mis igale arvule y Y = f ( X ) seab vastavusse arvu x X , kusjuures y = f (x), . Näide: y = pöördfunktsioon on x = log2 Üksühene funktsioon ja selle graafik . Kui iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Näide: Näide: Funktsioon, millel pole pöördfunktsiooni. y = x + arctanx 7. Funktsioon ilmutamata kujul. Funktsioon, mis on antud parameetrilisel kujul. Polaarkoordinaadid, üleminek parameetrilisele esitusele. Näited Funktsioon ilmutamata kujul. Kui võrrandi F(x,y) = 0 on x X korral üks lahend y = f(x), siis öeldakse et see võrrand määrab funktsiooni y = f(x), x X ilmutamata kujul. Näiteks: lox +log(y+2) 2 = 0 Funktsioon, mis on antud parameetrilisel kujul. Funktsiooni f muutujate x ja y väärtused saab määrata ka teatavate abimuutuja t funktsioonide x = x(t) ja y = y(t), t T väärtustena.
ekvivalentne funktsiooni diferentsiaaliga piirprotsessi ∆ x→0 . f’(x) = . D(f+g) = df + dg. d(f*g) =df*g + f*dg. d( )= dx g df∗g−f ∗dg g2 � ��=�(��−1�) ���=�(�)(�)(��)� Kui funktsioon �=�(�) on esitatud parameetrilisel kujul { X=φ(t) Y =ψ (t) (α ≤ t ≤ β), kusjuures funktsioonid �(�)�� � (�) on diferentseeruvad vahemikus (α, β) ja �(�) on lõigul [α, β] rangelt monotoonne ning �̇(�)≠0 (�∈(�,�)), siis �’ = dy y ̇ dx = x (α < t < β), täpiga tähistatakse tuletist parameetri järgi.
integraal rajades a-b ja valem on siis: f ( x)dx a 2n ( y0 + 2 y1 + 2 y2 + ... + 2 yn -1 + yn ) Pindala arvutamine ristkoordinaatides b [a;b] (joon) y=(x); y=g(x) ja (x)g(x) ning S = [ f ( x) - g ( x) ]dx Kui aga joon on antud parameetrilisel kujul: a b (joon) x=(t) ja y=(t) siis S = ydx [x=at=; x=bt= ja dx=(t)dt=xdt] siis pindala saab: S = yx dt a Polaarkoordinaadistik
b. organite valdkond c. detailide valdkond d. valmistamise valdkond Küsimus 6 Õige Hinne 9,00 / 9,00 Flag question Küsimuse tekst Milline loetelust ei kuulu juhuslike inimlike vigade põhjuste hulka? Vali üks: a. lohakus b. ebapiisav kompetentsus c. väsimus d. stress Küsimus 7 Õige Hinne 10,00 / 10,00 Flag question Küsimuse tekst Millistes tingimustes avaldub sünergia parameetrilisel kujul? Vali üks: a. tavalise lineaarselt toimiva süsteemi korral b. ainult lineariseeritud süsteemi korral c. keeruka mittelineaarse süsteemi korral d. keeruka mittelineaarse süsteemi korral kõveras ruumis Küsimus 8 Õige Hinne 9,00 / 9,00 Flag question Küsimuse tekst Kas positsioneerimissüsteemi täpsuse tõstmiseks kasutati: Vali üks: a. pidurdusjõu tõstmist b. vasturõhu suurendamist silindri väljundipooles
Näide Ülesanne Leida funktsiooni y = (sin x)x tuletis. Lahendus: Funktsioon on määratud, kui sin x > 0, seega y > 0. Logaritmime: ln y = ln(sin x) x Lihtsustame: ln y = x ln(sin x) 1 1 Diferentseerime: y ' = ln(sin x) + x cos x y sin x Avaldame y': y = y[ln(sin x) + x cot x] = (sin x) x [ln(sin x) + x cot x] 18 Parameetrilisel kujul antud funktsiooni tuletis Funktsioon y = f (x) on antud parameetriliste võrranditega: x = (t ), t T R y = (t ), Eeldused: 1) (t ), (t ) on diferentseeruvad 2) (t ) 0 d dy dt y 't Siis = = dx d x't dt Saadud valem võimaldab leida parameetrilisel kujul antud funktsiooni tuletist leidmata otsest sõltuvust x ja y vahel.
