sekundaarsed lained liituvad samas faasis. Selliseid difraktsioonimaksimume nimetatakse peamaksimumideks ning nende suunad arvutatakse võrrandist: d sinm = m, m = 0, 1, 2, ... , kus m on peamaksimumi (spektri) järk, m peamaksimumi suund (difraktsiooni nurk), d = a+b võrekonstant, valguse lainepikkus. Võrrandiga antavas difraktsioonipildis on üks nulljärku peamaksimum, mille annavad võret otse läbinud kiired. Kõiki kõrgemat järku maksimume on kaks ning need asetsevad nullmaksimumi suhtes sümeetriliselt (üks paremal teine vasakul). Võrrandist saame lainepikkuse arvutamiseks valemi: = sinm Nurk m on m-ndat järku peamaksimumi nurkkaugus nullmaksimumist (m = 0). Selle nurga täpsemaks määramiseks mõõdetakse nullmaksimumist paremal ja vasakul asuvate m- ndat järku peamaksimumide suund mp ja mv . Nende nurkade vahe mp mv võrdub m-ndat järku
valguslained) nende taha levivad Difraktsiooni kasutamine Praktikas kasutatakse valguse difraktsiooni nähtust difraktsioonivõredes. Difraktsioonivõre on paljudest paralleelsetest piludest koosnev seade, milles toimub valguse või muu kiirguse difraktsioon. Looduses võibolla selleks võreks udu ja pilved. Spektrite saamine spektraalaparaatides Erineva lainepikkusega valguslained annavad valguse maksimume erinevates suundades. Seda võre omadust kasutatakse spektrite saamiseks spektraalaparaatides. Difraktsioon mere ääres Sadamakai varju või suure kivilahmaka taha lained ei levi. Väiksemate kivide taga lained koonduvad veidi, veel väiksemate taga aga koonduvad juba tugevasti. Tõkked peavad olema samas suurusjärgus võngete lainepikkusega, et difraktsioon saaks tekkida. Difraktsiooni kasutamine pinnauuringutes
∆ = d sin α m = mλ , m = 0, ± 1, ± 2 , (1) 1 TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL, FÜÜSIKAINSTITUUT kus m on peamaksimumi (spektri) järk, α m – m-inda peamaksimumi difraktsiooni nurk, d = a + b – võrekonstant, λ – valguse lainepikkus. Difraktsioonipildis on üks nulljärku peamaksimum, mille annavad võret otse läbinud kiired. Kõiki kõrgemat järku maksimume on kaks ning need asetsevad nullmaksimumi suhtes sümmeetriliselt (meie juhul üks paremal – teine vasakul, joonis 19.1). Valemist (1) saame lainepikkuse arvutamiseks avaldise: d λ= sin α m . (2) m
Lumemõõdistamine põllul Päikesepaiste kestus Maksimaalne aasta temperatuur:21,8kraadi 1 Õhutemperatuurid Vali menüüst Kliima Kliimanormid ... Koosta mõlema ilmajaama andmete alusel joondiagramm. Joonis 1. Keskmine õhutemperatuur °C 19712000. Võrdle ja põhjenda temperatuuri kõikumist antud vahemikes. Võrdle õhutemperatuuri absoluutseid miinimume °C 1971-2000 Võrdle õhutemperatuuri absoluutseid maksimume °C 19712000. Temperatuuri amplituud on mõlemas kohas suur. Vilsandi kõige madalam temperatuur on Veebruaris -2 kraadi. Jõgeva kõige madalam temperatuur on samuti Veebruaris -5,9 kraadi. Nende vahe on 3,9 kraadi, järelikult Jõgevas on külmem talvel, kui Vilsandis. Vilsandis on kõige soojem Augustis 16,6 kraadi. Jõgevas on kõige soojem samuti 16,6 kraadi, aga juulis. See tähendab, et Jõgevas on suvi enne soojem, kui Vilsandis.
