Funktsiooni tuletis (jätk) loeng 6 (0)

Funktsiooni tuletis (jätk) - + sin - sin = 2 sin cos 2 2
Funktsiooni y = sin x tuletis Teoreem : Funktsiooni y = sin x tuletis on cos x. x + x - x x + x + x Tõestus: y = sin( x + x) - sin x = 2 sin cos 2 2 x x = 2 sin cos x + 2 2 x x x 2 sin cos x + sin y 2 2 2 cos x + x = = x x x 2 2 1 x x sin sin 2 cos x + x + x y ' = lim = lim x 2 lim cos x x 0 x 2 x / 20 x0 2 2 2 = cos x MOTT . 2 Ülesanne (kodus): Leida y = cos x tuletis. Diferentseerimise põhivalemid 1 y = const y' = 0 y = arcsin x y' = 1- x2 y = x y ' = x -1 1 1 y = arccos x y' = - y= x y' = 1- x2 2 x 1 1 1 y = arctan x y' = y= y' = - 2 1+ x2 x x 1 y = arccot x y' = - y = sin x y ' = cos x 1+ x2 y = cos x y ' = - sin x y = ax y ' = a x ln a
1 y = ex y' = e x y = tan x y' = 1 cos 2 x y = log a x y' = 1 x ln a y = cot x y' = - 2 sin x y = ln x 1 y '= 3 x Tagasi Tehetega seotud diferentseerimisreeglid Teoreem Kui funktsioonid f ja g on diferentseeruvad punktis x0, siis ka f f + g, f - g, f g, (kui g ( x0 ) 0) g on diferentseeruvad selles punktis ja ( f + g )( x0 ) = f ( x0 ) + g ( x0 ) ( f - g )( x0 )= f ( x0 )- g ( x0 ) ( fg )( x0 )= f ( x0 ) g ( x0 )+ f ( x0 ) g ( x0 ) (cf )( x0 ) = c f ( x0 ), c = const f f ( x0 ) g ( x0 ) - f ( x0 ) g ( x0 ) 0 ( x ) = 2 g g ( x0 ) 4 Näide Leiame funktsiooni y = x sinx + cosx tuletise.
Summa diferentseerimise reegli abil (x sin x + cos x ) = ( x sin x) + (cos x) Korrutise diferentseerimise reegli abil = x sin x + x(sin x) + (cos x) = sin x + x cos x - sin x = x cos x
5 Näide Leiame funktsiooni y = tan x tuletise.
Jagatise diferentseerimise reegli abil sin x (tan x ) = cos x = (sin x ) cos x - sin x(cos x ) cos 2 x
= ( ) cos 2 x - - sin 2 x = 1 2 cos x cos 2 x
Ülesanne (kodus): Leida y = cot x tuletis. 6 Liitfunktsiooni diferentseerimine Teoreem Kui funktsioonidel ( x) ja f (u ) on lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja u = (x), siis on liitfunktsioonil F ( x) = f [ ( x)] kohal x lõplik tuletis F (x), mis avaldub kujul F ' ( x) = f (u ) ( x).
Märkus Kui funktsioon y = F(x) on selline, et teda võib esitada kujul y = f (u), u = (v), v = (x), siis F´(x) = f´(u) ´(v) ´(x). 7 Näide 1 On antud funktsioon y = sin[(ln x)3]. Leida y'(x). dy y = sin u, = cos u du du u=v , 3 = 3v 2 dv dv 1 v = ln x, = dx x dy dy du dv 2 1 y ' ( x) = = = (cos u ) 3v dx du dv dx x
= 3 cos[(ln x) ] (ln x) 3 2 1 x 8 Näide 2 Leida funktsiooni y (x) = ln |x| tuletis. 1 a) x > 0, siis |x| = x, ln |x| = ln x, y' = x b) x x 1 1 1 1 ' ( y ) = lim = lim = lim = = y 0 y y 0 y x 0 y y f ' ( x) lim x x x 0 x MOTT. 10 Arkusfunktsioonide tuletised y = arcsin x x = sin y 1 1 1 1 (arcsin x) = = = = (sin y ) cos y 1 - sin 2 y 1- x2 1 (arcsin x)' = 1- x2
y = arccos x x = cos y
1 1 1 1 (arccos x) = = = = (cos y ) - sin y - 1 - cos 2 y - 1- x2 1 (arccos x)' = - 1- x2 Ülesanne (kodus): Leida funktsioonide y = arctan x ja y = arccot x tuletised.
