dy y ̇ dx = x (α < t < β), täpiga tähistatakse tuletist parameetri järgi. d Ilmutamata funktsiooni tuletis: F(x, f(x))=0 → dx F(x, f(x))=0 Rolle’i teoreem: Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b) ning f (a) = f (b), siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, kus f ′ (c) = 0. Lagrange'i keskväärtusteoreem: Kui funktsioon f on pidev lõigul [a,b] ja diferentseeruv vahemikus (a,b), siis leidub punkt c ∈ (a,b) nii, et f(b)- f(a)=f´(c)(b-a) Cauchy keskväärtusteoreem: Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a,b] ja diferentseeruvad vahemikus f ( b )−f (a) f ' (c )
0
Rolle'i teoreemi tõestus. Rolle'i teoreem Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b) ning f (a) = f (b), siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, kus f (c) = 0. Tõestus. Kuna lõigul pidev funktsioon saavutab seal oma minimaalse ja maksimaalse väärtuse, siis leidub funktsioonil f (x), mis ei ole konstantne funktsioon, vastavas vahemikus vähemalt üks ekstreemumpunkt c, kus f (c) = 0. Konstantse funktsiooni korral f (x) = 0 iga x (a; b). Lagrange'i keskväärtusteoreem Kui funktsioon f on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b), siis leidub punkt c (a; b), et f (b) - f (a) = f (c)(b - a). Cauchy keskväärtusteoreem Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a; b] ja diferentseeruvad vahemikus (a; b), kusjuures g (x) 0, siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, et 9. Lagrange'i keskväärtusteoreem: Kui funktsioon f on pidev lõigul [a,b] ja diferentseeruv vahemikus (a,b), siis leidub punkt c (a,b), et f(b)-f(a)=f´(c)(b-a)
nimetatakse joone y=f(x) puutujaks punktis P. Eeldades, et funktsioon on diferentseeruv kohal x, veendume, et funktsiooni tuletis f' (x ) võrdub joonele y=f(x) punktis punktis P pandud puutuja tõusuga. T5. Rolle'i teoreem: Kui funktsioon y = f(x) on pidev lõigus [a,b], diferentseeruv vahemikus ] a, b [ ja f(a) = f(b), siis on funktsioonil vahemikus ]a, b[ olemas statsionaarne punkt (st leidub punkt ]a, b [, nii et f' ( ) = 0). T6. Cauchy keskväärtusteoreem: Kui funktsioonid y=f(x ) ja y=g(x) on pidevad lõigus [a,b] ja diferentseeruvad vahemikus ]a, b[, kusjuures g' (x)0, siis leidub selline punkt ]a, b[ , mille korral kehtib valem [f(b) f(a)]/[g (b ) - g (a)]=f '( )/g'( ). T7. Lagrange'i keskväärtusteoreem: Erijuhul, kui g(x)=x, saame Cauchy teoreemist järgmise teoreemi: Kui funktsioon y=f(x) on pidev lõigus [a, b] ja diferentseeruv vahemikus ]a, b[ , siis
Seega f'(x)>0 või f'(x)<0 ja lausse 3 põhjal on funktsioon f(x) selles punktis x vastavalt kas rangelt kasvav või kahanev ning järelikult ei ole sel funktsioonil selles punktis x lokaalset ekstreemumit. See vastuolu on tingitud väitevastasest eeldusest. Järelikult f'(x)=0 1.16 Keskväärtusteoreemid: Lause 1 (Rolle'i teoreem). Kui funktsioon f(x) on pidev lõigul ja diferentseeruv vahemikus (a, b) ning f(a)=f(b), siis vahemikus (a, b) leidub selline punkt c, et , st . Lause 2 (Cauchy keskväärtusteoreem). Kui funktsioonid on pidevad lõigul ja diferentseeruvad vahemikus (a, b) kusjuures ning , see tähendab, et Lause 3 (Lagrange'i keskväärtusteoreem). Kui funktsioon f(x) on pidev lõigul ja diferentseeruv vahemikus (a, b), siis leidub selline punkt Tõestus. Valiku korral on täidetud Cauchy teoreemi tingimused ja järelikult kehtib seos: , mis on samaväärne Lause 3 väitega. Seos on esitatav ka kujul:
Definitsioon:Kui funktsioonil f ’ eksisteerib tuletis punktis a, siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni f teist kus f ′(c) = 0. Konstantse funktsiooni korral f ′(x) = 0 iga x ϵ (a; b). järku tuletiseks kohal a. Cauchy keskväärtusteoreem Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a; b] ja diferentseeruvad vahemikus (a; b), kusjuures g′ (x) ≠ 0, siis = leidub vahemikus (a; b) punkt c, et
Teiseks vaatleme järgnevalt juhtu f(a)=f(b)≠0. Moodustame abifunktsiooni F(x)=f(x)f(a). Funktsioon F(x) rahuldab lisatingimust F(a)=F(b)=0.Et ka F(x)∈C[a;b] ∩ D(a;b)∧F(a)=F(b), siis tõestuse esimese osa põhjal leidub selline punkt c∈(a;b), et F´(c)=0. Arvestades tingimust f´(x)=F´(x), saame f´(c)=0. Arv c∈(a;b) on esitatav ka kujul c=a+θ(ba), kus 0<θ<1.☐ 18.Cauchy keskväärtusteoreem. Kui funktsioonid φ(x) ja Ψ(x) on pidevad lõigul [a;b] ja diferentseeruvad vahemikus (a;b), kusjuures 2 φ´(x)+ᴪ (x)≠0 ning φ(b)≠φ(a), siis leidub vahemikus (a;b) selline punkt c, et ψ(b)−Ψ(a) ´2 ψ′﴾c)
MATANAAL 2.TEOORIA 22. INTEGRAALI KESKVÄÄRTUSTEOREEM Omadus 5 Kui funktsioon f ( x) on lõigul [ a , b] pidev, siis leidub sellel lõigul niisugune punkt , et kehtib võrdus b f (x )dx = a )f ( (b - ) a . (5) TÕESTUS f ( x) Vaatleme juhtu a < b . Kui m ja M on vastavalt funktsiooni vähimaks ja suurimaks väärtuseks löigul [ a , b] , siis valemi (4) kohaselt 1 b m f (x )dx M ...
