Ilmutamata funktsiooni tuletis: F(x, f(x))=0 → dx F(x, f(x))=0 Rolle’i teoreem: Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b) ning f (a) = f (b), siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, kus f ′ (c) = 0. Lagrange'i keskväärtusteoreem: Kui funktsioon f on pidev lõigul [a,b] ja diferentseeruv vahemikus (a,b), siis leidub punkt c ∈ (a,b) nii, et f(b)- f(a)=f´(c)(b-a) Cauchy keskväärtusteoreem: Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a,b] ja diferentseeruvad vahemikus f ( b )−f (a) f ' (c ) (a,b),kusjuures g´(x)≠0,siis leidubvahemikus (a,b) punkt c, et = L’Hospitali reegel: g ( b )−g(a) g ' (c)
0
Rolle'i teoreemi tõestus. Rolle'i teoreem Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b) ning f (a) = f (b), siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, kus f (c) = 0. Tõestus. Kuna lõigul pidev funktsioon saavutab seal oma minimaalse ja maksimaalse väärtuse, siis leidub funktsioonil f (x), mis ei ole konstantne funktsioon, vastavas vahemikus vähemalt üks ekstreemumpunkt c, kus f (c) = 0. Konstantse funktsiooni korral f (x) = 0 iga x (a; b). Lagrange'i keskväärtusteoreem Kui funktsioon f on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b), siis leidub punkt c (a; b), et f (b) - f (a) = f (c)(b - a). Cauchy keskväärtusteoreem Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a; b] ja diferentseeruvad vahemikus (a; b), kusjuures g (x) 0, siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, et 9. Lagrange'i keskväärtusteoreem: Kui funktsioon f on pidev lõigul [a,b] ja diferentseeruv vahemikus (a,b), siis leidub punkt c (a,b), et f(b)-f(a)=f´(c)(b-a)
nimetatakse joone y=f(x) puutujaks punktis P. Eeldades, et funktsioon on diferentseeruv kohal x, veendume, et funktsiooni tuletis f' (x ) võrdub joonele y=f(x) punktis punktis P pandud puutuja tõusuga. T5. Rolle'i teoreem: Kui funktsioon y = f(x) on pidev lõigus [a,b], diferentseeruv vahemikus ] a, b [ ja f(a) = f(b), siis on funktsioonil vahemikus ]a, b[ olemas statsionaarne punkt (st leidub punkt ]a, b [, nii et f' ( ) = 0). T6. Cauchy keskväärtusteoreem: Kui funktsioonid y=f(x ) ja y=g(x) on pidevad lõigus [a,b] ja diferentseeruvad vahemikus ]a, b[, kusjuures g' (x)0, siis leidub selline punkt ]a, b[ , mille korral kehtib valem [f(b) f(a)]/[g (b ) - g (a)]=f '( )/g'( ). T7. Lagrange'i keskväärtusteoreem: Erijuhul, kui g(x)=x, saame Cauchy teoreemist järgmise teoreemi: Kui funktsioon y=f(x) on pidev lõigus [a, b] ja diferentseeruv vahemikus ]a, b[ , siis
1.10 Funktsiooni tuletis DEF 1.Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nim. funktsiooni y=f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f´(x)=limy/x, piirprotsessis x->0 DEF 2. Kui funktsioonil f(x) on tuletis kohal x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. f´(x0) <->f(x) D(x0) DEF 3. Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x+)=limy/x, piirprotsessis x->0+ DEF 4. Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x-)=limy/x, piirprotsessis x->0- Funktsiooni tuletis: Lause 1. Funktsiooni f(x) diferentseeruvusest punktis x järeldub selle funktsiooni pidevus punktis x,st Tõestus. Funktsiooni diferentseeruvus punktis x tähendab, et . Kuna igas mingis punktis on piirväärtust omav suurus selle punkti teatud ümbruses esitatav piirväärtuse ja lõpmata väikese suuruse summana, siis , kusjuures . Seos on esitatav ka kujul , kusjuur...