11 Näide 3 1- x Leida funktsiooni y = arctan tuletis 1+ x
1 - x ' 1- x = ' 1 arctan 2 = 1 + x 1 + 1 - x 1 + x 1 + x
(1 + x) 2 (1 - x)' (1 + x) - (1 - x)(1 + x)' = 2 = (1 + x) + (1 - x) (1 + x) 2 2
- (1 + x) - (1 - x) -2 1 = = =- (1 + x) 2 + (1 - x) 2 2 + 2x 2 1+ x2 12 Ilmutamata kujul oleva funktsiooni diferentseerimine Olgu argumendi x funktsioon y esitatud ilmutamata kujul F(x, y) = 0. dy Tuletise y = leidmiseks diferentseeritakse antud võrduse dx pooli x järgi, kusjuures funktsiooni y sisaldavaid osafunktsioone diferentseeritakse kui liitfunktsioone.
Ülesanne: Leida y kui y 2 + 2 x = x 2 + 2 xy. Lahendus: d 2 d 2 ( y + 2 x) = ( x + 2 xy ) dx dx 2 yy '+2 = 2 x + 2( y + xy ' ) 1- x - y y' = x- y 13 Näide x( x 2 + 1) Ülesanne Leida funktsiooni y = 3 tuletis. ( x - 1) 2 x( x 2 + 1) 1 1 2 - Lahendus. Teisendame y=3 = x ( x + 1) ( x - 1) 3 3 2 3 ( x - 1) 2
1 1 2 - Logaritmime ln y = ln x ( x + 1) ( x - 1) 3 2 3 3
1 1 2 Lihtsustame ln y = ln x + ln( x 2 + 1) - ln x - 1 3 3 3 1 1 1 1 1 2 1 Diferentseerime y' = + 2 ( x 2 + 1) - ( x - 1) y 3 x 3 x +1 3 x -1 1 1 1 1 1 y' = + 2 2x - 2 1 y 3 x x +1 x -1 Avaldame y' 2 = 1 1 + 2 x - 2 3 x( x + 1) 2 1 1 2x y = y + 2 - 3 x x + 1 x - 1 3 x x + 1 x - 1 ( x - 1) 2 2 14 Lisa Logaritmiline diferentseerimine Seega logaritmilise diferentseerimise võtte rakendamisel tuleb:
Logaritmida funktsiooni avaldise y = f (x) absoluutväärtus: ln | y |= ln | f ( x) |
Võtta tuletis mõlemalt poolt: 1 y ' = (ln | f ( x) |)' y Avaldada y': y ' = f ( x)(ln | f ( x) |)'
15 Astmefunktsiooni tuletis y = x n , n R, x > 0 ln y = ln x n ln y = n ln x 1 1 y' = n y x 1 n 1 y ' = yn = x n = nx n -1. x x ( x n )' = nx n -1 Valem kehtib ka siis, kui x Funktsiooni kujul y = u ( x) v ( x ) , u ( x) > 0 nimetatakse astme-eksponentfunktsiooniks.
Astme-eksponentfunktsiooni korral osutub logaritmilise diferentseerimise võte vältimatuks, sest diferentseerimise põhivalemite hulgas ei ole valemit juhuks, kus astme alus ja astendaja korraga muutuvad. 17 Tabel Näide Ülesanne Leida funktsiooni y = (sin x)x tuletis.
Lahendus: Funktsioon on määratud, kui sin x > 0, seega y > 0.
Logaritmime: ln y = ln(sin x) x Lihtsustame: ln y = x ln(sin x) 1 1 Diferentseerime: y ' = ln(sin x) + x cos x y sin x
Avaldame y': y = y[ln(sin x) + x cot x] = (sin x) x [ln(sin x) + x cot x] 18 Parameetrilisel kujul antud funktsiooni tuletis Funktsioon y = f (x) on antud parameetriliste võrranditega: x = (t ), t T R y = (t ), Eeldused: 1) (t ), (t ) on diferentseeruvad 2) (t ) 0
d dy dt y 't Siis = = dx d x't dt Saadud valem võimaldab leida parameetrilisel kujul antud funktsiooni tuletist leidmata otsest sõltuvust x ja y vahel. 19 Näide dy x = a cos t , Leida dx kui 0 t y = a sin t ,
y t (a sin t ) a cos t y x = = = = - cot t xt (a cos t ) - a sin t
20 Lisa Eeldusel , et x > 0 ja y > 0 ln xy = ln x + ln y x ln = ln x - ln y y
ln x n = n ln x
Tagasi