9. Keskväärtusteoreemid, L'Hospitali reegel. o Keskväärtusteoreemid: Rolle'i teoreem kui funktsiooni f (x) on pidev lõigul [a;b] ja diferentseeruv vahemikus (a;b) ning f (a) = f (b), siis vahemikus (a; b) leidub selline c, et f' (c) = 0, st f(x) C[a;b] D (a; b) ^ f (a) = f (b) c (a; b) : f' (c) = 0. Cauchy keskväärtusteoreem kui funktsioonid (x) ja (x) on pidevad lõigul [a; b] ja diferentseeruvad vahemikus (a; b), kusjuures '2 (x) + '2 (x) 0 ning vahemikus (b) (a), siis leidub vahemikus (a; b) selline punkt c, et [ (b) (a)] / [ (b) (a)] = ' (c)/ ' (c). Langrange'i keskväärtusteoreem kui funktsioon f (x) on
𝑑𝑡 tähistatakse tuletist parameetri järgi. 5. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Korgemat järku tuletised. 6. Keskväärtusteoreemid. Rolle’i teoreem Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b) ning f (a) = f (b), siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, kus f ′ (c) = 0. Lagrange'i keskväärtusteoreem: Kui funktsioon f on pidev lõigul [a,b] ja diferentseeruv vahemikus (a,b), siis leidub punkt c ∈ (a,b) nii, et f(b)-f(a)=f´(c)(b-a) Cauchy keskväärtusteoreem:Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a,b] ja diferentseeruvad 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑓´(𝑐) vahemikus (a,b),kusjuures g´(x)≠0,siis leidubvahemikus (a,b) punkt c, et 𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎)=𝑔´(𝑐) 7. L’Hospitali reegel. 8
ruumala ja pindala, näiteid Nimetatakse integraalsummade piirväärtuseks. Newton-Leibinzi valem lubab määratud integraale arvutada määramata integraalide abil. Integreerimise omadusi: 3+2 valemit Rakendused: 1) Tasap. kujundi S=int(ülem-alum) 2) Joone kaare pikkus VALEM 3)Pöördpinna ruumala VALEM 4) Pöördpinna pindala 3. Kahekordse integraali definitsioon ja omadused: aditiivsus, lineaarsus, monotoonsus, absoluutne integreeruvus, keskväärtusteoreem, näide Vaatleme tasapinnal xy joonega L piiratud kinnist piirkonda D. Olgu selles piirkonnas antud pidev funktsioon z=f(x,y). Jagame piirkonna D n osapiirkannaks, mille pindalad tähistame ΔS1, ΔS2 … ΔSn. Võtame igas piirkonnas punkti PiЄ ΔSi. Siis summat Vn=Σni=1f(Pi)ΔSi nimetame funktsiooni z=f(x,y) integraalsummaks. Kui eksisteerib piirväärtus, mis ei sõltu piirkonna D osadeks jagamise viisist ega punktide
27. Trigonomeetriliste avaldiste integreerimine. 28. Määratud integraal ja selle omadused. 1. Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Me vaatleme integraali (sinx,cosx)dx Keskväärtusteoreem (tõestusega). Pöördfunktsioon. 1. Universaalne asendus tan x/2=t Olgu y=f(x) pidev lõigul [a,b] Jaotame lõigu n osaks punktidega 2. Funktsiooni piirväärtus. Teoreemid piirväärtuste x0=a, x1, x2,..,xn=b kohta (tõestusega). J={x0,x1,.
