Hulknurk on piiratud murdjoonega. Murdjoone lülid on hulknurga küljed, murdjoone tipud on hulknurga tipud.Hulknurga tipud on tema külgede otspunktid. Ühest Tipust Väljuvad hulknurgaküljed on lähisküljed.Hulknurga kaht nurka, mille tipud asetsevad ühe ja sama külje otspunktides, nimetatakse lähisnurkadeks. Hulknurga ümbermõõt on tema külgede pikkuste summa. Hulknurga diagonaal on lõik, mis ühendab kaht samale küljele mittekuuluvat tippu. Kumer hulknurk on hulknurk, mille ühegi külje pikendus ei lõika hulknurka piiravat murdjoont.
3. Peab kehtima võrdus f(x) = f(a) Analoogiliselt defineeritakse ka paremalt pidev funktsioon. Näited: 1) Paremalt pideva näide 2) Vasakult pideva näide Funktsiooni pidevus vahemikus (a, b) ja lõigul [a, b]. Def1. Kui funktsioon y = f(x) on pidev vahemiku (a, b) kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev vahemikus (a, b). Def2. Kui funktsioon y = f(x) on määratud lõigul [a, b], pidev vahemikus (a, b) ning lõigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev lõigul [a, b] Lõigul pidevate funktsioonide omadusi. Lõigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. Kui funktsioon y = f(x) on pidev lõigul [a, b] ja omandab selle lõigu otspunktides erineva märgiga väärtusi, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt
Ning Arvtelg:nullpunkt, pikkus ühik, liitfunk.puhul.ühep.pidev.funk pos.suund.Reaalarvud vastavuses üks : eelnevad 3 punkti!omadused ühele.+abs.väärtuse om(4), arvu ümbrus+tõk.hulk=0-i ümbrus, seoses suur.ja nt.vahemik, lõik, poollõik. Jääv ja väh.väärtusega: väärtus saav. muutuv suurus: piirkond, x ja y Sellel lõigul+iga väärtus suur.ja seotus, ,määramisp.(x-i muutumisp.) vä.vahel+ kui otspunktides ESITUS: tabel,analüüt,graafik(pos ja neg, punkti üldkuju, funk graafik, erin.märg.väärtu si, siis väh.1 rahuldab?+ max 1 lõikepunkt paaris, punkt, kus f(c)=0. paaritu-x e X per.funk.-f(x+C)=f(x), x Funk.difer.def: võrdeline e X, kasv. Ja kah.funk.rakendamine argumendi muuduga ja nullist argumentidele x1 ja x2, hulk D.astmef.märpiirk. sõltuvus a- erineva tul.korral on funk.muut st
Kui M = m, siis on funktsioon lõigul [a, b] konstantne, st kõigi x ∈ [a, b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f tuletis nullfunktsioon, st f′(x) = 0 kõigi x ∈ [a, b] korral, ja teoreemi väide on täidetud suvalise c ∈ (a, b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M > m. Funktsioon võib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a, b] otspunktis või vahemikus (a, b). Oletame kõigepealt, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M ja teises otspunktis m ning võrratusest M > m tuleneb, et f(x) väärtused lõigu otspunktides on erinevad. Järelikult ei olnud oletus, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b, õige. Funktsioon f(x) peab vähemalt ühe oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima või vähima väärtuse) saavutama vahemikus (a, b) asuvas punktis. Tähistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a,
Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui , siis on funktsioon lõigul [a,b] konstantne, st kõigi korral kehtib. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st ja teoreemi väide on täidetud iga korral. Kui võib funktsioon oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a,b] otspunktis või vahemikus (a,b). Oletame, et mõlemad ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M ja teises m ning võrratusest Mm tuleneb, et f(x) väärtused lõigu otspunktides on erinevad, kuid me eeldasime, et funktsiooni väärtused lõigu otspunktides on võrdsed. Järelikult polnud oletus, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b, õige. Funktsioon f(x) peab vähemalt ühe oma absoluutsetest ekstreemumitest
piirväärtust x x0 või x suvalisel lähenemisel x0 - le x x0 , siis punktis x = x 0 funktsioon y = f (x) on katkev. Punkt x = x0 inimetatakse sel juhul funktsiooni katkevuspunktiks. 21. Teoreem 1. Lõigul a x b pidev funktsioon omandab sellel lõigul vähemalt 22. üks kord suurima väärtuse M ja vähima väärtuse m. 23. 24. Kui funktsioon y = f (x) on lõigul [a,b] pidev ja omandab selle otspunktides erinevate märkidega väärtused, siis leidub punktide a ja b vahel vähemalt üks punkt x=c niisugune, et f (c) = 0. 25. 26. 27. Olgu funktsioon y = f (x) lõigul [a,b] määratud ja pidev. Kui funktsiooni väärtused lõigu otspunktides f (a ) = A ja f (b) = B on erinevad, siis ükskõik millise arvu C korral arvude A ja B vahelt leidub punkt x=c, kus a< c < b, et f (c ) = C . 28. 29. Liikumise keskmine kiirus ja hetkeline kiirus. Tuletise definitsioon. Näide
3. Peab kehtima võrdus f(x) = f(a) Analoogiliselt defineeritakse ka paremalt pidev funktsioon. Näited: 1) Paremalt pideva näide 2) Vasakult pideva näide Funktsiooni pidevus vahemikus (a, b) ja lõigul [a, b]. Def1. Kui funktsioon y = f(x) on pidev vahemiku (a, b) kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev vahemikus (a, b). Def2. Kui funktsioon y = f(x) on määratud lõigul [a, b], pidev vahemikus (a, b) ning lõigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev lõigul [a, b] Lõigul pidevate funktsioonide omadusi. Lõigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. Kui funktsioon y = f(x) on pidev lõigul [a, b] ja omandab selle lõigu otspunktides erineva märgiga väärtusi, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt
Kõige lihtsamaks elemendiks on ühemõõtmeline element, mida skemaatiliselt võib ette kujutada lõigu abil. Selliseid elemente kasutatakse mitmesuguste ülesannete lahendamisel varraste korral. Kasutatakse põhiliselt kahte tüüpi 2D elemente- kolmnurkseid ja nelinurkseid. Need omakorda võivad olla kas sirgjooneliste või kõverjooneliste külgedega. Kõverjooneliste elementide korral tuleb sõlmpunktide valikul võtta peale otspunktides asetsevate sõlmede veel lisasõlmed külgedele, mis ei pea olema külgede keskpunktides. Ka sirgjooneliste külgedega elementide korral võib kasutada lisasõlmi külgedel. Kolmemõõtmeliste elementide korral kasutatakse põhiliselt selliseid elemente nagu tetraeeder, risttahukas, rööptahukas, prisma, püramiid ja näiteks torukujulised elemendid. Need omakorda võivad olla kas sirgjooneliste või kõverjooneliste külgservadega. Kõige enam kasutatakse risttahukat ja tetraeedrit.