Mida väiksemad on tõkked, seda paremini lained (ka valguslained) nende taha levivad. Difraktsiooni kasutamine Praktikas kasutatakse valguse difraktsiooni nähtust difraktsioonivõredes. Difraktsioonivõre on paljudest paralleelsetest piludest koosnev seade, milles toimub valguse või muu kiirguse difraktsioon. Looduses võib-olla selleks võreks udu ja pilved Spektrite saamine spektraalaparaatides Erineva lainepikkusega valguslained annavad valguse maksimume erinevates suundades. Seda võre omadust kasutatakse spektrite saamiseks spektraalaparaatides. Difraktsioon mere ääres Sadamakai varju või suure kivilahmaka taha lained ei levi. Väiksemate kivide taga lained koonduvad veidi, veel väiksemate taga aga koonduvad juba tugevasti. Tõkked peavad olema samas suurusjärgus võngete lainepikkusega, et difraktsioon saaks tekkida. Difraktsiooni kasutamine pinnauuringutes Kasutatakse erinevate pinnastruktuuride analüüsiks
vahemiku kõigis ülejäänud punktides. Ehk teisiti, funktsioonil f ( x ) on punktis x = x1 maksimum, kui f ( x1 + x ) < f ( x1 ) iga küllalt väikese absoluutväärtusega (positiivse või negatiivse) x puhul. Funktsiooni miinimumi definitsioon. Funktsioonil f ( x ) on punktis x = x 2 miinimum, kui f ( x 2 + x ) > f ( x 2 ) iga küllalt väikese absoluutväärtusega (positiivse või negatiivse) x puhul. Funktsiooni maksimume ja miinimume nimetatakse tema ekstreemumiteks ehk ekstremaalseteks väärtusteks. (ekstreemumi olemasolu tarvilik tingimus). Kui diferentseeruval funktsioonil y = f ( x ) on punktis x = x1 maksimum või miinimum, siis tema tuletis selles punktis on null, s.t. f ( x1 ) = 0 . Argumendi väärtusi, mille puhul funktsiooni tuletis on null või katkev, nimetatakse kriitilisteks punktideks ehk kriitilisteks väärtusteks. 9. Funktsiooni suurim ja vähim väärtus antud lõigul.
kui asi nässu läks; siis peab muidugi uuesti tegema) 7. Tehke päring ühte tabelisse. Proovige erinevaid piiravaid tingimusi (WHERE) ja erinevaid kirjete järjestusi (ORDER BY). Proovige ka kõikide veergude väljastust (*) ja ka valikulist veergude väljastust (veergude loend üle koma) (Nüüd pole COMMIT-i ega ROLLBACK-i vaja, sest andmebaasis ei muudetud midagi ainult päriti) 8. Proovige leida üle väljade maksimume ( MAX(...) ), miinimume ( MIN(...) ) ja loendusandmeid ( COUNT (...) ). Seda üle terve tabeli ja ka ainult üle mõne kirje, mis valitakse välja piirangutega WHERE-tingimuses. 9. Tehke päring üle kolme tabeli: a. Esialgu nii, et väljastatakse piiranguteta kõik read b. Lisage piirang (WHERE) nii et väljastataks üks rida c. Muutke piirangut selliselt, et väljastataks mitu rida, aga mitte kõiki ridu.
7) 0]) Q2d=diag([1/ (0.2*0.2) 0 1/ R2d=5/ (0.7*0.7) 0 td = 0,1 (100*M*M) -26,3 0,12 2,2 s 4,5 ±1,7 0 / 0,1 0.1]) 10. Kommentaare tulemuste sobivuse ja uuritud küsimuste kohta. R-i tõstmine tegi süsteemi aeglasemaks, kuid viis ka maksimaalse juhttoime väiksemaks. Q väärtused võtsime lubatud maksimaalväärtuste ruutudepöördväärtused.Nulliks valisime q22 ja q44 sest nad ei oma maksimume. Laiendatud tagasisidega võtsime C maatriksi üherealiseks. Antud katsest saime teada, et järgivsüsteem talub sisendviga rohkem, kui järgijata süsteem.
