. Niisugust üldistamise teel leitud mõistet nimetatakse soomõisteks (ld genus = sugukond ). Tunnus on iseloomulik omadus, mille poolest asjad ja nähtused üksteisega sarnanevad või erinevad. Sootunnus on omadus, mille poolest sarnanevad kõik soomõiste mahu objektid (seega ka Dfd).
2. Tuleb leida need (see) olulised tunnused, mis eristavad Dfd-t soomõistest. Nt mõisted ruut (Dfd) ja ristkülik (genus). Antud juhul on oluliseks tunnuseks kujundi külgede võrdsus. Niisugust olulist tunnust (või tunnuseid) nimetatakse liigierisuseks. Liigierisus (differentia specifica) on tunnus, mis eristab mõistet samasooliste (st sarnaste või lähedaste) mõistete hulgast. Liik ( species ) soomõiste suhtes on mõiste, millele on omased kõik soomõiste tunnused ja lisaks ka veel liigierisus. species (S) = genus (P) + differentia specifica Levinud määratluse liik on geneetiline definitsioon (kr genesis 'teke, tekkelugu '). See on käsitletav klassikalise definitsiooni alamliigina. Nt: Silinder on pöördkeha, mis tekib ristküliku pöörlemisel ümber oma ühe külje. Ka siin on leitud soomõiste (pöördkeha), millele on liigierisusena lisatud geneetiline tunnus. Problemaatilisem on aga nt toiduretsepti käsitlemine geneetilise definitsioonina. Operatsionaaldefinitsiooni puhul piiritletakse Dfd sisu spetsiifilise protsessi kaudu, nt: Hape on aine, mis värvib lakmuse punaseks. 8_fl_i-v
DEFINITSIOONI REEGLID
1. Definitsioon peab olema adekvaatne. Ta peab hõlmama täpselt kogu mõiste mahu. Teisiti öeldes: Dfd peab olema sama mahuga, mis Dfn. Siin esineb kolme liiki vigu. · Definitsioon on liiga avar, nt: Ruut on täisnurkne rööpkülik. · Definitsioon on liiga kitsas , nt: Kell on seinal rippuv ajanäitaja. · Definitsioon on ristuv, nt: Õpik on raamat, mida kasutavad õpilased. 2. Definitsioonis ei tohi olla ringi. St, et mõistet ei saa määratleda sellise mõiste kaudu, mis ise on arusaadav ainult tema kaudu. Nt: Teadus on see, millega tegelevad teadlased. Kui samal ajal peetakse teadlasteks neid, kes tegelevad teadusega, siis on tegemist ringiga definitsioonis. Kui aga teadlased on määratletud kuidagi teisiti, näiteks töökohtade järgi, siis võib selline definitsioon osutud loogiliselt mõttekaks. 3. Definitsioon peab olema selge ja ühetähenduslik. Ebaselge definitsiooni näide: Ovaal on ringjoon kitsastes tingimustes. Mõni väide, mis pealtnäha näib olevat definitsioon, seda siiski pole. Nt: Inimene on üks loll loom. 4. Definitsioon peab olema jaatav. Eitav definitsioon on üldjuhul ebamäärane, ta mitte ei omista Dfd-le tunnuseid vaid välistab neid. Nt: Inimene pole kana . (5. Definitsioonis kasutatav liigierisus peab kajastama liigi olemuslikke tunnuseid.) Ebaoluliste tunnustega määratletud liik muudab definitsiooni ebamääraseks. Nt: Kuberner on tähtis isik.
Nominaaldefinitsiooni abil formuleeritakse märgi või termini või sümboli vms tähendus. Nt: Aritmeetikas tähistab märk "+" liitmistehet. Nominaaldefinitsioon kuulub mitteilmsete definitsioonide hulka. Kõiki mõisteid ei ole võimalik defineerida. Defineerida ei saa lihtmõisteid, nt: punasus. Defineerida ei saa üksikmõisteid, nt Tartu. Kui mõisteid ei saa defineerida või puudub selleks vajadus, siis kasutatakse mõiste määratlemiseks teisi võtteid, nt ostensiivne määratlus, kirjeldamine, iseloomustamine , võrdlemine, eristamine, üldistamine jne. Esineb olukordi, kus defineerimine muudab selge asja segasemaks ning seda tuleks pigem vältida.
ÜLESANDEID: 2.3. Analüüsige järgnevaid ühelauselisi definitsioone (vt Lilleoru õpik): Vedelik on see, mida saab välja valada. Alkohol on arstirohu liik. Rahu on rahutuse puudumine. Inimene on loom, kes oskab tuld teha. Kana ei ole lennuvõimeline lind. Pahe on vooruse vastand . Sõdur on vapper inimene, kes on valmis isamaa eest surema. Lõvi on loomade kuningas. Ring on suletud kõverjoon. Koer on inimese sõber. Lind on tiibadega loom. Elamu on ehitis, mis on kõlblik elamiseks. 9_fl_i-v
LIIGITUSE (ik classification ) REEGLID
1. Liigitama peab ühel ja samal alusel. Liigituse aluseks olevat tunnust ei tohi liigituse käigus muuta. Veanäide: kassid jagunevad isasteks, emasteks ja mustadeks. 2. Liigitus peab olema adekvaatne. Liigituse liikmete mahtude summa peab täpselt võrduma liigitatava mõiste mahuga. Siin esineb kahte liiki vigu. · Liigitus on liiga on liiga avar, nt: Kalad jagunevad sõõrsuudeks, kõhrkaladeks, luukaladeks ning vaaladeks. · Liigitus on liiga kitsas, nt: Kellad jagunevad seina- ja käekelladeks. 3. Liigituse liikmed peavad üksteist välistama. Ükski liigitatava mõiste mahu element ei tohi kuuluda mitmesse liigituse liikmesse. Sageli on sel juhul tegemist ka liigituse aluse reegli rikkumisega. Veanäide: Autod jagunevad sõiduautodeks, bussideks ja liinibussideks. 4. Liigutus peab olema pidev. Liigitamisel tuleb lähtuda lähimast võimalikust soomõistest. Veanäide: Asjad jagunevad huntideks, karudeks ning ülejäänuteks. Lugu oleks korrektsem, kui me liigitaks sellisel viisil nt kiskjaid. Selle nõude vastu eksitakse ka siis, kui kasutatav soomõiste ise pole täpselt määratletud ning liigitus ei toimu sisuliselt samal alusel. Veanäide: Loomad jagunevad selgroogseteks, putukateks, ämblikeks jt. Õigem oleks loomad liigitada selgroogseteks ja selgrootuteks ning alles seejärel teostada selgrootute liigitus.
ÜLESANDEID: 2.4. Analüüsige järgnevaid ühelauselisi liigitusi (vt Lilleoru õpik): Inimesed jagunevad laenuvõtjaiks ja laenuandjaiks. Raamatud jagunevad huvitavateks ja igavateks. Raamatud jagunevad huvitavaiks ja mittehuvitavaiks. Inimesed jagun. valgesse, kollasesse ja musta rassi. Kalad on taimesööjad ja lihasööjad. Hooned jagunevad kõrgeiks ja madalaiks. Puud on okaspuud, pisipuud, ehituspuud ja viljapuud . Linnaelanikud jagunevad meesteks, naisteks, poegadeks ja tütardeks. Inimesed on targad ja rumalad. Sündmused on praegused, olnud ja tulevased. Kreeklased : inimesed on kreeklased ja barbarid. Loomad on selgroogsed ja selgrootud . Allikad on külmad, kuumad, soolased ja väävlised. Linnaelanikud on majaomanikud ja üürnikud.
2.5.1. Joonistage Euleri diagramm juhtumi kohta, kus mõisted C ja B on kontraarsed ja alluvad mõiste A suhtes, aga mõiste E on kaasalluv nii C kui B suhtes. Leidke sobiv näide. Lahendus. Nt: A ­ suund; C ­ paremale; A B ­ vasemale, E ­ üles. C E B
2.5.2. Joonistage Euleri diagramm juhtumi kohta, kus mõisted C ja B on ristuvad ja alluvad mõiste D suhtes, aga mõiste A on alluv nii C kui B suhtes. Leidke sobiv näide. Lahendus. Nt: D ­ loom; C ­ koer; B ­ loomalaps, A ­ kutsikas. D
C A B
MÄRKUS: Päris kindlasti tasub läbi lahendada asjassepuutuvad ülesanded Vuksi õpikust, kus on esitatud ka ülesannete lahendused. 10_fl_i-v
L3 OTSUSTUS
Otsustus (ik judgement, statement ) on mõtlemisvorm, milles jaatatakse või eitatakse midagi objektide (asjade), nähtuste, omaduste või suhete (seoste) kohta. Otsustuse keeleliseks väljendusvormiks on lause. (Nt Kanti järgi peab enne midagi otsustama, kui seda saab lausuda.) Klassikalises (formaalses) loogikas käsitletakse väitelauseid ehk väiteid (ik assertion, statement). Iga väide on lause, kuid iga lause ei ole väide. Väide peab olema kas tõene (ik true) või väär ( false ) ja grammatiliselt õige (tarvilikud tingimused) ning vajadusel ka kontekstuaalselt mõttekas. Lause (sentence) on kommunikatsiooniühik, väikseim entiteet, mis kannab sõnumit (väidet, käsku, küsimust jne) Väide (assertion) on tõeväärtust omav lause. Väite kuju võib sõltuda keelest ja ütlemisviisist, mis pole loogika seisukohalt sageli kuigi tähtis. Propositsioon ( proposition ) on väitlause sisu, mis ei sõltu kujust ega ütlemisviisist. Lausung (utterance) on lause sellisena, nagu ta öeldi koos lause kuju ja ütlemisviisiga. Lausung ei pea olema tõene ega väär (Nt: Ahoi , teie seal!)
