Määratud integraali ligikaudne arvutamine trapetsi valemiga. (1)

Tallinna Tehnikaülikool
Referaat
Määratud integraali ligikaudne arvugtamine trapetsi valemiga. Veahinnangud. Näited.
Tatjana Kruglova 142442IAPB

Sisukord

Määratud integraal 3
Pindfunktsioon ning selle tuletis 3
Kõverjoonelise trapetsi pindala 4
Määratud integraali mõiste 5
Definitsioon 1. 6
Määratud integraali omadused 6
Omadus 1. 6
Omadus 2. 7
Järeldus 1. 7
Omadus 3. 8
Järeldus 2. 8
Omadus 4. 9
Omadus 5. 9
Omadus 6. 10
Omadus 7. 10
Määratud integraali arvutamine Newton -Leibnizi valemiga 11
Määratu integraali ligikaune arutamine . Kvadratuurvalemid 13
Keskmine ristkülikvalem 13
Trapetsvalem 15
Simpsoni valem 16
Trapetsivalemi näited. Veahinnangud 17
Näide 1. 17
Näide 2. 18
Näide 3. 19
Kasutatud kirjandus 20

Määratud integraal

Pindfunktsioon ning selle tuletis

Kõverjooneline trapets on selline kujund, mis on piiratud kahe teineteisega (ja näiteks y- teljega ) paralleelsete sirgetega, x-telje lõiguga
ning funktsiooni
graafikuga.
Joonis 1
Määrates eelneval joonisel -teljele punkti
ning määrata talle vastavusse , saame vaadelda kõverjoonelist trapetsit . Selle pindala S on sõltuvuses -st, seega saame, et pindala S on
funktsioon , mida nimetatakse pindfunktsiooniks. (T. Kraav )
Leiame selle pindfunktsiooni tuletise .
Andes -le muudu , vastab sellele pindfunktsiooni muut , mis on omakorda kõverjoonelise trapetsi pindala lõigul .
Nimetame funktsiooni
vähimaks väärtuseks lõigul
ning vastavalt suurima väärtuse samal lõigul . Juhul, kui esineb võrdus
jääb pindala
väärtus
ja väärtuste vahele, ehk siis . (T. Kraav)
Kui vaadelda , siis sarnaselt lähenevad nii
kui ka
funktsiooni väärtusele kohal
Millele tuginedes järeldub ka , ehk siis .

Kõverjoonelise trapetsi pindala

Joonisel 1 oleva kõverjoonse trapetsi abBA pindala võrdub pindfunktsiooniga kohal , ehk . (T. Kraav) (2)
Eelnevalt punktis (1), näitasime valemiga, et pindfunktsioon on funktsiooni
üks algfunktsioonidest .
Pindfunktsioon võib temast erineda ainuüksi konstantse liidetava poolest, ehk
(3)
Vaadeldes joonisel 1
ning selle pindfunktsiooni väärtus
korral on 0, seega
Tänu sellele mõttekäigule leidsime
väärtuse, pannes kokku (2) valemiga leiame, et
Selle kohaselt kõverjoonse trapetsi abBA pindala (2) võrdub
Järelduseks võib teha, et kõverjoonse trapetsi pindala võrdub funktsiooni
vabalt valitud algfunktsiooni väärtuste vahega kohtadel
ja .

Määratud integraali mõiste

Vastavalt joonisele 1, jaotame funktsioon
lõigu
vabalt valitud viisil -osalõiguks punktidega , seejuures
Selliselt tekkinud osalõigud on [], kus
ning nende osalõikude hulka nimetatakse lõigu
tükelduseks. (I. Tammeraid) Tähistame -osalõigu pikkuse järgnevalt .
Järgnevalt igalt osalõigult valime vabalt ühe punkti , kus , ning moodustame korrutised . (L. Pallas)
Liites sellised korrutised omavahel saame funktsiooni
integraalsumma lõigul :
Saadud summat nimetatakse ka Riemanni summaks . (H. Päeva)
Kuna jaotuspunktid
on valitud täiesti vabalt, siis osalõikude ,
pikkused samuti erinevad. Võtame pikima osalõigu tähistuseks , siis (L. Pallas)
Mida väiksem on , seda vähem muutub funktsioon f osalõigul , sellest tulenevalt seda täpsem on eeltoodud valem. Samuti mida peenem on tükeldus , seda täpsem on pindala valem.