Leian x väärtused, kui nimetaja võrdub nulliga. Kannan kriitilised punktid x-teljele. Iga osa kohta leian, kas f''(x)>0 või f''(x)<0. Kui f''(x)>0, siis nõgus. Xu = ... Kui f''(x)<0, siis kumer. Xn = ... Punktid x-teljel on käänupunktid, kui need pole määramispiirkonnast välja arvatud. K = (leitud punkt; esimese funktsiooni tulemus, kasutades seda punkti x asemel) 7. Asümptoodid Püstasümptoodid o Määramispiirkonna katkevuspunktides (ja otspunktides, kui lõplikud arvud) o Leian ühepoolsed piirväärtused. o lim x->arv- f(x), kui arv ei alusta x-telge (kui pole määramispiirk esimene väärtus). Kui + või -, siis püstasümptoot olemas arvu vasakpoolses ümbruses. o lim x->arv+ f(x), kui arv ei lõpeta x-telge (kui pole määramispiirk viimane väärtus). Kui + või -, siis püstasümptoot olemas arvu parempoolses ümbruses. Kaldasümptoodid o y = mx + b
39. M (C )=0=¿-F Bz BC + F Az AC + F Dz CD=0 F Az AC + F Dz CD 8760,50,45+73100,15 40. F Bz= = =16795,75 N 16796 N BC 0,3 41. M (B)=0=¿-F Cz BC + F Az AB+ F Dz BD=0 F Az AB+ F Dz BD 8760,50,15+73100,45 42. FCz = = =15345,25 N 15346 N BC 0,3 43. Paindemomendid: 44. M Ay =0 ja F Dy =0 ,sest varda otspunktides momenti ei teki. -¿ 45. M By =F Az AB=8760,50,15=1314 Nm ¿ +¿ 46. M Cy=F Dz CD=73100,15=1096,5 Nm 1097 Nm ¿ 6 47. 48. Joonis 4: Paindemomendi epüür 49. Võlli ekvivalent-paindemomendid Ekv , A = M Ay + M Az +T A = 0 +0 +175,2 =175,2 Nm M III 2 2 2 2 2 2 50.
vasakpoolne piirväärtus lim........................................... asendada parempoolse piirväärtusega................................................... Vahemikus ja lõigul pidevad funktsioonid: Kui funktsioon f on pidev vahemiku (a, b) kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev vahemikus (a, b). Vahemikus (a, b) pideva funktsiooni graafik on selle vahemiku kohal pidev joon. Kui funktsioon f on määratud lõigul [a, b], pidev vahemikus (a, b) ning lõigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev lõigul [a, b]. Elementaarfunktsioonide pidevus: Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonna punktides pidevad. 16. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul: Kui leidub punkt x1 lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x1) f(x), siis
ruutfunktsiooni graafiku (parabooli); 3) leiame jooniselt ruutfunktsiooni positiivsus- või negatiivsuspiirkonna. 2) Etteantud lõigus funktsiooni suurima (vähima) väärtuse leidmiseks arvutame funktsiooni väärtused vastaval ekstreemumkohal, st f x max , kui küsitakse funktsiooni suurimat väärtust või f x min , kui küsitakse funktsiooni vähimat väärtust, ja lõigu otspunktides. Leitud funktsiooni väärtuste hulgast valime nõutud suurima või vähima väärtuse. 6 7 Lahendused I 1) Leiame funktsiooni y x3 5x 2 3 x 7 kasvamis- ja kahanemisvahemikud.
Kui funktsioon on punktis a nii vasakult kui ka paremalt pidev, siis on ta selles punktis pidev. (joonised lk 49 konspektis!) Vahemikus pidevad funktsioonid. Kui funktsioon on pidev vahemikus (a;b) kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev vahemikus (a;b). Vahemikus (a;b) pideva funktsiooni graafik on selle vahemiku kohal pidev joon. Lõigul pidevad funktsioonid. Selleks, et saavutada joone pidevust lisaks vahemikule (a;b) ka otspunktides a ja b (so tervel lõigul [a;b]) peame me nõudma funktsioonilt ka parempoolset pidevust vasakpoolses otspunktis a ja vasakpoolsest pidevust parempoolses otspunktis b. Kui funktsioon on määratud lõigul [a;b], pidev pahemikud (a,b) ning lõigu otspunktides a ja b vastavalt praemalt ja vasakult pidev, siis öeldakse, et see funtsioon on pidev lõigul [a;b] Elementaarfunktsioonide pidevus. Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonnas pidevad
sellel l~oigul. Olgu M suurim v¨a¨artus ja m v¨ahim v¨a¨artus. Kui M = m, siis on funktsioon l~oigul [a,b] konstantne, st k~oigi x [a,b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f'(x) 0, ja teoreemi v¨aide on t¨aidetud iga c (a,b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M m. Funktsioon v~oib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas l~oigu [a,b] otspunktis v~oi vahemikus (a,b). Oletame k~oigepealt, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) v¨a¨artus u¨hes otspunktis M ja teises otspunktis m ning v~orratusest M m tuleneb, et f(x) v¨a¨artused l~oigu otspunktides on erinevad. Kuid me ju eeldasime, et funktsiooni v¨a¨artused l~oigu otspunktides on v~ordsed (vt tingimus f(a) = f(b) teoreemi s~onastuses!). Tekib vastuolu. J¨arelikult ei olnud oletus, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu ots- punktides a ja b, ~oige.
