Funktsiooni uurimine (0)

Kirjtuada käsitsi! Kahele poole kirjutada ei tohi! Soovitame lehe keskelt pooleks jagada: 
uurimine  vasakul (ülemisel) poolel, lisavalemid paremal (all). 
Kirjutada üles kõik, mis võiks vajalik olla, siin on kõik detaiselt välja toodud. 
 
1.  Määramispiirkond 
   Kirjutan  välja tingimused, arvutan x väärtused, nende põhjal määran piirkonna: 
o  Ruutjuur 
o   Logaritm  
o  Nulliga jagamine 
  X = ... 
2.  Nullkohad 
  f(x) = 0, leian x väärtused, kui nimetaja  ei võrdu nulliga. 
  X0 = ... 
3.  Paaris või paaritu 
  Paaris, kui f(-x) = f(x). Paaritu, kui f(-x) = -f(x) 
  f(-x) leidmiseks  asendada  funktsiooni avaldises kõik x --> -x. -f(x) jaoks panna  avaldise  
ette märk – 
  paaris / paaritu 
4.   Positiivsus - ja negatiivsuspiirkonnad 
   Positiivsuspiirkond  on, kui f(x) > 0. 
  Kui murd , siis lugeja/nimetaja>0  lugeja*nimetaja>0. 
  Leian nullkohad,  kannan  x-teljele. 
  Kui f(x) ees kordaja on positiivne, alustame abijoone tõmbamist ülevalt paremalt, kui 
negatiivne kordaja, siis korrutada miinusega. Abijoon läbib punkti, kui seda nullkohta on 
paaritu arv  kordi , ja „põrkab“, kui seda nullkohta on paaris arv kordi. Kui „põrkab“, siis ei 
ole piirkonda kaasa arvatud. 
  Kirjutan ülespoole joont jääva osa positiivsuspiirkonnaks X+ = ... ja allapoole joont jääva 
osa negatiivsuspiirkonnaks X- = ... 
5.  Monotoonsuse ( kasvamis - ja kahanemis-)piirkonnad, ekstreemumid 
  Võtame esimese tuletise f’(x). Diferentseerimise reeglid, log.dif võte! 
  Leiame f(x) kriitilised  punktid: 
o  f’(x) nullkohad. f’(x) = 0, leian x väärtused, kui nimetaja ei võrdu nulliga. 
o  f’(x) puudub (määramata). Leian x väärtused, kui nimetaja võrdub nulliga. 
  Kannan kriitilised punktid x-teljele. Iga osa kohta leian, kas f’(x)>0 või f’(x)0, siis kasvab. Kui f’(x)0 või f’’(x)0, siis nõgus. Xu = ... 
  Kui f’ (x)arv- f(x), kui arv ei alusta x-telge (kui pole määramispiirk esimene väärtus). 
Kui +∞ või -∞, siis püstasümptoot olemas arvu vasakpoolses ümbruses. 
o  lim x->arv+ f(x), kui arv ei lõpeta x-telge (kui pole määramispiirk viimane väärtus). 
Kui +∞ või -∞, siis püstasümptoot olemas arvu parempoolses ümbruses. 
  Kaldasümptoodid 
o  y = mx + b 
o  Parempoolne kaldasümptoot, kui paremal pool eksisteerib lõpmatus. 
  m = lim x->+∞ f(x)/x. 
  b = lim x->+∞ [f(x)-mx]. 
  Kui m=±∞ või b=±∞, siis kaldasümptooti pole 
  Asendan m ja b ning kirjutan: Sirge y=mx+b on funktsiooni f graafiku 
parempoolne kaldasümptoot. 
o  Vasakpoolne kaldasümptoot, kui vasakul pool eksisteerib lõpmatus. 
  Kui asendada piirprotsess x->+∞ piirprotsessiga x->-∞ ja sellest 
arvutustulemused  ei muutu, siis sama sirge y= ... on ka vaskpoolne 
kaldasümptoot. 
  m = lim x->-∞ f(x)/x. 
  b = lim x->-∞ [f(x)-mx]. 
  Kui m=±∞ või b=±∞, siis kaldasümptooti pole. 
  Asendan m ja b ning kirjutan: Sirge y=mx+b on funktsiooni f graafiku 
vasakpoolne kaldasümptoot. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
kraadid α 
0o 
30 o 
45 o 
60 o 
90 o 
180 o 
270 o 
sin α 
0 
1
1 
0 
-1 
 
2
3
 
 
2
2
2
cos α 
1 
3
2
1
0 
-1 
0 
 
 
 
2
2
2
tan α 
0 
3
1 
3  
puudub 
0 
puudub 
 
3
cot α 
puudub 
3  
1 
3
0 
puudub 
0 
 
3
radiaanid 
0 




  
3
 
 
 
 
 
6
4
3
2
2
 
Diferentseerimise valemid 
y   const   
y’ =  0  
 
y   arcsin  x  
y ’ = 
1
 
2
1 x
a

y  x  
y’ = 
a 1

ax
 
 
y
arccos x  
y ’ =
1
  
 
2
1 x
y  x  
y’ = 1 
 
y   arctan  x  
y ’ =
1
 
 
2
1 x

y 
x  
 
y
arccot x  
y’ =  1
1
 
y ’ =  
 
2 x
2
1 x
1
1
 
x
y  a  
y ’ =  ax ln a  
y 
 
y’ =  
 
x
2
x
y  sin x  
y’ =  cos x  
 
x
y  e  
y ’ =  x
e  
y  cos x  
y’ =   sin x  
 
y  log x  
1
a
y ’ = 
 
x ln a
y  tan x  
 

 
y’ = 
1
y
ln x
1
 
y ’ =   
2
cos x
x
y  cot x  
 
 
 
y’ = 
1

 
2
sin x
 
Diferentseerimisreeglid  
 
 f  g’ x  =  f ’ x + g ’ x  
0 
0 
0 
 f  g’ x  = f ’ x - g ’ x  
0 
0 
0 
 fg’ x  = f ’ x g x  + f x g ’ x  
0 
0 
0 
0 
0 
cf ’ x  = c f ’ x , kus c  const  
0 
0 
 
 f 
f ' x g x  f x g ' x
o 
 o  o  o
  x0 
 g 
 = 
g 2 x
 
o 