Definitsioon:Kui funktsioonil f ’ eksisteerib tuletis punktis a, siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni f teist kus f ′(c) = 0. Konstantse funktsiooni korral f ′(x) = 0 iga x ϵ (a; b). järku tuletiseks kohal a. Cauchy keskväärtusteoreem Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a; b] ja diferentseeruvad vahemikus (a; b), kusjuures g′ (x) ≠ 0, siis = leidub vahemikus (a; b) punkt c, et
Teiseks vaatleme järgnevalt juhtu f(a)=f(b)≠0. Moodustame abifunktsiooni F(x)=f(x)f(a). Funktsioon F(x) rahuldab lisatingimust F(a)=F(b)=0.Et ka F(x)∈C[a;b] ∩ D(a;b)∧F(a)=F(b), siis tõestuse esimese osa põhjal leidub selline punkt c∈(a;b), et F´(c)=0. Arvestades tingimust f´(x)=F´(x), saame f´(c)=0. Arv c∈(a;b) on esitatav ka kujul c=a+θ(ba), kus 0<θ<1.☐ 18.Cauchy keskväärtusteoreem. Kui funktsioonid φ(x) ja Ψ(x) on pidevad lõigul [a;b] ja diferentseeruvad vahemikus (a;b), kusjuures 2 φ´(x)+ᴪ (x)≠0 ning φ(b)≠φ(a), siis leidub vahemikus (a;b) selline punkt c, et ψ(b)−Ψ(a) ´2 ψ′﴾c)
MATANAAL 2.TEOORIA 22. INTEGRAALI KESKVÄÄRTUSTEOREEM Omadus 5 Kui funktsioon f ( x) on lõigul [ a , b] pidev, siis leidub sellel lõigul niisugune punkt , et kehtib võrdus b f (x )dx = a )f ( (b - ) a . (5) TÕESTUS f ( x) Vaatleme juhtu a < b . Kui m ja M on vastavalt funktsiooni vähimaks ja suurimaks väärtuseks löigul [ a , b] , siis valemi (4) kohaselt 1 b m f (x )dx M ...
9. Keskväärtusteoreemid, L'Hospitali reegel. o Keskväärtusteoreemid: Rolle'i teoreem kui funktsiooni f (x) on pidev lõigul [a;b] ja diferentseeruv vahemikus (a;b) ning f (a) = f (b), siis vahemikus (a; b) leidub selline c, et f' (c) = 0, st f(x) C[a;b] D (a; b) ^ f (a) = f (b) c (a; b) : f' (c) = 0. Cauchy keskväärtusteoreem kui funktsioonid (x) ja (x) on pidevad lõigul [a; b] ja diferentseeruvad vahemikus (a; b), kusjuures '2 (x) + '2 (x) 0 ning vahemikus (b) (a), siis leidub vahemikus (a; b) selline punkt c, et [ (b) (a)] / [ (b) (a)] = ' (c)/ ' (c). Langrange'i keskväärtusteoreem kui funktsioon f (x) on
𝑑𝑡 tähistatakse tuletist parameetri järgi. 5. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Korgemat järku tuletised. 6. Keskväärtusteoreemid. Rolle’i teoreem Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b) ning f (a) = f (b), siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, kus f ′ (c) = 0. Lagrange'i keskväärtusteoreem: Kui funktsioon f on pidev lõigul [a,b] ja diferentseeruv vahemikus (a,b), siis leidub punkt c ∈ (a,b) nii, et f(b)-f(a)=f´(c)(b-a) Cauchy keskväärtusteoreem:Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a,b] ja diferentseeruvad 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑓´(𝑐) vahemikus (a,b),kusjuures g´(x)≠0,siis leidubvahemikus (a,b) punkt c, et 𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎)=𝑔´(𝑐) 7. L’Hospitali reegel. 8
ruumala ja pindala, näiteid Nimetatakse integraalsummade piirväärtuseks. Newton-Leibinzi valem lubab määratud integraale arvutada määramata integraalide abil. Integreerimise omadusi: 3+2 valemit Rakendused: 1) Tasap. kujundi S=int(ülem-alum) 2) Joone kaare pikkus VALEM 3)Pöördpinna ruumala VALEM 4) Pöördpinna pindala 3. Kahekordse integraali definitsioon ja omadused: aditiivsus, lineaarsus, monotoonsus, absoluutne integreeruvus, keskväärtusteoreem, näide Vaatleme tasapinnal xy joonega L piiratud kinnist piirkonda D. Olgu selles piirkonnas antud pidev funktsioon z=f(x,y). Jagame piirkonna D n osapiirkannaks, mille pindalad tähistame ΔS1, ΔS2 … ΔSn. Võtame igas piirkonnas punkti PiЄ ΔSi. Siis summat Vn=Σni=1f(Pi)ΔSi nimetame funktsiooni z=f(x,y) integraalsummaks. Kui eksisteerib piirväärtus, mis ei sõltu piirkonna D osadeks jagamise viisist ega punktide
27. Trigonomeetriliste avaldiste integreerimine. 28. Määratud integraal ja selle omadused. 1. Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Me vaatleme integraali (sinx,cosx)dx Keskväärtusteoreem (tõestusega). Pöördfunktsioon. 1. Universaalne asendus tan x/2=t Olgu y=f(x) pidev lõigul [a,b] Jaotame lõigu n osaks punktidega 2. Funktsiooni piirväärtus. Teoreemid piirväärtuste x0=a, x1, x2,..,xn=b kohta (tõestusega). J={x0,x1,.
