I kontrolltöö 1. + Hulk koosneb elementidest, kusjuures elemendid ei kordu ja nende järjestus ei ole kindlaks määratus. Tähistamine suure tähtega, aga elemendid väike tähtega. + Järjestetud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev, kumb järgnev. + arvuhulgad ? + Tõkestatud hulgad on näiteks kõik lõplikud vahemikud (a; b), lõigud [a; b] ja poollõigud [a; b), (a; b]. + Tõkestamata hulgad on aga näiteks lõpmatud vahemikud (-;a), (a; ) ja lõpmatu poollõigud (-; a], [a; ) 2. + Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a-; a+), kus >0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-; a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui . + Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud null...
· Funktsioon on pidev mingis piirkonnas, kui ta on pidev selle piirkonna igas punktis. Ühepoolne pidevus Öeldakse, et funktsioon y = f(x) on punktis a paremalt pidev, kui lim = (). + · Öeldakse, et funktsioon y = f(x) on punktis a vasakult pidev, kui lim = (). - · Funktsioon on pidev punktis a, kui ta on selles punktis pidev nii vasakult kui ka paremalt. FUNKTSIOONI KATKEVUSPUNKTID Funktsiooni katkevuspunkti mõiste · Funktsiooni y = f(x) nim katkevaks punktis a, kui ta ei ole selles punktis pidev. · Punkti a nim funktsiooni katkevuspunktiks. · Seega, a on funktsiooni katkevuspunkt, kui ei ole täidetud tingimus lim = () . Teiste sõnadega, kui on täidetud vähemalt üks järgmisest kolmest tingimusest: () lim (), st parem- ja vasakpoolne piirväärtus ei ühti lim ()
x+9>4x x+9-4x>0 x-4x>-9 -3x+9>0 -3x>-9 |:(-3) y= -3x+9 x<3 y>0 Vastus: x]-;3[ Ruutvõrratus Näiteks: 6+x-x2<0 y= 6+x-x2 y<0 Vastus: x]-;-2[]3; [ Kõrgema astme võrratus Näiteks: x5-x3-8x2+80 y= x5-x3-8x2+8 y0 Vastus: x]-;-1][1;2] Murdvõrratus Näiteks: x +1 0 x-2 x +1 y= x-2 y0 Vastus: x[-1;2[ Kokkuvõte ehk intervallmeetod Viin kõik võrratuse liikmed paremale poole; Leian võrratuse nullkohad ja katkevuspunktid; Joonestan x-telje ja kannan saadud punktid sinna; Uurin võrratuse avaldise märki igas saadud piirkonnas; Tõmban abijoone läbi nullkohtade ja katkevuspunktide; Vaatan võrratusemärki ja viirutan vastuseks sobiva piirkonna; Kirjutan vastuse välja. x2 + 7x Lahendada võrratus x + 10 4
2) funktsioon peab olema lõplik piirväärtus koheal a 3) peab kehtima võrdus limx→a f(x) = f(a) Näited: Geomeetriline tõlgendus: geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevus seda, et graafikul on väärtuste muutmine y-telje sihis kuitahes väike, kui vaid muutmine x-telje sihis on piisavalt väike Tehted pidevate funktsioonidega: f(x) + g(x); f(x) − g(x); f(x)g(x); f(x) /g(x) 11. Funktsiooni katkevuspunktid (definitsioon, I ja II liiki katkevuspunktid). Definitsioon: kui funktsioon ei oled pidev kohal a, siis punkti a nimetatakse funktsiooni f(x) katkevuspunktiks Esimest liiki katkevus punktid: funktsioonil on olemas ühepoolsed piirväärtused Teist liiki katkevuspunktid: kõik ülejäänud katkevuspunktid 12. Pideva funktsiooni omadused (teoreemid lk 12-13). Weierstrass teoreem: Lõigus pidev funktsioon on tõkestatud selles lõigus
x → x0 lim =0 x → x0 ja x → x β(x ) ja . 0 KATKEVUSPUNKTID Punkt, kus f-n ei ole pidev – katkevuspunkt. x0 4. Elementaarf-n on pidev oma määramispiirkonna
12. Joone asümptoodid. Asümptootilised avaldised Kui funktsiooni y=f(x) graafiku punkti tõkestamatul eemaldumisel selle punkti kaugus mingist sirgest läheneb nullile, siis nimetatakse seda sirget antud joone asümptoodiks. Joonel y=f(x) võib leiduda kahte tüüpi asümptoode: * Püstasümptoot võrrandiga x=a selle joone teist liiki katkevuspunkti x=a korral. *Joone y=f(x) püstasümptoodide leidmiseks tuleb leida joone kõik teist liiki katkevuspunktid ning leida neis funktsiooni ühepoolsed piirväärtused. *Eksisteerib ka kaldasümptoot kujul y=kx + b protsessis 𝑥 → − või 𝑥 → + , kusjuures neid kahte kaugenemist tuleb uurida eraldi. *Kaldasümptoodide leidmiseks tuleb suurused k ja b määrata juhul 𝑥 → ning seejärel asetada nad antud võrdusesse.(y=kx+b)
selle mingis ümbruses ning y = 0. Seega on funktsioon y = f(x) kohal x pidev, kui argumendi muudu hääbumisel ka funktsiooni väärtuse muut hääbub. Pidevate funktsioonide omadused. 1. Kahe pideva funktsiooni summa on pidev funktsioon 2. Kahe pideva funktsiooni korrutis on pidev funktsioon 3. Kahe pideva funktsiooni jagatis on pidev funktsioon, kui jagaja ei võrdu vaadeldavas punktis nulliga 4. Liitfunktsioon on pidev, kui tema koostis osad on pidevad funktsioonid. 14. Katkevuspunktid ja nende liigitus. Tooge näiteid iga vaadeldud variandi kohta. Katkevuspunktid ja nende liigitus. Kui funktsioon y = f(x) ei ole pidev punktis a, siis öeldakse, et ta on katkev punktis a ja punkti a nimetatakse funktsiooni y = f(x) katkevuspunktiks Liigitus: 1) Kui funktsiooni y = f(x) katkevuspunktis a on olemas lõplikud ühepoolsed piirväärtused f(x) ning f(x), siis punkti a nimetatakse esimest liiki katkevuspunktiks.
