Funktsiooni uurimine loeng 7 (1)

Funktsiooni uurimine Funktsiooni kasvamine ja kahanemine Funktsiooni f (x) nimetatakse piirkonnas A kasvavaks, kui a f (b); iga a, b A korral. f (b) funktsioon kasvab funktsioon kahaneb
f (a) f (a) f (b)
a b a b Funktsiooni f (x) nimetatakse piirkonnas A monotoonselt kasvavaks, kui a puutuja Monotoonselt kasvav funktsioon y y=f (x)
0 x
- teravnurk (0 0
või = 0 f ( x) = tan = 0 3 Diferentseeruva funktsiooni kasvamine ja kahanemine Vahemikus A X diferentseeruv funktsioon y = f (x) on 1. monotoonselt kasvav vahemikus A f (x) 0 iga x A korral, 2. monotoonselt kahanev vahemikus A f (x) 0 iga x A korral, 3. konstantne vahemikus A f (x) = 0 iga x A korral, 4. kasvav vahemikus A f (x) 0 iga x A korral ja punktid, kus f (x) = 0 ei moodusta vahemikke, 5. kahanev vahemikus A f (x) 0 iga x A korral ja punktid, kus f (x) = 0 ei moodusta vahemikke, Järeldusi teoreemist: Kui f (x) > 0, siis on funktsioon y = f (x) kasvav vahemikus A. . Kui f (x) Statsionaarsed ja kriitilised punktid Punkte x X , kus f ' ( x) = 0 , nimetatakse funktsiooni y = f (x) statsionaarseteks punktideks. Funktsiooni statsionaarseid punkte ja neid punkte, kus funktsiooni tuletis puudub, nimetatakse funktsiooni y = f (x) kriitilisteks punktideks.
Kui vahemikus A = (a; b) punktid x1 tuletis märki.
5 Näide Leida funktsiooni y = |x2 ­ 4| monotoonsuse ( kasvamis - ja kahanemis-) piirkonnad. Funktsiooni määramispiirkond: X = (-; + ) x 2 - 4, kui x -2; 2 x, kui x -2; y = - ( x 2 - 4), kui - 2 statsionaarne punkt: y '= 0 y ei eksisteeri, kui x = ±2. x = 0.
Näeme, et punktides 2 ja -2 ei ole funktsioon y´ pidev ja seepärast tuletist ei eksisteeri. 6 Näide 2 x, kui x -2; y ' = - 2 x, kui - 2 testpunkt -3 testpunkt -1 testpunkt 1 testpunkt 3
-2 0 2 y ' (-3) = 2 (-3) = -6 kahanemispiirkond kahanemispiirkond y ' (-1) = -2 (-1) = 2 > 0 y ' (3) = 2 (3) = 6 > 0 kasvamispiirkond kasvamispiirkond
7 x 2 - 4, kui x -2; y = - ( x 2 - 4)
8 Funktsiooni ekstreemumpunkt Öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum (miinimum), kui leidub niisugune punkti a ümbrus, kus f ( x) f (a)) Maksimumpunkt Miinimumpunkt (a;f (a)) y y y = f (x) (a;f (a)) y = f (x) f (x) f (a) f (x) f (x) f (x) f (a)
0 x a x x 0 x a x x
Lokaalse maksimumi ja miinimumi ühine nimetus on lokaalne ekstreemum . Punkti (a; f (a)) nimetatakse lokaalseks ekstreemumpunktiks (maksimum- või miinimumpunktiks). 9 Ekstreemumi tarvilikud ja piisavad tingimused Ekstreemumi tarvilik tingimus: Lokaalne ekstreemum võib funktsioonil olla vaid tema kriitilises punktis. Ekstreemumi piisavad tingimused: Olgu funktsioon y = f (x) pidev kriitilises punktis a. 1) kui f (x) > 0 (s.t. f kasvab) punkti a vasakpoolses ümbruses ja f (x) 0 (s.t. f kasvab) punkti a parempoolses ümbruses, siis funktsioonil f on punktis a lokaalne miinimum. 3) kui f (x) on punkti a vasakpoolses ja parempoolses ümbruses ühe ja sama märgiga, siis punktis a lokaalset ekstreemumit ei 10 ole. Ekstreemumi piisavad tingimused Maksimum Miinimum
y = f (x) y y = f (x) y
f´(x)>0 f´(x)0 f´(x) >0
0 a- a a+ x 11 Ekstreemumi piisavad tingimused Olgu funktsioon f vähemalt kaks korda diferentseeruv statsionaarses punktis a.