Kui f''(a)0--lok max, f''(a)0--lok min Rolle'i teoreem. Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b) ning f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, kus f'(c) = 0. Cauchy teoreem. Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a; b] ja diferentseeruvad vahemikus (a; b), kusjuures g'(x) 0, siis leidub vahemikus(a; b) punkt c, et f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f'(c)/g'(c) Lagrange'i keskväärtusteoreem. Kui funktsioon f on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b), siis leidub punkt c (a; b), et f(b) - f(a) = f'(c)(b - a). L'Hospitali reegel: Olgu funktsioonid f ja g diferentseeruvad punkti a mingis ümbruses, kusjuures g(x) 0 iga x korral sellest ümbrusest. Peale selle, olgu f(a) = g(a) = 0 . Kui eksisteerib piirväärtus limxaf(x)/g(x) , siis eksisteerib ka piirväärtus limxaf(x)/g(x) ja kehtib valem limxaf(x)/g(x)= limxaf(x)/g(x)
Logaritmilise tuletise valemi tuletamine(. üks ekstreemumpunkt c, kus f ′(c) = 0. Konstantse funktsiooni korral f ′(x) = 0 iga x ϵ (a; b). . Lause: Kui funktsioonidel f(x) ja g(u) eksisteerivad lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja Cauchy keskväärtusteoreem:Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a; b] ja diferentseeruvad 𝑑𝑔(𝑓(𝑥)) 𝑑𝑔(𝑓(𝑥)) 𝑑𝑓(𝑥) vahemikus (a; b), kusjuures g′ (x) ≠ 0, siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, et
vahemikus (a, b), olgu see punktis c ∈ (a, b) . Lause 6.1 kohaselt f′ (c) = 0. Geomeetriliselt tähendab Rolle’i teoreemi väide seda, et kui lõigus [a, b] pideva ja vahemikus (a, b) diferentseeruva funktsiooni f graafiku otspunkte (a, f (a)) ja (b, f (b)) läbiv lõikaja on x-teljega paralleelne, siis on nende vahel vähemalt üks selline graafiku punkt (c, f (c)) , milles võetud puutuja on selle lõikajaga paralleelne. Järgmine lause – Lagrange’i keskväärtusteoreem – ütleb, et sellises geomeetrilises sõnastuses kehtib Rolle’I teoreem ka ilma eelduseta f (a) = f (b): lõigus [a, b] pideva ja vahemikus (a, b) diferentseeruva funktsiooni f korral on vähemalt ühes graafiku punktis (c, f (c)) puutuja paralleelne läbi graafiku punktide (a, f (a)) ja (b, f (b)) tõmmatud lõikajaga 27. Cauchy keskväärtusteoreem. L’Hospitali reegel (*) Tõestada Cauchy keskväärtusteoreem (lause 6.4) ja selle järeldusena
D D D Omadus 3 (monotoonsus). Kui f (P ) g (P ) iga P D korral, siis f (P )dS g (P )dS . D D Def. Piirkonda D nimetatakse sidusaks piirkonnaks, kui selle piirkonna igat kahte punkti saab ühendada sellesse piirkonda kuuluva pideva joonega. Sidus piirkond koosneb ühest ,,tükist". Omadus 4 (keskväärtusteoreem). Kui funktsioon f on pidev kinnises tõkestatud sidusas piirkonnas D , siis leidub punkt Q D nii, et f (P )dS = f (Q )S (D ) . D b Analoogia: Kui funktsioon f on pidev lõigus [a, b] , siis [a, b] nii, et f (x )dx = f ( )(b - a ) . a
n 1 f ( x + x, y + y ) = ( x + y ) k f ( x, y ) + Rn ( x, y ) k = 0 k! x y , kus jääkliige avaldub Lagrang'i 1 Rn ( x, y ) = ( x + y ) n +1 f ( x + x, y + y ), y kujul (n + 1)! x y (0,1) Keskväärtusteoreem: Kui8 funkts f(x1,..,xn) on pidev punkte P(p1;..;pn) ja Q(q1;...;qn) ühendava lõigu igas punktis ning diferentseeruv selle lõigu igas punktis (va otspunktid P ja Q), siis leidub selles lõigus punkt S, S ei kuulu {P,Q}, et f f f (Q) - f ( P ) = ( S ) * (q1 - p 2) + ... + ( S ) * (qn - pn) x1 xn Punkti S saab esitada kujul S=P+(Q-P), kus 0<<1
on valem Teisest küljest, S valemi paremal poolel on funktsiooni f integraalsumma lõigul [a,b]. Järelikult, kui pikima osalõigu pikkus läheneb nullile, siis läheneb nullile nimetatud integraalsumma määratud integraalile . Kokkuvõttes, piirprotsessis saame ligikaudsest valemist järgmise täpse valemi pindala jaoks: 39. Määratud integraali omadused (sh omadused 3-6 koos põhjendustega). Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega. a. Määratud integraali omadused (sh omadused 3-6 koos põhjendustega) a.1. a.2. a.3. Põhjendus: kui a=b, siis on läbitud teepikkus võrdne nulliga, seega on ka töö võrdne nulliga, st a.4. Kui siis Põhjendus: Jõu poolt tehtud töö liikumisel punktist a punkti b on ning
