Vajad kellegagi rääkida?
Küsi julgelt abi LasteAbi
Logi sisse

Funktsiooni tuletis (jätk) loeng 6 (0)

3 HALB
Punktid

Lõik failist

Funktsiooni tuletis (jätk) - + sin - sin = 2 sin cos 2 2
Funktsiooni y = sin x tuletis Teoreem : Funktsiooni y = sin x tuletis on cos x. x + x - x x + x + x
Tõestus: y = sin( x + x) - sin x = 2 sin cos 2 2 x x = 2 sin cos x + 2 2 x x x 2 sin cos x + sin y 2 2 2 cos x + x = = x x x 2 2 1 x x sin sin 2 cos x + x + x y ' = lim = lim x 2 lim cos x x 0 x 2 x / 20 x0 2 2 2 = cos x MOTT . 2
Ülesanne (kodus): Leida y = cos x tuletis. Diferentseerimise põhivalemid 1 y = const y' = 0 y = arcsin x y' = 1- x2 y = x y ' = x -1 1 1 y = arccos x y' = - y= x y' = 1- x2 2 x 1 1 1 y = arctan x y' = y= y' = - 2 1+ x2 x x 1 y = arccot x y' = - y = sin x y ' = cos x 1+ x2 y = cos x y ' = - sin x y = ax y ' = a x ln a
1 y = ex y' = e x y = tan x y' = 1 cos 2 x y = log a x y' = 1 x ln a
y = cot x y' = - 2 sin x y = ln x 1 y '= 3 x Tagasi Tehetega seotud diferentseerimisreeglid
Teoreem Kui funktsioonid f ja g on diferentseeruvad punktis x0,
siis ka f f + g, f - g, f g, (kui g ( x0 ) 0) g
on diferentseeruvad selles punktis ja ( f + g )( x0 ) = f ( x0 ) + g ( x0 ) ( f - g )( x0 )= f ( x0 )- g ( x0 ) ( fg )( x0 )= f ( x0 ) g ( x0 )+ f ( x0 ) g ( x0 ) (cf )( x0 ) = c f ( x0 ), c = const f f ( x0 ) g ( x0 ) - f ( x0 ) g ( x0 ) 0 ( x ) = 2 g g ( x0 ) 4 Näide
Leiame funktsiooni y = x sinx + cosx tuletise.
Summa diferentseerimise reegli abil (x sin x + cos x ) = ( x sin x) + (cos x)
Korrutise diferentseerimise reegli abil = x sin x + x(sin x) + (cos x) = sin x + x cos x - sin x = x cos x
5 Näide
Leiame funktsiooni y = tan x tuletise.
Jagatise diferentseerimise reegli abil sin x (tan x ) = cos x = (sin x ) cos x - sin x(cos x ) cos 2 x
= ( ) cos 2 x - - sin 2 x = 1 2 cos x cos 2 x
Ülesanne (kodus): Leida y = cot x tuletis. 6 Liitfunktsiooni diferentseerimine Teoreem
Kui funktsioonidel ( x) ja f (u ) on lõplikud tuletised vastavalt
kohtadel x ja u = (x), siis on liitfunktsioonil F ( x) = f [ ( x)]
kohal x lõplik tuletis F (x), mis avaldub kujul F ' ( x) = f (u ) ( x).
Märkus
Kui funktsioon y = F(x) on selline, et teda võib esitada kujul y = f (u), u = (v), v = (x),
siis F´(x) = f´(u) ´(v) ´(x). 7 Näide 1
On antud funktsioon y = sin[(ln x)3]. Leida y'(x). dy y = sin u, = cos u du du u=v , 3 = 3v 2 dv dv 1 v = ln x, = dx x dy dy du dv 2 1 y ' ( x) = = = (cos u ) 3v dx du dv dx x
= 3 cos[(ln x) ] (ln x) 3 2 1 x 8 Näide 2
Leida funktsiooni y (x) = ln |x| tuletis. 1
a) x > 0, siis |x| = x, ln |x| = ln x, y' = x
b) x x 1 1 1 1 ' ( y ) = lim = lim = lim = = y 0 y y 0 y x 0 y y f ' ( x) lim x x x 0 x MOTT. 10 Arkusfunktsioonide tuletised
y = arcsin x x = sin y 1 1 1 1
(arcsin x) = = = = (sin y ) cos y 1 - sin 2 y 1- x2 1
(arcsin x)' = 1- x2
y = arccos x x = cos y
1 1 1 1
(arccos x) = = = = (cos y ) - sin y - 1 - cos 2 y - 1- x2 1
(arccos x)' = - 1- x2
Ülesanne (kodus): Leida funktsioonide y = arctan x ja y = arccot x tuletised.
11 Näide 3 1- x Leida funktsiooni y = arctan tuletis 1+ x
1 - x ' 1- x = ' 1 arctan 2 = 1 + x 1 + 1 - x 1 + x 1 + x
(1 + x) 2 (1 - x)' (1 + x) - (1 - x)(1 + x)' = 2 = (1 + x) + (1 - x) (1 + x) 2 2
- (1 + x) - (1 - x) -2 1 = = =- (1 + x) 2 + (1 - x) 2 2 + 2x 2 1+ x2 12 Ilmutamata kujul oleva funktsiooni