piiravate servade abil. Pinnamudelid võimaldavad nähtavaid ja Kujupinnad (2, 3, 5); Plahvatus vaade (3, 4, 5); Mudeli ajalugu peidetud servasid eristada. Võimalik eristada kõverpindasid. Ei (4, 5); Liikumiste analüüs (1-tinglikult, 2-tinglikult, 3, 4, 5). sisalda ruumi infot. Ja sellest tulenevalt ka füüsikalist infot 47. 59. Parameetriline modelleerimine mõõtmetega kujundatav Kolmandat järku pindasid ja jooni kasutatakse laialdaselt, sest geomeetria. Parameetrilisel modelleerimisel registreerib nad omavad inuitiivset tunnetust, mis lubab disaineril nendega süsteem, kuidas konstruktor ehitab mudelit ja jälgib antud eksperimenteerida. Samuti saab CAD süsteemides neid esitada elementidevahelisi geomeetrilisi suhteid. Parameetriline nii parameetrilisel kujul kui ka koonus lõigetena. Laialt on modelleermine on tehnoloogia, mille käigus CAD süsteem kasutusel auto- ja lennukitööstuses. 48
y = u (x) + v (x) + w (x); y' = u'(x) + v' (x) + w' (x) Tõestus: Argumendi väärtuse x korral y=u+v+w (argument x on jäetud funktsiooni tähistuses lühiduse mõttes kirjutamata) ja argumendi väärtuse x + x korral: y + y = (u + u) + (v + v) + (w + w), kus u , v , w , y on funktsioonide y, u, v, w muudud, mis vastavad argumendi x muudule x. Järelikult y = u + v + w, y' = lim(xx0) ehk y' = u'(x) + v' (x) + w' (x) m.o.t.t. Näide 1: 5. Tuletada parameetrilisel kujul antud funktsiooni diferentseerimise reegel. Olgu argumendi x funktsioon y antud parameetriliste võrranditega t0 t T (1) Eeldame, et funktsioonid x(t) ja y(t) on diferentseeruvad ja et funktsioonil x = x(t) on olemas pöördfunktsioon t = X (x), mis on samuti diferentseeruv. Parameetriliste võrranditega määratud funktsiooni y = f(x) võib siis vaadelda liitfunktsioonina y= y(t), t=X(x), kus t on vahelmine argument. Liitfunktsiooni diferentseerimise eeskirja järgi:
Lause2. Kui sile joon on antud nii: =() (), siis tema pikkus s on arvutatav nii: 2.18. Pöördkehade ruumalate arvutamine i-nda osakaare pöörlemisel tekkinud püstsilinder: Saame lähisväärtuse meid huvitava pöördkeha ruumala jaoks: Lause1. Kui meil on lõigul (a,b) antud pidev funktsioon y=f(x), mis on pidev sellel lõigul, siis kaare pöörlemisel ümber x-telje tekkiva pöördkeha ruumala avaldub selliselt: Kui aga sirge võrrand on antud meile parameetrilisel kujul, näitkes nii: Külgpindala Tingimustel, et joon on sile ja pidev lõigul [a,b] saame integraalsumma:
y = f(x) + g(x) y' = f' (x) + g' (x) f ( x + x ) + g ( x + x ) - f ( x) - g ( x) y ' = lim x 0 x f ( x + x ) - f ( x) g ( x + x) - g ( x) y ' = lim + x 0 x x y' = f' (x) + g' (x) x = x (t ) 5. tuletada parameetrilisel kujul antud funktsiooni y = y (t ) diferentseerimise reegel. -1 Eeldame,et x = x(t ) t = x ( x) ning y (t ) on liitfunktsioon . 1 y' y y ' x = y 't *t ' x = y 't * = t = . t'x t'x t 6. Tuletada funktsiooni y = x , a R diferentseerimise valem kasutades a logaritmilise diferentseerimise võtet.
diferentsiaalist 𝑑𝑛 𝑦 = 𝑑(𝑑𝑛−1 𝑦) Saab näidata, et 𝑑𝑛 𝑦 = 𝑓 (𝑛) (𝑥)(𝑑𝑥)𝑛 4. Parameetriliselt antud funktsiooni tuletis. Korgemat järku tuletised. 𝑋 = 𝜑(𝑡) Kui funktsioon 𝑦 = 𝑓(𝑥) on esitatud parameetrilisel kujul { (𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽), kusjuures 𝑌 = 𝜓(𝑡) funktsioonid 𝜑(𝑡)𝑗𝑎 𝜓(𝑡) on diferentseeruvad vahemikus (α, β) ja 𝜑(𝑡) on lõigul [α, β] rangelt 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑦̇ 𝜓̇(𝑡)
Seega . Diferentseerides leiame . Et iseärases punktis ja , siis saame . See annabki süsteemi (9.6). 10. Tuletise suhtes ilmutamata kujul olev võrrand Vaatleme üldist esimest järku võrrandi erijuhte, kus y' ei avaldu x ja y kaudu. (10.1) (10.1)' Sel juhul asendame y' uue funktsiooniga ja diferentseerime võrrandit x suhtes. Vaadeldes x-i ja p-d y funktsioonina, seejuures: Saame y-ki suhtes lineaarne Saame üldlahendi parameetrilisel kujul: (10.2) (10.1)' teisendub eralduvate muutujatega võrrandiks. Siit Teine variant võrramdist, mida saame lahendada on: (10.3) (10.3)' Sel juhul asendame . Diferentseerime mõlemad pooled x-suhtes, leiame Kus üldlahend parameetrilisel kujul (10.4) (10.3)' saame eralduvate muutujatega võrrandi: Esimest järku võrrandi lahendi olemasolu teoreem ja ühesuse teoreem. Teoreem 10.1 Vaatleme võrrandit, kus (10.5)
Vastavalt nõutele valitakse sobiv struktuur Hübriid esitus ei dubleeri mudeli infot CSG esitus B-rep'st on palju lihtsam kui vastupidi 21.CAD mudelite iseloomustus (esitada tabeli kujul) 22.Mis on parameetriline modelleerimine ja milleks seda kasutatakse? Parameetrilise modelleerimise tehnoloogia, see on mitte koordinaatidega juhitav geomeetria nagu otsese modelleerimise puhul, vaid mõõtmetega kujundatav geomeetria. Parameetrilisel modelleerimisel registreerib süsteem, kuidas konstruktor ehitab mudelit ja jälgib antud elementidevahelisi geomeetrilisi suhteid. Teiste sõnadega, see on tehnoloogia, mille käigus CAD süsteem registreerib projekteeritava detaili n.ö. parameetrilise ajaloo. See ajalugu sisaldab kirjeldust, kuidas on mudel konstrueeritud ja jälgib elementidevahelisi geomeetrilisi suhteid. Teiste sõnadega parameetriline ajalugu ei hõlma mitte ainult geomeetria loomist vaid hõlmab ka selle mõtte.