Üldiselt, mõistes liikumist kui mistahes nähtuse muutumist looduses, tehnikas, ühis- konnasjne, võime öelda, et funktsiooni f tuletis on seaduse y = f (x) alusel toimuva nähttuse kulgemise kiirus (intensiivsus). §4 DIFERENTSIAALARVUTUSE KESK- VÄÄRTUSTEOREEMID JA NENDE RAKEN- DUSI 1. Diferentsiaalarvutuse keskväärtusteoreemid Järgnevalt sõnastame teoreemid, mida tuntakse vastavalt Cauchy teoreemi ja Lagrange'i teoreemi nime all. Teoreem 12. (Cauchy keskväärtusteoreem). Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigus [a,b] ja diferentseeruvad vahemikus (a,b) ning g'(x) 0 iga x (a,b) korral, siis leidub selline punkt c (a,b), nii et kehtib võrdus f (b) - f ( a) f ' (c ) = . g (b) - g (a ) g ' (c ) Teoreem 13. (Lagrange'i keskväärtusteoreem). Kui funktsioon f on pidev lõigus [a,b]
tõttu funktsioon v on pidev ja seega . (M.O.T.T) Lagrange'i keskvaartusteoreem: Kui funktsioon f on pidev loigul [a, b] ja diferentseeruv vahemikus (a, 4. Liitfunktsiooni tuletise valemi tuletamine. b), siis leidub punkt c (a, b), et f(b) - f(a) = f'(c)(b - a). Kui funktsioonidel f(x) ja g(u) eksisteerivad lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja f(x), siis Cauchy keskväärtusteoreem: Kui funktsioonid f ja g on pidevad loigul [a, b] ja diferentseeruvad liitfunktsioonil g(f(x)) on lõplik tuletis kohal x, kusjuures Tõestus: Tähistame u=f(x). Siis y=g(u). Kui vahemikus (a, b), kusjuures g'(x) =/= 0, siis leidub vahemikus (a, b) punkt c, et u0, siis g pidevuse tõttu y=0 ning seega Kuna u0, siis g diferentseeruvuse tõttu on tõkestatud.
leidub punkt ( a, b ) nii, et kehtib võrdus f ( b ) - f ( a ) = f ( ) ( b - a ) Geomeetriline tõlgendus: Olgu f lõigus [a,b] pidev ja vahemikus (a,b) diferentseeruv funktsioon. Seega kui x ( a, b ) , siis on selle funktsiooni graafikul Punktis (x, f(x)) puutuja, mille tõus on võrdne tuletisega f'(x) . Olgu A = (a, f(a)) ja B = (b, f(b)). Jagatis f (b) - f (a ) b -a Kujutab endast kõõlu AB tõusu. Lagrange'i keskväärtusteoreem väidab, et graafikul leidub punkt ( , f( )) nii, et graafiku puutuja selles punktis on paralleelne kõõluga AB (vt joonist). 0 16. L´ Hospitali reegel ( tõestus määramatuse " " korral ). 0 L'Hospitali reegel: kui mingis protsessis lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 või lim f ( x ) = lim g ( x ) = ja
POOLIK 16. Näidata, et f(x) g(x) (f, g I[a,b]) Tõestus. [PS. IABB-le: on tegelikult i , ja on ,,sii" täht, mitte epsilon] f(x) g(x), g( 17. Näidata, et , kus M = , (f ) Tõestus. | =M = M|b a|, kus M= , (f ). 18. Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega. Kui funktsioonid ja on integreeruvad lõigul ja , siis leidub konstant , kus ja , nii et Tõestus Tõepoolest, kuna , siis Integreerides saame: Kui , siis on võrdus ilmne. Kui , siis Järeldus Kui funktsioonid ja on integreeruvad lõigul ja , ja on pidev lõigul ,
korrutisena e. f. Terve kõvatrapetsi pindala saame, kui summerime osapiirkondade pindalad: Valemi teisel poolel on funktsiooni f integraalsumma lõigul [a,b], järelikult kui pikima osalõigu läheneb nullile, siis läheneb nimetatud integraali summa määratud integraalile , seega piirprotsessis saame ligikaudest valemist täpse valemi g. 17. Määratud integraali omadused (sh omadused 3-6 koos põhjendustega). Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega. a. Määratud integraali omadused: 1. 2. 3. Põhjendus: Kui siis on teepikkus võrdeline nullega ja töö võrdeline nulliga. 4. Kui siis Põhjendus: Kuna liikumine punktist a punkti b on ning liikumine punktist b punkti a . Kui objekt liigub punktist a punkti b ja sealt tagasi punkti a on kogu tehtud tööd võrdeline summaga
arvutada polünoomi kindlal x'l näiteks x0 selle saavutamiseks määrame uue konstantide rea: b n := an ; bn-1 := an-1 + bnx0 ; 10). (Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine) b0 := a0 + b1x0 siis b0 on p(x0) väärtus. See toimib nii, sest polünoomi saab kirjutada 18). (Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega).Kui funktsioonid ja on kujul p(x) = a0 + x(a1 + x(a2 + ... x(an-1 + anx) ... )) seega iteratsiooniliselt asendades bi Olgu funktsioon f pidev lõigul [a, b]. Eeldame, et f(x) 0. Vaatleme joontega y = f(x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit integreeruvad lõigul [, ] ja () 0, siis leidub konstant [, ], kus