Kui f''(a)0--lok max, f''(a)0--lok min Rolle'i teoreem. Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b) ning f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, kus f'(c) = 0. Cauchy teoreem. Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a; b] ja diferentseeruvad vahemikus (a; b), kusjuures g'(x) 0, siis leidub vahemikus(a; b) punkt c, et f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f'(c)/g'(c) Lagrange'i keskväärtusteoreem. Kui funktsioon f on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b), siis leidub punkt c (a; b), et f(b) - f(a) = f'(c)(b - a). L'Hospitali reegel: Olgu funktsioonid f ja g diferentseeruvad punkti a mingis ümbruses, kusjuures g(x) 0 iga x korral sellest ümbrusest. Peale selle, olgu f(a) = g(a) = 0 . Kui eksisteerib piirväärtus limxaf(x)/g(x) , siis eksisteerib ka piirväärtus limxaf(x)/g(x) ja kehtib valem limxaf(x)/g(x)= limxaf(x)/g(x)
Logaritmilise tuletise valemi tuletamine(. üks ekstreemumpunkt c, kus f ′(c) = 0. Konstantse funktsiooni korral f ′(x) = 0 iga x ϵ (a; b). . Lause: Kui funktsioonidel f(x) ja g(u) eksisteerivad lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja Cauchy keskväärtusteoreem:Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a; b] ja diferentseeruvad 𝑑𝑔(𝑓(𝑥)) 𝑑𝑔(𝑓(𝑥)) 𝑑𝑓(𝑥) vahemikus (a; b), kusjuures g′ (x) ≠ 0, siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, et
vahemikus (a, b), olgu see punktis c ∈ (a, b) . Lause 6.1 kohaselt f′ (c) = 0. Geomeetriliselt tähendab Rolle’i teoreemi väide seda, et kui lõigus [a, b] pideva ja vahemikus (a, b) diferentseeruva funktsiooni f graafiku otspunkte (a, f (a)) ja (b, f (b)) läbiv lõikaja on x-teljega paralleelne, siis on nende vahel vähemalt üks selline graafiku punkt (c, f (c)) , milles võetud puutuja on selle lõikajaga paralleelne. Järgmine lause – Lagrange’i keskväärtusteoreem – ütleb, et sellises geomeetrilises sõnastuses kehtib Rolle’I teoreem ka ilma eelduseta f (a) = f (b): lõigus [a, b] pideva ja vahemikus (a, b) diferentseeruva funktsiooni f korral on vähemalt ühes graafiku punktis (c, f (c)) puutuja paralleelne läbi graafiku punktide (a, f (a)) ja (b, f (b)) tõmmatud lõikajaga 27. Cauchy keskväärtusteoreem. L’Hospitali reegel (*) Tõestada Cauchy keskväärtusteoreem (lause 6.4) ja selle järeldusena
siis neid piirväärtusi nimetatakse funktsiooni f teist liiki joonintegraalideks (joonintegraalideks koordinaatide järgi) üle joone AB . Tähistus vastavalt: fdx , f (P )dx AB AB või fdy , f (P )dy AB AB Aditiivsuse, lineaarsuse ja monotoonsuse omadused ning keskväärtusteoreem on joonintegraali puhul analoogsed kahe- ja kolmekordse integraali vastavate omadustega. Esimest liiki joonintegraali spetsiifilised omadused Omadus. Esimest liiki joonintegraal ei sõltu joonel liikumise suunast, st fds = fds . AB BA Omadus. AB ds = s( AB ) , kus s( AB ) on joone AB pikkus.
Hulkade H1,....,Hn, otsekorrutiseks e Cartesiuse korrutiseks H1x...xHn nim kõigi järjendite (h1...hn), kus hkHk (k=1,...,n), hulka. Järjendit nim ka korteeziks. Kui Hk=H (k=1,...,n), siis n teguri, millest igaüks on H, otsekorrutise H x...x H jaoks kasutatakse ka tähistust Hn Aritmeetiliseks punktruumiks Rn nimetatakse otsekorrutist Rn, kus R tähistab reaalarvude hulka. Aritmeetiliseks vektorruumiks Rn nimetatakse hulka Rn, mille elementidel on defineeritud liitmine ja arvuga korrutamine järgmiselt: (x1,...,xn)+(y1,...,yn)=(def) (x1+y1,...,xn+yn), (x1,...,xn)=(def) (x1,...,xn), kus (x1,...,xn), y1,...,yn) Rn ja R Ruumi Rn punktide p(x1,...,xn) ja Q(y1,...,yn) vaheliseks kauguseks nim arvu d(P,Q)= ( x1 - y1) 2 + ... + ( xn - yn) 2 . Vektorruumi Rn vektorite x=(x1,...,xn) ja y=(y1,..,yn) skalaarkorrutiseks nim arvu x*y=x1y1+...+xnyn Vektorruumi Rn nullvektorist erinevate vektorite x=(x1,...,xn) ja y=(y1,...,yn) vahelise nurga koosinuse...