see funktsioon on pidev vahemikus (a,b). Vahemikus (a,b) pideva funktsiooni graafik on selle vahemiku kohal pidev joon. ii) Lõigul pidev funktsioon Lõigul pideva funktsiooni defineerimisel lähtutakse samuti pidevuse geom. sisust: pideva funktsiooni graafik on pidev joon. Kui funktsioon f on määratud lõigul [a,b], pidev vahemikus (a,b) ning lõigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev lõigul [a,b] · Elementaarfunktsioonide pidevus Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonna punktides pidevad. See ei tähenda, et põhilistel el.f'idel ei ole katkevuspunkte, (nt. y=tanx) kuid need asuvad väljaspool funktsiooni määramispiirkonda. 18) · Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul
see funktsioon on pidev vahemikus (a,b). Vahemikus (a,b) pideva funktsiooni graafik on selle vahemiku kohal pidev joon. ii) Lõigul pidev funktsioon Lõigul pideva funktsiooni defineerimisel lähtutakse samuti pidevuse geom. sisust: pideva funktsiooni graafik on pidev joon. Kui funktsioon f on määratud lõigul [a,b], pidev vahemikus (a,b) ning lõigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev lõigul [a,b] · Elementaarfunktsioonide pidevus Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonna punktides pidevad. See ei tähenda, et põhilistel el.f'idel ei ole katkevuspunkte, (nt. y=tanx) kuid need asuvad väljaspool funktsiooni määramispiirkonda. 18) · Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul
Kui funktsioon on punktis a nii vasakult kui ka paremalt pidev, siis on ta selles punktis pidev. (joonised lk 49 konspektis!) Vahemikus pidevad funktsioonid. Kui funktsioon ƒ on pidev vahemikus (a;b) kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev vahemikus (a;b). Vahemikus (a;b) pideva funktsiooni graafik on selle vahemiku kohal pidev joon. Lõigul pidevad funktsioonid. Selleks, et saavutada joone pidevust lisaks vahemikule (a;b) ka otspunktides a ja b (so tervel lõigul [a;b]) peame me nõudma funktsioonilt ka parempoolset pidevust vasakpoolses otspunktis a ja vasakpoolsest pidevust parempoolses otspunktis b. Kui funktsioon ƒ on määratud lõigul [a;b], pidev pahemikud (a,b) ning lõigu otspunktides a ja b vastavalt praemalt ja vasakult pidev, siis öeldakse, et see funtsioon on pidev lõigul [a;b] Elementaarfunktsioonide pidevus. Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonnas
joon. Lõigul pidevad funktsioonid. Lõigul pideva funktsiooni defineerimisel lähtutakse samuti pidevuse geomeetrilisest sisust: pideva funktsiooni graafik on pidev joon. Seega peame me kirja panema tingimused, mis garanteerivad, et funktsiooni f graafik on lõigu [a, b] kohal pidev joon. Kui me eeldame, et funktsioon on vahemikus (a, b) pidev, siis me saavutame vaid selle, et tema graafik vahemiku (a, b) kohal pidev joon. Selleks, et saavutada joone pidevust lisaks vahemikule (a, b) ka otspunktides a ja b (so tervel lõigul [a, b]) peame me nõudma funktsioonilt ka parempoolset pidevust vasakpoolses otspunktis a ja vasakpoolset pidevust parempoolses otspunktis b. Elementaarfunktsioonide pidevus. Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonna punktides pidevad. Seda võib näha nende funktsioonide graafikutelt (joonised 1.2, 1.4 - 1.15). Määramispiirkondade kohal on graafikud pidevad jooned. See ei tähenda muidugi, et põhilistel elementaarfunktsioonidel
vastavalt lõigul pidevate funktsioonide omadusele 1. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui M=m, siis on funktsioon lõigul [a,b] konstantne, st kõigi x[a,b] korral kehtib f(x)=M=m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f'(x)=0 ja teoreemi väide on täidetud iga c(a,b) korral. Kui Mm võib funktsioon oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a,b] otspunktis või vahemikus (a,b). Oletame, et mõlemad ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M ja teises m ning võrratusest Mm tuleneb, et f(x) väärtused lõigu otspunktides on erinevad, kuid me eeldasime, et funktsiooni väärtused lõigu otspunktides on võrdsed. Järelikult polnud oletus, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b, õige. Funktsioon f(x) peab vähemalt ühe oma absoluutsetest ekstreemumitest saavutama vahemikus (a,b) asuvas punktis. Tähistame selle punkti c-ga
kohal pidev joon, millel on kõrgeim ja madalaim punkt. 2. Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. Kui tõmmata lõigu [a,b] kõrgeima ja madalaima punkti vahele horisontaalsirge siis see sirge peab joont kuskilt lõikama. 3. Kui funktsioon f on pidev lõigul [a,b] ja omandab selle lõigu otspunktides erineva märgiga väärtusi siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c nii, et Tõestus Kolmas omadus lähtub esimesest kahest. Kui funktsiooni otspunktides on erineva märgiga väärtused siis peab nende vahele jääma 0, muidu ei saaks funktsiooni väärtus ühelt märgilt teisele üle minna. 18. · Funktsiooni tuletise definitsioon Olgu meil funktsioon f ja punkt a, mis kuulub selle funktsiooni määramispiirkonda
