Funktsioon loeng 2 (0)

Funktsioon Funktsiooni definitsioon Olgu X mingi reaalarvude hulk. Kui muutuja x igale väärtusele hulgas X vastab muutuja y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon. Asjaolu, et üks muutuja on teise funktsioon, tähistatakse y = f (x), y = y (x), y = (x) jne. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks e. argumendiks. Muutujat y, mille väärtused leitakse vastavalt sõltumatu muutuja väärtustele, nimetatakse sõltuvaks muutujaks. Argumendi x väärtuste hulka, mille puhul saab määrata funktsiooni y väärtusi vastavalt eeskirjale f (x), nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Määramispiirkonnale vastavat funktsiooni väärtuste hulka nim. funktsiooni muutumispiirkonnaks. 2 Funktsiooni esitusviise Funktsiooni esitus tabelina
x x1 x2 ....... xn
y y1 y2 ...... yn
Funktsiooni graafiline esitusviis
y = f (x)
0 x
3 Funktsiooni analüütiline esitusviis Ilmutatud kujul y = f (x), Näide: y = ln (x2 + 1).
Ilmutamata kujul f (x, y) = 0 Näide: x2 + y2 = 25. Parameetrilisel kujul
x = x(t ) , t T R y = y (t ) Näide: x = 5 cos(t ) , t [0; 2 ] y = 5 sin(t ) 4 Paaris- ja paaritud funktsioonid Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f (-x) = f (x) ja paarituks funktsiooniks, kui f (-x) = -f (x) iga x korral määramispiirkonnast X.
Paarisfunktsiooni graafik on Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes sümmeetriline 0-punkti suhtes. 6 5 2 x 4 cos ( x) 3 x 2 10 5 0 5 10 sin ( x)
10 5 0 5 10 5
5 Monotoonsed funktsioonid Funktsiooni f (x) nimetatakse piirkonnas A kasvavaks, kui a f (b); monotoonselt kahanevaks, kui a reaalarv k', nii et f (x) k' iga x A korral, ja alt tõkestatuks, kui leidub k" nii et f (x) k" iga x A korral. Funktsiooni f (x) nimetatakse piirkonnas A tõkestatuks, kui leidub reaalarv k, nii et | f (x)| k iga x A korral.
y = x2 y = sin x tõkestatud funktsioon y = sin x y = x2 tõkestamata funktsioon (küll aga alt tõkestatud)
7 Pöördfunktsioon Olgu funktsiooni y = f (x) määramispiirkond X ja muutumis- piirkond Y. Kui iga y Y korral leidub täpselt üks x X, nii et y = f(x), siis öeldakse, et funktsioonil y = f(x) on olemas pöördfunktsioon määramispiirkonnaga Y ja muutumispiirkonnaga X. 5 5
2x+ 1
1 1 x- 2x+ 1 2 2 10 5 0 5 10 10 5 0 5 10 x
5 5
Funktsiooni pöördfunktsiooni pöördfunktsioon on funktsioon ise. Pöördfunktsiooni tähistatakse x = f -1(y) . 8 Pöördfunktsioon 30
2 x
20
6 10
0 2 x 4 0 10 20 30
50 50
2 40
2 30 x
x
x 20 10 5 0 5 10 10
-2 0 10 20 30 40 50
-1 x 50
9 Näide 1 Funktsioonil y = sin x, X =y R 1,5
1
0,5
0 x -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12
-0,5
-1
-1,5
pöördfunktsioon puudub, kuna igale muutuja y väärtusele funktsiooni muutumispiirkonnast vastab lõpmata palju argumendi x väärtusi. Küll aga võime leida selle funktsiooni pöördfunktsiooni sel juhul, kui ahendame tema määramispiirkonna lõiguks X = [- / 2; / 2] 10 Näide 1 Kui X = [- / 2 ; / 2] on siinusfunktsiooni pöördfunktsiooniks vastav arkusfunktsioon: x = arcsin y, Y [-1; 1] y 2 NB! Esialgse funktsiooni y = arcsin x muutumispiirkonnast saab 1,5 y= x pöördfunktsiooni 1 määramispiirkond ja y = sin x vastupidi. X = [- / 2 ; / 2] Y [- 1;1] 0,5
y = sin x 0 x -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
-0,5