on valem Teisest küljest, S valemi paremal poolel on funktsiooni f integraalsumma lõigul [a,b]. Järelikult, kui pikima osalõigu pikkus läheneb nullile, siis läheneb nullile nimetatud integraalsumma määratud integraalile . Kokkuvõttes, piirprotsessis saame ligikaudsest valemist järgmise täpse valemi pindala jaoks: 39. Määratud integraali omadused (sh omadused 3-6 koos põhjendustega). Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega. a. Määratud integraali omadused (sh omadused 3-6 koos põhjendustega) a.1. a.2. a.3. Põhjendus: kui a=b, siis on läbitud teepikkus võrdne nulliga, seega on ka töö võrdne nulliga, st a.4. Kui siis Põhjendus: Jõu poolt tehtud töö liikumisel punktist a punkti b on ning
MATEMAATILINE ANALÜÜS I § 1 REAALARVUD JA FUNKTSIOONID 1. Reaalarvu mõiste Tähistame sümboliga N kõigi naturaalarvude hulga, st N = {1, 2, 3,...} ja sümboliga Z kõigi täisarvude hulga, st Z = {...,3,2,1, 0, 1, 2, 3,...}. p Ratsionaalarvudeks nimetatakse arve kujul q , kus p ja q on täisarvud, q 0. Kõigi ratsionaalarvude hulga tähistame sümboliga Q. Ratsionaalarvudeks on parajasti need arvud, mis on esitatavad lõplike või lõpmatute perioodiliste kümnendmurdudena. Arve, mis on esitatavad lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdudena, nimetatakse irratsionaalarvudeks. Kõik ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud moodustavad reaalarvude hulga. Kõigi reaalarvude hulga tähistame sümboliga R. Iga lõplikku kümnendmurdu a= , 12 ...n saab esitada lõpmatu kümnendmurruna kahel viisil: a = , 12 ...n 00... või a =...
tõttu funktsioon v on pidev ja seega . (M.O.T.T) Lagrange'i keskvaartusteoreem: Kui funktsioon f on pidev loigul [a, b] ja diferentseeruv vahemikus (a, 4. Liitfunktsiooni tuletise valemi tuletamine. b), siis leidub punkt c (a, b), et f(b) - f(a) = f'(c)(b - a). Kui funktsioonidel f(x) ja g(u) eksisteerivad lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja f(x), siis Cauchy keskväärtusteoreem: Kui funktsioonid f ja g on pidevad loigul [a, b] ja diferentseeruvad liitfunktsioonil g(f(x)) on lõplik tuletis kohal x, kusjuures Tõestus: Tähistame u=f(x). Siis y=g(u). Kui vahemikus (a, b), kusjuures g'(x) =/= 0, siis leidub vahemikus (a, b) punkt c, et u0, siis g pidevuse tõttu y=0 ning seega Kuna u0, siis g diferentseeruvuse tõttu on tõkestatud.
leidub punkt ( a, b ) nii, et kehtib võrdus f ( b ) - f ( a ) = f ( ) ( b - a ) Geomeetriline tõlgendus: Olgu f lõigus [a,b] pidev ja vahemikus (a,b) diferentseeruv funktsioon. Seega kui x ( a, b ) , siis on selle funktsiooni graafikul Punktis (x, f(x)) puutuja, mille tõus on võrdne tuletisega f'(x) . Olgu A = (a, f(a)) ja B = (b, f(b)). Jagatis f (b) - f (a ) b -a Kujutab endast kõõlu AB tõusu. Lagrange'i keskväärtusteoreem väidab, et graafikul leidub punkt ( , f( )) nii, et graafiku puutuja selles punktis on paralleelne kõõluga AB (vt joonist). 0 16. L´ Hospitali reegel ( tõestus määramatuse " " korral ). 0 L'Hospitali reegel: kui mingis protsessis lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 või lim f ( x ) = lim g ( x ) = ja
POOLIK 16. Näidata, et f(x) g(x) (f, g I[a,b]) Tõestus. [PS. IABB-le: on tegelikult i , ja on ,,sii" täht, mitte epsilon] f(x) g(x), g( 17. Näidata, et , kus M = , (f ) Tõestus. | =M = M|b a|, kus M= , (f ). 18. Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega. Kui funktsioonid ja on integreeruvad lõigul ja , siis leidub konstant , kus ja , nii et Tõestus Tõepoolest, kuna , siis Integreerides saame: Kui , siis on võrdus ilmne. Kui , siis Järeldus Kui funktsioonid ja on integreeruvad lõigul ja , ja on pidev lõigul ,
korrutisena e. f. Terve kõvatrapetsi pindala saame, kui summerime osapiirkondade pindalad: Valemi teisel poolel on funktsiooni f integraalsumma lõigul [a,b], järelikult kui pikima osalõigu läheneb nullile, siis läheneb nimetatud integraali summa määratud integraalile , seega piirprotsessis saame ligikaudest valemist täpse valemi g. 17. Määratud integraali omadused (sh omadused 3-6 koos põhjendustega). Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega. a. Määratud integraali omadused: 1. 2. 3. Põhjendus: Kui siis on teepikkus võrdeline nullega ja töö võrdeline nulliga. 4. Kui siis Põhjendus: Kuna liikumine punktist a punkti b on ning liikumine punktist b punkti a . Kui objekt liigub punktist a punkti b ja sealt tagasi punkti a on kogu tehtud tööd võrdeline summaga