N1. Leiame funktsiooni y=sin2x tuletise. Olgu u=sinx ja y=u2. Seega Näitan, et teatud eeldustel peab paika seos N2. Leian tuletise: Lause 2. Kui lõigul [a, b] pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y=f(x) on kohal x nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil leidub tuletis kohal f(x), kusjuures Ehk Tõestus. Leian funktsiooni N. Leian mingi funktsiooni pöördfunktsioonist nt. Lause 3. Kui funktsioon y=f(x) on esitatud parameetrilisel kujul Kusjuures on diferentseeruvad vahemikus ja on lõigul rangelt monotoonne ning Tõestus. Leian tuletise N. näiteks lahenda see sama asi kus x=asin(t) ja y=bcos(t) (o>t>2pii) vastuseks on ellips 0,pii korral on lõpmatu tuletis,st seal on puutuja paralleelne y-teljega. NB! Kui ilmutamata kujul funktsioon on diferentseeruv punktis x ja esitatud nt kujul F(x,(y))=0 , siis saab võtta tuletist argumendi järgi nii: N. Lause 4. Kui siis Tõestus. Lause eeldusel saame
KT2 Pöördfunktsiooni tuletis on antud funktiooni tuletise pöördväärtus. Kui l~oigul [a; b] pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y =f(x) leidub kohal a nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil x = g(y) leidub tuletis kohal b = f(a), kusjuures g '(b)=1/f ' (a) Param kujul f tuletis: kui f y=f(x) on antud parameetrilisel kujul x(t)=(t); y(t)=(t) , t=[a,b], kusjuures f-id (t) ja (t) on diferentseeruvad vahemikus (a,b) ja (t) on rangelt monotoonne lõigul[a,b] ning (t)0 (t=(a,b), siis y '=(t)/(t) F f(x) n-järku tuletiseks nim f-i f(x) (n-1)-järku tuletise tuletits, st fn(x)=(fn-1(x)) ' F-i y=f(x) n-järku diferentsiaaliks nim diferentsiaali selle f-i n-1 järku diferentsiaalist dny=d(dn-1y)
Elementaarfunktsiooni definitsioon. Funktsioon, mis ei ole elementaarfunktsioon (tooge näide). Põhilised elementaarfunktsioonid ja nende graafikud. Graafikute teisendused. Elementaarfunktsiooni definitsioon. Funktsioone, mis saadakse põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehte ja liitfunktsiooni moodustamise teel, nimetatakse elementaarfunktsioonideks. Funktsioon, mis ei ole elementaarfunktsioon. 7. Funktsioon ilmutamata kujul. Funktsioon, mis on antud parameetrilisel kujul. Polaarkoordinaadid, üleminek parameetrilisele esitusele. Näited Funktsioon ilmutamata kujul. Kui võrrandi F(x,y) = 0 on x X korral üks lahend y = f(x), siis öeldakse et see võrrand määrab funktsiooni y = f(x), x X ilmutamata kujul. Näiteks: lox +log(y+2) 2 = 0 Funktsioon, mis on antud parameetrilisel kujul. Funktsiooni f muutujate x ja y väärtused saab määrata ka teatavate abimuutuja t funktsioonide x = x(t) ja y = y(t), t T väärtustena.