Aristotelese järgi loeme väite tõeseks, kui selle sisu vastab tegelikkusele (korrespondentsteooria) Klassikalises (formaalses) loogikas on otsustus, väide ja lause kasutusel sünonüümidena.
Siiani oli jutuks üksikväide ehk lihtväide, mis väljendab ühte tervikmõtet (väitelause kannab ühte sõnumit). Liitväide koosneb lihtväidetest, mis on omavahel sisesõnadega seotud. Lihtväited jagunevad kirjeldavateks ja modaalseteks väideteks (otsustusteks). Kirjeldavate (deskriptiivsete) väidete hulgast käsitletakse klassikalises loogikas eelkõige kategoorilisi väiteid (atributiivsed otsustusi). Teine tähtis kirjeldavate otsustuste klass on suhteotsustused.
LIHTOTSUSTUSE STRUKTUUR:
Subjekt (ld subjectum 'alus'). Tähistatakse S -tähega. Otsustuse subjektiks on see ese või nähtus (jne), mille või kelle kohta midagi väidetakse. Predikaat (ld praedicatum 'öeldu'). Tähistatakse P -tähega. Predikaadiks on tunnus, omadus, mis antud subjektile S omistatakse , või klass kuhu S liigitatakse; Koopula (ld cpula 'side') ehk sidesõna on seos subjekti ja predikaadi vahel. Võib esineda ka implitsiitselt. Eesti k. on koopulaks enamasti: on (ei ole). Kvantor (ik quantifier) ehk operaator -sõna, mis seisab S ees ning osutub kas S mahule või täpsustab S ja P vahelise seose iseloomu.
Lihtotsustus üldkujul: (kvantor) S on (ei ole) P."
Nt. Atributiivne otsustus: Kõik (kv) inimesed (S) on (kp) surelikud (P). Mõned (kv) varesed (S) on (kp) valged (P). Modaalne otsustus: Võimalik (kv), et pilet (S) ei ole (kp) ehtne (P).
Suhteotsustus: Kõik (kv) tudengid (S) tunnevad (kp) mõnda (kv) õppejõudu (P). 11_fl_i-v
ATRIBUTIIVSED OTSUSTUSED
Sünonüümidena võib klassikalise atributiivse otsustuse asemel kasutuda ka termineid kategooriline väide või ka kategooriline propositsioon (ik categorical proposition), sest loogikas on oluline lause sisu, mitte ütlemisviis.
Atributiivsed (Id attributum 'lisandatu') otsustused on kirjeldavad väited mingite objektide omaduste kohta ning neid on nelja liiki: · Üldjaatav (ik universal affirmative proposition); nt: Kõik S on P. Iga S on P. Kõik inimesed on surelikud. · Üldeitav (universal negative proposition); nt: (Mitte) ükski S ei ole P. Mitte ükski inimene pole igavene . · Osajaatav ( particular affirmative proposition); nt: Mõned S on P. Mõned varesed on valged. · Osaeitavad (particular negative proposition); nt: Ükski S ei ole P. Mõned varesed ei ole valged.
NB! Otsustus tüüpi Kõik S ei ole P on kõnekeelne ning EI OLE tõlgendatav üldotsustusena. Nt Kõik inimesed ei ole rikkad. See ei tähenda, et mitte keegi pole rikas. St, et mõned inimesed ei ole rikkad või ka seda, et mõned inimesed on rikkad. Kumma tõlgenduse (osaeitav või osajaatav) kasuks otsustada, see sõltub asjaoludest.
Sõna mõned kasutatakse formaalloogikas tähenduses vähemalt üks (üks kuni kõik). NB! Väljend Mõned X sisaldab endas võimalust, et arvesse on võetud kogu mõiste X maht. See võib sõltuda kontekstist, asjaolude täpsustamisest jne. Seega `mõned' võib tähendada ka kõiki, kuid `kõik' saab tähendada ainult kõiki. Kõnekeeles esineb sõna mõned kahes tähenduses: vähemalt mõned ja ainult mõned. Lisaks väljendile Kõik S ei ole P esineb kõnekeeles veel: Mitte kõik S ei ole P; Ainult mõned S on P; Ainult mõned S ei ole P jt. Teatavate kadudega saab neid tõlgenda kui osaotsustusi: Mõned S on (ei ole) P.
Kategoorilise väite termin (ik term) on nimetus mida kasutatakse nii väite subjekti kui ka predikaadi kohta. Kategoorilise väite termin esineb täies mahus (on piiritletud) siis ja ainult siis, kui see, mida öeldakse väite termini kohta, kehtib ka iga termini elemendi kohta. S+ ja P+ tähistavad, et S ja P esinevad täies mahus (on piiritletud). S­ ja P­ tähistavad, et S ja P ei esine täies mahus (on piiritlemata). NB! Piiritlemata termin võib osutuda juhuslikult piiritletuks, kuid mitte vastupidi. Nt S+ on käsitletav kui S­ erijuht , kuid mitte vastupidi! Traditsiooniliselt tähistatakse kategoorilisi väiteid lühendatult ladina tähestiku tähtedega, mis on võetud ladina sõnadest affirmo 'jaatan, väidan' ja nego 'eitan': · üldjaatavad: A või SaP (A on esimene vokaal sõnast affirmo); enamasti S+ a P­ ; · üldeitavad: E või SeP (E on esimene vokaal sõnast nego); täpsemalt S+ e P+ ; · osajaatavad: / või SiP (I on teine vokaal sõnast affirmo); enamasti S­ i P­ ; · osaeitavad: O või SoP (O on teine vokaal sõnast nego); enamasti S­ o P+ . Üksikotsustusi (Sokrates on inimene) võib vaadelda üldotsustustena. Üksikotsustuse vorm on kas A on P või A ei ole P, kus A tähistab üksikmõistet ning ühtlasi konkreetset objekti. Euleri ringid tähistavad järgnevalt subjekti (S) predikaadi (P) kui mõistete mahtusid. 12_fl_i-v
Üldjaatav otsustus (Kõik S on P) on tõene kahel juhul:
S+ a P + S+ a P­ S on mõlemal juhul piiritletud (täies mahus). Kui meil pole täiendavat infot, siis üldjuhul peame arvestama, et P on üldjuhul piiritlemata. See on igal juhul tõsi, sest piiritlemata termin sisaldab võimalust, et ta võib osutuda info täpsustamise käigus piiritletuks. Üldeitav otsustus (Mitte ükski S ei ole P) on tõene ühel juhul:
S+ e P + S ja P on mõlemad piiritletud (täies mahus). Osajaatav otsustus (Mõned S on P) on tõene neljal juhul:
S+ a P + S+ a P­ S­ i P+ S­ i P­ Kui meil pole täiendavat infot, siis üldjuhul peame arvestama, et mõlemad terminid on piiritlemata. See on igal juhul tõsi, sest piiritlemata termin sisaldab võimalust, et ta võib osutuda info täpsustamise käigus piiritletuks. Osaeitav otsustus (Mõned S ei ole P) on tõene kolmel juhul (sõna mõned on siin tähenduses vähemalt mõned):
S­ o P + S­ o P­ S+ e P+ P on igal juhul piiritletud (täies mahus). Kui meil pole täiendavat infot, siis üldjuhul peame arvestama, et S on piiritlemata. See on igal juhul tõsi, sest piiritlemata termin sisaldab võimalust, et ta võib osutuda info täpsustamise käigus piiritletuks.
On viis võimalikku varianti suhte S ja P mahtude vahel. Kõiki variante katab kaks otsustepaari: A;O ja I;E. Kõik S on P / Mõned S ei ole P
/ Mõned S on P Ükski S ei ole P
ÜLESANDEID: 3.1. Viige väited normaalkujule, leidke terminite mahud: Mitte kõik tema vastused ei olnud valed. Inimesed on surelikud. Osa inimesi on töötud. Kõik ei ole kuld , mis hiilgab. Kõik on hea, mis hästi lõpeb. Keegi pole patuta. Ainult ausad on lugupeetavad. Ainult sõbrad võivad reeta. Kõigil siinviibijail ei ole sinised silmad. 13_fl_i-v
Ühemateeria kategoorilised väited on ühe ja sama subjektiga ning ühe ja sama predikaadiga väited. Nende vaheliste seoste mõistmiseks võttis Michael Psellos XI saj. kasutusele loogilise ruudu (ik square of opposition):
kontraarsus Kõik S on P (A) (E) Mitte ükski S pole P
subordinatsioon subordinatsioon
Mõned S on P (I) (O) Mõned S ei ole P Subkontraarsus
A: Kõik varesed on mustad (S+aP­); E: Ükski vares ei ole must (S+eP+); I: Mõned varesed on mustad (S­iP­); O: Mõned varesed ei ole mustad (S­oP+).