aeglaselt külmaks , sest meri jäätub aeglaselt. Jõgevas on talvel suuremad madalad temperatuurid ning ülejäänud pluss kraadid ei suuda keskmist temperatuuri aasta kohta kõrgemale viia . Võrdle õhutemperatuuri absoluutseid miinimume C 1971-2000 Jõgevas on suuremad miinimumid , Ristna asub mere juures, mis hoiab nende talve temperatuure kõrgemal . Võrdle õhutemperatuuri absoluutseid maksimume C 1971-2000 Jõgevas on suuremad maksimumid ka , sest seal maa soojeneb kiiresti ja maa kohal on soe. Ristna juures meri soojeneb ning sealt ei tule eriti sooja õhku tagasi. 5. Sademete hulga ja reziimi iseloomustus Koosta mõlema ilmajaama andmete alusel järgmised tulpdiagrammid. Joonis 2. Sademete hulk mm 1971-2000 kuude lõikes Joonis 3. Sademetega päevade arv 1971-2000 kuude lõikes
(Vähendatud programmi teooria vastused) Lokaalse ekstreemumi mõiste. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ¨umbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f(c) = 0. Rolle'i teoreemil on lihtne geomeetriline sisu. See on järgmine. Nimelt
1. 2. 3. 4. 5. 3. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma. · Funktsiooni lokaalne maksimum Funktsioonil on punktis lokaalne maksimum, kui: a) Funktsioon on määratud mingis ümbruses ( b) Igal puhul kehtib võrratus · Funktsiooni lokaalen miinimum Funktsioonil on punktis lokaalne miinimum, kui: a) Funktsioon on määratud mingis ümbruses b) Iga puhul kehtib võrratus Lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. · Fermat' lemma Kui funktsioonil on punktis lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis siis 4. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. N järku tuletis Funktsiooni n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist N järku diferentsiaal Funktsiooni n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku diferentsiaali
Sõnastada Fermat' lemma (tõestust ei küsi). Öeldakse, et funktsioonil on punktis lokaalne maksimum, kui 1. Funktsioon on määratud punkti mingis ümbruses - , + ; 2. Iga - , + korral kehtib võrratus . Öeldakse, et funktsioonil on punktis lokaalne miinimum, kui 1. Funktsioon on määratud punkti mingis ümbruses - , + ; 2. Iga - , + korral kehtib võrratus . Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma kui funktsioonil on punktis lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis = 0. 20) Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. Funktsiooni = -järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni -1-järku tuletise tuletist ja tähistatakse . Lõplikku -järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse -korda diferentseeruvaks.
ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). 11. Pideva funktsiooni definitsioon. Pidevuse geomeetriline sisu. Täpsemalt: argumendi väärtusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A = (a; f(a)) pidev joon (joonis 2.8). 12. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus. 13. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. Kui leidub punkt x1 lõigult [a; b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x1) >= f(x), siis nimetatakse arvu f(x1) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a; b]. Kui leidub punkt x2 lõigult [a; b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x2)
laiuskraadil külma õhuga. Corilisi jõu mõjul kaldub õhuvool paremale läänetuuled. Maapina lähedal on hõõrdumise tõttu ülekaalus edelatuuled. Vastastiku liikuvad soe ja külm õhumass ei segune omavahel kuigi hästi ja neid jääb eraldama polaarfont ehk tekivadki tõusvad õhuvoolud. [Polaaraladel on domineerivaks õhuvooluks idavool.] 41. Mida nimetatakse ATMOSFÄÄRI MÕJUKESKMETEKS niing miks? kõrgema ja madalama õhurõhuga piirkondi ehk maksimume ja miinimume. nad kujundavad õhuringlust palju suuremal alal, kui on nende endi pindala. 42. Milline on ÕHURINGLUSE MÕJU EESTI KLIIMALE? Islandi miinimum toob pehme ja sajuse talveilmastiku. Grööni ja Siberi maksimumi toob pakaselised talveilmad. Assori maksimum toob suvel palavad ja päikesepaistelised ilmad. Atlandi ookeanilt tulevad läänetuulega maismaale niiske õhu voolud (e sademeid palju [talved pehmed]). 43. Mis on ÕHUMASS?
integraalarvutuse põhiteoreemile (x)=F(x+C Kui x=a, siis Seega F(a)+C=0 ; C=-F(a) Võttes x=b, saame 17. Vaatleme Taylori valemit 19. Definitsioon 1 Ekstreemumiteks nimetatakse 20. Teoreem 1 (ekstreemumi piisavad tingimused) funktsiooni maksimume ja miinimume. Punktis x1 on Olgu x1 funktsiooni y=f(x) kriitiline punkt. Kui läbides funktsiooni y=f(x) miinimum, kui leidub niisugune punkti seda punkti x kasvamise suunas tuletise y'(x) märk: x1 ümbrus U (x1) et 1) -+ => x1 on minimaalne;
Sõnastada Fermat' lemma Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma - Kui funktsioonil f on punktis x 1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. 22. Sõnastada Rolle'i teoreem (tõestust ei kusi). Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Sõnastada Lagrange'i teoreem (tõestust ei kusi). Lagrange'i teoreemi geomeetriline sisu. Rolle'i teoreem