1) f on määratud argumendi väärtusel a, st , 2) eksisteerib lõplik vasakpoolne piirväärtus , 3) Analoogiliselt defineeritakse paremalt pidev funktsioon. Vahemikus ja lõigul pidevad funktsioonid Kui funktsioon f on pidev vahemiku (a,b) kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev vahemikus (a,b). Graafik on vahemikus (a,b) pidev joon. Kui funktsioon f on määratud lõigul [a,b], pidev vahemikus (a,b) ning lõigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev lõigul [a,b]. Elementaarfunktsioonide pidevus Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonna punktides pidevad. Määramispiirkondade kohal on graafikud pidevad jooned. See ei tähenda, et põhilistel elementaarfunktsioonidel poleks katkevuspunkte. Kuna elementaarfunktsioonid on
y - y - x = 0. Diferentseerime seda x järgi: 6 y y - y - 2 x = 0, millest 6 2 5 6 y - 1 4. Rolle´i teoreem koos geomeetrilise tõlgendusega. Lagrange´i teoreem koos geomeetrilise tõlgendusega. Cauchy teoreem. Rolle´i teoreem: Kui funktsioon f ( x ) on lõigul [ a, b] pidev, selle lõigu igas seesmises punktis diferentseeruv ja lõigu otspunktides x = a ja x = b võrdne nulliga [ f ( a ) = f ( b ) = 0] , siis leidub sellel lõigul vähemalt üks seesmine punkt x = c, a < c < b , milles tuletis f ( x ) on null, s.o. f ( c ) = 0 . Lagrange´i teoreem. Kui funktsioon f ( x ) on lõigul [ a, b] pidev ja selle lõigu igas seesmises punktis diferentseeruv, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks niisugune punkt x = c, a < c < b , et f ( b ) - f ( a ) = f ( c ) ( b - a ) . Cauchy teoreem
Contents Contents...................................................................................................................... 1 4.Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus. Pidevus........................................................ 5 7) Liitfunktsiooni tuletise ja osatuletise valemid. Uks neist tuletada.............................. 6 8) Defineerida funktsiooni tuletis etteantud suunas. Tuletada suunatuletise valem funktsiooni osatuletiste kaudu. Gradient. Telgedesuunalised tuletised. Suunatuletise tõlgendus..................................................................................................................... 9 10. Olgu mitmemuutuja funktsioon u = f (x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,u)= 0. Tuletada valem funktsiooni f osatuletiste jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. Valem tuletada kas kahe muutuja juhul (x = (x, y) R2) või üldjuhul (x Rn)...........11 12.Tuletada Taylori valem kahe- või mitmem...
määramispiirkonda. 15. Ühepoolselt pidevad funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse vasakult pidevaks punktis a, kui 1. f on määratud argumendi väärtusel a, st a X, 2. eksisteerib lõplik vasakpoolne piirväärtus , 3. = f(a). Kui funktsioon f on pidev vahemiku (a, b) kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev vahemikus (a, b). Kui funktsioon f on määratud lõigul [a, b], pidev vahemikus (a, b) ning lõigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev lõigul [a, b]. Elementaarfunktsioonide pidevus. Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonna punktides pidevad. 16. Kui leidub punkt x1 lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x1) f(x), siis nimetatakse arvu f(x1) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a, b]. 17
kontrollida. Need ei ole soovitused juhtidele, millist strateegiat kasutada. Peale selle, teooriad X ja Y on intuitiivselt tuletatud ja ei baseeru empiirilistel uuringutel. Teooriad X ja Y ei eelda vastavalt autoritaarset ja demokraatlikku juhtimisstiili. Autoritaarne stiil vib tekitada ttajates vastuseisu ning vga demokraatlik juhtimine vib lppeda kaosega. Efektiivne juht peab kohandama oma kitumist konkreetse situatsiooniga ettevttes. McGregori ksitlust ei saa vaadelda pideva skaalana, mille otspunktides on teooriad X ja Y. Tegemist on kahe tiesti erineva suhtumisega inimestesse. Teooria Y ei ole argument autoritaarse juhtimisstiili vastu, vaid vimu kasutamist nhakse seal kui ht paljudest inimeste juhtimise meetoditest. Erinevad lesanded ja situatsioonid nuavad erinevat lhenemist. Maslow vajaduste pramiid: Motivatsiooniteooriaid kasutatakse eelkige inimkitumise seletamiseks. Motivatsioon on oluline mjutusvahend inimeste tkvaliteedi parandamisel.
Kui lim(x +) f(x) = A, siis f(x) = A + (x), kus (x) lvs (x +)
Definitsioon: (x) nim. vaadeldavad piirprotsessis lõpmata suureks suuruseks, kui lim (x)=+
Lss (lõpmata suur suurus) omadus:
(x) (x+) lss (x+) , kui iga kuitahes suure L korral leidub selline arv N,
et | (x)|> L alati kui x > N
4) Milline on y=f(x) graafik lõigul (a;b), kui
Kui funktsioon y=f(x) on lõigul (a;b) pidev ja omadab selle otspunktides erinevate märkidega
väärtused, siis leidub punktide a ja b vahel vähemalt üks punkt x=c, milles funktsioon
omandab väärtuse null f(c) = 0
Sellel teoreemil on geomeetriline sisu: Pideva funktsiooni graafik, mis ühendab punkte M1(a;
f(a)) ja M2(b;f(b)), kus f(a) < 0 ja f(b) > b lõikab x telge vähemalt ühes punktis.