arvutada polünoomi kindlal x'l näiteks x0 selle saavutamiseks määrame uue konstantide rea: b n := an ; bn-1 := an-1 + bnx0 ; 10). (Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine) b0 := a0 + b1x0 siis b0 on p(x0) väärtus. See toimib nii, sest polünoomi saab kirjutada 18). (Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega).Kui funktsioonid ja on kujul p(x) = a0 + x(a1 + x(a2 + ... x(an-1 + anx) ... )) seega iteratsiooniliselt asendades bi Olgu funktsioon f pidev lõigul [a, b]. Eeldame, et f(x) 0. Vaatleme joontega y = f(x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit integreeruvad lõigul [, ] ja () 0, siis leidub konstant [, ], kus
Igal juhul kui funktsiooni muut on avaldatud, saab peagi avaldada ka TULETIS... Rakendame nüüd keskväärtusteoreemi: kuna funktsioon f(x) on eelduse kohaselt pidev lõigul [a,b], siis kusagil lõigul [x, x+x] leidub selline argumendi väärtus , mille puhul on integraaliga arvuliselt võrdne selline avaldis: f()(x+x x) lõigu lõpppunkt lõigu algpunkt Ehk siis: = f()(x+x x) =f() x =f()x keskväärtusteoreem Avaldame siit f(), selle keskse väärtuse ja selgub, et see argumendi väärtus on võrdne funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhtega =f()x : x = f ( ) x Meie eesmärk on aga kuidagi avaldada nüüd TULETIS. See pole aga midagi muud, kui funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile: lim '(x) = x 0 x = f ( ) lim lim f ( )
saame ligikaudsest valemist (5.19) järgmise täpse valemi pindala jaoks: (5.20) Lõpuks tuleme veel tagasi valemi (5.19) juurde. Nagu nägime, seisab selle paremal poolel joonisel 5.3 kujutatud ristkülikute ühendi pindala. Valemit (5.19) saab kasutada määratud integraali ligikaudseks arvutamiseks. Oma geomeetrilise sisu tõttu nimetatakse seda valemit ristkülikvalemiks. 39. Määratud integraali omadused (sh omadused 3 6 koos põhjendustega). Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega 1. ba [f(x) ± g(x)]dx = ba f(x)dx ± ba g(x)dx. NB! Omadus 1 ei kehti korrutamise ja jagamise korral! See tähendab, et ba[f(x)g(x)]dx = baf(x)dx · bag(x)dx ja ba[f(x) : g(x)]dx = baf(x)dx :g(x)dx: 2. ba Cf(x)dx = C ba f(x)dx, C - konstant. 3. aa f(x)dx = 0, Põhjendus: kui a = b, siis on läbitud teepikkus võrdne nulliga, seega on ka töö võrdne nulliga, st aa F(x) = 0. 4. Kui a > b, siis ba f(x)dx = - ab f(x)dx. Põhjendus
. . . . . . . . . . 88 9.5 Kõvertrapetsi pindala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 9.6 Numbriline integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 10 Määratud integraal 93 10.1 Newton'i-Leibniz'i valem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 10.2 Integraalarvutuse keskväärtusteoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 10.3 Määratud integraal ülemise raja funktsioonina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 11 Määratud integraali rakendusi 99 11.1 Pindala parameetriliste võrrandite korral * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 11.2 Kõversektori pindala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(P)dS = (P)dS + (P)dS D D1 D2 4) Olgu piirkonna D pindala S. Siis kehtib võrdlus dS = S D 5) Olgu m ja M vastavalt (x,y), vähim ja suurim väärtus piirkonnas D.Siis kehtivad seosed mS = m dS (P)dS M dS = MS D D D 6) Keskväärtusteoreem: Piirkonnas D leidub vähemalt üks punkt A nii, ett kehtib võrdlus (P)dS= (A) dS = (A)S D D 4. Kahekordse integraali teisendamine kaksikintegraaliks ristkülikukujulise piirkonna korral. Tuletada vastav valem. (lk 4-7) 5. Telgede suhtes regulaarsed piirkonnad. Piirkond D on koordinaattelje suhtes regulaarne kui ta on regulaarne nii x-telje kui ka y-telje suhtes. (NB
liikumisel punktist a punkti b on vastavalt F 1( x) dx ja F2 ( x )dx . Kui F1 ( x ) F2 (x ) ja a a läbitud teepikkus on positiivne, st b> a , siis on jõu F2 poolt tehtud töö suurem või võrdne jõu F1 poolt tehtud tööst, st b b F 1( x)dx F2 ( x )dx Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega a a Kui f(x) on pidev lõigul [a,b], siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c nii, et b b f ( x ) dx=f ( c ) dx=f (c )(b-a) Tõestus: Kuna f(x) on pidev lõigul, saavutab ta sellel lõigul a a oma suurima ja vähima väärtuse. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Siis kehtivad iga x [a , b] korral võrratused m f (x) M
Matemaatiline analüüs 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus: ∆y = f’(a)∆x + β , kus β = r(∆x)∆x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆ x suhtes, kui ∆ x läheneb nullile? (tõestada!). funktsiooni muut ∆y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f’(a)∆x ja teine on β. Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. Võrdleme neid suurusi ∆x suhtes. Esiteks, eelduse f’(a) 0 põhjal saame lim dy ∆x= lim f’(a)/∆x* ∆x= lim f’(a) = f(a) 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Teiseks kehtib lim β/ ∆x = lim r(∆x)∆x /∆x = lim r(∆x) = 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui ∆x ja t...