1. Geodeetiliste võrkude tasandamise põhimõte ja ülesanne - ptk. 4.1 Igat suurust mõdetakse mitu korda, leitakse antud mõõtmiste kesmised väärtused ja hinnang nende täpsusele. 2. Tasandusmeetodi valik - ptk. 4.3.3 Tuntakse lihtsustatud ja rangeid tasandamismeetodeid, Kohalike ja mõõtmisvõrkude tasandamiseks kasutatakse harilikult lihtsustatud tasandamist. Käikudest ja polügoonidest moodutatud võrkde puhul on kas popovi või parameetrilisel meetodil Triangulatsioonivõrkude puhul kasutatakse lihtsustatud tasandamist Geodeetiliste põhivõrkude rangel tasandamisel on enam levinud kaks põhilist meetodit parameetriline ja korrelaatidega tasandamine Matemaatilised tingimused - ptk. 4.2 NB! Põhimõte Geodeetilises võrgus tehtud iga lisamõõtmine võimaldab koostada ühe sõltumatu tingimusvõrrandi. 3. Lihtsustatud tasandamine - ptk. 5.1
pöördfunktsioonil x=f (y) leidub tuletis kohal f(x), kusjuures dx 1 1 dy = dy dx 7. Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletis: Kui funktsioon y=f(x) on esitatud parameetriliselt kusjuures funktsioonid φ(t) ja Ψ(t) on diferentseeruvad vahemikus (α,β) ja φ(t) on lõigul [α,β] rangelt monotoonne ning φ(t)≠0 (t∈(α,β)) , siis y´ = ψ´(t) φ´(t) 8
funktsioonide väärtused y-teljele. 20. Mis on liitfunktsioon? Esitada 2 näidet! Liitfunktsioon on funktsioon, mille sees esineb kaks seotud funktsiooni. Näiteks: On 2 f-ni: ja Leida liitf-nid ja - f(x)-s on x asendatud g(x)-ga - g(x)-s on x asendatud f(x)-ga 21. Esitage 2 näidet funktsionaalse sõltuvuse esituse kohta parameetrilisel kujul! Funktsionaalne sõltuvus on antud parameetrilisel kujul võrdustega , , kus Koostada selle f-ni graafik 22. Esitage 2 näidet funktsionaalse sõltuvuse esituse kohta polaarkoordinaatides! , . Suurusi p ja võib vaadelda punkti koordinaatidena, mida nim. polaarkoordinaatideks. OSA 2 1. Mis on ilmutamata kujul antud funktsioon? Esitage 2 näidet! Öeldakse, et funktsionaalne sõltuvus on esitatud võrrandiga ilmutamata kujul, kui
elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise teel. f. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. f.i. Polünoom kuulub elementaarfunktsioonide hulka ja on defineeritud avalisega , f.ii. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetriliselt antud joone mõiste. Parameetrilisel kujul antud funktsioon. Hüperboolsete trigonomeetrilistefunktsioonide ja areafunktsioonide definitsioonid (määramispiirkondi,väärtuste hulki ja graafikuid ei küsi). a. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid a.i. Funktsiooni y=f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Y=f(x) a.ii
Põhilised elementaarfunktsioonid on nt: jne. · Polünoomfunktsioon n astme polünoom on defineeritud avaldisega · Ratsionaalfunktsioon - on kahe polünoomi jagatis. 6. · Ilmutatud funktsioon Funktsiooni ilmutatud kujuks on võrrad mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x ,kuid mitte y. · Ilmutamata funktsioon Funktsiooni ilmutamata kujuks on võrrad, mis sisaldab x ja y läbisegi · Parameetrilisel kujul antud joon Olgu antud lõigul kaks funktsiooni ja . Kirjutame nad üles süsteemina: Süsteem saab iga korral ühe kindla arvupaari, ehk tasandil punkti ristkordinaatidega . Üldiselt vastavad muutujale t ka erinevad tasandi punktid, kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu, siis t-le vastav punkt kujundab tasandile vastava joone. Muutujat t nimetame joone parameetriks.
b kujul antud joone võrrand: AB f ( x; y)ds = ( x; y( x)) 1 + y 2 dx a . Kui on parameetrilisel kujul siis: tk AB:x=x(t), y=y(t) ja t sk = t k -1 x 2 + y 2 dt , kui x t , x k k k-1 tk-1 ja võrrand on: f ( x; y )ds = f [ x(t ); y (t )] x 2 + y 2 dt
Funktsiooni esitusviise Funktsiooni esitus tabelina x x1 x2 ....... xn y y1 y2 ...... yn Funktsiooni graafiline esitusviis y = f (x) 0 x 3 Funktsiooni analüütiline esitusviis Ilmutatud kujul y = f (x), Näide: y = ln (x2 + 1). Ilmutamata kujul f (x, y) = 0 Näide: x2 + y2 = 25. Parameetrilisel kujul x = x(t ) , t T R y = y (t ) Näide: x = 5 cos(t ) , t [0; 2 ] y = 5 sin(t ) 4 Paaris- ja paaritud funktsioonid Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f (-x) = f (x) ja paarituks funktsiooniks, kui f (-x) = -f (x)
abil. Voxel Volumetric Pixel, kolmemõõtmeline väikseim digitaalpildielement (nagu piksel) Hübriidmudel CSG ja B-Rep segu. Modernsetes CAD süsteemides on arvutisiselt kaks andmestruktuuri üheaegselt võimalikud. Vastavalt nõuetele valitakse sobiv struktuur. Hübriidesitlus ei dubleeri mudeli infot. Peamine teema on mõlema esitusviisi haldamine. CSG esituse loomine B-Rep-ist on palju lihtsam kui vastupidi Parameetriline modelleerimine möötmetega kujundatav geomeetria. Parameetrilisel modelleerimisel registreerib süsteem, kuidas konstruktor ehitab mudelit ja jälgib antud elementidevahelisi geomeetrilisi suhteid. Parameetriline modelleerimine on tehnoloogia, mille käigus CAD süsteem registreeriv projekteeritava detaili nö. Parameetilise ajaloo CAD süsteemis kasutatakse sidemeid selleks et teha seoseid geomeetria ja möötude vahel. Sedasi geomeetria muutus põhjustab möödu muutuse ning vastupidi.