Lokaalne maksimum Lokaalne miinimum x Lokaalne miinimum Funktsiooni lokaalset maksimumi ja lokaalset miinimumi nimetatakse funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks ja kohta, kus lokaalne ekstreemum saavutatakse, lokaalseks ekstreemumkohaks. Üldiselt võib funktsioonil võib olla lõpmata palju lokaalseid maksimume ja miinimume. Funktsiooni nimetatakse kasvavaks mingis vahemikus, kui suurematele argumendi x väärtusele selles vahemikus vastavad suuremad funktsiooni y väärtused : x1, x2 ( a; b) ja x1 < x2 korral y (x1 ) < y ( x2). 5 Funktsiooni nimetatakse kahanevaks mingis vahemikus, kui suurematele argumendi x väärtusele selles vahemikus vastavad väiksemad funktsiooni y väärtused :
ekstreemum. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ϵ, x1 + ϵ); 2. iga x ∈ (x1 − ϵ, x1 + ϵ) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ϵ, x1 + ϵ); 2. iga x ∈ (x1 − ϵ, x1 + ϵ) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. 4. Sõnastada ja tõestada Fermat’ teoreem. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f′(x1) = 0. Tõestus. Vaatleme juhtu, kui funktsioonil f on punktis x 1 lokaalne maksimum. Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 ümbrus nii,
Kujutise ja objekti heleduste suhteks saame seega ning, arvestades joonsuurendust Saame Avaldist , kus on objektiivi läbimõõt, nim. süsteemi (objektiivi) suhteliseks avaks. Näeme, et valgusjõud on võrdeline suhtelise ava ruuduga. 18 loeng. amapaksuse interferents tekib juhul, kui vaatame muutuva paksusega kihti mingi kindla nurga all. Lähtevalemiks võib olla eelmise punkti (samakalde) valem, ainult et nüüd on muutujaks mitte , vaid . Maksimume näeme nüüd vaadeldava kihi neis piirkondades, kus Siit tuleb õige lihtne tingimus - Samapaksusribasid oleme kõik näinud, vaadates veepinnal laialivalguvat õlikilet. Vikerkaarevärvilised laigud õli pinnal pole midagi muud, kui kohad, kus nähtavale värvile vastavas lainepikkuses on interferentsimaksimum. Ribade suhteliselt suur laius tuleneb asjaolust, et õlikile on väga õhuke - tema paksus on tõepoolest mikroni suurusjärgus. Seetõttu
Def. Kui leidub punkt x lõigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrrratus f(x ) f(x), siis nimetatakse arvu f(x ) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a,b]. Def. Kui leidub punkt x lõigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x ) f(x), siis nimetatakse arvu f(x ) funktsiooni f vähimaks väärtuseks (absoluutseks miinimumiks) lõigul [a,b] Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. 17. Lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega: · Lõigul pidev funktsioon saavutab suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. · Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. 18. Def. Funktsiooni f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt Def
Def. Kui leidub punkt x lõigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrrratus f(x ) f(x), siis nimetatakse arvu f(x ) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a,b]. Def. Kui leidub punkt x lõigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x ) f(x), siis nimetatakse arvu f(x ) funktsiooni f vähimaks väärtuseks (absoluutseks miinimumiks) lõigul [a,b] Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. 17. Lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega: · Lõigul pidev funktsioon saavutab suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. · Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. 18. Def. Funktsiooni f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt Def
1. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui a.1.1. Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses a.1.2. Igakorral kehtib võrratus; a.2. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui a.2.1. Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses a.2.2. Iga korral kehtib võrratus a.3. Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. b. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma Sõnastus: Kui funktsioonil f on punktis x lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f'(x)=0. Tõestus: b.1. b.2. 25. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Sõnastada ja tõestada Cauchy teoreem
korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x)>f(x), siis nimetatakse arvu f(x) funktsiooni suurimaks väärtuseks lõigul [a,b] Suurima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul kõrgeim punkt. Kui leidub punkt x lõigul [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x)f(x), siis nimetatakse arvu f(x) funktsiooni vähimaks väärtuseks lõigul [a,b] Vähima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul madalaim punkt. Funktsiooni absoluutseid maksimume ning miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. 17.Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega. Sõnastada ja tõestada lõigul pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga. Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega Esimene omadus: Lõigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja vähima väärtuse selle lõigul.
Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Oeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti x1 mingis u¨mbruses (x1 - ²,x1 + ²); 2. iga x (x1 - ²,x1 + ²) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). ¨ Oeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti x1 mingis u¨mbruses (x1 - ²,x1 + ²); 2. iga x (x1 - ²,x1 + ²) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funkt- siooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f'(x1) = 0. T~oestus. Vaatleme juhtu, kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum. Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 u¨mbrus nii, et iga x korral sellest u¨mbrusest kehtib v~orratus f(x) - f(x1) 0
kasvuga lõigul [a, x]. Joonis: tan = QR = AR · tan QR = f'(x0) · x QR = dy PR = y PQ = PR PQ PQ = 7. Diferentsiaali omadused. (omaduse 2 tõestus). 1. d(u ± v) = du ± dv, 2. d(uv) = vdu + udv, 3. d = , kui v0. 4. d(Cu) = Cdu , C - konstant, Tõestus: d(uv) = (uv)'dx = (u'v + uv')dx = u'vdx + dv'dx = u'dx · v + u · v'dx = vdu + udv 8. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid. Definitsioonid. Lokaalsed ekstreemumid. Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Definitsioon. Lokaalne maksimum: Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Definitsioon. Lokaalne miinimum: Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1.funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2
laiuskraadil külma õhuga. Coriolisi jõu mõjul kaldub õhuvool paremale läänetuuled. Maapinna lähedal on hõõrdumise tõttu ülekaalus edelatuuled. Vastastikku liikuvad soe ja külm õhumass ei segune omavahel kuigi hästi ja neid jääb eraldama polaarfront - tekivad tõusvad õhuvoolud. Polaaraladel on domineerivaks õhuvooluks idavool. · Kõrgema ja madalama õhurõhuga piirkondi ehk maksimume ja miinimume nim. atmosfääri mõjukeskmeteks, sest nad kujundavad õhuringlust palju suuremal alal, kui on nende endi pindala. ÕHURINGLUSE MÕJU EESTI KLIIMALE · Islandi miinimum- toob pehme ja sajuse talveilmastiku, Assoori maksimum- suvel palavad ja päikesepaistelised ilmad. Pakaselised talveilmad tulevad Grööni või Siberi maksimumi mõjust. Atlandi ookeanilt kanduvad läänetuultega maismaale niiske õhu voolud- sademeid palju, talved pehmed
Öeldakse et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui: a.i. Funktsioonil f on määratud punkt x1 mingis ümbruses (x1-, x1+ ) a.ii. Iga x (x1-, x1+ ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1) b. Öeldakse et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui: b.i. Funktsioonil f on määratud punkt x1 mingis ümbruses (x1-, x1+ ) b.ii. Iga x (x1-, x1+ ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1) c. Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks d. Kui funktsioon ei ole konstantne lokaalse maksimumipunkti ümbruses, siis on selles punktis funktsiooni graafikul "tipp". Läbides maksimumpunkti vasakult paremale asendub funktsiooni kasvamine kahanemisega. Seevastu on lokaalne maksimum funktsiooni graafiku "org". Läbides seda punkti vasakult paremale asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega. e
[a, b]. Kui leidub punkt x2 lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x2) f(x), siis nimetatakse arvu f(x2) funktsiooni f vähimaks väärtuseks (absoluutseks miinimumiks) lõigul [a, b]. Funktsiooni suurima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul kõrgeim punkt ja funktsiooni vähima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul madalaim punkt. Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. 17. Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega: 1. Lõigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Seda omadust võib selgitada järgmiselt. Kui funktsioon f(x) on pidev lõigul [a, b], siis on selle funktsiooni graafik antud lõigu kohal pidev joon. Taolisel pideval joonel on olemas nii kõrgeim kui ka madalaim punkt
väärtuseks lõigul [a,b] Suurima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul kõrgeim punkt. b. Kui leidub punkt x lõigul [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x)f(x), siis nimetatakse arvu f(x) funktsiooni vähimaks väärtuseks lõigul [a,b] Vähima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul madalaim punkt. c. Funktsiooni absoluutseid maksimume ning miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. 17. Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega. Sõnastada ja tõestada lõigul pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga. a. Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega a.i
Diferentsiaali omadused: 1. 2. 3. 4. 5. 24. Funktsiooni lokaalne maksimum Funktsioonil on punktis lokaalne maksimum, kui saame näidata: 1. Funktsioon on määratud mingis ümbruses ( 2. Igal puhul kehtib võrratus Funktsiooni lokaalen miinimum Funktsioonil on punktis lokaalne miinimum, kui saame näidata: 1. Funktsioon on määratud mingis ümbruses 2. Iga puhul kehtib võrratus Lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat'lemma - Kui funktsioonil on punktis lokaalne ekstreemum ja funktsioon on samas punktis diferentseeruv siis Tõestus Vaatleme juhtu, kus funktsioonil on lokaalne maksimum, mistõttu peab kehtima võrratus järelikult Nüüd võime võtta -i -st paremalt või vasakult. Võtame ta vasakult. Jagame võrratuse selle negatiivse arvuga. (Negatiivse arvuga jagamine muudab võrratust!)