Üldjaatav ja osaeitav otsustus on teineteisele vasturääkivad ehk kontradiktoorsed (ik contradictories): kui üks on tõene, siis on teine väär, ning kui üks on väär, siis on teine tõene. Üldeitav ja osajaatav otsustus on samuti teineteisele vasturääkivad.
ÜIdjaatav ja üldeitav otsustus on vastupidised ehk kontraarsed (contraries): nad mõlemad saavad olla koos väärad, kuid ei saa olla koos tõesed. Kui üks neist on tõene, siis teine peab olema väär. Kui üks neist on väär, siis teine võib olla nii tõene kui väär.
Osajaatav otsustus ja osaeitav otsustus on osavastupidised ehk subkontraarsed (subcontraries): nad mõlemad võivad olla tõesed, kuid ei saa olla koos väärad. Kui üks neist on väär, siis teine peab olema tõene. Kui üks neist on tõene, siis teine võib olla nii tõene kui väär.
Alluvus ehk subordinatsioon (subalternation) loogilises ruudus : Osajaatav otsustsus on üIdjaatava otsustuse suhtes alluv (subaltern) ehk subordinaarne : kui üldotsustus on tõene, siis on tõene ka vastav osaotsustus, ning kui osaotsustus on väär, siis on väär ka vastav üldotsustus. Üldjaatav otsustus on osajaatava suhtes allutav (superaltern). Samasugune vahekord on osaeitava otsustuse (alluv) ja üldeitava otsustuse (allutav) vahel.
SUHTEOTSUSTUSED
Suhteotsustused on väited suhete kohta mingite objektide vahel, nt Tartu asub Tallinnast lõuna pool. Manni ja Kati on õed. Kõik tudengid tunnevad mõnda õppejõudu. Piir suhte- ja atributiivse otsustuse vahel pole range. Nt võib otsustust Manni ja Kati on õed tõlgendada kategoorilisena: Manni on Kati õde. Kahekohalisi suhteotsustusi on kaheksat liiki. Näiteks on otsustus Kõik tudengid tunnevad mõnda õppejõudu üld-osajaatav; otsustus Mõnele tudengile ei meeldi mitte ükski õppejõud on osa-üldeitav otsustus jne. Suhteotsustusi on lihtsam käsitleda tuginedes predikaatarvutusele. 14_fl_i-v
VENNI DIAGRAMMID Käsitledes mõiste mahtu kui hulka, on võimalik luua meetodeid väite terminite vaheliste seoste graafiliseks kujutamiseks. Üheks meetodiks on Venni diagrammid (need leiutas inglise loogik John Venn, kes elas aastatel 1834-1923. Venni diagramme kasutatakse peamiselt süllogistikas kuid neid saab kasutada ka väitelausete uurimiseks ning liitlausete analüüsimiseks. Järgnevalt kasutame Venni diagramme kategooriliste väidete uurimiseks.
S S S x S=0 S 0 Mõiste S maht S on tühi S ei ole tühi
S P S P SP SP SP
A: Kõik S on P SP SP = 0
S P S P S P
x x
E: Ükski S ei ole P I: Mõni S on P O: Mõni S ei ole P SP = 0 SP 0 SP 0
Kerge on näha omadusi, mida kirjeldatakse loogilise ruudu abil: · A ja O on vasturääkivad, samuti E ja I. Kui üks neist on tõene, siis teine on väär ja kui üks neist on väär, siis teine on tõene (kontradiktoorsus); · A ja E ei saa olla korraga tõesed (kontraarsus), (see võib osutuda käsiteldavaks vaid problemaatilisel juhul, kui S-i maht on tühi hulk); · I ja O ei saa olla korraga väärad (subkontraarsus), sest vastasel juhul oleks S-i maht tühi hulk, see aga pole osaväite puhul võimalik; · Kui A on tõene, siis on tõene ka I ning kui E on tõene, siis on tõene ka O (alluvus); · Kui I on väär, siis on väär ka A ning kui O on väär, siis on väär ka E (alluvus). (Märkus: Kui S-i maht on tühi hulk, siis pole ühtegi objekti, millele predikaadiga mingeid omadusi omistatakse või mida kuhugi liigitatakse. Tekivad probleemid, mille vältimiseks tundub mõistlik nõuda, et subjekt ei tohi olla tühi hulk. Tänapäeval on sellest nõudest siiski loobutud , lähemalt räägime sellest arutluse ja süllogistika loenguis. ) 15_fl_i-v
ÜLESANDEID: 3.2. Määrake näitelause tüüp ning viige näitelause klassikalisele kujule . Formuleerige kõik neli ühemateeria väidet. Joonistage loogiline ruut lähtudes näitelausest. Kasutades loogilise ruudu omadusi, püüdke leida kõikide väidete tõeväärtused. Selgitage, milliseid omadusi Te kasutasite. Näitelause tõeväärtus on ette antud. 3.2.1. Kõik ei ole enda teha. (tõene). Lahendus: Lause on osaeitav (O): O ­ Mõned [asjad] ei ole enda teha. A ­ Kõik [asjad] on enda teha. E ­ Miski [Ükski asi] pole enda teha. I ­ Mõndagi [Mõned asjad] on enda teha. Tõeväärtused: O ­ 1 (tõene). (Ette antud.) A ­ 0 (väär). Vasturääkivus (kontradiktoorsus): Kui O=1, siis A=0. E ­ määramatu. Alluvus (subordinatsioon): tõesest osaeitavast ei järeldu üldeitava tõesus, see võib olla nii tõene kui väär. Vastandus (kontraarsus): Kui üldjaatav on väär, siis üldeitav võib olla tõene, aga ka väär, sest nad võivad olla mõlemad väärad. I ­ määramatu. Osavastandus (subkontraarsus): Kui osaeitav on tõene, siis osajaatav võib olla väär, kuid võib olla ka tõene, sest nad võivad olla mõlemad tõesed. Alluvus (subordinatsioon): väärast üldjaatavast ei järeldu osajaatava väärus, see võib olla nii väär kui tõene. 3.2.2. Paljud ei tunne iseennast . (väär) Lahendus: Lause on osaeitav (O): O ­ Mõned ei tunne iseennast. A ­ Kõik tunnevad iseennast. E ­ Keegi [Mitte keegi] ei tunne iseennast. I ­ Mõned tunnevad iseennast. Tõeväärtused: O ­ 0 (väär). (Ette antud.) A ­ 1 (tõene). Vasturääkivus (kontradiktoorsus): Kui O=0, siis A=1. E ­ 0 (väär). Alluvus (subordinatsioon): Kui osaeitav on väär, siis on väär ka üldeitav. I ­ 1 (tõene). Osavastandus (subkontraarsus): Kui osaeitav on väär, siis osajaatav peab olema tõene, sest nad ei saa olla korraga väärad. Kontroll: Vastandus (kontraarsus): Kui üldjaatav on tõene, siis üldeitav peab olema väär, sest nad ei saa olla korraga tõesed. Alluvus: tõesest üldjaatavast järeldub tõene osajaatav. Vasturääkivus: Kui E=0, siis I=1. 3.2.3. Mõned inimesed ei ole ustavad. (tõene) 3.2.4. Mõned loomad on mõistuslikud. (1) 3.2.5. Mõnedel muutustel pole mingit põhjust. (1) Lahendades on kasulik teada, et seda tüüpi ülesannetes on vaid 8 erinevat võimalust: 16_fl_i-v
L4. LAUSEARVUTUS
Lausearvutuse töötas välja George Boole (1815-1864).
Lausearvutuses käsitletakse ainult selliseid lauseid (propositsioone), millega saab vastavusse seada tõeväärtuse (ik truth - value ). Klassikaline loogika on kahevalentne (bivalent): iga lause tõeväärtus saab olla vaid tõene (true), või väär (false). (Kursuse lõpus tutvume ka mitmevalentsete loogikatega, kuid nendegi käsitlus eeldab kahevalentse loogika valdamist ja kasutamist.). Tõeväärtuse levinumad tähistused (3 varianti): tõene: t, T, või 1; väär: v, F või 0. Eeldatakse et täidetud on loogika kolm esimest põhireeglit. (Neljas reegel jääb lausearvutusest väljapoole.)
Tõe korrespondentsteooria järgi võib lause tõeväärtust käsitleda kui lause tegelikkusele vastavuse määra. Tõeväärtuse kindlakstegemine jääb väljapoole loogikat, selle aluseks võib olla nt tavad, kogemus, filosoofia, kuninga tahe jpm. Kui mingi lause tõeväärtuse kindlakstegemine ei ole konkreetses kontekstis võimalik, siis pole tegemist lausega lausearvutuse mõttes. Lausearvutuses võib lause asendada selle tõeväärtusega. Lause võib olla lihtlause või liitlause . Lausearvutuse tehteks nimetatakse niisugust lausetes kasutatavat seost, mille tõeväärtus on tema osalausete tõeväärtuste funktsioon.