oleks mingi funktsiooni täisdiferentsiaal, on vajalik ja piisav, et fy=gx. Seetõttu kehtib väide, et joonintegraal J = ʃLfdx + gdy on sõltumatu integreerimisteest siis, kui selles piirkonnas D integraalialune avaldis fdx+gdy on mingi funktsiooni täisdiferentsiaal. Praegu vaatlesime tasapinnalist kujundit, kuid sama kehtib ka ruumilise kujundi jaoks 14. I liiki ja II liiki joonintegraali rakendusi: joone pikkus, mass ja masskese, silinderpinna pindala, parameetrilisel kujul antud tasandilise kujundi pindala, muutuva jõu poolt tehtud töö näiteid Joone pikkus: kui xyz-ruumis antud joon AB on sirgestuv, siis avaldub tema pikkus sAB valemiga sAB =ʃABds. Silinderpinna pindala: I joonintegraali geomeetriline tõlgendus: sABCD =ʃABf(x,y)ds Joone mass: Kui joone AB joontihedus p=p(x,y,z) on pidev funktsioon, siis joone mass mAB=ʃABp(x,y,z)ds Joone masskese: C(xC,yC,zC) xC=(1/mAB)ʃABxp(x,y,z)ds yC=(1/mAB)ʃAByp(x,y,z)ds zC=(1/mAB)ʃABzp(x,y,z)ds
= liitfunktsiooni. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Näiteks y = x2-x. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x,y)=0, kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Näiteks x2-siny+y=0. Parameetriliselt antud joone mõiste. Parameetrilisel kujul antud funktsioon. 7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Olgu x ärjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist
Parameetrilisel kujul antud funktsioon Funktsiooni piirväärtuse definitsiooni laienemine juhtudele a = ± ja b = 1.Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda 4.Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Vaatleme funktsiooni y=f(x). Toome lisaks muutujale x ±
.. 16 21. Eeskiri pöördfunktsiooni tuletise leidmiseks. Funktsioonide y = arcsin x , y = arccos x, y = arctan x, y = arc cot x tuletiste leidmine. .......................................................................................16 22. Kirjeldada logaritmilise diferentseerimise võtet. Millistel juhtudel seda võtet rakendatakse? Tuua näide. .................................................................................................................................... 17 23. Eeskiri parameetrilisel kujul antud funktsiooni diferentseerimiseks. ......................................18 24. Eeskiri ilmutamata kujul antud funktsiooni diferentseerimiseks. ............................................18 25. Funktsiooni diferentsiaal, diferentsiaali omadused, tuua näiteid diferentsiaali kasutamisest ligikaudsel arvutamsel. .................................................................................................................. 19 26. Funktsiooni kõrgemat järku tuletis. ................
Kirjutame need funktsioonid üles süsteemina x = (t) y = (t), t [T1,T2]. Süsteem määrab iga t [T1,T2] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x,y) = ((t),(t)). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1,T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. Võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. Parameetrilisel kujul antud funktsioon. Toome lisaks muutujatele x ja y sisse ka kolmanda muutuja t (nn parameetri). Olgu muutuja x parameetri t funktsioon, st x = (t). Siis saab ka muutuja y avaldada parameetri t kaudu. Seega, tähistades = f saame võrrandi y = (t). Võtame need kaks võrrandit kokku ühte süsteemi. Kui parameetri t muutumispiirkond on lõik [T1,T2], näeb see süsteem välja järgmine: x = (t) y = (t), t [T1,T2] Neid nimetatakse funktsiooni y = f(x) parameetrilisteks võrranditeks
sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Näiteks y=x2x. ii) Funktsiooni y=f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võttand F(x,y)=0 · Parameetriliselt antud joone mõiste Olgu lõigul [T1,T2] antud kaks funktsiooni. kirjutame need süsteemina. Neid võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. · Parameetrilisel kujul antud funktsioon Funktsioon y=f(x), toome sisse kolmanda muutuja t. Olgu muutuja x parameetri t funktsioon: . Avaldame ka muutjua y parameetri t kaudu. Seega y Paneme need kokku ühte süsteemi. Neid võrrandeid nimetatakse funktsiooni y=f(x) parameetrilisteks võrranditeks. Hüperboolsete trigonomeetriliste funktsioonide ja areafunktsioonide definitsioonid hüperboolne siinus, hüperboolne kosinus,
sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Näiteks y=x2x. ii) Funktsiooni y=f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võttand F(x,y)=0 · Parameetriliselt antud joone mõiste Olgu lõigul [T1,T2] antud kaks funktsiooni. kirjutame need süsteemina. Neid võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. · Parameetrilisel kujul antud funktsioon Funktsioon y=f(x), toome sisse kolmanda muutuja t. Olgu muutuja x parameetri t funktsioon: . Avaldame ka muutjua y parameetri t kaudu. Seega y Paneme need kokku ühte süsteemi. Neid võrrandeid nimetatakse funktsiooni y=f(x) parameetrilisteks võrranditeks. Hüperboolsete trigonomeetriliste funktsioonide ja areafunktsioonide definitsioonid hüperboolne siinus, hüperboolne kosinus,
Matemaatiline analüüs I Vähendatud programm I KT Kindlasti peab teadma : 7. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon - Olgu x järjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a - , a + ), st rahuldavad võrratust |x - a| < . Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse x a või lim x = a . Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid · Muutuv suurus x läheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku (a - , a]. Sellisel juhul kirjutatakse x a-. · Muutuv suurus x läheneb paremalt a...
Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. Võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. . Järelikult on vaadeldava joone võrrand x ja y kaudu esitatuna järgmine: Seda joont nimetatakse ellipsiks. Arve a ja b nimetatakse ellipsi pooltelgedeks. Parameetrilisel kujul antud funktsioon: Vaatleme funktsiooni y = f(x). Toome lisaks muutujatele x ja y sisse ka kolmanda muutuja t (nn parameetri). Olgu muutuja x parameetri t funktsioon, st x = (t). Siis saab ka muutuja y avaldada parameetri t kaudu. Tõepoolest: kasutades muutuja x valemit arvutame y = f(x) = f[(t)] = (f )(t). Seega, tähistades = f saame võrrandi y = (t). Võtame need kaks võrrandit kokku ühte süsteemi. Kui parameetri t
ja y=(t), kirjutame nad üles süsteemina. Süsteem määrab iga t [T 1,T2] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x,y) = ((t),(t)). Üldiselt vastavad muutuja t väärtused erinevatele väärtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1,T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. Neid võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. Parameetrilisel kujul antud funktsioon Vaatleme funktsiooni y = f(x), võtame lisaks ka kolmanda muutuja t ehk nn parameetri. Olgu muutuja x parameetri t funktsioon, st x = (t). Siis saab ka muutuja y avaldada parameetri t kaudu. y = f(x) = f[(t)] = (f)(t), Seega tähistades = f saame võrrandi y = (t). Võttes kokku need kaks võrrandit saame süsteemi. Kui parameetri t muutumispiirkond on lõik [T 1,T2], näeb süsteem välja
pöördfunktsioonil x=f (y) leidub tuletis kohal f(x), kusjuures Tõestus: Leiame funktsiooni f -1(y) tuletise kohal f(x): Logaritmiline Lause: Kui f(x)D(X) ja f(x)>0 (xX), siis Tõestus: Lause eeldustel saame millest järeldub lause väide . 4. Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis Kui funktsioon on esitatud parameetrilisel kujul , kusjuures funktsioonid on diferentseeruvad vahemikus (, ) ja on lõigul [, ] rangelt monotoonne ning , siis , täpiga tähistatakse tuletist parameetri järgi. Tõestus: 5. Kõrgemat järku tuletised. Leibnizi valemi tõestus. Definitsioon
seoseid ebaolulistest eristada? Vali üks: a. maatriksit pole võimalik matemaatiliselt töödelda b. maatriksis moodustatud siseplokid lähevad liiga suureks c. võib saada vale tegevuste järjekorra d. maatriks kukub kokku Küsimus 9 Õige Hinne 10,00 / 10,00 Flag question Küsimuse tekst Millistes tingimustes avaldub sünergia parameetrilisel kujul? Vali üks: a. tavalise lineaarselt toimiva süsteemi korral b. ainult lineariseeritud süsteemi korral c. keeruka mittelineaarse süsteemi korral d. keeruka mittelineaarse süsteemi korral kõveras ruumis Küsimus 10 Õige Hinne 9,00 / 9,00 Flag question Küsimuse tekst Mitu tarbijaküsitlust annab rahuldava tulemuse? Vali üks: a. 12 b. 30 c. 60 d. 100 Küsimus 11 Õige Hinne 9,00 / 9,00
y'' (x x0)2 + ... +
0 (x x0)n-1 +
2! (n-1) !
1 xx0 (x s)n-1f(s)ds. ***II Võrrand on kujul F(x, y(n)) = 0. =>x=g(y(n)) ***Võrrandi
(n-1) !