Kui on täidetud eeldused a) ja b) kehtib valem 6) Keskväärtusteoreem. Leidub punkt A hulgas B nii, et kehtib võrdus f ( x, y )dxdy = f ( x(u, v), y(u, v)) J (u, v) dudv D D' xu xv , kus J (u , v ) = on funktsionaaldeterminant yu yv ehk jakobiaan 9. Polaarkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse Olgu punkt A(a,b) fikseeritud punkt tasandil. Punkti P(x,y)
1) f (A); 2) lim f(P); PA 3)lim f(P) = f(A). PA Diferentseeruvus kohal eksisteerib f'x f(x+x) = f(x) + f'(x) x + o(x) Funktsiooni u = f (x1, . . . , xn) nimetatakse pidevaks piirkonnas 0 Rn, kui see funktsioon on pidev piirkonna 0 igas Lagrange' keskväärtusteoreem: Kui f pidev [x,x + x] ja diferentseeruv (x,x + x), siis leidub c (0,1) nii, et f(x+x) punktis. = f(x) + f'(x+ x) x. Kui igale (x;y) kuulub hulka D on vastavusse seatud muutuja z kindel väärtus, siis muutujat z nimetatakse kahe muutuja x ja y Mitme muutuja funktsioon: funktsiooniks ja tähistatakse z=f(x,y)
. . . . . . . 87 4.1.1 Tuletis, selle geomeetriline ja analüütiline tähendus . . . . . . . . . . 87 4.1.2 Tehetega seotud diferentseerimisreeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.1.3 Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni diferentseerimine . . . . . . . . . 91 4.2 Diferentseeruvuse keskväärtusteoreemid, nende rakendused . . . . . . . . . . 93 4.2.1 Fermat’ ja Rolle’i teoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.2.2 Lagrange’i keskväärtusteoreem ja funktsiooni monotoonsusomadused 94 4.2.3 Funktsiooni kumerus ja nõgusus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2.4 Cauchy keskväärtusteoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.2.5 L’Hospitali reegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.3 Taylori valem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
b) kui f ( x0 ) < f (a ) Kuna lõigus pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused selles lõigus, siis [a, b] : f ( ) = min f ( x ) x [a, b] f ( ) f ( x0 ) f ( x 0 ) < f (a ) f ( ) < f (a ) = f (b ) (a, b ) on sisepunkt Fermat' teoreemi põhjal on statsionaarne punkt. 21 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Cauchy keskväärtusteoreem Teoreem: Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigus [a, b] ja diferentseeruvad vahemikus (a, b ) , kusjuures funktsioonil g ei ole statsionaarseid punkte vahemikus (a, b ) , siis leidub vähemalt üks punkt (a, b ) nii, et kehtib võrdus f (b ) - f (a ) f ( ) = . g (b ) - g (a ) g ( )
sumaaga ja kontstandi võib integraali märgi alt välja tuua: 4. ab[f(x)+g(x)]dx = b b b b a f(x)dx + a g(x)dx. 5. a Cf(x)dx = Ca f(x)dx, C-konstant. Võrratus mida rahuldavad kaks funktsiooni laieneb ka nende funktsioonide integraalidele: Kui a b ja f(x) g(x) iga x [a;b] korral siis abf(x)dx abg(x)dx. Järgnev omadus kannab nimetust 9 integraali keskväärtusteoreem: 7. Lõigul [a,b] leidub vähemalt üks punkt c nii et: b b a f(x)dx = f(c) a dx = f(c) (b-a). 46. Muutuja vahetus määratud integraalis: Asendusvõte. Vaatleme määratud integraali abf(x)dx (5.15). Teeme integraali (5.15) all asenduse valides uueks muutujaks u, mis sõltub x-st järgmisel viisil: u = (x). Eeldame et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame pöördfunktsiooni -ga. Siis x=(u) (5.16). Paneme kirja