Igal juhul kui funktsiooni muut on avaldatud, saab peagi avaldada ka TULETIS... Rakendame nüüd keskväärtusteoreemi: kuna funktsioon f(x) on eelduse kohaselt pidev lõigul [a,b], siis kusagil lõigul [x, x+x] leidub selline argumendi väärtus , mille puhul on integraaliga arvuliselt võrdne selline avaldis: f()(x+x x) lõigu lõpppunkt lõigu algpunkt Ehk siis: = f()(x+x x) =f() x =f()x keskväärtusteoreem Avaldame siit f(), selle keskse väärtuse ja selgub, et see argumendi väärtus on võrdne funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhtega =f()x : x = f ( ) x Meie eesmärk on aga kuidagi avaldada nüüd TULETIS. See pole aga midagi muud, kui funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile: lim '(x) = x 0 x = f ( ) lim lim f ( )
saame ligikaudsest valemist (5.19) järgmise täpse valemi pindala jaoks: (5.20) Lõpuks tuleme veel tagasi valemi (5.19) juurde. Nagu nägime, seisab selle paremal poolel joonisel 5.3 kujutatud ristkülikute ühendi pindala. Valemit (5.19) saab kasutada määratud integraali ligikaudseks arvutamiseks. Oma geomeetrilise sisu tõttu nimetatakse seda valemit ristkülikvalemiks. 39. Määratud integraali omadused (sh omadused 3 6 koos põhjendustega). Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega 1. ba [f(x) ± g(x)]dx = ba f(x)dx ± ba g(x)dx. NB! Omadus 1 ei kehti korrutamise ja jagamise korral! See tähendab, et ba[f(x)g(x)]dx = baf(x)dx · bag(x)dx ja ba[f(x) : g(x)]dx = baf(x)dx :g(x)dx: 2. ba Cf(x)dx = C ba f(x)dx, C - konstant. 3. aa f(x)dx = 0, Põhjendus: kui a = b, siis on läbitud teepikkus võrdne nulliga, seega on ka töö võrdne nulliga, st aa F(x) = 0. 4. Kui a > b, siis ba f(x)dx = - ab f(x)dx. Põhjendus
. . . . . . . . . . 88 9.5 Kõvertrapetsi pindala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 9.6 Numbriline integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 10 Määratud integraal 93 10.1 Newton'i-Leibniz'i valem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 10.2 Integraalarvutuse keskväärtusteoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 10.3 Määratud integraal ülemise raja funktsioonina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 11 Määratud integraali rakendusi 99 11.1 Pindala parameetriliste võrrandite korral * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 11.2 Kõversektori pindala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(P)dS = (P)dS + (P)dS D D1 D2 4) Olgu piirkonna D pindala S. Siis kehtib võrdlus dS = S D 5) Olgu m ja M vastavalt (x,y), vähim ja suurim väärtus piirkonnas D.Siis kehtivad seosed mS = m dS (P)dS M dS = MS D D D 6) Keskväärtusteoreem: Piirkonnas D leidub vähemalt üks punkt A nii, ett kehtib võrdlus (P)dS= (A) dS = (A)S D D 4. Kahekordse integraali teisendamine kaksikintegraaliks ristkülikukujulise piirkonna korral. Tuletada vastav valem. (lk 4-7) 5. Telgede suhtes regulaarsed piirkonnad. Piirkond D on koordinaattelje suhtes regulaarne kui ta on regulaarne nii x-telje kui ka y-telje suhtes. (NB
paremal poolel on funktsiooni f integraalsumma lõigul [a,b]. Järelikult, kui pikima osalõigu pikkus n läheneb nullile, siis läheneb nullile nimetatud integraalsumma määratud integraalile b f ( x ) dx . Kokkuvõttes, piirprotsessis n 0 saame ligikaudsest valemist järgmise täpse a valemi pindala jaoks: b S= f ( x ) dx a 39. Määratud integraali omadused (sh omadused 3 6 koos põhjendustega). Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega. Määratud integraali omadused (sh omadused 3-6 koos põhjendustega) b b b 1. [ f ( x ) ± g ( x ) ] dx = f ( x ) dx ± g ( x ) dx a a a b Cf ( x ) dx=¿ C f ( x ) dx , C-konstant a 3. f ( x ) dx=0 Põhjendus: kui a=b, siis on läbitud a