f ( x) m = lim , b = lim ( f ( x) - mx). x+ x x+ Sirge y = mx + b on funktsiooni f graafiku vasakpoolne kaldasümptoot siis ja ainult siis, kui f ( x) m = lim , b = lim ( f ( x) - mx). x - x x - 21 Funktsiooni uurimine Uurime funktsiooni f ( x) = 3 x 3 - 6 x 2 1) määramispiirkond X = (- ; + ) 2) katkevuspunktid Funktsioon on kõikjal pidev, katkevuspunktid puuduvad. 3) nullkohad Nullkohtade leidmiseks lahendame võrrandi f (x) = 0 3 x3 - 6x 2 = 0 x3 - 6 x 2 = 0 x 2 ( x - 6) = 0 x1, 2 = 0 ; x3 = 6 X 0 = {0;6} 4) paaris, paaritu või perioodiline Ei paaris, paaritu, ega perioodiline. 22 Funktsiooni uurimine 5) positiivsus- ja negatiivsuspiirkond
Funktsioon uurimine 1. Määramispiirkond; 2. Graafiku sümmeetria; 3. Perioodilisus ( paaris või paaritu); 4. Katkevuspunktid ja pidevuspiirkonnad; 5. Nullkohad ja negatiivsus- ja positiivsuspiirkonnas; 6. Lokaalsed ekstreemumid ja range monotoonsuse piirkond; 7. Graafiku käänupunktid ja kumerus- ning nõgususpiirkonnad; 8. Graafiku püstasümptoodid; 9. Graafiku kaldasümptoodid; 10. Skitseerime graafiku. Integraal Def1 Öeldakse, et funktsiooni F ( x ) on funktsiooni f ( x ) algfunktsioon hulgal X, kui iga x X
x 0 x saame pideva funktsiooni sin x , kui x 0 f ( x) = x 1, kui x = 0. 24 Esimest liiki katkevuspunktide jaotus 3) koht a, mille korral leiduvad lim f ( x) ja f ( a ), kuid lim f ( x) f (a ). xa x a 25 Teist liiki katkevuspunktid Arvu a nimetatakse funktsiooni y = f (x) teist liiki katkevus- punktiks kui lim f ( x) on lõpmatu või ei eksisteeri xa - lim f ( x) on lõpmatu või ei eksisteeri xa + (s.t. kui lim f ( x) on lõpmatu või ei eksisteeri). x a 26 Näide 1 Uurime funktsiooni f ( x) = katkevust kohal 1. 1- x 1
f(a), siis on liitfunktsioon pidev punktis a. 14. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus: 1. Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused ja , siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunktid jagunevad kaheks: 1.a) Kui esimest liiki katkevuspunktis kehtib võrdus , siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f kõrvaldatavaks katkevuspunktiks. 1.b) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrratus , siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f hüppekohaks. 2. Kui vähemalt üks ühepoolsetest piirväärtustest või puudub või ei ole lõplik,
Arv e ja piirväärtus lim(1+1/x)=e 5. Funktsiooni pidevus. Ühepoolsed piirväärtused, Moodustame integraalsumma katkevuspunktid. Teoreemid lõigul pideva funktsiooni Definitsioon Funktsiooni y=f(x) määratud integraaliks lõigul kohta. [a,b] nimetatakse piirväärtust 6. Funktsiooni tuletis ja selle geomeetriline tähendus.
