1. Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning summa tuletis on tuletiste summa. Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon cf(x) Tõestus:Korrutise tuletisest y’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x) lähtuvalt, kui cR on konstant, siis y=c*f(x) tuletis on Tõepoolest, valem kehtib juhul n=1. y’=f(x)*c’+f ’(x)*c=0*f(x)+c*f ’(x)=c*f ’(x) Nüüd tuleb näidata induktsioonisamm: eeldame, et valem kehtib juhul n-1 ja näitame, et sel juhul kehtib ta Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on ka n korral. Seega kehtib: diferentseeruv ka funktsioon y=f(x)+g(x) Tõestus: y=f(x)+g(x) esmalt, toimides sammhaaval, tehes eraldi tehetena komponendid,saame
Def:Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni y=f(x) muudu Δy ja argumendi muudu Δx suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. Def: Kui funktsioonil f(x) on tuletis punktis x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. Def: Geomeetriliselt võib funktsiooni y=f(x) interpreteerida kui selle funktsiooni graafikule punktis (x; f(x)) konstrueeritud tõusunurga tangensit. Def: Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust f ´(x +) = lim Δy Δx Δ→0+ Δy Def: Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks
Teooria 2. kollokvium 1.Funktsiooni diferentseeruvuse geomeetriline tõlgendus 2. Funktsiooni kõrgemat järku tuletised. Kui funktsioonil 𝑓′ eksisteerib tuletis punktis a, siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni 𝑓 teist järku tuletiseks kohal a. 𝑓′ (𝑥)−𝑓′ (𝑎) 𝑓 ′′ (𝑎) ≔ [𝑓 ′ (𝑎)]′𝑥=𝑎 = lim𝑥→𝑎
MATEMAATILINE ANALÜÜS I KONTROLLTÖÖ 1.Arvtelje mõiste- Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Reaalarvu absoluutväärtus- |a| = a kui a ≥ 0 −a kui a < 0 Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Loetleda absoluutväärtuse omadused- 1. | − a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| ≤ |a| + |b| 4. |a − b| ≥ | |a| − |b|/ Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused- Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a − ε, a + ε), kus ε > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a−ε, a+ε) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a| < ε. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a − ε, a], kus ε > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrus
1. Funktsiooni diferentseeruvuse geomeetriline tõlgendus. 11. Kumerus, nõgusus, käänupunktid. Seos teist järku tuletisega. Funktsiooni diferentsiaal on kõverjoonele y = f(x) tõmmatud puutuja ordinaadi muut, mis vastab Oeldakse, et funktsiooni f(x) graafik on kumer punktis a (tapsemini punktis (a, f(a))), kui leidub punkti a argumendi numbrile x=dx. selline -umbrus, et funktsiooni f(x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a - , a + ) allpool 2. Funktsiooni kõrgemat järku tuletised. (tapsemini, mitte ulalpool) puutujat, mis on tõmmatud punktis (a, f(a)) funktsiooni graafikule. Oeldakse, et funktsiooni f(x) graafik on kumer hulgal X, kui sellefunktsiooni graafik
Kordamisküsimusi 3. teema kohta 1. Defineerida funktsiooni tuletis. Mis on diferentseeruv funktsioon ja diferentseerimine? Funktsiooni f tuletiseks punktis a nimetatakse järgmist suurust: f ( x )−f (a) f ' ( a )=lim x→ a x−a Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. 2. Esitada tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu. Tuletist defineeriva piirväärtuse võib kirja panna ka argumendi muudu ja funktsiooni muudu kaudu. Olgu nii nagu ennegi: ∆x = x − a → argumendi muut kohal a , ∆y = f(x) − f(a) →funktsiooni muut kohal a . Siis f ( x )−f ( a) ∆y ∆y f ' ( a )=lim =lim =lim x→ a x−a x→a ∆ x x→ 0 ∆ x 3. Sõnastada ja tõe
1.10 Funktsiooni tuletis DEF 1.Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nim. funktsiooni y=f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f´(x)=limy/x, piirprotsessis x->0 DEF 2. Kui funktsioonil f(x) on tuletis kohal x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. f´(x0) <->f(x) D(x0) DEF 3. Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x+)=limy/x, piirprotsessis x->0+ DEF 4. Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x-)=limy/x, piirprotsessis x->0- Funktsiooni tuletis: Lause 1. Funktsiooni f(x) diferentseeruvusest punktis x järeldub selle funktsiooni pidevus punktis x,st Tõestus. Funktsiooni diferentseeruvus punktis x tähendab, et . Kuna igas mingis punktis on piirväärtust omav suurus selle punkti teatud ümbruses esitatav piirväärtuse ja lõpmata väikese suuruse summana, siis , kusjuures . Seos on esitatav ka kujul , kusjuures suurus on piirprotsessis kõr
Matemaatiline analüüs 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus: ∆y = f’(a)∆x + β , kus β = r(∆x)∆x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆ x suhtes, kui ∆ x läheneb nullile? (tõestada!). funktsiooni muut ∆y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f’(a)∆x ja teine on β. Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. Võrdleme neid suurusi ∆x suhtes. Esiteks, eelduse f’(a) 0 põhjal saame lim dy ∆x= lim f’(a)/∆x* ∆x= lim f’(a) = f(a) 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Teiseks kehtib lim β/ ∆x = lim r(∆x)∆x /∆x = lim r(∆x) = 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal
Kõik kommentaarid