5) Defineerida logax
Logaritmfunktsioon: y=logax (0
Eksisteerib lõplik parempoolne piirväärtus lim+ () lim () = () + Vahemikus ja lõigu pidevad funktsioonid Kui funktsioonf on pidev vahemikus (a,b) kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev vahemikus (a,b). Vahemikus (a,b) pideva funktsiooni graafik on selle vahemiku kohal pidev joon. Kui funktsioon on määratud lõigul [a,b], pidev vahemikus (a,b) ning lõigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev lõigul [a,b] Elementaarfunktsioonide pidevus Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonna punktides pidevad. Määramispiirkonna kohal on graafikud pidevad jooned. Samas on põhilistel elementaarfunktsioonidel katkevuspunktid. Kuna elementaarfunktsioonid on saadud põhilistest elementarrfunktsioonide lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja
Weierstrassi teoreem funktsiooni tõkestatusest. Lõigus pidev funktsioon on tõkestatud selles lõigus. Weierstrassi teoreem ekstremaalsetest väärtustest. Lõigus pideval funktsioonil on olemas maksimaalne ja minimaalne väärtus selles lõigus. Bolzano-Cauchy teoreem vahepealsetest väärtustest. Lõigus pidev funktsioon omab iga väärtust, mis paikneb minimaalse ja maksimaalse väärtuse vahel. Teoreem. Kui lõigus [a;b] pideva funktsiooni f väärtused lõigu otspunktides a ja b on vastupidiste märkidega, siis lõigus [a;b] leidub vähemalt üks funktsiooni f nullkoht, s.o. niisugune koht c, kus f (c) = 0. 31
Järeldus Kui funktsioonid ja on integreeruvad lõigul ja , ja on pidev lõigul , siis leidub , nii et 19.Määratud integraal ülemise raja funktsioonina.Näidata,et saame pideva funktsiooni.Näidata,et pideva funktsiooni integreerimisel tekib diferentseeruv funktsioon. Lause: Kui f Tõestus: Näitame,et G on pidev lõigul [a,b], selleks vaatame vahet . Tõestus: Leiame funktsiooni G(x) tuletise(lõigu otspunktides ühepoolse tuletise) 20)Newton-Leibnizi valem. Valemi tõestus Kui f C[a; b] ja F on funktsiooni f mingi algfunktsioon sellel lõigul, siis Tõestus: Kuna fC[a; b], siis G´(x) = f (x), seega G on f mingi algfunktsioon ja iga f algfunktsioon F on seega esitatav kujul F(x) = G(x) + C: Võtame x = a ja saame F(a) = G(a) + C = C: Võttes x = b, saame F(b) = G(b) + C = G(b) + F(a): Seega G(b) = f (x)dx = F(b) - F(a) 21. Muutujavahetus määratud integraalis Lause
de korral; Leidub postitiivne arv R, nii et rida koondub kui I x-a I on väiksem koonduvusraadiusest ja hajub kui I x-a I on suurem koonduvusraadiusest. Koonduvusraadius- R. Näitab millise raadiusega rida koondub Leiame kui I x-a I ¿R (koondub). Kui I x-a I ¿R siis hajub Koonduvusintervall- Koonduvuspiirkonnas (-intervall) koondub astmerida absoluutselt, väljaspool koonduvuspiirkonda aga hajub. Otspunktides võib rida koonduda või hajuda- tuleb eraldi uurida ridade ∞ ∞ koonduvust. Leida:Uurime rida ∑ cn (−R) n ja ∑ cn R n koonduvust n=0 n=0 (need on ainsad otspunktid kus astmerida võib olla ringimisi koonduv) 35.Fourier rea rakendusi
kui 1. f on m¨a¨aratud argumendi v¨a¨artusel a, st a X, 2. eksisteerib l~oplik vasakpoolne piirv¨a¨artus lim xa- f(x), 3. lim xa- f(x) = f(a). Analoogiliselt defineeritakse ka paremalt pidev funktsioon. Vahemikus ja lõigul pidevad funktsioonid. Kui funktsioon f on pidev vahemiku (a,b) k~oigis punktides, siis ¨oeldakse, et see funktsioon on pidev vahemikus (a,b). Kui funktsioon f on m¨a¨aratud l~oigul [a,b], pidev vahemikus (a,b) ning l~oigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis ¨oeldakse, et see funktsioon on pidev l~oigul [a,b]. Elementaarfunktsioonide pidevus. k~oik elementaarfunktsioonid on oma m¨aa¨ramispiirkonnas pidevad 16. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. Kui leidub punkt x1 l~oigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt l~oigult kehtib v~orratus f(x1) f(x), siis nimetatakse arvu f(x1) funktsiooni f suuri- maks v¨a¨artuseks (absoluutseks maksimumiks) l~oigul [a,b].
Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui M = m, siis on funktsioon lõigul [a,b] konstantne, st kõigi x ∈ [a,b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f’(x) ≡ 0, ja teoreemi väide on täidetud iga c ∈ (a,b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M m. Funktsioon võib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a,b] otspunktis või vahemikus (a,b). Oletame kõigepealt, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M ja teises otspunktis m ning võrratusest M m tuleneb, et f(x) väärtused lõigu otspunktides on erinevad. Kuid me ju eeldasime, et funktsiooni väärtused lõigu otspunktides on võrdsed (vt tingimus f(a) = f(b) teoreemi sõnastuses!). Tekib vastuolu. Järelikult ei olnud oletus, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu ots- punktides a ja b, ˜oige.