Vasakule Paremale
Funktsiooni tuletis-jätk-loeng 6 #1 Funktsiooni tuletis-jätk-loeng 6 #2 Funktsiooni tuletis-jätk-loeng 6 #3 Funktsiooni tuletis-jätk-loeng 6 #4 Funktsiooni tuletis-jätk-loeng 6 #5 Funktsiooni tuletis-jätk-loeng 6 #6 Funktsiooni tuletis-jätk-loeng 6 #7 Funktsiooni tuletis-jätk-loeng 6 #8 Funktsiooni tuletis-jätk-loeng 6 #9 Funktsiooni tuletis-jätk-loeng 6 #10 Funktsiooni tuletis-jätk-loeng 6 #11 Funktsiooni tuletis-jätk-loeng 6 #12 Funktsiooni tuletis-jätk-loeng 6 #13 Funktsiooni tuletis-jätk-loeng 6 #14 Funktsiooni tuletis-jätk-loeng 6 #15 Funktsiooni tuletis-jätk-loeng 6 #16 Funktsiooni tuletis-jätk-loeng 6 #17 Funktsiooni tuletis-jätk-loeng 6 #18 Funktsiooni tuletis-jätk-loeng 6 #19 Funktsiooni tuletis-jätk-loeng 6 #20 Funktsiooni tuletis-jätk-loeng 6 #21
Punktid 10 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 10 punkti.
Leheküljed ~ 21 lehte Lehekülgede arv dokumendis
Aeg2012-10-30 Kuupäev, millal dokument üles laeti
Allalaadimisi 71 laadimist Kokku alla laetud
Kommentaarid 0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid
Autor T . Õppematerjali autor

Sarnased õppematerjalid

thumbnail
9
doc

Diferentseerimise ja integreerimise valemid

u v ­ v u u = v v2 = v x v2 f ( x) dx = ln f ( x) + c Parameetrilisel kujul antud funktsiooni tuletis, kus x = (t) ja y = (t) yt ( y x ) t y txt ­ y t xt y x = ja y x = y x = xt xt ( xt ) 3 Nr Diferentseerimise valemid Diferentseerimise valemid Integreerimise valemid Lihtfunktsioon Liitfunktsioon 1 (C)'=0 0 dx = c

Diferentsiaal-ja integraalarvutus
thumbnail
9
doc

INTEGREERIMISE VALEMID

u v ­ v u u = v v2 = v x v2 f ( x) dx = ln f ( x) + c Parameetrilisel kujul antud funktsiooni tuletis, kus x = (t) ja y = (t) yt ( y x ) t y txt ­ y t xt y x = ja y x = y x = xt xt ( xt ) 3 Nr Diferentseerimise valemid Diferentseerimise valemid Integreerimise valemid Lihtfunktsioon Liitfunktsioon 1 (C)'=0 0 dx = c