................................... 10 12. Funktsiooni piirväärtuse aritmeetiliste tehetega seotud omadused. ........................................ 10 13. Funktsiooni pidevus antud punktis, funktsiooni ühepoolne pidevus, piirkonnas pidev funktsioon. Tuua näiteid. ............................................................................................................... 11 14. Katkev funktsioon, esimest liiki katkevus, esimest liiki katkevuspunktide jaotus, teist liiki ..11 katkevuspunktid. Tuua näiteid. ......................................................................................................11 15. Pidevate funktsioonide aritmeetiliste tehetega seotud omadused. Liitfunktsiooni pidevus. Tuua näiteid. .................................................................................................................................. 13 16. Weierstrassi teoreem funktsiooni tõkestatusest, Weierstrassi teoreem ekstremaalsetest
. Kui f(x) , siis . Kui f(x) a,b korral, siis + Päratud integraalid katkevatest funktsioonidest: Vaatleme juhtu, kui funktsioon on katkev. Kui f-l on katkevuspunktid lõigul [a, b], siis selle funktsiooni integraalsumma ei tarvitse omada lõplikku piirväärtust, seega ei eksisteeri viimasel juhul ka määratud integraali . Siiski on katkevat funktsiooni teatud juhtudel võimalik integreerida päratu integraali mõttes. Vaatleme kahte erijuhtu: 1. Olgu funktsioon f pidev poollõigul [a, b) ja olgu b selle funktsiooni katkevuspunkt. Siis on f pidev kõigil lõikudel [a, c], kus c on a ja b vahel, st c (a, b)
Peab kehtima x=a b. Funktsioon on pideva kohal a parajasti siis, kui f(x) on kohal a paremalt ja vasakult pidev c. 11. Funktsiooni muut: ∆ y=f ( x+ ∆ x )−f (x) Argumendi muut: ∆ x=( x +∆ x )−x 12. Kui funktsioone ei ole pidev kohal a, siis punkti a nimetatakse funktsiooni f(x) katkevuspunktiks. a. Esimest liiki: on olemas ühepoolsed piirväärtused b. Teist liiki: kõik ülejäänud katkevuspunktid 13. Pideva funktsiooni omadused: 1. Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on pidevad kohal a, siis ka funktsioonid f(x) +g(x); f(x) - g(x); f(x)g(x); f(x) / g(x) on pidevad kohal a, kusjuures jagatise korral eeldame, et g(x) ≠ 0 2. Liitfunktsiooni f[g(x)] on pidev kohal a, kui g(x) on pidev kohal a ja f(u) on pidev kohal b= g(a). Lihtsamalt, liitfunktsioon on pidev, kui tema koostisosad on pidevad.
xa f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f k~orvaldatavaks katkevus- punktiks. b) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib v~orratus lim xa- f(x) ei võrdu lim xa+ f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f hu¨ppepunktiks (hu¨ppekohaks). 2. Kui v¨ahemalt u¨ks u¨hepoolsetest piirv¨a¨artustest lim xa- f(x) v~oi lim xa+ f(x) puudub v~oi ei ole l~oplik, siis nimetatakse punkti a funktsiooni f teist liiki katkevuspunktiks. (Lu¨hemalt: teist liiki katkevuspunktid on k~oik need katkevuspunktid, mis ei ole esimest liiki.) 15. Ühepoolselt pidevate funktsioonide definitsioonid. Uhepoolselt pidevad funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse vasakult pi- devaks punktis a, kui 1. f on m¨a¨aratud argumendi v¨a¨artusel a, st a X, 2. eksisteerib l~oplik vasakpoolne piirv¨a¨artus lim xa- f(x), 3. lim xa- f(x) = f(a). Analoogiliselt defineeritakse ka paremalt pidev funktsioon. Vahemikus ja lõigul pidevad funktsioonid.
selle mingis ümbruses ning y = 0. Seega on funktsioon y = f(x) kohal x pidev, kui argumendi muudu hääbumisel ka funktsiooni väärtuse muut hääbub. Pidevate funktsioonide omadused. 1. Kahe pideva funktsiooni summa on pidev funktsioon 2. Kahe pideva funktsiooni korrutis on pidev funktsioon 3. Kahe pideva funktsiooni jagatis on pidev funktsioon, kui jagaja ei võrdu vaadeldavas punktis nulliga 4. Liitfunktsioon on pidev, kui tema koostis osad on pidevad funktsioonid. 14. Katkevuspunktid ja nende liigitus. Tooge näiteid iga vaadeldud variandi kohta. Katkevuspunktid ja nende liigitus. Kui funktsioon y = f(x) ei ole pidev punktis a, siis öeldakse, et ta on katkev punktis a ja punkti a nimetatakse funktsiooni y = f(x) katkevuspunktiks Liigitus: 1) Kui funktsiooni y = f(x) katkevuspunktis a on olemas lõplikud ühepoolsed piirväärtused f(x) ning f(x), siis punkti a nimetatakse esimest liiki katkevuspunktiks.