Kui f (a) 0, siis punktis a on lokaalne miinimum.
Kui f (a) = 0, siis seda tunnust kasutada ei saa.
12 Ekstreemumi piisavad tingimused Olgu funktsioon f diferentseeruv n korda statsionaarses punktis a ning olgu f ' ' (a) = ... = f ( n-1) (a) = 0 ja f ( n ) (a) 0.
Kui n on paarisarv , siis punktis a on f ( n ) (a) f ( n ) (a) > 0 korral lokaalne miinimum.
Kui n on paaritu arv, siis punktis a lokaalset ekstreemumit ei ole.
13 Funktsiooni globaalsed ekstreemumid Funktsioon f globaalseks ehk absoluutseks maksimumiks (miinimumiks) piirkonnas A X nimetatakse tema suurimat (vähimat) väärtust selles piirkonnas.
Globaalse maksimumi ja globaalse miinimumi ühine nimetus on globaalne ekstreemum.
Kui piirkonnas A pideval funktsioonil f on üksainus lokaalne ekstreemum, siis on see ka funktsiooni globaalne ekstreemum selles piirkonnas.
14 Globaalsete ekstreemumite leidmine f ( x) = 3 x 4 + 4 x 3 - 12 x 2 , x X = [0; 2] 1) leida funktsiooni f kriitilised f ' ( x ) = 12 x 3 + 12 x 2 - 24 x punktid; x1 = -2; x 2 = 0 x3 = 1 2) arvutada funktsiooni f f (0) = 0 väärtused vaadeldavasse piirkonda f (1) = -5 jäävates kriitilistes punktides ja lõigu otspunktides; f (2) = 32 3) saadud väärtustest valida välja suurim ja vä = -5. lõigul; Globaalne maksimumpunkt: P = (2; 32) 15 Globaalne miinimumpunkt: P = (1; -5) Joone kumerus ja nõgusus Öeldakse, et funktsiooni f graafik on vahemikus X kumer (nõgus), kui selle vahemiku X igas punktis x graafiku puutuja asetseb ülalpool (allpool) graafikut. Nõgus graafik Kumer graafik y = f(x) y y
y = f(x)
0 a b x 0 a b x Kui vahemiku (a; b) kõigis Kui vahemiku (a; b) kõigis punktides funktsiooni f (x) teine punktides funktsiooni f (x) teine tuletis on negatiivne, s.t. tuletis on positiivne, s.t. f (x) 0, siis joon y = f (x) on 16 selles vahemikus kumer. selles vahemikus nõgus. Funktsiooni käänupunktid Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse joone käänupunktiks. y = f (x) Käänupunkt
y
0 x
Funktsiooni f graafikul võib käänupunkt olla vaid tuletise f (x) kriitilises punktis (s.t. punktis, kus f (x) on 0 või puudub) . Kui tuletisel f (x) on kriitilises punktis a lokaalne ekstreemum, siis punkt K = (a; f (a)) on funktsiooni f graafiku käänupunkt. 17 Funktsiooni graafiku asümptoodid Asetsegu punkt ( x; y ) funktsiooni f graafikul, millel on lõpmatusse ulatuv haru. Kui punkti ( x; y ) kaugenemisel lõpmatusse tema kaugus mingist sirgest läheneb nullile , siis seda sirget nimetatakse selle funktsiooni graafiku asümptoodiks.