= = =1- >1 n+2 n+2 n+2 n+2 n Seega M 0 Ka valemit (18.7) võib rakendada vahemikus - 1 < x < 1 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 33 Ekstreemumid. Ekstreemumi tarvilik tingimus (tõestusega). Kriitilised punktid. Definitsioon 1 Ekstreemumiteks nimetatakse funktsiooni maksimume ja miinimume. Punktis x1 on funktsiooni y = f (x) miinimum, kui leidub niisugune punkti x1 ümbrus U ( x1 ), et f ( x) > f ( x1 ), kui x U ( x1 ), x x1 { (19.1) U ( x1 ) = x x - x1 < } Punktis x 2 on funktsiooni y = f (x) maksimum, kui leidub niisugune punkti x 2 ümbrus U ( x 2 ), et f ( x) < f ( x 2 ), kui x U ( x 2 ), x x 2 { (19.2) U ( x 2 ) = x x - x 2 < } Miinimume ja maksimume nimetatakse täpsemalt lokaalseteks ekstreemumiteks.
= = =1- >1 n+2 n+2 n+2 n+2 n Seega M 0 Ka valemit (18.7) võib rakendada vahemikus - 1 < x < 1 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 33 Ekstreemumid. Ekstreemumi tarvilik tingimus (tõestusega). Kriitilised punktid. Definitsioon 1 Ekstreemumiteks nimetatakse funktsiooni maksimume ja miinimume. Punktis x1 on funktsiooni y = f (x) miinimum, kui leidub niisugune punkti x1 ümbrus U ( x1 ), et f ( x) > f ( x1 ), kui x U ( x1 ), x x1 { (19.1) U ( x1 ) = x x - x1 < } Punktis x 2 on funktsiooni y = f (x) maksimum, kui leidub niisugune punkti x 2 ümbrus U ( x 2 ), et f ( x) < f ( x 2 ), kui x U ( x 2 ), x x 2 { (19.2) U ( x 2 ) = x x - x 2 < } Miinimume ja maksimume nimetatakse täpsemalt lokaalseteks ekstreemumiteks.
Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonnas pidevad. Kuna elementaarfunktsioonid on saadud põhiliselt elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise kaudu ning nimetatud tehete puhul pidevus säilib, siis on ka kõik elementaarfunktsioonid oma määramispiirkonnas pidevad.(Näited konspektis) 16. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. Absoluutne maksimum - Kui leidub punkt lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f( ) f(x), siis nimetatakse arvu f( ) funktsiooni f suurimaks väärtuseks lõigul [a, b]. Absoluutne miinimum - Kui leidub punkt lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral
Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma - Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. Tõestus : funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum. Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 ümbrus nii, et iga x korral sellest ümbrusest kehtib võrratus Selles ümbruses asuva arvu x me saame võtta punktist x1 nii vasakult kui ka paremalt
1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); Polünoomi P_n nimetatakse funktsiooni f Taylori polünoomiks ehk n-järku lähendiks punkti 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). a ümbruses. Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Kui x a, siis kehtib ligikaudne valem f(x)P_n (x). Fermat' lemma - Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis,
tarvilik tingimus.
Kahemuutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid
Öeldakse, et funktsioonil f on punktis P1 lokaalne maksimum kui
1. funktsioon on määratud punkti P1 mingis ümbruses U(P1,)
2. iga PU(P1,), PP1 kehtib võrratus f(P)
Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonnas pidevad. Kuna elementaarfunktsioonid on saadud põhiliselt elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise kaudu ning nimetatud tehete puhul pidevus säilib, siis on ka kõik elementaarfunktsioonid oma määramispiirkonnas pidevad.(Näited konspektis) 16. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. Absoluutne maksimum - Kui leidub punkt lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f( ) ≥ f(x), siis nimetatakse arvu f( ) funktsiooni f suurimaks väärtuseks lõigul [a, b]. Absoluutne miinimum - Kui leidub punkt lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f( ) ≤ f(x), siis nimetatakse arvu f( )
¨ Oeldakse et funktsioonil f on punktis P1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti P1 mingis u ¨mbruses U (P1 , ) 2. iga P U (P1 , ), P = P1 korral kehtib v~orratus f (P ) < f (P1 ). ¨ Oeldakse et funktsioonil f on punktis P1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti P1 mingis u ¨mbruses U (P1 , ) 2. iga P U (P1 , ), P = P1 korral kehtib v~orratus f (P ) > f (P1 ). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Lokaalsed ekstreemumid on seotud funktsiooni statsionaarsete punktidega. Funktsiooni z = f (P ) statsionaarseks punktiks nimetatakse punkti P , kus ke- htivad v~ordused fx1 (P ) = fx2 (P ) = . . . = fxm (P ) = 0 (ehk grad f (P ) = 0). Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Olgu funktsioonil z = f (P ) punk- tis P1 lokaalne ekstreemum ja eksisteerigu osatuletised fx1 (P1 ), fx2 (P1 ), . .