Kui f(x) [a, b]iga a,b R korral, siis - () = - () + () = lim- () + lim (). Päratud integraalid katkevatest funktsioonidest: Vaatleme juhtu, kui funktsioon on katkev. Kui f-l on katkevuspunktid lõigul [a, b], siis selle funktsiooni integraalsumma ei tarvitse omada lõplikku piirväärtust, seega ei eksisteeri viimasel juhul ka määratud integraali () . Siiski on katkevat funktsiooniteatud juhtudel võimalik integreerida päratu integraali mõttes. Vaatleme kahte erijuhtu: 1. Olgu funktsioon f pidev poollõigul [a, b) ja olgu b selle funktsiooni katkevuspunkt.
...................................., siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f k~orvaldatavaks katkevuspunktiks. b) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrratus............................. siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f hüppepunktiks (hüppekohaks). Kui vähemalt üks ühepoolsetest piirväärtustest lim............................... puudub või ei ole lõplik, siis nimetatakse punkti a funktsiooni f teist liiki katkevuspunktiks. (Lühemalt: teist liiki katkevuspunktid on kõik need katkevuspunktid, mis ei ole esimest liiki.) 15. Ühepoolselt pidevate funktsioonide definitsioonid: Funktsiooni f nimetatakse vasakult pidevaks punktis a, kui 1. f on määratud argumendi väärtusel a, st a X, 2. eksisteerib lõplik vasakpoolne piirväärtus lim............... 3. lim............................ Analoogiliselt defineeritakse ka paremalt pidev funktsioon. Selleks tuleb definitsioonis esinev vasakpoolne piirväärtus lim..........................................
järelikult on funktsioon ka pidev vahemikus (a,b) · Lõigul pidev funktsioon lisaks vahemikus olevale pidevusele peab olema funktsoonil parempoolne pidevus vasakpoolses otspunktis ja vasakpoolne pidevus parempoolses otspunktis. · Elementaarfunktsiooni pidevus Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonna punktides pidevad, mis ei tähenda aga seda, et neil poleks katkevuspunkte. Nt funktsioonil on katkevuspunktid aga need ei asu tema määramispiirkonnas. Ehk, kui punkt kuulub funktsiooni määramispiirkonda siis on täidetud pidevuse esimene tingimus ja automaatselt ka teine ja kolmas mistõttu saab a arvutamisel kasutada valemit 16. · Absoluutne maksimum kui leidub punkt lõigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus · Absoluutne miinimum kui leidub punkt lõigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral
konstrueeritud puutuja allpool funktsiooni graafikut ja teisel pool punkti a on puutuja ülalpool funktsiooni graaikut ning punkt a on käänupunkt. 20).Joone asümptoodid Kui joone y = f(x) punkti P kaugenemisel lõpmatusse punkti P kaugus mingist sirgest läheneb tõkestamatult nullile, siis seda sirget nimetatakse selle joone asümptoodiks. · vertikaalasümptoodid x = a; Joone y=f(x) püstasümptoodide leidmiseks tuleb leida joone kõik teist liiki katkevuspunktid ning leida neis funktsiooni ühepoolsed piirväärtused. · kaldasümptoodid y = kx + b, kus Kaldasümptoodide leidmiseks tuleb suurused a ja b määrata juhul ning seejärel asetada nad antud võrdusesse. (y=ax+b)
b) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrratus lim(x->a astmel -) (x) ei võrdu lim(x->a astmel +) (x) siis nimetatakse seda punkti funktsiooni hüppepunktiks (hüppekohaks) 2. Kui vähemalt üks ühepoolsetest piirväärtustest lim (x->a astmel -) (x) või lim (x->a astmel +) f(x) puudub või ei ole lõplik, siis nimetatakse punkti a funktsiooni teist liiki katkevuspunktiks. (Lühemalt: teist liiki katkevuspunktid on need katkevuspunktid, mis ei ole esimest liiki.) Näited konspektis! 15. Ühepoolselt pidevate funktsioonide definitsioonid. Funktsiooni nimetatakse vasakult pidevaks punktis a, kui 1. on määratud argumendi väärtusel a, st a X 2. eksisteerib lõplik vasakpoolne piirväärtus lim(x->a astmel -) (x) 3.lim (x->a astmel -) f(x)= f(a) Analoogselt defineeritakse ka paremalt pidev funktsioon. Selleks tuleb definitsioonis esinev vasakpoolne piirväärtus lim(x->a astmel -) (x) asendada
Geomeetriline tõlgendus: Tunnus – saab joonestada graafikult nö pliiatsit tõstmata. Tingimused pidevuseks: 1) Funktsioon f(x) peab olema määratud kohal a (so f(a) peab eksisteerima). 2) F-l f(x) peab olema lõplik piirväärtus kohal a (st lim (x) f(x) peab eksisteerima). 3) Peab eksisteerima võrdus lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 𝑥→𝑎 Kõik polünoomid on kõikjal pidevad N: ruutvõrrand, kuupvõrrand 17. Funktsiooni katkevuspunktid (definitsioon). DEF. Kui funktsioon ei ole pidev kohal a, siis punkti a nimetatakse funktsiooni f(x) katkevuspunktiks. Seega on f(x) katkev kohal a, kui on täidetud vähemalt üks kolmest järgnevast tingimusest: 1) f(x) pole määratud kohal a 2) F-l f(x) ei ole lõplikku piirväärtust kohal a 3) lim 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑎) 𝑥→𝑎 18. Funktsiooni tuletis (definitsioon, tähistused). Selle füüsikaline ja geomeetriline tõlgendus (joonisega).