Vasakpoolne y y = f (x) rõhtasümptoot
y=b b Parempoolne kaldasümptoot y = mx + b a 0 x
Püstasümptoot x= a 18 Funktsiooni graafiku asümptoodid Asümptooti võrrandiga x=a nimetatakse püst- ehk vertikaalasümptoodiks.
Asümptooti võrrandiga y = mx + b nimetatakse kaldasümptoodiks. Kui m = 0, siis kaldasümptooti nimetatakse rõht- ehk horisontaalasümptoodiks.
Tagasi 19 Asümptootide leidmine Sirge x = a on funktsiooni f graafiku püstasümptoot punkti a parempoolses (vasakpoolses) ümbruses siis ja ainult siis, kui lim f ( x) = ± ( lim f ( x) = ±). xa + xa -
Sirge y = mx + b on funktsiooni f graafiku parempoolne kaldasümptoot siis ja ainult siis, kui f ( x) m = lim , b = lim ( f ( x) - mx). x+ x x+
Sirge y = mx + b on funktsiooni f graafiku vasakpoolne kaldasümptoot siis ja ainult siis, kui f ( x) m = lim , b = lim ( f ( x) - mx). x - x x - 21 Funktsiooni uurimine Uurime funktsiooni f ( x) = 3 x 3 - 6 x 2 1) määramispiirkond X = (- ; + ) 2) katkevuspunktid Funktsioon on kõikjal pidev, katkevuspunktid puuduvad. 3) nullkohad Nullkohtade leidmiseks lahendame võrrandi f (x) = 0 3 x3 - 6x 2 = 0 x3 - 6 x 2 = 0 x 2 ( x - 6) = 0 x1, 2 = 0 ; 4) paaris, paaritu või perioodiline Ei paaris, paaritu, ega perioodiline. 22 Funktsiooni uurimine 5) positiivsus - ja negatiivsuspiirkond Positiivsuspiirkonna leidmiseks lahendame võrratuse f (x) > 0 3 x3 - 6x 2 > 0 x 2 ( x - 6) > 0
Kasutame intervallimeetodit
0 6
Jooniselt näeme, et X + = (6; )
23 Funktsiooni uurimine 6) monotoonsuse piirkonnad, ekstreemumid Leiame funktsiooni f (x) kriitilised punktid x-4 f ' ( x) = 3 x( x - 6) 2
x-4 f (x) = 0 kui x = 4 3 x( x - 6) 2 f (x) ei eksisteeri kui x = 0 ja x = 6
Kriitilised punktid: x1 = 0; x 2 = 4; x3 = 6
24 x-4 f ' ( x) = Funktsiooni uurimine 3 x( x - 6) 2
Kriitiliste punktide abil jaotame funktsiooni määramispiirkonna neljaks vahemikuks ja sobivalt valitud punktide abil määrame igal osal tuletise märgi. testpunkt -1 testpunkt 1 testpunkt 5 testpunkt 7
y ' (-1) > 0 0 y ' (1) 0 6 y ' (7 ) > 0
f´ märk + - + + f käik kasvab 0 kahaneb 4 kasvab 6 kasvab
maksimum miinimum ekstreemumit pole
25 Funktsiooni uurimine f´ märk + - + + f käik kasvab 0 kahaneb 4 kasvab 6 kasvab
maksimum miinimum ekstreemumit pole
Funktsiooni ekstreemumpunktid on: E1 = (0;0) E2 = (4;-3,17) Kasvamis-ja kahanemisvahemikud on:< X = (0;4 ) 26 Funktsiooni uurimine 7) käänupunktid, kumerus- ja nõgususpiirkonnad 8 f ' ' ( x) = - 3 x 4 ( x - 6) 5