+ 12 x 2 - 24 x punktid; x1 = -2; x 2 = 0 x3 = 1 2) arvutada funktsiooni f f (0) = 0 väärtused vaadeldavasse piirkonda f (1) = -5 jäävates kriitilistes punktides ja lõigu otspunktides; f (2) = 32 3) saadud väärtustest valida välja suurim ja vähim, mis ongi M = max{0; - 5; 32} = 32, globaalsed ekstreemumid sellel m = min{0; - 5; 32} = -5. lõigul; Globaalne maksimumpunkt: P = (2; 32) 15 Globaalne miinimumpunkt: P = (1; -5) Joone kumerus ja nõgusus
() . lim0 ( + ) - () = lim 0 = 0 () Vaatleme osalõigule [xi-1, xi] toetuvat kõvertrapetsi osa Si (joonisel 5.2 on selle [, ].Tõestus: Leiame funktsiooni G(x) tuletise (lõigu otspunktides ühepoolse küljed tõmmatud katkendliku joonega). Kui xi on väike, siis muutub pidev tuletise) funktsioon f osalõigul [-1, ] vähe. Seega võib ta sellel osalõigul lugeda ligikaudselt +
Leida poolringjoone selle kaare pikkus, mis jääb poolringjoone ja kaatetite puutepunktide vahele. 111.Täisnurkse kolmnurga pikem kaatet on ringjoone diameetriks. Leida selle ringjoone pikkus, kui lühema kaateti pikkus on 15 cm ja täisnurga tippu hüpotenuusi ning poolringjoone lõikepunktiga ühendava lõigu pikkus on 12 cm. 112. Võrdhaarse kolmnurga alus on 24 cm ja haar 15 cm. Leida niisuguse ringjoone raadius, mis puudutab haarasid aluse otspunktides. 113. Rombi on joonestatud ring ning ringi ruut, mille pindala on neli korda väiksem rombi pindalast. Leida rombi teravnurk. 114. Võrdkülgse kolmnurga külgedele on joonestatud ruudud. Ruutude tipud, mis ei ühti kolmnurga tippudega, on omavhel järgemööda ühendatud. Avaldada saadud hulknurga pindala antud kolmnurga külje a kaudu. 115. Ringjoonel raadiusega r on võetud järgemööda kaared 30°, 60°, 90°, 120°. Leida jaotuspunktide poolt moodustatud kumera viisnurga pindala. 116
samalt lõigult kehtib võrratus f(x2) <= f(x) siis nimetatakse arvu f(x2) funktsiooni f vähimaks väärtuseks lõigul [a; b]. Lõigul pidevatel funktsioonidel on järgmised omadused: Omadus 1. Lõigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Omadus 2. Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. Omadus 3. Kui funktsioon f on pidev lõigul [a; b] ja omandab selle lõigu otspunktides erineva märgiga väärtusi siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c kus f(c) = 0. Omadus 3 järeldub otseselt omadusest 2. Kui pideval funktsioonil f on lõigu otspunktides erineva märgiga väärtused siis on selle funktsiooni suurim väärtus positiivne ja vähim väärtus negatiivne. Teisest küljest, vastavalt omadusele 2 saavutab f iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. Kuna antud juhul 0 jääb
a.ii.3. b. Vahemikus ja lõigu pidevad funktsioonid b.i. Kui funktsioonf on pidev vahemikus (a,b) kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev vahemikus (a,b). Vahemikus (a,b) pideva funktsiooni graafik on selle vahemiku kohal pidev joon. b.ii. Kui funktsioon on määratud lõigul [a,b], pidev vahemikus (a,b) ning lõigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev lõigul [a,b] c. Elementaarfunktsioonide pidevus Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonna punktides pidevad. Määramispiirkonna kohal on graafikud pidevad jooned. Samas on põhilistel elementaarfunktsioonidel katkevuspunktid. Kuna elementaarfunktsioonid on saadud põhilistest elementarrfunktsioonide
4.Globaalsed ekstreemumid Funktsiooni globaalne maksimum mingis vahemikus on funktsiooni suurim väärtus antud vahemikus. Funktsiooni globaalne miinimum mingis vahemikus on funktsiooni vähim väärtus antud vahemikus. Globaalset maksimumi ja globaalset miinimumi nimetatakse globaalseteks ekstreemumiteks. Pideva funktsiooni y(x) globaalsete ekstreemumite leidmine vahemikus a x b : 1. Leida funktsiooni lokaalsed ekstreemumidvahemikus a x b 2. Leida funktsiooni y(x) väärtused vahemiku otspunktides a ja b ning lokaalsetes ekstreemumites , mis kuuluvad vahemikku a x b. 3. Võrdleme väärtusi: suurim neist on globaalne maksimum, vähim globaalne miinimum. Näide 4.6. On antud firma kasumifunktsioon P(q) = - 2q3 + 270q2 4800q 6000, kus q on toodete arv tuhandetes ja kasum on kroonides. Leida firma maksimaalne kasum, kui: 9 1) tootmismaht võib olla kuni 100 tuh. toodet;
Kuidas neid leida? Funktsiooni f globaalseks ehk absoluutseks maksimumiks piirkonnas A kuulub hulka X, nimetatakse tema suurimat väärtust selles piirkonnas. Funktsiooni f globaalseks ehk absoluutseks miinimumiks piirkonnas A kuulub hulka X nimetatakse tema vähimat väärtust selles piirkonnas. Globaalne ekstreemum kui lokaalne ekstreemum kehtib iga x korral. Leidmiseks: 1) leida funktsiooni kriitilised punktid f'(x)=0 2) arvutada funktsiooni väärtused kriitilistes punktides ja lõigu otspunktides 3) saadud väärtustest valida välja suurim ja vähim 7. Kirjeldada kasumi maksimeerimise kuldreeglit Kasumifunktsioon on (Q)= R(Q) - C(Q) Ekstreemumi tarviliku tingimuse järgi maksimum punktis kus ´(Q) = 0 Tootjale optimaalne toodede väljalaste hulk vastab marginaalkulu ja marginaaltulu võrdsusele. MR(Q)=MC(Q Täieliku konkurentsi tingimustes: tootjale optimaalse toodete väljalaste korral ühtib marginaalkulu turul oleva hinnaga p MC(Q)=p