üldlahendi esitame parameetrilisel kujul {x = (p)=>dx= '(p)dp {y(n) = (p)=>dy(n-1)= (p)dx **Saame: dy(n-1)= (p)*
'(p)dp |S ** y(n-1)= (p)* '(p)dp+C1 **dy(n-2)=[ (p)* '(p)dp+C1]dx ** dy(n-2)=[ (p)* '(p)dp+C1]* '(p)dp |S
jne n-korda. ***III Võrrand kujul F(x, y(k), y(k+1) , ..., y(n)) = 0. kz; 1k
funktsioonid üles süsteemina: , t [T1, T2] . Süsteem (1.6) määrab iga t [T1, T2] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x, y) = ((t), (t)). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. Võrrandeid (1.6) nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. Parameetrilisel kujul antud funktsioon. Vaatleme funktsiooni y = f(x). Toome lisaks muutujatele x ja y sisse ka kolmanda muutuja t (nn parameetri). Olgu muutuja x parameetri t funktsioon, st x = (t). Siis saab ka muutuja y avaldada parameetri t kaudu. Tõepoolest: kasutades muutuja x valemit arvutame y = f(x) = f[(t)] = (f )(t). Seega, tähistades = f saame võrrandi y = (t). Võtame need kaks võrrandit kokku ühte süsteemi. Kui parameetri t
funktsiooni väärtus. Funktsiooni mõiste ja esitusviisid Kui igale muutuja x (argumendi) väärtusele mingisugusest piirkonnast X on vastavusse seatud üks muutuja y(funktsiooni) kindel väärtus piirkonnast Y, siis muutujat y nimetatakse muutuja x funktsiooniks. Funktsioone saab esitada: · tabelina x y 1 2 2 4 3 6 · graafikuna · analüütiliselt 1. ilmutatud kujul 2. ilmutamata kujul 3. funktsiooni parameetrilisel esitusviisil 6.Eriomadustega funktsioonid: ühesed, mitmesed, paaris- ja paaritud funktsioonid. Paarisfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust iga x puhul maaramispiirkonnas X f(x)=f(-x) Paarisfunktsiooni graafik on summeetriline y- telje suhtes, naiteks y=x2 Paarituks funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust iga x puhul maaramispiirkonnas X f(-x)=-f(x) Paarisfunktsiooni graafik on summeetriline 0 punkti suhtes
4. Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis Definitsioon:Funktsiooni y = f (x) nimetatakse rangelt kahanevaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv δ, et suvaliste x1 ϵ (x - δ; x) ja x2 ϵ (x; x + δ) korral f (x1) > f (x) > f (x2). Kui funktsioon y=f(x) on esitatud parameetrilisel kujul , kusjuures funktsioonid Lause: Kui funktsioon y = f (x) on rangelt kahanev punktis x, siis leidub selline δ > 0, et 0 <|∆x|<δ ∆y/∆x <0
Antud funktsiooni f (x) tuletise leidmist nimetatakse selle funktsiooni diferentseerimiseks. 53.Seos funktsiooni pidevuse ja diferentseeruvuse vahel 54.Konstandi, summa, korrutise ja jagatise tuletis Konstandi tuletis on null C =0 55.Liitfunktsiooni tuletis 56.Pöördfunktsiooni tuletis 57.Ilmutamata kujul oleva funktsiooni diferentseerimine 58.Kirjeldage logaritmilise diferentseerimise võtet. Millistel juhtudel seda võtet rakendatakse? 59.Parameetrilisel kujul antud funktsiooni tuletis 60.Mida nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks? Korrutist f'(x)x nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ja tähistatakse sümboliga dy või df(x). 61.Funktsiooni tuletis funktsiooni diferentsiaali ja argumendi diferentsiaali kaudu. Diferentsiaal ehk tuletis Me same kirjutada valem funktsiooni diferentseerimiseks nagu Selliselt me same, et ... see valem tähendab, et tuletis
, t ∈ [T1, T2] . Süsteem (1.6) määrab iga t ∈ [T1, T2] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x, y) = (φ(t), ψ(t)). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. Võrrandeid (1.6) nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. Parameetrilisel kujul antud funktsioon. Vaatleme funktsiooni y = f(x). Toome lisaks muutujatele x ja y sisse ka kolmanda muutuja t (nn parameetri). Olgu muutuja x parameetri t funktsioon, st x = φ(t). Siis saab ka muutuja y avaldada parameetri t kaudu. Tõepoolest: kasutades muutuja x valemit arvutame y = f(x) = f[φ(t)] = (f ◦ φ)(t). Seega, tähistades ψ = f ◦ φ saame võrrandi y = ψ(t). Võtame need kaks võrrandit kokku ühte süsteemi. Kui parameetri t
u u x v v x u f ( x ) u v v u u = v v2 = v x v2 f ( x) dx = ln f ( x) + c Parameetrilisel kujul antud funktsiooni tuletis, kus x = (t) ja y = (t) yt ( y x ) t y txt y t xt y x = ja y x = y x = xt xt ( xt ) 3 Nr Diferentseerimise valemid Diferentseerimise valemid Integreerimise valemid Lihtfunktsioon Liitfunktsioon
y = y0 + y'0 (x – x0) + (x – x0)2 + ... + 2! y (n−1) 0 1 (x – x0)n-1 + ∫xx0 (x – s)n-1f(s)ds. (n−1)! (n−1)! II Võrrand on kujul F(x, y(n)) = 0. Võrrandi üldlahendi esitame parameetrilisel kujul x = φ(t) y = Φ(t, C1, C2, ..., Cn). III Võrrand kujul F(x, y(k), y(k+1), ..., y(n)) = 0. Kasutame uut otsitavat funktsiooni z = y(k). IV Vaatleme võrrandit kujul F(y, y', ..., y(n)) = 0 (3) Muutujavahetus y' = z, z = z(y). Oma esialgse võrrandi saame teisendada (n – 1)-järku võrrandiks