Leiame f kriitilised punktid 8 f ei ole null mitte ühegi argumendi - väärtuse korral 3 4 x ( x - 6) 5 f ei eksisteeri kui x = 0 ja x = 6
Kriitiliste punktide abil jaotame funktsiooni määramispiirkonna kolmeks vahemikuks ja sobivalt valitud punktide abil määrame igal osal teise tuletise märgi. 27 Funktsiooni uurimine 8 f ' ' ( x) = - 3 x 4 ( x - 6) 5
testpunkt -1 testpunkt 1 testpunkt 7
y (-1) > 0 0 y (1) > 0 6 y (7) f ´´ märk + + -
f käik nõgus 0 nõgus 6 kumer x
Käänupunkt on K(6; 0). Kumerus- ja nõgususvahemikud on: X = (6; ) X = (-;6) 28 Funktsiooni uurimine 8) leiame asümptoodid Püstasümptoodid puuduvad, sest x ühegi lõpliku väärtuse puhul funktsiooni väärtus ei lähene lõpmatusele. Parempoolse kaldasümptoodi y = mx + b leidmiseks arvutame kõigepealt m ja b f ( x) 3 x3 - 6x 2 m = lim = lim = x + x x + x 6x 2 x 1 - 3 3 x3 - 6x 2 3 x = 6 = lim 3 3 = lim lim 3 1- =1 x + x x + x3 x + x
29 Funktsiooni uurimine b = lim [ f ( x) - mx ] = lim (3 x 3 - 6 x 2 - x) = x + x +
= lim ( (3 x 3 - 6 x 2 - x ) (3 x 3 - 6 x 2 ) 2 + x 3 x 3 - 6 x 2 + x 2 )= x + (3 x 3 - 6 x 2 ) 2 + x 3 x 3 - 6 x 2 + x 2
- 6x 2 = lim = x + 3 (x - 6x ) x3 x 3 - 6 x 2 x 2 3 2 2 x 2 + + 2 x 2 x 2 x -6 = lim = x + x - 12 x + 36 x 6 5 4 x - 6x 3 2 3 + 3 +1 x6 x3
30 Funktsiooni uurimine -6 = lim = x + x - 12 x + 36 x 6 5 4 x - 6x3 2 3 + 3 +1 x6 x3 -6 = lim = x + 12 x 36 x 5 4 6x 2 x 6 1 - 6 + 6 x 3 1 - 3 3 x x +3 x +1 x6 x3
-6 -6 = lim = lim = -2 x + 12 36 3 6 x + 3 3 1- + 2 + 1- +1 x x x
Seega sirge y = x ­ 2 on parempoolne kaldasümptoot. Sama sirge osutub ka vasakpoolseks kaldasümptoodiks (kontrolli järgi). 31 Funktsiooni graafik y
y=x-2
y = f (x)
E1(0;0) 4 K (6; 0) x E2 (4; -3,17)
32 Funktsiooni uurimine
1. Määramispiirkond 2. Nullkohad 3. Paaris või paaritu 4. Positiivsus-ja negatiivsuspiirkond 5. Monotoonsuse piirkonnad, ekstreemumpunktid 6. Käänupunktid, kumerus-ja nõgususpiirkonnad 7. Asümptoodid
33 L'Hospitali reegel L'Hospitali reegel f ( x) Kui lim f ( x) = lim g ( x) = 0 ja leidub lim xa xa x a g ( x )
f ( x) või lim f ( x) = lim g ( x) = ja leidub lim x a g ( x ) xa xa
siis kehtib võrdus f ( x) f ( x) lim = lim xa g ( x) x a g ( x )
35 Näide Näide 1: 1 1 tan( x / 2)] 0 tan( x / 2)0 = [ = lim cos 2 ( x / 2) 2 1 lim lim = x 0 ln( x + 1) L'H x 0 [ln( x + 1)] x 0 1 2 x +1 Näide 2: 0 0 1 - cos x 0 (1 - cos x) sin x 0 (sin x ) lim = lim = lim = lim x 0 x 2 L'H x 0 ( x ) 2 x 0 2 x L'H x 0 ( 2 x )
cos x = 1 = lim x 0 2 2
36