Kuidas neid leida? Funktsiooni f globaalseks ehk absoluutseks maksimumiks piirkonnas A kuulub hulka X, nimetatakse tema suurimat väärtust selles piirkonnas. Funktsiooni f globaalseks ehk absoluutseks miinimumiks piirkonnas A kuulub hulka X nimetatakse tema vähimat väärtust selles piirkonnas. Globaalne eksreemum kui lokaalne ekstreemum kehtib iga x korral. Leidmiseks: 1) leida funktsiooni kriitlised punktid f´(x)=0 2) arvutada funktsiooni väärtused kriitilistes punktides ja lõigu otspunktides 3) saadud väärtustest valida välja suurim ja vähim 7. Kirjelda kasumi maksimeerimise kuldreeglit. Kasumifunktsioon on (Q)= R(Q) - C(Q) Ekstreermumi tarviliku tingimuse järgi maksimum punktis kus ´(Q) = 0 Tootjale optimaalne toodete väljalaste hulk vastab marginaalkulu ja marginaaltulu võrdsusele. MR(Q)=MC(Q) Täieliku konkurentsi tingimustes: tootjale optimaalse toodete väljalaste korral ühtib marginaalkulu turul oleva hinnaga p MC(Q)=p
Def. Funktsiooni f nimetatakse paremalt pidevaks punktis a, kui · f on määratud argumendi väärtusel a, st a X · Eksisteerib lõplik vasakpoolne piirväärtus lim f(x) · lim f(x) = f(a) Def. Kui funktsioon f on pidev vahemiku (a,b) kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev vahemikus (a,b). Def. Kui funtsioon f on määratud lõigul [a,b], pidev vahemikus (a,b) ning lõigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev lõigul [a,b]. Def. Põhilised elementaarfunktsioond on kõigis oma määramispiirkonna punktides pidevad. Seda võib näha nende funktsioonide graafikutelt. 16. Def. Kui leidub punkt x lõigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrrratus f(x ) f(x), siis nimetatakse arvu f(x ) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a,b].
Siis tuleb edasi tuletist leida kuni esmakordselt tuletis erineb nullist kui see juhtub paarisarvulise tuletise järgu korral on tegemist ekstreemumiga (liik nagu teise tuletise juureski, kui y(n)>0 min) kui paaritu tuletise järgu juures siis mitte. Funktsiooni maksimum ja miinimum (nimetatakse ka lokaalne ekstreemum) ei tarvitse olla vaadeldaval lõigul suurimaks ja vähimaks väärtuseks, tuleb kontrollida ka funktsiooni väärtusi lõigu otspunktides. 7. Kumerus- ja nõgususpiirkond, käänupunktid. Kõverat y = f(x) nimetatakse kumeraks punktis x = x0, kui selle punkti kuitahes väikeses ümbruses kõver kulgeb allpool oma puutujat. Kõverat y = f(x) nimetatakse nõgusaks punktis x = x0, kui selle punkti kuitahes väikeses ümbruses kõver kulgeb ülalpool oma puutujat. Kui funktsioon on nõgus mingis vahemikus, siis tema teist järku tuletis on positiivne selle vahemiku igas punktis
absoluutseks maksimumiks (miinimumiks) piirkonnas A X nimetatakse tema suurimat (vähimat) väärtust selles piirkonnas. Globaalse maksimumi ja globaalse miinimumi ühine nimetus on globaalne ekstreemum. Kui piirkonnas A pideval funktsioonil f on üksainus lokaalne ekstreemum, siis on see ka funktsiooni globaalne ekstreemum selles piirkonnas. Leidmine: 1) leida funktsiooni f kriitilised punktid lõigu X sisepunktides; 2) arvutada funktsiooni f väärtused kriitilistes punktides ja lõigu otspunktides; 3) saadud väärtustest valida välja suurim ja vähim, mis ongi globaalsed ekstreemumid sellel lõigul. 25. Kirjeldada kasumi maksimeerimise kuldreeglit. Tootjale optimaalne toodete väljalaske hulk vastab marginaalkulu ja marginaaltulu võrdsusele. MR(Q)=MC(Q). Täieliku konkurentsi tingimustes: Tootjale optimaalse toodete väljalaske korral ühtib marginaalkulu turul oleva hinnaga p, MC(Q)=p. 26. Defineerida joone kumerus ja nõgusus. Kui vahemiku (a;b) kõigis punktides
Def. Funktsiooni f nimetatakse paremalt pidevaks punktis a, kui · f on määratud argumendi väärtusel a, st a X · Eksisteerib lõplik vasakpoolne piirväärtus lim f(x) · lim f(x) = f(a) Def. Kui funktsioon f on pidev vahemiku (a,b) kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev vahemikus (a,b). Def. Kui funtsioon f on määratud lõigul [a,b], pidev vahemikus (a,b) ning lõigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev lõigul [a,b]. Def. Põhilised elementaarfunktsioond on kõigis oma määramispiirkonna punktides pidevad. Seda võib näha nende funktsioonide graafikutelt. 16. Def. Kui leidub punkt x lõigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrrratus f(x ) f(x), siis nimetatakse arvu f(x ) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a,b].