x = arcsin y Y [- 1;1] X = [- / 2 ; / 2] -1
-1,5
-2 11 Näide 2 Galilei seadus ütleb, et kõrguselt h vabalt langeva keha kiiruse v määrab valem v = 2 gh. 2
Siit saame kas v2 v = 2 gh või h= . 2g
See valem annab lõppkiiruse v, mille See valem annab kõrguse keha omandab h, millelt keha peab kõrguselt h langedes. langema , et omandada lõppkiirus v. Funktsioonid v ja h on teineteise suhtes pöördfunktsioonid. 12 Näide 3 Leiame funktsiooni y = log(1 - x) pöördfunktsiooni. Esialgse funktsiooni määramispiirkond 1- x > 0 x 1 y
1
x
määramispiirkond: X = (-; )
20 Logaritmfunktsioon y
y = loga x, a >1
0 1 x
y = loga x, 0 määramispiirkond: X = (0; ) 21 Trig . funktsioonid siinus ja koosinus y 1 y = cos x
-/2 /2 - 0 x y = sin x -1
1) tõkestatud -1 y 1 2) perioodilised = 2 3) siinus on paaritu, koosinus ­ paarisfunktsioon 4) määramispiirkond: X = (-; ) 22 Trig. funktsioon tangens y
y = tan x
-3/2 -/2 /2 3/2 - 0 x
1. periood = 2. määramispiirkond: X = (-; )\{(2k + 1)/2} 3. paaritu 23 Trig. funktsioon kootangens y = cot x y 1. periood = 2. määramispiirkond: X = (-; )\{k} -/2 /2 3/2 (kõik reaalarvud , mis ei ole - 0 2 arvu täisarvkordsed) x 3. paaritu
24 Arkusfunktsioonid trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid y y = arcsin x /2 y y = arccos x -1 0 /2 1 x 0 -/2 -1 1 x X = [- 1;1] Y = [0; ] X = [- 1;1] Y = - ; 2 2
y /2 y /4 y = arctan x y = arccot x 0 /2 1 x /4 -/2 0 1 x X = (-; ) Y = - ; X = (-; ) Y = (0; ) 2 2 25 Elementaarfunktsioon Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena.
Näited 2 x -1 3 1 - cos x x + 1 arctan x ln( x + 1 - x ) 2 e
26 Liitfunktsioon Näide Sageli ei sõltu funktsioon oma argumendist mitte otseselt, vaid kaudselt . Näide. Selge taeva korral sõltub päikesekiirguse intensiivsus I päikese kõrgusnurgast h, see aga omakorda sõltub ajast t, nii et päikesekiirguse intensiivsus on ka aja t funktsioon. I sõltuvus ajast t pole aga otsene, vaid kaudne; vahendavaks muutujaks suuruste t ja I vahel on nurk h: I = F (h), h = (t ), nii et I = F [ (t )].
See tähendab, et kiirguse intensiivsus I on aja t liitfunktsioon. Funktsiooni F argumentfunktsiooniks on (t ) . 28 Liitfunktsiooni definitsioon Kui y on muutuja u funktsioon: y = f (u) ja u on omakorda muutuja x funktsioon: u = g (x), siis ka y sõltub muutujast x: y = f [g(x)] Nii defineeritud funktsiooni y nimetatakse liitfunktsiooniks. Funktsioone g ja f nimetatakse liitfunktsiooni y koostisosadeks e. komponentideks. Funktsiooni f argumendiks oleva funktsiooni g puhul kasutatakse ka mõistet "sisemine funktsioon"; funktsiooni f ennast nimetatakse seejuures "välimiseks funktsiooniks". Näide. Olgu y = f (u)=u2 ja u = sin x. Nendega määratud liitfunktsioon on y = sin2 x. Liitfunktsiooni moodustamise operatsiooni võib teostada mitte 29 üks, vaid mistahes arv kordi . Liitfunktsiooni määramispiirkond Liitfunktsiooni y = f [g(x)] määramispiirkonnaks on kas funktsiooni u= g(x) kogu määramispiirkond või selle niisugune osa, millega määratud u väärtused ei välju funktsiooni f(u) määramispiirkonnast.
Näide. f = 1 - x 2 f = u, u = 1- x2 Funktsioon u = 1 - x2 on määratud kõigi reaalarvuliste x väärtuste korral. u on määratud siis, kui u 0 ehk 1 - x2 0. x 2 - 1 0, millest x [-1; 1]. Seega funktsiooni f määramispiirkonnaks on lõik [-1; 1]. 30