katkevuspunktiks. b) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrratus lim(x->a astmel -) ƒ(x) ei võrdu lim(x->a astmel +) ƒ(x) siis nimetatakse seda punkti funktsiooni ƒ hüppepunktiks (hüppekohaks) 2. Kui vähemalt üks ühepoolsetest piirväärtustest lim (x->a astmel -) ƒ(x) või lim (x->a astmel +) f(x) puudub või ei ole lõplik, siis nimetatakse punkti a funktsiooni ƒ teist liiki katkevuspunktiks. (Lühemalt: teist liiki katkevuspunktid on need katkevuspunktid, mis ei ole esimest liiki.) Näited konspektis! 15. Ühepoolselt pidevate funktsioonide definitsioonid. Funktsiooni ƒ nimetatakse vasakult pidevaks punktis a, kui 1. ƒ on määratud argumendi väärtusel a, st a X 2. eksisteerib lõplik vasakpoolne piirväärtus lim(x->a astmel -) ƒ(x) 3.lim (x->a astmel +) f(x)= f(a) Analoogselt defineeritakse ka paremalt pidev funktsioon. Selleks tuleb
Selge, et (1) lim xa [f(x) - f(a)] = 0. Tähistame: x = x - a - argumendi muut, ning y = f(x) - f(a) funktsiooni muut, siis (1) lim x 0 y = 0 (2) Näide. Olgu y = x2, fikseerime suvalise a, siis limx0 y = limx 0 [(a+ x)2 - a2) = lim x 0 (2ax + x2) = 0, seega antud funktsioon on pidev hulgal X = ( -, ), st pidev kõikjal. Kõik elementaarfunktsioonid on pidevad oma määramispiirkonnas (vt teoreem 6). Funktsiooni f katkevuspunktid selle funktsiooni määramispiirkonna kuhjumispunk- tid, milles funktsioon ei ole pidev. Näide. Funktsiooni f (x) = tan x katkevuspunktid on x = ± /2, ± 3/2, ... § 3 FUNKTSIOONI TULETIS JA DIFERENTSIAAL. 1.Tuletise definitsioon. Pidevus ja diferentseeruvus Olgu antud funktsioon y = f (x) , x X. Anname argumendile x muudu x, nii et x+ x X ja vastav funktsiooni muut olgu y = f(x+x) - f(x). Definitsioon 7
siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f kõrvaldatavaks katkevuspunktiks. b) Kui esimest liiku katkevuspunktis a kehtib võrratus lim f(x) lim f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f hüppepunktiks (hüppekohaks) · Kui vähemalt üks ühepoolsetest piirväärtustest lim f(x) või lim f(x) puudub või ei ole lõplik, siis nimetatakse punkti a funktsiooni f teist liiku katkevuspunktiks (teist liiki katkevuspunktid on kõik need, mis ei ole esimest liiki). 15. Def. Funktsiooni f nimetatakse vasakult pidevaks punktis a, kui · f on määratud argumendi väärtusel a, st a X · Eksisteerib lõplik vasakpoolne piirväärtus lim f(x) · lim f(x) = f(a) Def. Funktsiooni f nimetatakse paremalt pidevaks punktis a, kui · f on määratud argumendi väärtusel a, st a X
siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f kõrvaldatavaks katkevuspunktiks. b) Kui esimest liiku katkevuspunktis a kehtib võrratus lim f(x) lim f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f hüppepunktiks (hüppekohaks) · Kui vähemalt üks ühepoolsetest piirväärtustest lim f(x) või lim f(x) puudub või ei ole lõplik, siis nimetatakse punkti a funktsiooni f teist liiku katkevuspunktiks (teist liiki katkevuspunktid on kõik need, mis ei ole esimest liiki). 15. Def. Funktsiooni f nimetatakse vasakult pidevaks punktis a, kui · f on määratud argumendi väärtusel a, st a X · Eksisteerib lõplik vasakpoolne piirväärtus lim f(x) · lim f(x) = f(a) Def. Funktsiooni f nimetatakse paremalt pidevaks punktis a, kui · f on määratud argumendi väärtusel a, st a X
funktsiooni f kõrvaldatavaks katkevuspunktiks. b) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrratus limf(x) = limf(x),siis nimetatakse seda punkti xa- xa+ funktsiooni f hüppepunktiks (hüppekohaks). 2. Kui vähemalt üks ühepoolsetest piirväärtustest lim/xa-/f(x) või lim/xa+/f(x)puudub või ei ole lõplik, siis nimetatakse punkti a funktsiooni f teist liiki katkevuspunktiks. (Lühemalt: teist liiki katkevuspunktid on kõik need katkevuspunktid, mis ei ole esimest liiki.) 3. Funktsioonil f(x) = tan x on katkevuspunkt x = /2. Ühepoolsed piirväärtused on olemas, kuid nad ei ole lõplikud: limtanx = , lim tan x = -. Seega on tegemist teist liiki katkevuspunktiga. x (-)/2 x (+)/2 4. Funktsioon f(x) = sin 1/x katkeb kohal x = 0. Kuna ühepoolsed piirväärtused limsin 1/x ja limsin 1/x x0- x0+ puuduvad (vt §2