Lausearvutuse tähestik: · lausemuutujate sümbolid: A, B, C, B2, ... (suurtähed); (väiketähed: p, q, ... tähistavad metamuutujaid); · loogilised konstandid: tõene ja väär ; · loogiliste tehete sümbolid: ¬, &, , , (prioriteedi langemise järjekorras); · kirjavahemärgid: (), [ ] ;
Tarvis on veel metasümboleid: · võrdusmärk ehk objektideevahelise võrduse seos: =; selle asemel võib (ja on mõnikord täpsemgi) kasutada samasuse sümbolit: ; · lausete vastastikune järeldumine ehk seos ,,siis ja ainult siis kui": · lause järeldumine teisest lausest ehk seos ,,kui ... siis ..." :
Lausearvutuse valemid saame kirjutades laused üles sümbolkujul. Laused on asendatavad oma tõeväärtusega, seega võime laused ise kõrvale jätta ja kasutada ainult valemeid.
Lausearvutuse süntaks (induktiivne definitsioon): Lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite abil: 1. Iga lausemuutuja ja loogiline konstant on lausearvutuse valem. 2. Kui p on lausearvutuse valem, siis ¬p on lausearvutuse valem. 3. Kui p ja q on lausearvutuse valemid, siis (p & q), (p q), (p q) ja (p q) on lausearvutuse valemid.
Sulgude vähendamiseks on tehtud kolm kokkulepet: 1. Tehete prioriteet kõrgeimast madalaimani on: ¬, &, , , . 2. Võrdse prioriteediga tehteid sooritatakse vasakult paremale. 3. Valemi välised sulud võib ära jätta. Tehetest parema ülevaate saamiseks võib kasutada tõeväärtustabeleid. 17_fl_i-v
Tõeväärtustabeli vasakul pool esitatakse argumentide (komponentlausete) kõikvõimalikud tõeväärtused ning paremal pool esitatakse tehete tulemused. Kuna argumentidel saab olla vaid kaks väärtust (1 või 0), on tõeväärtustabelid väikese argumentide arvu korral küllaltki lühikesed: n argumendi korral on tabelis 2n rida.
LAUSEARVUTUSE TEHETE TUTVUSTAV ÜLEVAADE (prioriteedi järjekorras)
EITUS (ik negation, denial): Lause p eitus on lause, mis on tõene, kui p on väär ja mis on väär kui p on tõene. Tunnuseks on enamasti sõnade ei, pole ja mitte kasutamine. Nt Kass ei näu. Pole tõene väita, et tiiger näub. Tähistused: ¬p ~p p not p Eituse tõeväärtustabel (kahel samaväärsel kujul): p ¬p p ¬p t v 1 0 v t 0 1 Välistatud kolmanda seadusest (Iga lause on kas tõene või väär, kolmandat võimalust ei ole), saame järeldada, et ¬¬p = p Eitus on unaarne (ühe operandiga) tehe ning lausearvutuses kõige kõrgema prioriteediga. Järgnevad teheted on kõik binaarsed (kahe operandiga).
KONJUNKTSIOON (conjunction): Lausete p ja q konjunktsiooniks nimetatakse lauset, mis on tõene parajasti siis, kui mõlemad komponentlaused on tõesed. Konjunktsioon sisaldab enamasti seost ja või ning. Nt: Kass näub ja koer haugub . Kass näub ja tiiger näub. Konjunktsiooni sisaldava lause saab alati ümber sõnastada seosele: nii ... kui ka ... Nii kass näub kui ka koer haugub. Tähistused: p & q pq p·q p and q Konjunktsiooni tõeväärtustabel (kahel samaväärsel kujul): p q p&q p q p&q t t t 1 1 1 t v v 1 0 0 v t v 0 1 0 v v v 0 0 0
DISJUNKTSIOON (disjunction): Lausete p ja q disjunktsiooniks nimetatakse lauset, mis on tõene siis ja ainult siis, kui vähemalt üks komponentlause on tõene. Disjunktsioon sisaldab seost või (mittevälistavana). Nt: Kass näub või koer haugub. Disjunktsiooni sisaldava lause saab alati ümber sõnastada kujul: Kas kass näub või tiiger näub või mõlemad korraga näuvad. Disjunktsioon on väär siis ainult siis, kui ta mõlemad osalaused on väärad. Tähistused: pq p or q Tõeväärtustabel: p q pq 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 18_fl_i-v
IMPLIKATSIOON: (implication): Lausete p ja q implikatsiooniks nimetatakse lauset, mis on väär parajasti siis, kui tema esimene komponentlause on tõene ja teine komponentlause on väär. Implikatsiooni esimest komponentlaust nimetatakse aluseks ja teist tagajärjeks. Implikatsiooni tunnuseks on seos kui ... siis ... . Nt: Kui täna on kolmapäev, siis eile oli teisipäev. Tähistused: p q pq if p then q Tõeväärtustabel: p q pq 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1
Eesti keeles võib sõnapaar kui...siis esineda ka muus tähenduses. Nt: Kui Juku õpib hoolega, siis Juhan tegeleb rohkem lõbutsemisega. (Pigem konjunktsioon.) Implikatsiooni saab avaldada teiste lausearvutuse tehete kaudu p q = ¬p q p q = ¬(p & ¬q)
EKVIVALENTS : (equivalence): Lausete p ja q ekvivalentsiks nimetatakse lauset, mis on tõene parajasti siis, kui tema mõlemad komponentlaused on ühesuguse tõeväärtusega. Ekvivalentsi-seosele viitavad väljendid siis ja ainult siis kui (siiss), parajasti siis kui . Nt Kass näub siis ja ainult siis kui koer haugub. Tähistus: p q p q p ~ q p iff q Tõeväärtustabel: p q pq 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Laused on ekvivalentsed, kui (1) nad järelduvad vastastikku teineteisest: p q = (p q) & (q p) (2) nad on samaaegselt tõesed või samaaegselt väärad: p q = (p & q) (¬p & ¬q)
**Range disjunktsioon (välistav disjunktsioon; antiekvivalents; mitteekvivalents): Lausete p ja q rangeks disjunktsiooniks ehk antiekvivalentsiks nimetatakse lauset, mis on tõene parajasti siis, kui tema mõlemad komponentlaused on erineva tõeväärtusega. Sõna või esineb ranges disjunktsioonis välistavas tähenduses. Tunnuseks võib on sõnapaar kas ... või .... Nt Sa kas maksad maksud või saad karistada . AE-d tähistatakse kas tavalise disjunktsiooni märgiga või p xor q (exclusive or) Tõeväärtustabel: p q p xor q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 19_fl_i-v
KOKKUVÕTE lausearvutuse tehetest: 1) eitus: ¬ (pole tõsi, et...). Lause p eitus ¬p on tõene p on väär. Pole tõsi, et kõik koerad on kurjad. 2) konjunktsioon: & (...ja ...). p & q on tõene p on tõene ja q on tõene. Kass näub ja koer haugub. 3) disjunktsioon: (... või...). p q on tõene vähemalt üks lausetest p ja q on tõene. Lähen täna kinno või loen lehte. 4) implikatsioon: (kui..., siis ...). p q on tõene p on väär või q on tõene. Kui vihma sajab, siis on katused märjad. 5) ekvivalents: (... siis ja ainult siis, kui...). p q on tõene p ja q tõeväärtused on ühesugused. Antud kujund on ruut siiss, kui ta on võrdkülgne ristkülik. (6) range disjunktsioon: (emb- kumb , kas ... või...). p q on tõene p ja q tõeväärtused on erinevad. Ta kas on idioot või on ta geenius . Valem on samaselt tõene (loogiliselt tõene, tautoloogia; ik logically true) ta on tõene komponentlausete tõeväärtuste kõikide kombinatsioonide korral. Nt A ¬A Valem on samaselt väär (loogiliselt väär, kontradiktsioon ; ik logically false) ta on väär komponentlausete tõeväärtuste kõikide kombinatsioonide korral. Nt A & ¬A Valem on kehtestatav (ik satisfiable) ta on tõene vähemalt ühe komponentlausete tõeväärtuste kombinatsiooni korral. (Ta võib olla kontingentne või tautoloogia, kuid mitte kontradiktsioon.) Nt: A & A Valemitest p1, p2, ..., pn järeldub (tähistatakse , ik imply) valem q, kui alati, mil lähtevalemid on tõesed, on tõene ka q. Nt: A & A & B A Liitlause tõehulk (ik set of truth) on hulk, mille elementideks on komponentlausete tõeväärtuste need kombinatsioonid, mille korral liitlause on tõene. Lausete ja nende tõehulkade vaheline seos võimaldab loogika ülesandeid lahendada hulgateooria abil ja vastupidi. Siingi on võimalik kasutad Venni diagramme. Järgnevalt põhjendame Venni diagrammide abil De Morgani reegleid ning implikatsiooni ja ekvivalentsi valemeid normaalkujul. (Vt tabelit 1 järgmiselt lk-lt, valemid nr 8, 9,10 ja 12.) ¬Q ¬P ¬Q ¬P Q Q P P
¬(P&Q) ¬P¬Q ¬(PQ) ¬P&¬Q
P&Q P&Q PQ P&¬Q P&Q ¬P&Q
¬(PQ) = ¬P&¬ Q ¬(P&Q) = ¬P¬Q
Üleval on kujutatud De Morgani reeglid (valemid 8 ja 9 tabel 1.)