Optimeerimisülesande lahendiks on juhitavate parameetrite optimaalsed ja ühtlasi lubatavad väärtused , mille puhul sihifunktsiooni väärtus on maksimaalne. Rangelt kumer funktsioon saavutab optimeerimisülesandes maksimumi vaid lubatava piirkonna tippudes. Seega optimumi tingimused on: . Ühe muutuja funktsioonil võib olla üks või kaks maksimumi. Rangelt kumeral n muutujaga funktsioonil on üldjuhul palju lokaalseid maksimume kuni 2n . Üks maksimumidest n globaalne maksimum. Optimumide tingimused rangelt nõguse funktsioonidega ülesannetes: Olgu vaja leida rangelt nõgusi funktsiooni maksimum Y-muutujate lubatavas piirkonnas. Optimeerimisülesande lahendiks on juhitavate parameetrite optimaalsed ja ühtlasi lubatavad väärtused, mille puhul sihifunktsiooni väärtus on maksimaalne. Funktsioonil on punktis Y00 lokaalne maksimum, kui selle punkti ümbruses leidub niisugune
} // for j
return result;
} // maxVeeruMin
/** Minimaalne element veergude maksimumide hulgas.
* Lubatud erineva pikkusega read.
*/
public static int minVeeruMax (int[][] m) {
int result = Integer.MAX_VALUE; // l6pptulemuse algv22rtus
// teeme kindlaks maksimaalse reapikkuse vArv
int vArv = 0;
for (int i=0; i
1.Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui 1. Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses (x - , x + ); 2. Iga x ( x - , x + ) korral kehtib võrratus f ( x) f (x ) ; 2.Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui 1.Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses ( x 1- , x 1+ ) ; 2.Iga x (x - , x + ) korral kehtib võrratus f (x) f (x ) . 3.Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks b Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f '(x1) = 0. a. Tõestus: 1. X asub punktist x1 vasakul f ( x )-f ( x1 ) 0 1 x¿
lemma. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²); 2. iga x ∈ (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²); 2. iga x ∈ (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Sõnastada ja tõestada Fermat’ lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f’(x1) = 0. Tõestus. Vaatleme juhtu, kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum. Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 ümbrus nii, et iga x korral sellest ümbrusest kehtib võrratus f(x) − f(x1) ≤ 0
( x, y ) U ( P ) U ( P ) , et f ( x, y ) > f ( x1 , y1 ) , ( x, y ) ( x1 , y1 ) (14.1) Punktis Q( x 2 , y 2 ) on funktsiooni maksimum kui leidub selline punkti ümbrus U ( Q ) , et ( x, y ) U ( Q) f ( x, y ) < f ( x 2 , y 2 ) , ( x, y ) ( x2 , y 2 ) Funktsiooni miinimume ja maksimume nimetatakse funktsiooni ekstreemumiteks. Teoreem 14.1. Mitme muutuja funktsioonid saavad ekstreemumid olla vaid nendes punktides, kus selle funktsiooni esimest järku osatuletised on nullid või ei eksisteeri. Vastavaid punkte nimetatakse kriitilisteks või statsionaarseteks punktideks. Tõestus. Vaatleme kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) . Sellel funktsioonil saab olla ekstreemum punktis P vaid siis kui ka ühe muutuja funtksioonidel g ( x ) = f ( x, y 0 ) ja h( y ) = f ( x 0 , y )
24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1.funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Sõnastada ja tostada Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. Tõestus. Vaatleme juhtu, kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum. Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 ümbrus nii, et iga x korral sellest ümbrusest kehtib võrratus f(x) - f(x1) 0. (3.21) Selles
peegeldunud kiirte vahel tekib faasinihe, mis sõltub langemisnurgast. Samapaksuse interferents tekib juhul, kui vaatame muutuva paksusega kihti mingi kindla nurga all. Lähtevalemiks võib olla eelmise punkti (samakalde) valem, ainult et nüüd on muutujaks mitte , vaid . Maksimume näeme nüüd vaadeldava kihi neis piirkondades, kus Siit tuleb õige lihtne tingimus - Samapaksusribasid oleme kõik näinud, vaadates veepinnal laialivalguvat õlikilet. Vikerkaarevärvilised laigud õli pinnal pole midagi muud, kui kohad, kus nähtavale värvile vastavas lainepikkuses on interferentsimaksimum. Ribade suhteliselt suur laius tuleneb asjaolust, et õlikile on väga õhuke - tema paksus on tõepoolest mikroni suurusjärgus
