osatuletis muutuja xj suhtes, kus i ≠j, siis tekib selle funktsiooni teist järku segatuletis xi ja xj ∂2 suhtes, mida tähistatakse f ( x i … x n ) ehk f ' ' xixj (x i … x n ) . Segatuletise väärtus ei sõltu ∂xj ∂ˇxi üksikute tuletiste võtmise järjekorrast, st kehtib võrdus f ′′xixj = f ′′xjxi 18. Mis on skalaarväli ja vektorväli? n-muutuja funktsiooni nimetatakse ka n-mõõtmeliseks skalaarväljaks. Mõiste tuleneb sellest, et taoline funktsioon seab etteantud vektorile vastavusse reaalarvu ehk skalaari. Olgu antud 2n muutuvat suurust x1, . . . , xn ja u1, . . . un. Kujutist, mis seab igale vektorile x = (x1, . . . , xn) teatud hulgast X ⊆ Rn vastavusse ühe kindla vektori u = (u1, . . . , un) nimetatakse n- mõõtmeliseks vektorväljaks. 19. Defineerida skalaarvälja gradient. Mis on nabla?
f/xi(P)=0, i=1,...,n Öeldakse, et punktis A(a1,...,an) on funktsioonil u=f(x1,...,xn) tinglik lokaalne maksimum F1( x1,..., xn) = 0 lisatingimusel Fm( x1,..., xn) = 0 kui leidub punkti A selline ümbrus U, et PU korral F1(P)=...=Fm(P)=0 ja PAf(A)>f(P) Hulka nim sidusaks, kui selle hulga iga kaks punkti saab ühendada selles hulgas sisalduva joonega Väljateooria põhimõisted: u=f(x,y,z)-skalaarväli; F=(X(x,y,z),Y(x,y,z),Z(x,y,z))-vektorväli Vektorit f/x(P), f/y(P), f/z(P), nim skalaarvälja f gradiendiks punktis P(x,y,z) ja tähistatakse (grad f)(P)= f/x(P), f/y(P), f/z(P) X Y Z ( P) + ( P) + ( P) Skalaari x y z nim vektorvälja F divigradientsiks punktis P ja X Y Z ( P) + ( P) + ( P)
Eeldame, et m-muutuja funktsioonil eksisteerib osatuletis fxi(x1,..,xm) piirkonnas D. Kui funktsioon f"xixj (x1,x2,..,xm) ja tema osatuletised f'xi, f'xj, f"xixj, f"xjxi on pidevad, siis f"xixj(x1, x2,.., xm)= f"xjxi(x1, x2,.., xm) 21) Skalaarvälja ja vektorvälja mõisted. Skalaarvälja gradient ja selle omadused. · Skalaarväli on sünonüüm mitmemuutajaga funktsiooni jaoks. Taoline mõiste tuleneb sellest, et funktsiooniga z=(P) on igale funktsiooni määramispiirkonna punktile P vastavusse seatud parajasti üks reaalarv ehk skalaar (P). · Vektorväli olgu D piirkond ruumis R(astmes m). kujutist, mis seab igale punktile P hulgast D vastavusse ühe kindla vektori ruumis R (astmes m), nimetatakse piirkonnas D antud vektorväljaks.
Eeldame, et m-muutuja funktsioonil eksisteerib osatuletis fxi(x1,..,xm) piirkonnas D. Kui funktsioon f"xixj (x1,x2,..,xm) ja tema osatuletised f'xi, f'xj, f"xixj, f"xjxi on pidevad, siis f"xixj(x1, x2,.., xm)= f"xjxi(x1, x2,.., xm) 21) Skalaarvälja ja vektorvälja mõisted. Skalaarvälja gradient ja selle omadused. · Skalaarväli on sünonüüm mitmemuutajaga funktsiooni jaoks. Taoline mõiste tuleneb sellest, et funktsiooniga z=(P) on igale funktsiooni määramispiirkonna punktile P vastavusse seatud parajasti üks reaalarv ehk skalaar (P). · Vektorväli olgu D piirkond ruumis R(astmes m). kujutist, mis seab igale punktile P hulgast D vastavusse ühe kindla vektori ruumis R (astmes m), nimetatakse piirkonnas D antud vektorväljaks.