u u x v v x u f ( x ) u v v u u = v v2 = v x v2 f ( x) dx = ln f ( x) + c Parameetrilisel kujul antud funktsiooni tuletis, kus x = (t) ja y = (t) yt ( y x ) t y txt y t xt y x = ja y x = y x = xt xt ( xt ) 3 Nr Diferentseerimise valemid Diferentseerimise valemid Integreerimise valemid Lihtfunktsioon Liitfunktsioon
sooritada). Graafiku abil (saadud arvud kantakse xy-teljestikku, punktid ühendatakse ja saadaksegi funktsiooni graafik). Tabeli abil (tabeli abil esitatakse funktsioon siis, kui kas määramispiirkond või muutumispiirkond on lõplikud, sobiv ka juhul, kui on tegemist lõpliku arvu katsete või vaatluse tulemustega). Analüütiliselt: 1) ilmutatud kujul (y=2x), 2) ilmutamata kujul (2x-y=0), 3) funktsiooni parameetrilisel esitusviisil (x=2t, y=t süsteemis) 4. Mis on funktsiooni graafik? Funktsiooni f graafik on kõikide järjestatud paaride (x, f(x)) hulk, kus x on määramispiirkonna X element. 5. Mis on pöördfunktsioon? Pöördfunktsioon on funktsioon, mis seab antud funktsiooni y=f(x) muutumispiirkonna igale väärtusele y vastavusse kõik need väärtused x funktsiooni määramispiirkonnast, mille korral y=f(x). x= f-1(y) 6.Mis on püsikulu, muutuvkulu, kogukulu, keskmine kulu
sisaldavad liikmed selles võrrandis on liitfunktsioonid, millesisemiseks funktsiooniks on y = f(x). Teoreem 3.2. Olgu uksuhese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon x = g(y). Siis kehtib valem g[f(x)] = Tõestus. Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega f(x) = Pöördfunktsiooni x = g(y) argument on y ja sõltuv muutuja x. Järelikult g(y) = Kasutades neid valemeid arvutame: g[f(x)] = g(y) = = = Teoreem 3.3. Olgu funktsioon y = f(x) antud parameetrilisel kujul võrranditega x = (t) y = (t). Siis kehtib valem f(x) = Tõestus. Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega f(x) = Funktsiooni x = (t) argument on t ja sõltuv muutuja x. JÄrelikult (t) = Analoogiliselt saame funktsiooni y = (t), mille argument on t ja sõltuv muutuja y, tuletise jaoks seose (t) = . Kasutades neid valemeid arvutame: f(x) = = = 22. Joone puutuja. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik)
n- astme polünoom on defineeritud avaldisega P(x) = a0 + a1x + a2x(2) + . . . + an-1x(n-1) + anx(n) , kus a0, a1, a2, . . . , an-1, an on konstandid ja an = 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis R(x) =(a0 + a1x + a2x(2) + . . . + an-1x(n-1) + anx(n)) / (b0 + b1x + b2x(2) + . . . + bm-1x(m-1) + bmx(m)) ( ) zna4it v stepeni 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetriliselt antud joone mõiste. Parameetrilisel kujul antud funktsioon. Hüperboolsete trigonomeetriliste funktsioonide ja areafunktsioonide definitsioonid (määramispiirkondi, väärtuste hulki ja graafikuid ei küsi). Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi. Parameetriliselt antud joon
a Näide 13. Leida lõigu y 3 x 2, x 0, 2 pikkus. 2 s 1 3 dx 4 0 Näide 14. Kõvera y sin x kaare pikkus lõigul 0, 2 on 2 2 s 1 cos x dx 7. 64 0 2.2 Kui parameetrilisel kujul antud joonel x xt t , y yt on olemas pidevad tuletised x t ja y t , t , , siis 2 2 s x t y t dt Näide 15. Leiame ringjoone pikkuse, kui tema raadius on R. Ringjoone parameetrilised võrrandid on
Teoreem 1 Funktsioonil y=f(x) on diferentsiaal parajasti siis, kui tal on lõplik tuletis 9. Definitsioon1 Ühe muutuja funktsioon on esitatud 10. Definitsioon 1 Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks vaadeldavas punktis ning seejuures A(x)= y'(x) parameetrilisel kujul, kui nii argument x kui ka funktsiooni nimetatakse tema muudu lineaarset osa. Tõestus: 1) Tarvilikkus: Eksisteerigu dy väärtus y on antud parameetri (t) funktsioonis. Kui funktsioon muut on esitatud kujul
analoogsed kahekordse integraali vastavate omadustega. Omadus (keskväärtusteoreem): Kui funktsioon f on pidev kinnises tõkestatud sidusas piirkonnas E , siis leidub punkt Q E nii, et f (P )dV = f (Q )V (E ) . E 2. Kolmekordse integraali arvutamine Olgu ruumiline pind antud parameetrilisel kujul x = x(u , v ) y = y (u , v ) z = z (u , v ) (u , v ) , (*) kus on mingi piirkond uv-tasandil. Def. Pinda nimetatakse siledaks, kui 1. funktsioonid (*) ja nende osatuletised on pidevad piirkonnas ; 2. piirkonna igas punktis A 2 + B 2 + C 2 0 ( A, B, C pole korraga nullid), yu zu x zu x yu kus A = , B= u , C= u . yv zv xv zv xv yv
annaabi.ee 