19). Teisest küljest, valemi (5.19) paremal poolel on funktsiooni f integraalsumma lõigul [a, b]. Järelikult, kui pikima osalõigu pikkus %n läheneb nullile, siis läheneb nimetatud integraalsumma määratud integraalile R b a f(x)dx. Kokkuvõttes, piirprotsessis %n → 0 saame ligikaudsest valemist (5.19) järgmise täpse valemi pindala jaoks: S = Z b a f(x)dx. 39. Määratud integraali omadused (sh omadused 3 – 6 koos põhjendustega).Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega. Määratud integraali omadusi. 1. ʃ b a [f(x) ± g(x)]dx = ʃ b a f(x)dx ± ʃ b a g(x)dx. NB! Omadus 1 ei kehti korrutamise ja jagamise korral! See tähendab, et ʃ b a [f(x)g(x)]dx 6= ʃ b a f(x)dx · ʃ b a g(x)dx ja ʃ b a [f(x) : g(x)]dx 6= ʃ b a f(x)dx : Z g(x)dx. 2. ʃ b a Cf(x)dx = C ʃ b a f(x)dx, C - konstant. 3. ʃ a a f(x)dx = 0, Põhjendus: kui a = b, siis on läbitud teepikkus võrdne nulliga, seega on ka töö võrdne nulliga, st ʃ a a F(x) = 0. 4
Kui on täidetud eeldused a) ja b) kehtib valem 6) Keskväärtusteoreem. Leidub punkt A hulgas B nii, et kehtib võrdus f ( x, y )dxdy = f ( x(u, v), y(u, v)) J (u, v) dudv D D' xu xv , kus J (u , v ) = on funktsionaaldeterminant yu yv ehk jakobiaan 9. Polaarkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse Olgu punkt A(a,b) fikseeritud punkt tasandil. Punkti P(x,y)
1) f (A); 2) lim f(P); PA 3)lim f(P) = f(A). PA Diferentseeruvus kohal eksisteerib f'x f(x+x) = f(x) + f'(x) x + o(x) Funktsiooni u = f (x1, . . . , xn) nimetatakse pidevaks piirkonnas 0 Rn, kui see funktsioon on pidev piirkonna 0 igas Lagrange' keskväärtusteoreem: Kui f pidev [x,x + x] ja diferentseeruv (x,x + x), siis leidub c (0,1) nii, et f(x+x) punktis. = f(x) + f'(x+ x) x. Kui igale (x;y) kuulub hulka D on vastavusse seatud muutuja z kindel väärtus, siis muutujat z nimetatakse kahe muutuja x ja y Mitme muutuja funktsioon: funktsiooniks ja tähistatakse z=f(x,y)
. . . . . . . 87 4.1.1 Tuletis, selle geomeetriline ja analüütiline tähendus . . . . . . . . . . 87 4.1.2 Tehetega seotud diferentseerimisreeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.1.3 Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni diferentseerimine . . . . . . . . . 91 4.2 Diferentseeruvuse keskväärtusteoreemid, nende rakendused . . . . . . . . . . 93 4.2.1 Fermat’ ja Rolle’i teoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.2.2 Lagrange’i keskväärtusteoreem ja funktsiooni monotoonsusomadused 94 4.2.3 Funktsiooni kumerus ja nõgusus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2.4 Cauchy keskväärtusteoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.2.5 L’Hospitali reegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.3 Taylori valem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
b) kui f ( x0 ) < f (a ) Kuna lõigus pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused selles lõigus, siis [a, b] : f ( ) = min f ( x ) x [a, b] f ( ) f ( x0 ) f ( x 0 ) < f (a ) f ( ) < f (a ) = f (b ) (a, b ) on sisepunkt Fermat' teoreemi põhjal on statsionaarne punkt. 21 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Cauchy keskväärtusteoreem Teoreem: Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigus [a, b] ja diferentseeruvad vahemikus (a, b ) , kusjuures funktsioonil g ei ole statsionaarseid punkte vahemikus (a, b ) , siis leidub vähemalt üks punkt (a, b ) nii, et kehtib võrdus f (b ) - f (a ) f ( ) = . g (b ) - g (a ) g ( )
sumaaga ja kontstandi võib integraali märgi alt välja tuua: 4. ab[f(x)+g(x)]dx = b b b b a f(x)dx + a g(x)dx. 5. a Cf(x)dx = Ca f(x)dx, C-konstant. Võrratus mida rahuldavad kaks funktsiooni laieneb ka nende funktsioonide integraalidele: Kui a b ja f(x) g(x) iga x [a;b] korral siis abf(x)dx abg(x)dx. Järgnev omadus kannab nimetust 9 integraali keskväärtusteoreem: 7. Lõigul [a,b] leidub vähemalt üks punkt c nii et: b b a f(x)dx = f(c) a dx = f(c) (b-a). 46. Muutuja vahetus määratud integraalis: Asendusvõte. Vaatleme määratud integraali abf(x)dx (5.15). Teeme integraali (5.15) all asenduse valides uueks muutujaks u, mis sõltub x-st järgmisel viisil: u = (x). Eeldame et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame pöördfunktsiooni -ga. Siis x=(u) (5.16). Paneme kirja