ja paremal on esitatud implikatsioon normaalkujul (vasakpoolne) ning ekvivalents normaalkujul (parem- poolne, valemid 10 ja 12 tabel 1.) 20_fl_i-v
TABEL 1. Liitotsustuse struktuuri teisendamine 1. ¬¬p = p Kahekordne eitus 2. p & q = q & p Kommutatiivsus 3. p & (q & r) = (p & q) & r = p & q & r Assotsiatiivsus 4. p q = q p Kommutatiivsus 5. p (q r) = (p q) V r = p q r Assotsiatiivsus 6. p & (q r) = (p & q) (p & r) Distributiivsus 7. p (q & r) = (p q) & (p r) Distributiivsus 8. ¬(p & q) = ¬p ¬q De Morgani reegel 9. ¬(p q) = ¬p & ¬q De Morgani reegel 10. p q = ¬p q Implikatsioon normaalkujul 11. ¬(p q) = p & ¬q Tuleneb reeglitest 10 ja 9 12. p q = (p & q) (¬p &¬q) Ekvivalents normaalkujul 13. p q = (p ¬q) & (¬p q) Ekvivalents normaalkujul 14. p q = ¬q ¬p Kontrapositsioon 15. (p q) & (¬p q) = q Selgitamise reegel 16. p & (p q) = p Neeldumise reegel 17. p (p & q) = p; Neeldumise reegel 18. p & p = p Taandamise reegel 19. p p = p Taandamise reegel 20. p & 1 = p Taandamise reegel 21. p & 0 = 0 Taandamise reegel 22. p 1 = 1 Taandamise reegel 23. p 0 = p Taandamise reegel 24. p ¬p = 1 Taandamise reegel 25. p & ¬p = 0 Taandamise reegel 26. p p = 1 Taandamise reegel
ÜLESANDEID: 4.0.1. (Vt Tamme, Tammet, Prank) Tähistagu: A - Sajab vihma. B - Sajab lund. C - Sajab rahet. D - Sajab. E - On suvi. F - On talv. G - On külm. H - On soe. Kirjutada valemite abil: (a) Sajab vihma ja külmetab. (b) Sajab vihma või lund ja on külm. (c) Sajab vihma, kuid ei saja lund. (d) Kui külmetab, siis sajab lund. (e) Ei saja vihma ega lund. (f) Kui sajab lund, siis on talv. (g) Iga sadu on vihmasadu, lumesadu või rahesadu. (h) Kui sajab vihma, siis ei saja lund ja on suvi. (i) Kui on külm või sajab lund, siis ei saja vihma. (j) Suvel ei saja korraga vihma ja rahet. (k) Suvel sajab vihma või rahet, talvel lund.
4.0.2. Lugeda, kasutades samu tähistusi: (a) E F D; (b) D B & F A & E; (c) E & G & D C; (d) E & B G; (e) F & H & D A. 21_fl_i-v
NORMAALKUJUD Mitmesugustel põhjustel (nt ülesannete lahendamine, teoreemide tõestamine, etteantud omadustega valemi otsimine) on kasulik viia laused ühesuguse välise kujuga vormi. Literaal on lausemuutuja (positiivne literaal nt B) või lausemuutuja eitus (negatiivne literaal nt ¬B). Mingile lausemuutujate hulga puhul saame koostada elementaarkonjunktsiooni ehk konjunkti (ehk lihtkonjunktsiooni), milles erinevad literaalid on omavahel seotud konjunktsiooni abil. Sama hulga puhul saame koostada ka elementaardisjunktsiooni ehk disjunkti, milles erinevad literaalid on omavahel seotud disjunktsiooni abil. Valemi F disjunktiivseks normaalkujuks nimetatakse valemiga F samaväärset valemit, mis kujutad endast erinevate lihtkonjunktsioonide disjunktsiooni. Nt A1&B1& ... A2&B2& ... Valemi F konjunktiivseks normaalkujuks nimetatakse valemiga F samaväärset valemit, mis kujutad endast erinevate disjunktide konjunktsiooni. Nt (A1 B1 ...) & (A2 B2 ...) & ...
ETTEANTUD TÕEVÄÄRTUSEGA LAUSED
Disjunktiivne normaalkuju võimaldab lihtsaimal viisil esitada etteantud tõeväärtus- tabeliga lause. See koosneb tabeli tõestele ridadele vastavatest konjunktidest, mis on seotud disjunktsioonidega. Reale vastava tõese konjunktsiooni saamiseks võtame teguriteks tõesed muutujad ning väärate muutujate eitused.
Nt: Meil on teada, et kaks tundmatu kujuga lauset U ja W on kahe lausemuutuja A ja B funktsioonid. Ja lisaks on meil teada tõeväärtustabelid:
AB U AB W 1 1 0 11 1 1 0 1 10 0 0 1 0 01 0 0 0 0 00 1
Lause U disjunktiivne normaalkuju on: U = A & ¬B Lause W disjunktiivne normaalkuju on: W = A&B ¬A&¬B) Nt: Meil on teada, et tundmatu kujuga lause X on kolme lausemuutuja A, B ja C funktsioon ning selle tõeväärtustabel on järgmine:
ABC X 111 1 110 0 101 0 100 1 011 0 010 0 001 1 000 0
Lause X disjunktiivne normaalkuju on: X = A&B&C A&¬B&¬C ¬A&¬B&C 22_fl_i-v
LISAÜLESANDEID (käsitletakse loengus) 4.0.3. Üks Kreeka kuningatest pani vangi kuulsa loogiku. Kuningas teatas, et loogik hukatakse ülehomme. Homseks päevaks pakkus armuline kuningas loogikule vabanemise võimaluse. · Loogik pandi kongi, millel oli kaks ust. · Üks ustest viib tapalavale, teine vabadusse . · Kummagi ukse ees seisab üks sõdur. · Üks sõduritest valetab, teine räägib tõtt. · Sõdurid teavad infot uste ja üksteise kohta. · Loogikul on õigus esitada ainult ühele sõdurile üksainus küsimus. · Küsimus peab olem sõnastatud nii, et vastata saab üksnes "Ei" või "Jah". Leidke küsimus, mis näitab kätte vabadusse viiva ukse ning selgitage, kuidas Te sellise küsimuseni jõudsite. 4.0.4. Templis oli kolm ühesugust jumalakuju, üks neist oli Tõe, teine Vale, kolmas Diplomaatia jumal. Kujud vastasid küsimustele, kusjuures Tõe jumal rääkis alati tõtt, Vale jumal valetas alati ning Diplomaatia jumal tegi nii ja teisti. Rändur küsis vasakpoolselt kujult, kes seisab tema kõrval ja sai vastuse: "Tõe jumal". Seejärel küsis ta keskmiselt kujult kes too on. Vastus oli: "Diplomaatia jumal". Lõpuks küsis rändur parempoolselt kujult kes seisab tema kõrval. Vastuseks oli: "Vale jumal." Millises järjekorras kujud paiknesid? (See on lihtne erijuhtum) Kuidas sõnastada küsimused selleks, et kolme küsimusega saaks igal juhul kindlaks teha, millises järjekorras kujud paiknevad? VIHJE: Ülesannete 4.0.3. ja 4.0.4. lahendamisel on kasulik rakendada etteantud tõeväärtusega lause meetodit.
NÄIDISÜLESANDEID (käsitletakse loengus): 4.0.5. Tunniplaani jaoks esitasid mingi klassi ja päeva jaoks oma soovid matemaatika, keemia ja ajaloo õpetaja. Matemaatikaõpetaja palus I või II tundi, ajalooõpetaja I või III, keemiaõpetaja II või kolmandat. Kas neid soove saab korraga täita, mitu võimalust on?
Lahendus: Kolm tingimust peavad olema korraga täidetud: (M1 M2) & (A1 A3) & (K2 K3) = M1 & A1 & K2 M1 & A1 & K3 M1 & A3 & K2 M1 & A3 & K3 M2 & A1 & K2 M2 & A1 & K3 M2 & A3 & K2 M2 & A3 & K3 = M1 & A3 & K2 M2 & A1 & K3 Lahendusteks on allajoonitud variandid.
4.0.6. Kolm neiut Anne, Tiia ja Kadi käisid peol. Üks neist värvis juuksed punaseks, teine roheliseks ja kolmas siniseks . Küsimusele, mis värvi juuksed kellelgi neist olid, vastati: Anne pea oli punane, Tiia pea ei olnud punane ja Kadi pea ei olnud sinine. Üks vastus osutus tõeseks. Mis värvi olid neidude juuksed?
Lahendus: Väited olid Ap, ¬Tp, ¬Ks. Üks neist peab olema tõene, teised väärad. On kolm võimalust, tõene on kas esimene, teine või kolmas väide. Ap & ¬¬Tp & ¬¬Ks ¬Ap & ¬Tp & ¬¬Ks ¬Ap &¬¬Tp & ¬Ks = = Ap & Tp & Ks ¬Ap & ¬Tp & Ks ¬Ap & Tp & ¬Ks = ¬Ap & Tp & ¬Ks As & Tp & Kr
Esimene variant ei sobi, sest kahe neiu juuksed ei saanud korraga olla punased. Samuti ei sobi teine, sest mitte ühegi neiu pea ei ole selles variandis punane. Kolmas sobib: Tiia pea oli punane, Kadi pea ei olnud sinine ega saanud olla punane, seega oli Kadi pea roheline ning Anne pea järelikult sinine. 23_fl_i-v
4.0.7. Koostage väidete paari kohta tõeväärtustabelid ning tehke kindlaks, kas paarides olevad väited on ekvivalentsed: Anne tuleb töölt, aga tal ei ole pea uimane ; Pole tõsi, et kui Anne tuleb töölt, siis on tal pea uimane.