peegeldunud kiirte vahel tekib faasinihe, mis sõltub langemisnurgast. Samapaksuse interferents tekib juhul, kui vaatame muutuva paksusega kihti mingi kindla nurga all. Lähtevalemiks võib olla eelmise punkti (samakalde) valem, ainult et nüüd on muutujaks mitte , vaid . Maksimume näeme nüüd vaadeldava kihi neis piirkondades, kus Siit tuleb õige lihtne tingimus - Samapaksusribasid oleme kõik näinud, vaadates veepinnal laialivalguvat õlikilet. Vikerkaarevärvilised laigud õli pinnal pole midagi muud, kui kohad, kus nähtavale värvile vastavas lainepikkuses on interferentsimaksimum. Ribade suhteliselt suur laius tuleneb asjaolust, et õlikile on väga õhuke - tema paksus on tõepoolest mikroni suurusjärgus
Kilimanžaaro mäetipul. Erinevad mäenolvad on erineva kaldega ja seetõttu ka väga erineva valgus ja veerežiimiga. Veekogudes on väga tahtis tegur sügavus. Vesi neelab valgust küllaltki tugevalt, eriti pikemalainelist osa nähtava valguse spektrist. Punane ja oranž neelatakse juba u. 30m sügavusel, roheline ja sinine võivad jõuda kuni 140m sügavusele. Selline selektiivsus on eriti tahtis fotoautotroofidele. Teatavasti on üks klorofülli neeldumisspektri maksimume just nähtava valguse punases osas. Seetõttu pole suurematel sügavustel klorofüll kõige parem fotosünteesipigment ja seal elavad produtsendid kasutavad teisi pigmente (puna- ja pruunvetikad näiteks). Ka väga väikesed erinevused reljeefis võivad tekitada erinevaid elupaiku. Näiteks niisketes metsades, mis paiknevad savikal aluspõhjal täituvad pärast suuri vihmasid madalamad lohud kiiresti veega. Sama efekt on ka luhtades ja lodumetsades. Reljeefi pole nagu silmaga nähagi
kehtib v~orratus f (x2 ) f (x), siis nimetatakse arvu f (x2 ) funktsiooni f v¨ ahimaks v¨ a¨artuseks (absoluutseks miinimumiks) l~oigul [a, b]. Funktsiooni suurima v¨a¨artuse kohal on funktsiooni graafikul k~orgeim punkt ja funktsiooni v¨ahima v¨a¨artuse kohal on funktsiooni graafikul madalaim punkt. Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funkt- siooni absoluutseteks ekstreemumiteks. Loetleme kolm l~oigul pidevate funktsioonide olulist omadust. Seejuures omadused 1 ja 2 anname t~oestusteta. Esitame vaid nende omaduste u¨ldisi sel- gitusi ja toome illustreerivaid n¨aiteid. Omadus 1. L~ oigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja v¨ ahima v¨ a¨artuse
kehtib v~orratus f (x2 ) f (x), siis nimetatakse arvu f (x2 ) funktsiooni f v¨ ahimaks v¨ a¨artuseks (absoluutseks miinimumiks) l~oigul [a, b]. Funktsiooni suurima v¨a¨artuse kohal on funktsiooni graafikul k~orgeim punkt ja funktsiooni v¨ahima v¨a¨artuse kohal on funktsiooni graafikul madalaim punkt. Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funkt- siooni absoluutseteks ekstreemumiteks. Loetleme kolm l~oigul pidevate funktsioonide olulist omadust. Seejuures omadused 1 ja 2 anname t~oestusteta. Esitame vaid nende omaduste u¨ldisi sel- gitusi ja toome illustreerivaid n¨aiteid. Omadus 1. L~ oigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja v¨ ahima v¨ a¨artuse
Nagu näeme, jõuavad mõlemad lained punkti C ühes faasis. Järelikult selles kohas lained tugevdavad üksteist ja seal näeme valgust. Punkti D jõuavad lained aga vastasfaasis. Lained kustutavad üksteist ja selles kohas pole valgust näha. Praktikas kasutatakse valguse difraktsiooni nähtust difraktsioonivõredes. Võre on kitsaste pilude süsteem, kus pilude laius ja vahekaugus on väiksemad kui 1 sajandik millimeetrit. Erineva lainepikkusega valguslained annavad valguse maksimume erinevates suundades. Seda võre omadust kasutatakse spektrite saamiseks spektraalaparaatides. Ka holograafia põhineb valguse difraktsioonil. Holograafia on esemete ruumilise kujutise fotografeerimine. Selle tulemusena saadakse hologramm, mis erineb mitmeti tavalisest fotost. Fotol jäädvustatakse eseme tasapinnaline, mitteruumiline kujutis, mille me mõtleme ruumiliseks Sealjuures aitavad meid ka varjud fotol, perspektiiv jne.
annaabi.ee 