Vahemikus (a,b) pideva funktsiooni graafik on selle vahemiku kohal pidev joon. Kui funktsioon on määratud lõigul [a,b], pidev vahemikus (a,b) ning lõigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev lõigul [a,b] Elementaarfunktsioonide pidevus Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonna punktides pidevad. Määramispiirkonna kohal on graafikud pidevad jooned. Samas on põhilistel elementaarfunktsioonidel katkevuspunktid. Kuna elementaarfunktsioonid on saadud põhilistest elementarrfunktsioonide lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise kaudu ning nimetatud tehete puhul pidevus säilib, siis ka kõik elementaarfunktsioonid on oma määramispiirkonnas pidevad. 16.Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul Kui leidub punkt x lõigul [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x)>f(x), siis
Joonel y=f(x) võib leiduda kahte tüüpi asümptoode: valemit. * Püstasümptoot võrrandiga x=a selle joone teist liiki katkevuspunkti x=a korral. *Lause (Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused) *Joone y=f(x) püstasümptoodide leidmiseks tuleb leida joone kõik teist liiki katkevuspunktid Kui leidub selline δ > 0, nii et funktsioon f on pidev lõigul [a - δ ; a + δ] ja diferentseeruv ning leida neis funktsiooni ühepoolsed piirväärtused. vahemikes (a - δ; a) ja (a; a + δ), kusjuures f ’(x) ≥ 0; x ϵ (a - δ; a) ja f ’(x) ≤ 0; x ϵ (a; a + δ) *Eksisteerib ka kaldasümptoot kujul y=ax + b protsessis 𝑥 → −∞ või 𝑥 → +∞, kusjuures neid siis punktis a on sellel funktsioonil lokaalne maksimum
n Päratud integraalid katkevatest funktsioonidest: Vaatleme juhtu, kui funktsioon on katkev. Kui f-l on katkevuspunktid lõigul [a, b], siis selle funktsiooni integraalsumma ei tarvitse omada lõplikku piirväärtust, n b S ∏ ( f )=h ∑ f ( a+hi ) εi
iga korral. Vaatleme seda funktsiooni piirprotsessis Päratu integraal poollõigul Päratu integraal tervel arvteljel c. Päratute integraalide hindamisteoreemid: c.i. Kui iga korral kehtivad võrratused ja integraal koondub siis koondub ka integraal c.ii. Kui koondub siis koondub ka d. Päratud teoreemid katkevates funktsioonides: d.i. Kui f-l on katkevuspunktid lõigul [a,b], siis selle funktsiooni integraalsumma ei pruugi omada lõplikku piirväärtust, mistõttu ei eksisteeri määratud integraali . Teatud juhtudel on seda võimalik ikkagi integreerida. d.i.1. Olgu funktsioon f pidev poollõigul [a,b) ja b on selle funktsiooni katkevuspunkt. Siis on funktsioon f pidev kõigil
+ (1-1/n)/2!+ ...+ ((1-1/n) ... (1-(k-1)/n))/k!+ ... +((1- 1/n)...(1-(n-1)/n))/n!<= 1+1/1!+1/2!+... + 1/k!+ ... 1/n!<=[1/k!<=1/2 astm (k-1) (kN)]<=1+1+1/2+...+ ½ astm (k-1)+...+1/2 astm (n-1)<=3. Seega on jada {xn} ülalt tõkestatud. Arv e=2,718 ... on irratsionaalarv. Logaritmi alusel e, st logaritmi log e(väike)x nim. Naturaallogaritmiks ja tähistatakse ln x. Eksponentfunktsiooni e astmes x jaoks kasutatakse ka tähistust exp(x). 11. Funkts. pidevus. Katkevuspunktid: F. on pidev punktis x0, kui delx= x-x00 f(x)- f(x0)= dely0. Ehk lim xx0 (f(x)- f(x0))=0. Funktsioon y=f(x) on pidev punktis x0, kui lim xx0 f(x)= f(x0). F. on pidev mingis vahemikus, kui ta on pidev selle vahemiku igas punktis. Näide. y=1/x See f. on pidev, kui x0. Pidevusvahemikud on näiteks )lõp;0( ja )0;+lõp(. *Olgu f(x) ja g(x) pidevad punktis x0, siis 1) summa f(x)+ g(x) on pidev punktis x0. 2)korrutis f(x)g(x) on pidev p-s x0. 3)jagatis f(x)/g(x) (kui g(x)0) on p. p-s x0. 4)liitf
lõigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev lõigul [a,b] c. Elementaarfunktsioonide pidevus Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonna punktides pidevad. Määramispiirkonna kohal on graafikud pidevad jooned. Samas on põhilistel elementaarfunktsioonidel katkevuspunktid. Kuna elementaarfunktsioonid on saadud põhilistest elementarrfunktsioonide lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise kaudu ning nimetatud tehete puhul pidevus säilib, siis ka kõik elementaarfunktsioonid on oma määramispiirkonnas pidevad. 16. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul a. Kui leidub punkt x lõigul [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult
y x + m.o.t.t. © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 7 Funktsiooni pidevus. Ühepoolsed piirväärtused, katkevuspunktid. Teoreemid lõigul pideva funktsiooni kohta. Definitsioon 1 Funktsioon y =f(x) on pidev punktis x0, kui kehtib (9.2) lim f ( x) = f ( x 0 ) x x0 Teiste sõnadega >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-f(x0)< Funktsioon on pidev paremalt punktis x0, kui (9.2) lim f ( x) = f ( x 0 ) x x0 + 0 Funktsioon on pidev vasakult punktis x0, kui (9
y x + m.o.t.t. © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 7 Funktsiooni pidevus. Ühepoolsed piirväärtused, katkevuspunktid. Teoreemid lõigul pideva funktsiooni kohta. Definitsioon 1 Funktsioon y =f(x) on pidev punktis x0, kui kehtib (9.2) lim f ( x) = f ( x 0 ) x x0 Teiste sõnadega >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-f(x0)< Funktsioon on pidev paremalt punktis x0, kui (9.2) lim f ( x) = f ( x 0 ) x x0 + 0 Funktsioon on pidev vasakult punktis x0, kui (9
lim xa (x)= 0. Lõpmata väikeseid funktsioone = (x) ja = (x) nimetatakse ekvivalentseteks piirprotsessis x a, kui ( x ) lim xa ( x ) = 1. Kirjutame (x) ~ (x), x a. 9. Funktsiooni pidevus (antud punktis, antud hulgal, kõikjal ). Katkevuspunktid. Elementaarfunktsioonide pidevus oma määramispiirkonnas Olgu antud funktsioon y = f ( x ) , x X ja olgu a X . Funktsiooni pidevus antud punktis Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis a, kui lim f ( x ) = f ( a ) . Kui x a funktsioon f on pidev piirkonna X igas punktis, siis öeldakse, et funktsioon f on pidev piirkonnas X. Antud hulgal Kõikjal 10. Funktsiooni tuletis
!! b) / => x'i kõrgeim aste tuleb sulgudest välja. Kõrgeim aste(max(n,m))=>lihtsustada0>lah! 11. F-ni pidevus Def. F-n y=f(x) on p-s x0 IR Pidev juhul kui 1)f(x0)< 2)limx->x0f(x)=A 3)f(x0)=A *Järeldus: f-n on pidev piirkonnas D IR f-n pidev D igas p-s *Järeldus x0->x0+ x=> y=f(x0+ x)-f(x0)=>f-ni muut x->0 y->0 *Märkus1 põhilised elementaarf-nid on oma määramispiirkonnas pidevad *Märkus2 u,v ->pidevad f-nid =>u ± v, u*v, u/v(v 0), u(v(x)) pidevad *Katkevuspunktid: Def. Kui mõni pidevuse f-ni tingimustest ei ole täidetud, siis f-n katkev 1) I liiki katkevuspunkt: f(x0)= (x0 MP) (joonis) 2) II liiki katkemispunkt limx->x0-f(x) =A1, limx->x0+f(x)=A2 =>A1 A2(joonis) 12. F-ni tuletis, füüs ja geom. Tõlgendus *ühtlane sirgjooneline liikumine t=t2-t1; s=s2-s1(joonis); vk = s/ t-> hetkkiirust: t->0 =>v=lim t->0 s/ t isel meh. Liikumise hetkkiirust: Newton(1642-1727) ja Leibniz(1646-1716) *DEF f-n punktis x
y = x2 - 1 /x graafikul on kaks as¨ umptooti, v~orranditega y = x ja x = 0. Joonel y = f (x) v~ oib olla: 1) p¨ ustas¨umptoot v~orrandiga x = a selle joone teist liiki katkevuspunkti x = a korral; 2) kaldas¨ umptoot v~orrandiga y = kx+b protsessis x - v~oi x +, kusjuures kaugenemisi x - ja x + tuleb uurida eraldi. Joone y = f (x) p¨ustas¨umptootide leidmiseks tuleb leida joone k~oik teist liiki katkevuspunktid ja leida neis funktsiooni u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused, kusjuures p¨ ustas¨umptoodiga kaasneb selles punktis v¨ahemalt u¨ks u ¨hepoolne l~opmatu piirv¨a¨artus. Joone y = f (x) kaldas¨ ump- tootide leidmiseks tuleb suurused a ja b m¨a¨arata: juhul x - seosest
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy . NB! Pinna positiivse (negatiivse) poole määrame projekteerimisel igale koordinaattasandile eraldi. 2.4. Gaussi-Ostrogradski valem Def. Funktsiooni f nimetatakse tükiti siledaks lõigus [a, b] , kui funktsioonil f ja tema tuletisfunktsioonil f on selles lõigus ülimalt lõplik arv katkevuspunkte, mis kõik on esimest liiki katkevuspunktid (neis punktides leiduvad lõplikud ühepoolsed piirväärtused). Teoreem (Gaussi-Ostrogradski valem). Kui funktsioonid P = P( x, y, z ) , Q = Q( x, y, z ) , R = R( x, y, z ) , Px , Q y , R z on pidevad piirkonnas E , mille rajapind on kinnine ja tükiti sile, siis kehtib valem Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = (P E x + Q y + R z )dxdydz .