Tähistame: A ­ Anne tuleb töölt ; U ­ tal (Annel ) on pea uimane. (On tungivalt soovitatav tähistada jaatavad laused.)
Laused on : A & ¬U ning ¬(A U)
AU ¬U A & ¬U A U ¬(A U) 11 0 0 1 0 10 1 1 0 1 01 0 0 1 0 00 1 0 1 0
Tabeli teine ja neljas veerg on abistavad . Võrrelda tuleb kolmandat ja viiendat veergu . Kui nende kõikides ridades on ühesugused tõeväärtused, langevad liitlausete A & ¬U ning ¬(A U) kõik tõeväärtused kokku ning laused on ekvivalentsed.
Lausete tõeväärtused langevad kokku, seega on laused ekvivalentsed. Seda saab öelda ka teisendusreeglite põhjal, kuna ¬(A U) = A & ¬U (reegel 11.)
4.0.8. Näidake teisendusreeglite abil kumb lausetest on samaselt tõene, kumb samaselt väär. I) (P R) P II) ¬(P R) & R
10. reegel Lahendus: I) (P R) P = (¬P R) P = R ¬P P = R 1 = 1 Vastus: valem on samaselt tõene. II) ¬(P R) & R = ¬ (¬P R) & R = ¬¬P & ¬R & R = P & 0 = 0 Vastus: valem on samaselt väär.
Kontroll tõeväärtustabelite abil (täiendus ja selgitus , töös pole vaja teha) :
PR P R (P R) P ¬(P R) ¬(P R) & R 11 1 1 0 0 10 0 1 1 0 01 1 1 0 0 00 1 1 0 0
4.0.9. Leidke liitlause tõeväärtus komponentlausete etteantud tõeväärtuste korral: ¬(P Q) [(Q R) & P], P=1, Q=1, R=0;
Lahendus: ¬(1 1) [(1 0) & 1] = ¬(1) [1 & 1] = 01=1 24_fl_i-v
ÜLESANDEID 4.1.-4.6. 4.1. Kolme erineva aasta üliõpilase kohta püüti ära arvata, mitmendat aastat keegi neist õpib. Arvati: Anu ei õpi esimesest aastat, kuid Ingmar õpib teist aastat ning Ellu ei õpi teist aastat. Ainult üks arvamus osutus tõeseks. Mitmendat aastat keegi neist õppis? 4.2. Huviline tahtis teada, kuidas läks järjekordne vormel 1 etapp. Talle vastati: a) Massa oli kolmas, Hamilton teine; b) Alonso oli teine, Massa neljas; c) Hamilton oli esimene, Räikkönen teine. Need sõitjad saidki neli esimest kohta. Igas arvamuses oli üks väide tõene, teine väär. Leidke sõitjate järjestus. 4.3. Enne suurvõistlust ennustati: a) Alekna tuleb esimeseks; b) Kanter ei tule esimeseks; c) Kanter ei tule teiseks; d) Alekna ei tule teiseks. Ainult üks ennustaja pani täppi. Kes võitis? 4.4. Mati, Aare , Triinu ja Elli sõitsid üritusele erinevat värvi autodega: üks oli must, teine hall, kolmas kollane ning neljas punane. Kui küsiti, mis värvi autoga keegi sõitis, siis saadi vastused: Mati sõitis halli autoga, Elli mustaga. Triinu sõitis kollase autoga, Aare mustaga. Triinu sõitis punase autoga, Mati mustaga. Hiljem selgus, et igas vastuses oli üks tõene ja üks väär väide. Kes millise autoga sõitis? 4.5. Võttes kasutusele oma tähistuse viige järgnevad liitlaused sümbolkujule. Koostage tõeväärtustabel ning tehke selle abil kindlaks, kas kõnealused liitlaused on ekvivalentsed. 4.5.1. Vihma sajab või ei ole pilves . Kui ei ole pilves, siis vihma ei saja. 4.5.2. Kui metsa ei raiuta, siis laastud ei lenda. Metsa kas raiutakse või laastud ei lenda. 4.6. Näidake teisendusreeglite abil kas lause on samaselt tõene või väär. Selgitage, milliseid reegleid te kasutasite. 1. ¬(A B) (A & ¬B) 2. C ¬(D & C) D 3. ¬[ ¬P (P Q)] 4. B & A & ¬(A B) 5. A (B A)
LAHENDUSI 4.1.-4.6. 4.1. Väited olid ¬A1; I2; ¬E2. Üks neist peab olema tõene, teised väärad. On kolm võimalust, tõene on kas esimene, teine või kolmas väide. ¬A1&¬I2&¬¬E2 ¬¬A1&I2&¬¬E2 ¬¬A1&¬I2&¬E2 = ¬A1&¬I2&E2 A1&I2&E2 A1&¬I2&¬E2 = ¬A1&¬I2&E2 I1 & E2 & A3 Esimene variant sobib: Ellu õpib teist aastat, Anu ei õpi esimest ega teist (seda õpib Ellu), seega õpib Anu kolmandat ning Ingmar järelikult esimest aastat. Teine variant ei sobi (kaks tudengit on ühekaugel) ning kolmas variant ei sobi, sest keegi ei õpi teist aastat. Tõeseks osutus esimene väide: Anu ei õpi esimest aastat.
4.2. Igas väites kolmest, on vähemalt üks osaväide tõene. Lihtsaim tee on kasutada disjunktiivset normaalkuju ning kõrvaldada võimalikud võõrlahendid, kasutades ülesande algtingimusi. Kolm liitväidet peavad olema korraga tõesed: (M3 H2)&(A2 M4)&(H1 R2) = M3&A2&H1 M3&A2&R2 M3&M4&H1 M3&M4&R2 H2A2&H1 H2&A2&R2 H2&M4&H1 H2&M4&R2 = M3&A2&H1 H1 & A2 & M3 Lahenduseks on allajoonitud variant. Räikkönen oli ülesande tingimuste kohaselt neljas. 25_fl_i-v
4.3. Väited olid: A1, ¬K1 ¬K2 ¬A2. Üks neist peab olema tõene, teised väärad. Tõene on esimene, teine või kolmas väide. A1&¬¬K1&¬¬K2&¬¬A2 ¬A1&¬K1&¬¬K2&¬¬A2 ¬A1&¬¬K1&¬K2&¬¬A2 ¬A1&¬¬K1&¬¬K2&¬A2 = A1&K1&K2&A2 ¬A1&¬K1&K2&A2 ¬A1&K1&¬K2&A2 ¬A1&K1&K2&¬A2 = ¬A1&K1&¬K2&A2 K1 & A2 Lahenduseks on allajoonitud variant. Vastus: Võitis Kanter. 4.4. Kolm liitväidet peavad olema korraga tõesed: (Mh Em)&(Tk Am)&(Tp Mm) = Mh&Tk&Tp Mh&Tk&Mm Mh&Am&Tp Mh&Am&Mm Em&Tk&Tp Em&Tk&Mm Em&Am&Tp Em&Am&Mm = Mh&Am&Tp Lahenduseks on allajoonitud variant. Ülesande tingimuste põhjal pidi Elli sõitma kollase autoga. 4.5.1. Vihma sajab või ei ole pilves. Kui ei ole pilves, siis vihma ei saja. Tähistame: S ­ Vihma sajab; P ­ on pilves. Laused on seega: S ¬P ning ¬P ¬S S P ¬S ¬P S ¬P ¬P ¬S 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 Liitlausete tõeväärtused ei lange kokku, seega pole laused ekvivalentsed.
4.5.2. Kui metsa ei raiuta, siis laastud ei lenda. Metsa kas raiutakse või laastud ei lenda. Tähistame: M ­ Metsa raiutakse; L ­ lastud lendavad. Laused on seega: ¬M ¬L ning M xor ¬L M L ¬M ¬L ¬M ¬L M xor ¬L 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 Liitlausete tõeväärtused ei lange kokku, seega pole laused ekvivalentsed. 4.6.1. ¬(A B) (A & ¬B) =(10.) ¬(¬A B) (A & ¬B) = =(9.) ¬¬A & ¬ B (A & ¬B) =(1., 26.) A&¬B A&¬B = 1 4.6.2. C ¬(D & C) D =(8.) C ¬D ¬C D =(4., 24.) C ¬C ¬D D = 11 = 1 4.6.3. ¬[ ¬P (P Q)] =(10., 10.) ¬[P (¬P Q)] =(4.) ¬ [P ¬P Q] = =(24., 22.) ¬ [1 Q] = ¬ [1] = 0 4.6.4. B & A & ¬(A B) =(9.) = B & A & (¬A & ¬B) =(2., 25.) B & A & ¬A & ¬B = B & ¬B & A & ¬A = 0 & 0 = 0 4.6.5. A (B A) = (10.) = A (¬B A) =(10.) ¬A (¬B A) = ¬A ¬B A = =(4., 24., 22.) = ¬A A ¬B = 1 ¬B = 1 26_fl_i-v
LISAÜLESANNE Arst ütles oma ettekandes: "Raua hulk inimese organismis on küll tühine, kuid see raud on organismile eluliselt vajalik." Ajakirjanik andis lause sisu edasi järgnevalt: "Tühine hulk inimese organismis sisalduvat rauda on raud, mis on organismile eluliselt vajalik." Kas need laused väljendavad sama mõtet?