ekstreemumi leidumist või mitte. Siis tuleb edasi tuletist leida kuni esmakordselt tuletis erineb nullist kui see juhtub paarisarvulise tuletise järgu korral on tegemist ekstreemumiga (liik nagu teise tuletise juureski, kui y(n)>0 min) kui paaritu tuletise järgu juures siis mitte. Funktsiooni maksimum ja miinimum (nimetatakse ka lokaalne ekstreemum) ei tarvitse olla vaadeldaval lõigul suurimaks ja vähimaks väärtuseks, tuleb kontrollida ka funktsiooni väärtusi lõigu otspunktides. 7. Kumerus- ja nõgususpiirkond, käänupunktid. Kõverat y = f(x) nimetatakse kumeraks punktis x = x0, kui selle punkti kuitahes väikeses ümbruses kõver kulgeb allpool oma puutujat. Kõverat y = f(x) nimetatakse nõgusaks punktis x = x0, kui selle punkti kuitahes väikeses ümbruses kõver kulgeb ülalpool oma puutujat. Kui funktsioon on nõgus mingis vahemikus, siis tema teist järku tuletis on positiivne selle vahemiku igas punktis. f ''(x) > 0
Q F 2 F 0,7 F K,Q A 2aL 2 zL zL Painde keskmine nihkepinge ÜHE keevisõmbluse otspunktides MÕLEMAD nihkepinged mõjuvad 2M 2 Fh 3 2 Fh 4,2 Fh nurkõmbluse vähima paksusega K, M W zL2 zL2 zL2 sisepinnal ristuvates suundades 2 6
(lk 18) Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. 25. Defineerida hulgal pidev funktsioon. (lk 19) Olgu A vahemik, lõik või poollõik. Kui funktsioon f on pidev hulga A kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev hulgal A. Hulgal A pideva funktsiooni graafik on selle hulga kohal pidev joon. 26. Sõnastada teoreem funktsiooni nullkoha olemasolust. (lk 19) Kui funktsioon f on pidev lõigul [a, b] ja omandab selle lõigu otspunktides erineva märgiga väärtusi, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0. 27. Defineerida funktsiooni absoluutne maksimum ja absoluutne miinimum etteantud hulgal. (lk 20) Kui leidub punkt x1 ∈ A nii, et iga teise punkti x korral hulgast A kehtib võrratus f(x1) ≥ f(x), siis nimetatakse arvu f(x1) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) hulgal A. Kui leidub punkt x2 ∈ A nii, et iga teise punkti x korral hulgast A kehtib võrratus f(x2) ≤ f(x),
väärtustest, teoreem lõigul pideva funktsiooni nullkohast. 2 *Weierstrassi teoreem funktsiooni tõkestatusest: 0 Lõigus pidev funktsioon on tõkestatud selles lõigus. *Weierstrassi teoreem ektremaalsetest väärtustest: Lõigus pideval funktsioonil on olemas maksimaalne ja minimaalne väärtus selles lõigus. *Teoreem lõigul pideva funktsiooni nullkohast: kui lõigus [a;b] pideva funktsiooni f väärtused lõigu otspunktides a ja b on vastupidiste märkidega, siis lõigus [a;b] leidub vähemalt üks funktsiooni f nullkoht, s.o. niisugune koht c, kus f (c) = 0. 16 13 17. Tuletise mõiste, tuletise geomeetriline interpretatsioon (joone puutuja kaudu), tuletise leidmise skeem. 0 *Funktsiooni y = f (x) tuletiseks f'(x) kohal x nimetatakse piirväärtust:
Saab näha, et kui läbimõõtude vahe on kahekordne, siis saadav jõud võimendub neljakordselt rakendatud jõuga võrreldes. Joonis 3.4 Hüdraulilise pressi ja hüdrauliliste pidurite töö põhimõte. 3.4. Hüdrodünaamika Hüdrodünaamika (kreeka keelest ' - vesi ja µ - võimas) käsitleb fluidumi liikumise seaduspärasusi ning selle vastasmõju erinevate tahkete kehadega. Fluidumi liikumist alati tekitab rõhkude vahe selle teekonna otspunktides. Hüdrodünaamikas eristatakse nn. kolm ülesannet: sisemine, mis käsitleb fluidumi voolamist torude või kanalite sees, välimine, mis käsitleb tahke keha liikumist fluidumis, ning segaülesanne, mis käsitleb vedeliku liikumist läbi tahke materjali kihi. 3.4.1 Fluidumi voolamine 3.4.1.1 Põhimõisted Fluidumi liikumist saab jagada kaheks liigiks. Esimene nendest on mittestatsionaarne voolamine, s.t. selline voolamine, mille puhul fluidumi liikumine sõltub mitte ainult
Fn-i statsionaarseid punkte ja neid punkte,kus tuletis on lõpmatu( f´(xo)=+-) või ei eksisteeri(f´(xo)) nim fn-i f(x) kriitilisteks punktideks Kui pk x pideval fn-il on üksainus lokaalne ekstreemum siis on see ka fn-i f globaalne ekstreemum selles pk-s.Lõigus x pideva fn-i f globaalsete ekstreemumite leidmine:1)leida fni kriitilised punktid lõigu x=(a,b) sisepunktides 2)arvutada fni f väärtused kriitilistes punktides ja lõigu x=(a,b) otspunktides a ja b 3) saadud väärtustest valida välja suurim ja vähim,mis ongi vastavalt fni f suurim(glob max) ja vähim(glob min) väärtuses selles lõigus xTaylori ritta arendamisel arendame antud fni f(x) suvalise punkti x=xo(ümbruses),st kõigepealt teisendatakse antud fn polünoomi kujule,kus kordajateks on antud fni tuletised kohal X0,st tuletiste väärtused andtud punktis:f´(xo),f´´(xo)...kaudu. ***Taylori rea valem n-astme polün.korral
annaabi.ee 