uppekohaks). 2. Kui v¨ahemalt u ¨ks u ¨hepoolsetest piirv¨a¨artustest lim- f (x) v~oi lim+ f (x) xa xa puudub v~oi ei ole l~oplik, siis nimetatakse punkti a funktsiooni f teist liiki katkevuspunktiks. (L¨ uhemalt: teist liiki katkevuspunktid on k~oik need katkevuspunktid, mis ei ole esimest liiki.) aiteid. 1. §2.4 vaadeldud funktsioon N¨ 2x2 + 2x - 4 f (x) = x-1 ei ole m¨a¨ aratud punktis x = 1. Kuid selles punktis olemas l~oplikud u ¨hepoolsed piirv¨ a¨artused ja need on v~ordsed: lim- f (x) = lim+ f (x) = lim f (x) = 6.
uppekohaks). 2. Kui v¨ahemalt u ¨ks u ¨hepoolsetest piirv¨a¨artustest lim- f (x) v~oi lim+ f (x) xa xa puudub v~oi ei ole l~oplik, siis nimetatakse punkti a funktsiooni f teist liiki katkevuspunktiks. (L¨ uhemalt: teist liiki katkevuspunktid on k~oik need katkevuspunktid, mis ei ole esimest liiki.) N¨ aiteid. 1. §2.4 vaadeldud funktsioon 2x2 + 2x - 4 f (x) = x-1 ei ole m¨a¨aratud punktis x = 1. Kuid selles punktis olemas l~oplikud u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused ja need on v~ordsed: lim f (x) = lim f (x) = lim f (x) = 6.
b F (b) - F (a) = F (x)dx a ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 10 / 23 Ma¨ aratud ¨ integraal Newton-Leibnizi valem ~ Toestus Olgu meil katkevuspunktid a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn-1 < xn = b xk b n n F (b)-F (a) = F (xk )-F (xk-1 ) = F (x)dx = F (x)dx k=1 k=1xk -1 a Kuna F on pidev igas vahemikus (a, b) ja leiduvad (loplikud)~ uhepoolsed
katkevusest, ülejäänud juhtude puhul on tegemist teist liiki katkevusega. ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 61 Esimest liiki katkevuse puhul nimetatakse vahet lim f (x) − lim f (x) 6= 0 funktsiooni x→a+ x→a− f hüppeks punktis a. Näiteks funktsiooni x 7→ ⌊x⌋ puhul on kõik arvud n ∈ Z esimest liiki katkevuspunktid hüppega 1 (kontrollida!)z. Funktsiooni pidevus. Öeldakse, et funktsioon f : D → R on pidev, kui ta on pidev igas punktis x ∈ D. Funktsiooni pidevus antud hulgas. Olgu D1 ⊆ D. Öeldakse, et funktsioon f : D → R on pidev hulgas D1 , kui ahend f |D1 : D1 → R on pidev. (Teatavasti funktsiooni ahend on defineeritud järgmiselt: f |D1 (x) = f (x) iga x ∈ D1 korral.) Selle definitsiooni kohaselt on funktsioon f pidev lõigus [a, b] parajasti siis, kui ta on
3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul pidevate funktsioonide omadused 14. Funktsiooni katkevuspunktid 15. Funktsiooni tuletise m~oiste, selle geomeetriline ja mehhaaniline t~olgendus 1 16. Pidevus ja diferentseeruvus 17. M~onede p~ohiliste elementaarfunktsioonide tuletised 18. Diferentseerimisreeglid 19. P¨o¨ordfunktsiooni tuletis 20. Liitfunktsiooni tuletis 21. Logaritmiline diferentseerimine 22. Ilmutamata funktsiooni tuletis 23. Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletis 24. Funktsiooni diferentsiaal 25
annaabi.ee 