kus n on positiivne t¨aisarv ja a on reaalarvuline konstant. Samuti saab seda v~otet kasutades leida integraale arkusfunktsioonidest. 36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted . 37. Töö arvutamine sirgjoonelisel liikumisel muutuvas jõuväljas. Tuletada vastav valem. 38. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Tuletada vastav valem. 39. Määratud integraali omadused (sh omadused 3 6 koos põhjendustega). Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega. 40. Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist koos tõestusega. Newton- Leibnitzi valem . Valemi tõestus. 41. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Tuletada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks. 42. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Sõnastada päratute integraalide hindamisteoreemid. Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. 43
x2], ... [xn - 1, xn]) võtame punkti i ning arvutame funktsiooni vastava väärtuse f(i). Summat Sn = f(1)x1 + f(2)x2 +...+ f(n)xn = nimetatakse funktsiooni y = f(x) integraalsummaks lõigul [a, b]. Määratud integraal. Anname järgmise üldise definitsiooni loobudes eeldustest, et funktsioon y = f(x) on pidev ja mittenegatiivne. Funktsioon y = f(x) määratud integraaliks rajades a-st b-ni nimetatakse piirväärtust ja tähistatakse sümboliga 22. Integraali keskväärtusteoreem (tõestusega). Kui funktsioon y = f(x) on pidev lõigul [a, b], siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c nii, et Tõestus: Omaduse 10 järgi teame, et pidev funktsioon saavutab lõigul [a, b] oma vähima m ja suurima M väärtuse. m M Kuna lõigul pidev funktsioon omab kõiki oma väärtusi [a, b], siis leidub punkt c nii, et 23. Muutuva ülemise rajaga integraal. Teoreemi 5.3 tõestus. 24. Newton-Leibnitzi valem. Tõestusega
n →∞ a a x ∈[a ,b ] maxi ∆ xi →0 Riemanni summa ja Darboux’ summade seos 10.Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega. Kui funktsioonid f ja g on integreeruvad lõigul [a ,b ] ja g( x) ≥ 0 , siis leidub konstant C ∈ [m , M ] , kus m= inf f (x ) ¿ M = x ∈[a , b] f ( x)
13. Illustreerige graafiliselt konkreetse funktsiooni f(x) graafiku baasil Lagrange'i teoreemi! Olgu antud f-n , mille korral Lagrange'i teoreemi eeldused on lõigus [a, b], otspunktidega , täidetud. Tähistame sümboliga lõikaja tõusu. F-ni f(x) graafiku lõikaja võrrand on , kus . Leiame c operaatori " " abil, nii et Lagrange'i teoreemi illustreerib järgnev joonis, kus Lagrange'i teoreem (keskväärtusteoreem) Kui funktsioon f(x) on lõigul [a;b] pidev ja selle lõigu igas seesmises punktis diferentseeruv, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks niisugune punkt c , kus . 14. Formuleerige L'Hospitali reegel ja esitage 2 näidet! Näited: a) b) L´Hospitali reegliga L´Hospitali reegliga Mathcadi abil Mathcadi abil 15. Leida käsitsi piirväärtus ! Käsitsi:
Tõestus. Lase eeldustel saan (d/dx)(lnf(x))= f `(x)/f(x) (xX),
millest järeldub eeldatud lause.
26. Kõrgemat järku tuletis: Iga tuletist võib vaadelda kui iseseisvat funktsiooni. Kui see f. on
diferentseeruv ehk siis f `(x)=D(x0), siis same leida temast omakorda tuletise. Seda nim. Kõrgemat
järku tuletiseks algfunktsioonist f(x'). n-järku tuletiseks nim. Tuletist tuletisest, mille mille jaoti on
n-1 ehk siis f astm n (x)= [f astm (n-1) (x)]'
27. Rolle'i teoreem: Keskväärtusteoreem. (Rolle'i). Olgu y=f(x) 1)pidev lõigul (a;b)
2)diferentseeruv vahemikus (a;b) 3)f(a)=f(b)=0. Siis leidub väh. 1 punkt c, a
sealt järeldubki 5. Põhjendus Jõu liikumine punktist a punkti b ja punktist b punkti c on vastavalt ning . Kui objekt liigub punktist a punkt c on kogutöö võrdne nende summaga. 6. Kui iga korral, siis Põhjendus Jõufunktsioonide ja poolt tehtud töö liikumisel punktist a punkti b on vastavalt ja . Kui ja läbitud teepikkus positiivne e siis on poolt tehtud töö suurem võid võrdne jõu poolt tehtud tööga. Teoreem Integraali keskväärtusteoreem Kui on pidev lõigul [a,b], siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c nii, et Tõestus Kuna funktsioon on pidev lõigul [a,b] saavutab ta seal oma suurima ja vähima väärtuse. Olgu suurimaks väärtuseks M ja vähimaks m. Iga korral kehtib võrratus ja määratud integraali 6. Omaduse põhjal: Kuna m ja M on konstadnid siis võib nad tuua integraalimärgi ette Jagades suurusega saame Näeme, et arv asub vähima ja suurima väärtuse vahel. Lõigul pidevate punktsioonide teise