kus n on positiivne t¨aisarv ja a on reaalarvuline konstant. Samuti saab seda v~otet kasutades leida integraale arkusfunktsioonidest. 36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted . 37. Töö arvutamine sirgjoonelisel liikumisel muutuvas jõuväljas. Tuletada vastav valem. 38. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Tuletada vastav valem. 39. Määratud integraali omadused (sh omadused 3 6 koos põhjendustega). Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega. 40. Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist koos tõestusega. Newton- Leibnitzi valem . Valemi tõestus. 41. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Tuletada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks. 42. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Sõnastada päratute integraalide hindamisteoreemid. Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. 43
x2], ... [xn - 1, xn]) võtame punkti i ning arvutame funktsiooni vastava väärtuse f(i). Summat Sn = f(1)x1 + f(2)x2 +...+ f(n)xn = nimetatakse funktsiooni y = f(x) integraalsummaks lõigul [a, b]. Määratud integraal. Anname järgmise üldise definitsiooni loobudes eeldustest, et funktsioon y = f(x) on pidev ja mittenegatiivne. Funktsioon y = f(x) määratud integraaliks rajades a-st b-ni nimetatakse piirväärtust ja tähistatakse sümboliga 22. Integraali keskväärtusteoreem (tõestusega). Kui funktsioon y = f(x) on pidev lõigul [a, b], siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c nii, et Tõestus: Omaduse 10 järgi teame, et pidev funktsioon saavutab lõigul [a, b] oma vähima m ja suurima M väärtuse. m M Kuna lõigul pidev funktsioon omab kõiki oma väärtusi [a, b], siis leidub punkt c nii, et 23. Muutuva ülemise rajaga integraal. Teoreemi 5.3 tõestus. 24. Newton-Leibnitzi valem. Tõestusega Teoreem
n →∞ a a x ∈[a ,b ] maxi ∆ xi →0 Riemanni summa ja Darboux’ summade seos 10.Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega. Kui funktsioonid f ja g on integreeruvad lõigul [a ,b ] ja g( x) ≥ 0 , siis leidub konstant C ∈ [m , M ] , kus m= inf f (x ) ¿ M = x ∈[a , b] f ( x)
Mat. analüüsi eksami küs. vastused: OSA 1 1. Millisel tingimusel nimetatakse sümbolit x muutujaks mingis hulgas X? Kui sümbol x tähistab hulga X suvalist elementi, siis nimetatakse sümbolit x muutujaks hulgas X 2. Tooge hulkade kohta 2 näidet! y fx () Reaalarvude-, kompleksarvude-, vektorite-, maatriksite-, kaubahalli kauba hulk. 3. Mis on operaator? Tooge 2 näidet! Eeskirja f(f()fx()) , mis näitab kuidas leida muutuja x väärtusele hulgas X vastavat muutuja x hulgas Y, nimetatakse operaatoriks. väärtust f ( x) Näited: aritmeetilised tehted reaalarvudega, aritmeetilised tehted kompleksarvudega,...
Tõestus. Lase eeldustel saan (d/dx)(lnf(x))= f `(x)/f(x) (xX),
millest järeldub eeldatud lause.