Arst: Raud moodustab tühise osa inimese organismist (O) & kogu see raud (R) on org. eluliselt vajalik (E).
O R; E
Ajakirjanik: Tühine osa inimorganismis sisalduvast rauast on organismile eluliselt vajalik.
O R E
4.7. Esitage ülesande väited sümbolkujul ja vastake küsimustele kasutades tõeväärtustabelit. Politsei andmetel oli maffiaperekonnas tavaks, et "katusepappi" käisid sisse kasseerimas neli inimest Sam, Mike , Peter ja Andy . Lisaks oli teada, et kui aktsioonis käis Sam, oli temaga kaasas ka Peter, ja kui Sam ei käinud, käis Mike, ja kui käis Andy, siis ei käinud Peter. Kas Mike tuleb täna aktsioonile, kui Andy on juba välja sõitnud?
Lahendus: Tingimustest saame liitlause: (SP) & (¬SM) & (A ¬P)
ASPM ¬S ¬P (SP) & (¬SM) & (A¬P) 1111 0 0 1 1 1 0 0 1110 0 0 1 1 1 0 0 1101 0 1 0 0 1 0 1 1100 0 1 0 0 1 0 1 1011 1 0 1 1 1 0 0 1010 1 0 1 0 0 0 0 1001 1 1 1 1 1 1 1 1000 1 1 1 0 0 0 1
Kõigepealt arvutame abisuurused, siis leiame implikatsioonide väärtused, teostame konjunktsiooni kahe esimese vahel ning tulemusega konjugeerime lõpuks veel kolmanda implikatsiooni tõeväärtuse. Vaid ühel juhul on liitlause tõene. Selllest on näha, et Mike tuleb aktsioonile ning Sam ja Peter ei tule. Sama ülesande lahendus teisendusreeglite abil: (S P) & (¬S M) & (A ¬P) = (¬S P) & (S M) & (¬A ¬P) = ¬S & S & ¬A ¬S & S & ¬P ¬S & M & ¬A ¬S & M & ¬P P & S & ¬A P & S & ¬P P & M & ¬A P & M & ¬P = ¬S & M & ¬P
See on ainus komponent mis saab tõene olla, siit järeldub, et Mike tuleb aktsioonile ning lisaks ka veel see, et Sam ja Peter ei tule. 27_fl_i-v
L5 PREDIKAATARVUTUSEST
Predikaatarvutuse tähestik: · predikaatsümbolid: A, B, C, P, A1, B2, A6, ... (suurtähed); · indiviidmutujad: x, y, z, x1, z2, y6, ... (tähestiku viimased tähed); · indiviidkonstantide sümbolid: a, b, c, h, a1, j6, ... (tähestiku esimesed tähed); · loogiliste tehete sümbolid: ¬, &, , , , - üldisuskvantor (kõik, iga, jne), - olemasolukvantor (mingi, mõni, leidub vähemalt üks jne), loogilise tehtena käsiteldav objektideevahelise võrduse seos: = ; · ­ kuuluvusseos (aX element a kuulub hulka X); · kirjavahemärgid: (), [ ].
Indiviidtermid on indiviidkonstantide sümbolid ja indiviidmuutujad.
Predikaatarvutuse süntaks: Atomaarne valem (e aatom ) on kas kujul L, kus L on lausemuutuja (ehk 0- kohaline predikaat), või kujul P(t1...tn) (või kujul Pt1,...,tn), kus P on n-kohaline predikaatsümbol ja t1...tn on indiviidtermid. 1. Atomaarne valem on valem. 2. Kui p on valem, siis ¬p on valem. 3. Kui p ja q on valemid, siis (p&q), (pq), (pq) ja (pq) on valemid. 4. Kui p on valem ja v on indiviidmuutuja, siis v p ja v p on valemid. 5. Valemi välised sulud võib ära jätta.
Predikaatarvutuse põhimõisteid: Lausearvutuses võetakse arvesse üksnes lause tõeväärtus. Kui tahetakse arvestada ka lause sisuga, läheb vaja predikaatarvutust, milles üldistatakse lauseid arvestades, et lauses on kaks osa: indiviidid ­ objektid, mille kohta midagi väidetakse ja predikaat ­ mis väljendab indiviidide teatud omadust või nendevahelist seost. Nt Võtame sarnased laused: 2 on algarv , 3 on algarv, 4 on algarv jne. Kõigis neis lausetes on indiviidideks naturaalarv x naturaalarvude hulgast N ning predikaadiks ­ on omadus olla algarv A. Seos ,,... on algarv" on käsitletav predikaadina, mille saab kirja panna nt kujul: A(x), kus xN. (Varem nõuti, et indiviidide hulk ei tohi olla tühi, nüüd enam mitte.) Ühe- või mitmekohane predikaat pole lause (tal puudub tõeväärtus), kuid predikaat muutub lauseks (omandab tõeväärtuse), kui kõik tühikud täidetakse konkreetsete indiviididega. Ühekohaline predikaat Px (või P(x)) on funktsioon, mis seab igale indiviidile xX vastavusse ühe kindla tõeväärtuse 1 (t) või 0 (v). (Saab koostada tõeväärtustabeli). Predikaadi Px (või P(x)) tõehulk on hulk P, mille elementideks on need ja ainult need indiviidid, mille korral predikaat muutub tõeseks lauseks. Kahekohaline predikaat Pxy (või P(x;y)) on funktsioon, mis seab igale indiviidide paarile x;y, kus xX ja yY vastavusse ühe kindla tõeväärtuse 1 (t) või 0 (v). Kahekohalise predikaadi Pxy tõehulk on hulk P, mille elementideks on need ja ainult need indiviidide paarid, mille korral predikaat muutub tõeseks lauseks. Analoogiliselt saab defineerida ka 3- või 10-kohalise predikaadi. Üldistades võime defineerida n-kohalise predikaadi, kus n on suvaline naturaalarv. Lausearvutuse lause on käsiteldav 0-kohalise predikaadina. n-kohaline predikaat P(t1...tn) on funktsioon, mis seab igale n-liikmelisele indiviidide hulgale t1, ... , tn (kus t1T1, ..., tnTn) vastavusse ühe kindla tõeväärtuse 1 (t) või 0 (v). 28_fl_i-v
Predikaat Px on samaselt tõene (ehk loogiliselt tõene) kui ta muutub tõeseks lauseks iga indiviidi xX korral. Predikaati Px on samaselt väär (ehk loogiliselt väär), kui ta muutub vääraks lauseks iga indiviidi xX korral. Predikaat Px on kehtestatav, kui ta muutub tõeseks lauseks vähemalt ühe indiviidi xX korral. Predikaadid Ax ja Bx, kus xX on samaväärsed, kui nad omandavad samade indiviidide x korral samad tõeväärtused (ehk kui nende indiviidide hulgad ja tõehulgad on võrdsed). Predikaadi Px eitus on predikaat ¬Px , mis muutub tõeseks lauseks nende ja ainult nende indiviidide korral, mille korral predikaat Px muutub vääraks lauseks. Predikaatide Px ja Qx disjunktsioon on predikaat Px Qx, mis muutub tõeseks lauseks nende ja ainult nende indiviidide korral, mille korral muutub tõeseks lauseks vähemalt üks predikaatidest Px või Qx. Predikaatide Px ja Qx konjunktsioon on predikaat Px & Qx, mis muutub tõeseks lauseks nende ja ainult nende indiviidide korral, mille korral muutub tõeseks lauseks vähemalt nii predikaat Px kui ka predikaat Qx. Predikaatide Px ja Qx implikatsioon on predikaat Px Qx, mis muutub vääraks lauseks nende ja ainult nende indiviidide korral, mille korral muutub predikaat Px tõeseks lauseks ja predikaat Qx vääraks lauseks. Predikaatide Px ja Qx ekvivalents on predikaat Px Qx, mis muutub tõeseks lauseks nende ja ainult nende indiviidide korral, mille korral predikaadid Px ja Qx omandavad samu tõeväärtusi. Predikaadist Px järeldub predikaat Qx, kui predikaat Qx muutub tõeseks vähemalt kõigi nende indiviidide xX korral, mille korral muutub tõeseks predikaat Px. Üldisuskvantori rakendamine ühekohalisele predikaadile Px, kus xX, muudab selle predikaadi lauseks: Igal x-il on omadus Px ehk Iga x korral P. Näiteks võtame predikaadi A(x), kus xN (,,x on algarv", x kuulub naturaalarvude hulka). Üldisuskvantori rakendamisel saame lause: x(xN)Ax ehk x(xN)A(x) ehk x Ax, mida võiks antud juhul lugeda: Iga naturaalarv on algarv ehk Kõik naturaalarvud on algarvud. See üldjaatav lause on väär. Olemasolukvantori rakendamine ühekohalisele