t sin x cos x = tan x cos 2 x = 1+ t2 3. Integraalid R(sin x, cos x) cos xdx 2 (27.3) sin x = t cos xdx = dt R(sin 2 x, cos x) sin xdx (27.4) cos x = t sin xdx = dt sin 2 x = 1 - cos 2 x = 1 - t 2 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 43 Määratud integraal ja selle omadused. Keskväärtusteoreem (tõestusega). Olgu y = f (x) pidev lõigul [a, b] Jaotame lõigu n osaks punktidega (28.1) x 0 = a, x1 , x 2 ,..., x n = b (28.2) J = {x 0 , x1 ,..., x n } - lõigu [a, b] jaotus Igal lõigukesel x i = x i - x i -1 i = 1,2,..., n võtame punkti i = [xi -1 , xi ] Moodustame integraalsumma n (28.3) S n = f ( i )x i i =1 Definitsioon 7
t sin x cos x = tan x cos 2 x = 1+ t2 3. Integraalid R(sin x, cos x) cos xdx 2 (27.3) sin x = t cos xdx = dt R(sin 2 x, cos x) sin xdx (27.4) cos x = t sin xdx = dt sin 2 x = 1 - cos 2 x = 1 - t 2 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 43 Määratud integraal ja selle omadused. Keskväärtusteoreem (tõestusega). Olgu y = f (x) pidev lõigul [a, b] Jaotame lõigu n osaks punktidega (28.1) x 0 = a, x1 , x 2 ,..., x n = b (28.2) J = {x 0 , x1 ,..., x n } - lõigu [a, b] jaotus Igal lõigukesel x i = x i - x i -1 i = 1,2,..., n võtame punkti i = [xi -1 , xi ] Moodustame integraalsumma n (28.3) S n = f ( i )x i i =1 Definitsioon 7
Kui F1(x) F2(x) ja läbitud teepikkus on positiivne, st b > a, siis on jõu F2 poolt x x x tehtud töö suurem või võrdne jõu F1 poolt tehtud tööst, st ba F1(x)dx ba F2(x)dx. Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega. Selles avaldises b 0, kui x . Seega Kui f(x) on pidev lõigul [a, b], siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c nii, et x ba f(x)dx = f(c) badx = f(c) (b - a) . lim [f(x)- k]= 0 ehk lim f(x)- k = 0 ehk k = lim f(x) (4
D D D Cf ( P)dS = C f ( P)dS D D 3) D=D1D2, kusjuures D1 ja D2 ei oma ühiseid sisepunkte f ( P)dS = f ( P)dS + f ( P)dS D D1 D2 4) Olgu piirkonna D pindala S, siis kehtib valem S = dS D 5) Olgu m f(P) vähim väärtus piirkonnas D ja M f(P) suurim väärtus piirkonnas D, siis m dS f ( P ) dS M dS D D D 6) Keskväärtusteoreem. Leidub punkt A hulgas B nii, et kehtib võrdus f ( P)dS = f ( A) dS D D 17. Kahekordse integraali geomeetriline tähendus Pinnaga z=f(x,y), tasandiga z=0 ja silindriga, mille z-teljega paralleelsete moodustajate juhtjooneks on piirkonna D rajajoon, piiratud keha Q ruumala VQ = limVn = f ( P ) dS n 0 D 18. kahekordse integraali arvutamine ristkoordinaatides ristkülikukujulise piirkonna korral
Kui xi on v.aike, siis muutub pidev funktsioon f osal~oigul [xi-1, xi] v.ahe. Seega v~oib ta sellel osal~oigul lugeda ligikaudselt v~ordseks konstandiga f(pi) ehk f(x) f(pi) kui x [xi-1, xi] . (5.18) J.arelikult on Si ligikaudselt ristk.ulik ja tema pindala avaldub ligikaudu k~orguse ja aluse korrutisena: Si f(pi)xi 39. Maaratud integraali omadused (sh omadused 3 6 koos pohjendustega). Integraali keskvaartusteoreem koos toestusega. Teoreem 5.2 (Integraali keskväärtusteoreem). Kui f(x) on pidev lõigul [a, b], siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c nii, et Tõestus. Kuna f(x) on pidev lõigul [a, b], saavutab ta sellel lõigul oma suurima ja vähima väärtuse (lõigul pidevate funktsioonide omadus 1 §2.11). Olgu M suurim v.a.artus ja m vähim v.a.artus. Siis kehtivad iga x [a, b] korral võrratused m f(x) M. Määratud integraali omaduse 6 põhjal 40. Teoreem muutuva ulemise rajaga integraalist koos toestusega. Newton-Leibnitzi valem
f x, y g x, y iga x, y D korral, siis f x, y dxdy g x, y dxdy D D 4. Absoluutne integreeruvus. Kui funktsioon z f x, y ja on integreeruv, siis ka funktsioon z f x, y on integreeruv ja kehtib võrratus f x, y dxdy f x, y dxdy D D 5. Keskväärtusteoreem. Kui funktsioon z f x, y ja on integreeruv, siis leidub selline arv min f x, y , max f x, y , et kehtib võrdus f x, y dxdy SD D Erijuhul, kui f on pidev piirkonnas D, siis leidub selline punkt x 0 , y 0 D, et f x 0 , y 0 , s.t. f x, y dxdy f x0, y0 SD D 1.4 Kaksikintegraal: Definitsioon. Olgu piirkond D joontrapets
annaabi.ee 