26. Kõrgemat järku tuletis: Iga tuletist võib vaadelda kui iseseisvat funktsiooni. Kui see f. on
diferentseeruv ehk siis f `(x)=D(x0), siis same leida temast omakorda tuletise. Seda nim. Kõrgemat
järku tuletiseks algfunktsioonist f(x'). n-järku tuletiseks nim. Tuletist tuletisest, mille mille jaoti on
n-1 ehk siis f astm n (x)= [f astm (n-1) (x)]'
27. Rolle'i teoreem: Keskväärtusteoreem. (Rolle'i). Olgu y=f(x) 1)pidev lõigul (a;b)
2)diferentseeruv vahemikus (a;b) 3)f(a)=f(b)=0. Siis leidub väh. 1 punkt c, a
sealt järeldubki 5. Põhjendus Jõu liikumine punktist a punkti b ja punktist b punkti c on vastavalt ning . Kui objekt liigub punktist a punkt c on kogutöö võrdne nende summaga. 6. Kui iga korral, siis Põhjendus Jõufunktsioonide ja poolt tehtud töö liikumisel punktist a punkti b on vastavalt ja . Kui ja läbitud teepikkus positiivne e siis on poolt tehtud töö suurem võid võrdne jõu poolt tehtud tööga. Teoreem Integraali keskväärtusteoreem Kui on pidev lõigul [a,b], siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c nii, et Tõestus Kuna funktsioon on pidev lõigul [a,b] saavutab ta seal oma suurima ja vähima väärtuse. Olgu suurimaks väärtuseks M ja vähimaks m. Iga korral kehtib võrratus ja määratud integraali 6. Omaduse põhjal: Kuna m ja M on konstadnid siis võib nad tuua integraalimärgi ette Jagades suurusega saame Näeme, et arv asub vähima ja suurima väärtuse vahel. Lõigul pidevate punktsioonide teise
t sin x cos x = tan x cos 2 x = 1+ t2 3. Integraalid R(sin x, cos x) cos xdx 2 (27.3) sin x = t cos xdx = dt R(sin 2 x, cos x) sin xdx (27.4) cos x = t sin xdx = dt sin 2 x = 1 - cos 2 x = 1 - t 2 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 43 Määratud integraal ja selle omadused. Keskväärtusteoreem (tõestusega). Olgu y = f (x) pidev lõigul [a, b] Jaotame lõigu n osaks punktidega (28.1) x 0 = a, x1 , x 2 ,..., x n = b (28.2) J = {x 0 , x1 ,..., x n } - lõigu [a, b] jaotus Igal lõigukesel x i = x i - x i -1 i = 1,2,..., n võtame punkti i = [xi -1 , xi ] Moodustame integraalsumma n (28.3) S n = f ( i )x i i =1 Definitsioon 7
t sin x cos x = tan x cos 2 x = 1+ t2 3. Integraalid R(sin x, cos x) cos xdx 2 (27.3) sin x = t cos xdx = dt R(sin 2 x, cos x) sin xdx (27.4) cos x = t sin xdx = dt sin 2 x = 1 - cos 2 x = 1 - t 2 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 43 Määratud integraal ja selle omadused. Keskväärtusteoreem (tõestusega). Olgu y = f (x) pidev lõigul [a, b] Jaotame lõigu n osaks punktidega (28.1) x 0 = a, x1 , x 2 ,..., x n = b (28.2) J = {x 0 , x1 ,..., x n } - lõigu [a, b] jaotus Igal lõigukesel x i = x i - x i -1 i = 1,2,..., n võtame punkti i = [xi -1 , xi ] Moodustame integraalsumma n (28.3) S n = f ( i )x i i =1 Definitsioon 7
Kui F1(x) F2(x) ja läbitud teepikkus on positiivne, st b > a, siis on jõu F2 poolt x x x tehtud töö suurem või võrdne jõu F1 poolt tehtud tööst, st ba F1(x)dx ba F2(x)dx. Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega. Selles avaldises b 0, kui x . Seega Kui f(x) on pidev lõigul [a, b], siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c nii, et x ba f(x)dx = f(c) badx = f(c) (b - a) . lim [f(x)- k]= 0 ehk lim f(x)- k = 0 ehk k = lim f(x) (4
D D D Cf ( P)dS = C f ( P)dS D D 3) D=D1D2, kusjuures D1 ja D2 ei oma ühiseid sisepunkte f ( P)dS = f ( P)dS + f ( P)dS D D1 D2 4) Olgu piirkonna D pindala S, siis kehtib valem S = dS D 5) Olgu m f(P) vähim väärtus piirkonnas D ja M f(P) suurim väärtus piirkonnas D, siis m dS f ( P ) dS M dS D D D 6) Keskväärtusteoreem. Leidub punkt A hulgas B nii, et kehtib võrdus f ( P)dS = f ( A) dS D D 17. Kahekordse integraali geomeetriline tähendus Pinnaga z=f(x,y), tasandiga z=0 ja silindriga, mille z-teljega paralleelsete moodustajate juhtjooneks on piirkonna D rajajoon, piiratud keha Q ruumala VQ = limVn = f ( P ) dS n 0 D 18. kahekordse integraali arvutamine ristkoordinaatides ristkülikukujulise piirkonna korral
Matematiline analüüs l. Jaan Jaano 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks...
f x, y g x, y iga x, y D korral, siis f x, y dxdy g x, y dxdy D D 4. Absoluutne integreeruvus. Kui funktsioon z f x, y ja on integreeruv, siis ka funktsioon z f x, y on integreeruv ja kehtib võrratus f x, y dxdy f x, y dxdy D D 5. Keskväärtusteoreem. Kui funktsioon z f x, y ja on integreeruv, siis leidub selline arv min f x, y , max f x, y , et kehtib võrdus f x, y dxdy SD D Erijuhul, kui f on pidev piirkonnas D, siis leidub selline punkt x 0 , y 0 D, et f x 0 , y 0 , s.t. f x, y dxdy f x0, y0 SD D 1.4 Kaksikintegraal: Definitsioon. Olgu piirkond D joontrapets
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