predikaadile Px, kus xX, muudab selle predikaadi lauseks: Leidub selline x, millel on omadus Px ehk Leidub selline x, et Px. Näiteks rakendame olemasolukvantorit eelpooldefineeritud predikaadile A(x), kus xN. Saame lause: x(xN)Ax ehk x(xN)A(x) ehk x Ax, mida võiks antud juhul lugeda: Leidub vähemalt üks naturaalarv, mis on algarv ehk Mõned naturaalarvud on algarvud. See osajaatav lause on tõene. Muutuja esinemine predikaatarvutuse valemis on seotud, kui ta esineb kvantoris või kvantorile alluvas avalduses . Kui muutuja esinemine ei ole seotud, siis see muutuja esinemine on vaba. Muutuja on valemis seotud, kui kõik tema esinemised on valemis seotud. Vastasel juhul on muutuja vaba. Valem on kinnine, kui kõik tema muutujad on seotud. Vastasel juhul nimetatakse valemit lahtiseks. Lauseks nimetatakse predikaatarvutuse valemit, milles ei ole vabu muutujaid. Klassikalise loogika kategoorilised väited on esitatavad predikaatarvutuse keeles rakendades sobivalt defineeritud ühekohalistele predikaatidele üldisus- ja olemasolukvantorit või nende eitusi (negatsioone). Kuna järgnevates näidetes on juttu vaid ühekohalistest predikaatidest, on neis lihtsuse huvides mõnikord kasutatud lühemat väljendit ,,predikaat" väljendi ,,ühekohaline predikaat" asemel. (Siin on kasulik nõuda, et indiviidide hulk ei tohi olla tühi.) 29_fl_i-v
Üldjaatavad laused Kõik S on P (SaP) ehk Iga S on P saadakse rakendades predikaadile üldisuskvantorit või olemasolukvantori eitust predikaadi eitusele. Nt: · x (Sx Px) ­ Iga objekt on selline, et kui ta on S, siis on ta P. · ¬x (Sx & ¬Px) ­ Ei leidu sellist objekti, et ta on S ja ei ole ta P. Konkreetne näide (vt loengut loogilisest ruudust ): Kõik varesed on mustad. X olgu mustade asjade hulk, x olgu konkreetne must asi, S olgu vareseks olemise predikaat (x on vares) ja P olgu musta värvi asjaks olemise predikaat (x on must). (1) x (Sx Px) ­ Iga objekt on selline, et kui ta on vares, siis on ta must. (2) ¬x (Sx & ¬Px) ­ Ei leidu sellist objekti, et ta on vares ja ei ole must. Miks on valemites (1) ja (2) kasutatud implikatsiooni, mitte nt konjunktsiooni? Proovime implikatsiooni asemel kasutada konjunktsiooni. Saame valemi: (3) x (Sx & Px) ­ Iga objekt on selline, et ta on vares ja ta on must. Nõutud on, et indiviidide hulk ei saa osutuda tühjaks. Seega peab antud juhul Universumis olema musti asju. Juhul, kui kõik varesed osutuvad mustadeks, on valem (1) tõene. Valem (3) aga osutub tõeseks üksnes siis, kui Universumi mustade asjade hulk langeb kokku vareste hulgaga ning teisi musti asju pole, nt musti ronki, musti saapaid või musti klavereid . Seda nõuet ei saa me üldjaatavast väitest Kõik varesed on mustad küll välja lugeda. Veel vähem sobivad ülejäänud tehted (proovige järele). Veel näiteid üldjaatavate lausete kohta: · x Px ­ Kõikidel objektidel on omadus P ( kirjutatakse ka xPx). · x x ­ Kõikidel objektidel on omadused (kirjutatakse ka xx). · x (x x) ­ Iga objekti puhul kehtib, kui tal on omaduste hulk , siis on tal ka omaduste hulk . Üldeitavad laused Mitte ükski S ei ole P (SeP) saadakse rakendades üldisuskvantorit predikaadi eitusele või rakendades predikaadile olemasolukvantori eitust. Nt: · x (Sx ¬Px) ­ Iga objekt on selline, et kui ta on S, siis ei ole ta P. · ¬x (Sx & Px) ­ Ei leidu sellist objekti, et ta on S ja ta on P. · x ¬Px ­ Iga objekt on selline, et tal ei ole omadust P. · x ¬x ­ Iga objekt on selline, et tal pole omadusi . · ¬x x ­ Ei leidu objekti omadustega . Konkreetne näide (vt näidet lõigust üldjaatava väite kohta): Mitte ükski vares pole must. x (Sx ¬Px) ­ Iga objekt on selline, et kui ta on vares, siis ei ole ta must. ¬x (Sx & Px) ­ Ei leidu sellist objekti, et ta on vares ja ta on ta must. Osajaatavad laused Mõned S on P (SiP) saadakse rakendades predikaadile olemasolukvantorit või üldisuskvantori eitust predikaadi eitusele. Nt: · x (Sx & Px) ­ Leidub vähemalt üks objekt, mis on S ja mis on P. · ¬x (Sx ¬Px) ­ Ei ole alati nii, et kui objekt on S, siis ta ei ole P. · x Px ­ Leidub vähemalt üks objekt, mis on P. · x x ­ Leidub vähemalt üks objekt omadustega . Konkreetne näide (vt näidet lõigust üldjaatava väite kohta): Mõni vares on must. x (Sx & Px) ­ Leidub vähemalt üks objekt, mis on vares ja mis on must. ¬x (Sx & ¬Px) ­ Ei ole nii, et mitte ükski vares ei ole must. Osaeitavad laused Mõned S ei ole P (SoP) saadakse rakendades olemasolukvantorit predikaadi eitusele või rakendades predikaadile üldisuskvantori eitust. Nt: · x (Sx & ¬Px) ­ Leidub vähemalt üks objekt, mis on S ja mis ei ole P. · ¬x (Sx Px) ­ Ei ole alati nii, et kui objekt on S, siis on ta ka P. · x ¬Px ­ Leidub vähemalt üks objekt, mis ei ole P. · x ¬x ­ Leidub vähemalt üks objekt, millel pole omadusi . Konkreetne näide (vt näidet lõigust üldjaatava väite kohta): Mõni vares ei ole must. x (Sx & ¬Px) ­ Leidub vähemalt üks must vares. ¬x (Sx Px) ­ Ei ole nii, et kõik varesed on mustad. 30_fl_i-v
Ühemateeria väidete loogiline ruut predikaatloogika versioonis:
kontraarsus x (Sx Px) (A) (E) x (Sx ¬Px)
subordinatsioon subordinatsioon
x (Sx & Px) (I) (O) x (Sx & ¬Px)
subkontraarsus
Kvantorite duaalsusreeglid: ¬x p = x ¬p ¬x p = x ¬p x p = ¬x ¬p x p = ¬x ¬p Kvantorite vahetamise reeglid: · Vahetada tohib ühetüübilisi kvantoreid Nt: Kõik armastavad kõiki: x y Axy = y x Axy Keegi armastab kedagi: x y Axy = y x Axy · Üldjuhul ei tohi vahetada eritüübilisi kvantoreid: x y Exy y x Exy Nt: Exy = "x ema on y" Igaühel on ema: x y Exy Keegi on kõigi inimeste ema: yx Exy. · Üldisuskvantori võib tõsta eksistentsikvantori ette, saame lause mis järeldub esialgsest lausest: Nt: On keegi kes armastab kõiki: xy Axy yx Axy Järeldus: Kõikidel on keegi, kes neid armastab. Nt: On keegi keda kõik armastavad: yxAxy xyAxy Järeldus: Kõikidel on keegi, keda nad armastavad.
ÜLESANDEID (Vt Vuksi õpik, N58, ülesanded 89. jj, trükiversioonis 101. jj.) Kumb valem on õige? (Kõigepealt tehke endale selgeks tähistus.) 5.1. Ükski inimene (x) ei tunne (Txy) kõiki juriidilisi seadusi (y). x y ¬Tyx; x y ¬Tyx ; 5.2. Mõned ametnikud on toimunust informeeritud ja neile on antud käitumise instruktsioonid. x ¬( Ix & Kx); x (Ix & Kx); 5.3. Pole olemas inimest, kes ei vääriks advokaadi kaitset. x ¬(Ix ¬Kx); x (Ix Kx) või: ¬x (Ix & ¬Kx); 5.4. Igasugused juriidilised vead on võimalikud. x Px; x y; 5.5. Kõik on kas loodud või kõik on arenenud. x L x A; x Lx x Ax; 5.6. Mitte keegi peale presidendi ei kritiseeri iseennast. p Kpp; x y Kxy Kpp; 5.7. Kõik on materiaalne või ideaalne. x (Mx Ix); x y (x y); 5.8. Kõik tunnevad mõnda käitumisreeglit. x y Tyx; x Ty; 5.9. Mõned pole ühtegi seadust rikkunud. x ¬y ¬Ryx ; x y ¬Ryx; 5.10. Mõnda seadust tunnevad kõik. x Tx; x y Tyx;