Asendades valemisse saab: z/s=z/xx/s+z/yy/s+1x/s+2y/s [cos, cos-vektori s suunakoosinused s°- vektori s suunaline ühikvektor s°=(cos; cos)=(x/s; y/s)] z/s=z/xcos+z/ycos+1cos+2cos Def: Piirv- st s0 suhtest z/s nim kahe muutuja f-ni z=(x; y) tuletiseks vektori s suunas ja tähistatakse z/s. Seega z z = lim ja z/s=z/xcos+z/ycos . Kui on antud w=(x; y; z) siis s°=(cos;cos;cos) ja s s 0 s w/s=w/xcos+w/ycos+w/zcos Gradient w=(x; y; z) skalaarväli (määrab ära) gradw=(w/x; w/y; w/z) gradient määrab vektorvälja. Gradientvektor e gradient. gradz s Z=(x; y) grad z=(z/x; z/y) ja s°=(cos; cos) ning z/s=grad zs° (joon) cos = gradz s gradz s
) ro=(x(to),y(to),z(to)) r(to+t)-r(to)=¤r=(¤x,¤y,¤z) ¤x=x(to+¤t)-x(to) ¤y=y(to+¤t)-y(to) ¤z=z(to+¤t)-z(to) lim(t->0) ¤r/¤t=r*= lim(¤t->0) (¤x/¤t,¤y/¤t,¤z/¤t)=(x*,y*,z*) x*=dx/xt y*=dy/dt z*=dz/dt Puutuja võrrand: (x-xo)/m= (y-yo)/n= (z-zo)/p=t s=(m,n,p) sihivektori koordinaadid (x-xo)/x*(to)= (y-yo)/y*(to)=(z-zo)(z*(to) Tasand, mis läbib punkti M on risti puutujaga, on normaaltasand: x*(to)(x-xo)-y*(to)(y-yo)+z*(to)(z-zo)=0 10. Skalaarväli. Funktsiooni suunatuletis (Margus) 11. Skalaarvälja gradient Funktsiooni gradiendi mõiste ja omadused Olgu u=f(x,y,z) kolmemuutuja funktsioon ehk skalaarväli piirkonnas D. Eeldame, et osatuletised f'x, f'y ja f'z eksisteerivad piirkonnas D. Vektorit gradf(P)=(f'x(P),f'y(P),f'z(P)) nimetatakse skalaarvälja f gradiendiks punktis P.
piirkonda mittekuuluvaid punkte. Piirkond D on lahtine, kui ta koosneb sisepunktidest. Piirkond D on kinnine, kui ta koosneb nii sise- kui ka rajapunktidest. Mitme muutuja funktsiooni mõiste Def: nMF f:RnR:P(x1,...,xn) Rn a w=f(P) f(x1,...,xn) R Kujutlus, mis seab n-mõõtmelise ruumi punktidele P vastavusse lõpliku reaalarvu w=f(P), nim n- muutuja funktsiooniks. Geom hüperpind n+1-mõõtmelises ruumis. Füüsikaliselt on nMF skalaarväli. Def: funktsiooni w=f(P), P Rn MP-ks nim nende punktide hulka, mille puhul funktsiooni väärtus on lõplik. MP={P(x1,...,xn) Rn | w=f(P) f(x1,...,xn) < } Rn Def: nivoopinnad on MP-a niisuguste punktide hulk, kus funktsiooni väärtus on konstantne. f(P)=const. Lause1. nivoojoonad ei lõiku, aga iga punkti läbib kindlasti nivoopind. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus. Pidevus Def: PKA lim K x Kii = i ; P(xki), A(ai), i=1,...,n
annaabi.ee 