Matemaatiline analüüs
thumbnail
32
doc

Matemaatika I küsimused ja mõisted vastustega

Sisujuht 16. Esimest liiki katkevuspunkt - niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, ................................................... 3 17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri ............................................ 4 20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. ..................................... 4 1

Matemaatika
thumbnail
273
pdf

Lembit Pallase materjalid

YMM3731 Matemaatiline analu¨u¨s I 2007/08 ~o.-a. su¨gissemestril 3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste

Matemaatiline analüüs
thumbnail
9
doc

Matemaatiline analüüs - konspekt I

funktsiooniks) nimetatakse kujutist mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks. Funktsioone tähistatakse tavaliselt tähtedega f; g; u; v; ; jne. Olgu antud funktsioon f mille argumendiks on x ja s~oltuvaks muutujaks y. Muutuja y väärtust milleks funktsioon f kujutab argumendi x nimetatakse funktsiooni f väärtuseks kohal x ja tähistatakse sümboliga f(x). Seega, me võime kirjutada seose y = f(x) ; (1.1) mis väljendab muutuja y "seotust" argumendiga x funktsiooni f kaudu. Mõnikord kasutatakse funktsiooni ja sõltuva muutuja tähistamiseks ühte ja sama sümbolit. Sellisel juhul seos (1.1) omab kuju y = y(x). Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks.

Matemaatiline analüüs
thumbnail
51
pdf

Matemaatilise analüüsi konspekt

Funktsiooni väärtuste hulgaks nim. nende väärtuste hulka, mida funktsioon omandab, kui läbib kogu määramispiirkonna. Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud reaalmuutuja funktsioonil: B ( x) 1) A( x) 0 A( x) 2) 2 x A( x) A( x) 0 3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks y=f[g(x)]=f*g(x) © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 1 Funktsiooni piirväärtus. Teoreemid piirväärtuste kohta (tõestusega). Arv a on funktsiooni y=f(x) piirväärtuseks tingimusel, et xx0, kui >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-a<

Matemaatiline analüüs
thumbnail
51
pdf

Enno Paisu konspekt

Funktsiooni väärtuste hulgaks nim. nende väärtuste hulka, mida funktsioon omandab, kui läbib kogu määramispiirkonna. Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud reaalmuutuja funktsioonil: B ( x) 1) A( x) 0 A( x) 2) 2 x A( x) A( x) 0 3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks y=f[g(x)]=f*g(x) © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 1 Funktsiooni piirväärtus. Teoreemid piirväärtuste kohta (tõestusega). Arv a on funktsiooni y=f(x) piirväärtuseks tingimusel, et xx0, kui >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-a<

Matemaatiline analüüs
thumbnail
6
docx

Matemaatilise analüüsi (I) I osaeksami teooriaküsimused

väärtus on eelnevast väiksem. Mittekasvavaid ja mittekahanevaid muutuvaid suurusi nimetatakse monotoonseteks suurusteks. Kasvavaid ja kahanevaid muutuvaid suurusi nimetatakse rangelt monotoonseteks suurusteks. Def. Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui leidub niisugune konstant M > 0 , et kõik muutuva suuruse väärtused, alates mingist väärtusest, täidavad x M tingimust - M x M , s.t. 3. Funktsiooni definitsioon, funktsiooni määramispiirkond ja muutumispiirkond. Kasvav ja kahanev funktsioon. Funktsiooni esitusviise. Funktsioonide liike. Def. Kui muutuja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Argumendi x muutumispiirkonda X nimetatakse funktsiooni y määramispiirkonnaks. Funktsiooni väärtused, mis vastavad kõigile argumendi väärtustele piirkonnas X,

Diskreetne matemaatika




Meedia

Kommentaarid (0)

Kommentaarid sellele materjalile puuduvad. Ole esimene ja kommenteeri



Sellel veebilehel kasutatakse küpsiseid. Kasutamist jätkates nõustute küpsiste ja veebilehe üldtingimustega Nõustun