Definitsioon 1.

Funktsioon on integreeruv lõigul ning seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni
määratud integraaliks rajades -st -ni, kui piirväärtus ei ole sõltuvuses sellest, kuidas funktsiooni lõik
on jagatud osalõikudeks , ega sellest, kuidas on valitud punktid
nendel osalõikudel. Sellise piirväärtuse tähistuseks kasutatakse , siis definitsiooni kohaselt on ta võrdne
. Seejuures alumiseks rajaks loetakse integreerimislõigu alguspunkti
ning ülemiseks rajaks loetakse lõigu lõpp-punkti
(L. Pallas)
Seda, et funktsioon on integreeruv lõigul , st , tähistame , kus hulk
on kõigi lõigul
integreeruvate funktsioonide hulk.
Kui , siis defineeritakse seos , millest järeldub erijuhu
seos järgmisena
0. (I. Tammeraid)

Määratud integraali omadused

Omadus 1.

Kahe funktsiooni summa määratud integraal on võrdne nende funktsioonide määratud integraalide summaga :
Tõestus
Määratud integraali definitsiooni järgi
Avaldades sulud summa märgi all saame
Kuna summa piirväärtus võrdub piirväärtuste summaga, saame
mille kohaselt on kahe funktsiooni summa määratud integraal on võrdne nende funktsioonide määratud integraalide summaga. (L. Pallas)

Omadus 2.

Konstantse teguri
saab tuua integraali märgi alt välja:

Järeldus 1.

Kahe funktsiooni vahe määratud integraal võrdub funktsioonide määratud integraalide vahega:
Tõestus
Tõestus on vastavuses kahe esimese omadusega . Avaldades , saame
mida soovisimegi tõestada. (L. Pallas)

Omadus 3.

Kui
lõigul , siis kehtib ka .
Tõestus
Kui
kogu lõigul , siis on igal osalõigul
seega kehtib ka
Korrutased viimast võttatust viimase -osalüigu pikkusega, saame
Liites kõik n mittenegatiivset suurust, saame mittenegatiivse suuruse
Kuna mittenegatiivse suuruse piirväärtus on piirprotsessis mittenegatiivne suurus, on omadus tõestatud. (L. Pallas)

Järeldus 2.

Lõigul
, siis kehtib
Tõestus
Eelduse kohaselt , seega omadus 3 järgi
Järelduse 1 alusel
mis võrdubki meie väitega . (L. Pallas)

Omadus 4.

Funktsiooni
määratud integraali absoluutväärtus on väiksem või võrdne selle funktsiooni absoluutväärtusega määratud integraalist
Tõestus
Määratud integraali definitsiooni alusel
(L. Pallas)

Omadus 5.

Määratud integraali aditiivsuse omadus lõigul
Tõestus
Oletame, et
asub lõigul . Jaotame selle lõigu osalõikudeks valides esmaseks jaotuspunktiks
Seejärel jätkates lõigu
jaotamist tekivad lõikudel
ja
omakorda osalõigud. Integraalsumma kogu lõigu
ulatuses on
Kui lõigul
suurima osalõigu pikkus , siis mõlemal tekkinud lõigul suurimate osalõikude pikkused lähenevad nullile . Seega, kui mõlemale poole rakendada piirväärtust , saame esialgse väite. (L. Pallas)

Omadus 6.

Kui funktsiooni
vähim väärtus lõigul
on
ja sama funktsiooni suurim väärtus lõigul
on , siis kehtib
Tõestus
Funktsiooni
suurim väärtus lõigul
on . Seetõttu igal osalõigul vabalt valitud punktis
on , iga
korral, ehk siis .
Liites need omavahel saame
ehk
Rakendades mõlemale poole piirväärtust , saame esialgse väite.
Vasaku poole tõetus on analoogne . (L. Pallas)

Omadus 7.

Määratud integraali keskväärtuse omadus
Lõigul
pideval funktsioonil leidub selline punkt , et
Tõestus
Lõigul pidev funktsioon omab vähimad ja suurimat väärtust, seeda kehtib eelnev omadus. Jagades väite võrratust integreerimislõigu pikkusega , tuleb
Seega saame
kui mingi väärtuse vähima ja suurima väärtuse vahel. Kuna lõigul pideva funktsiooni väärtused esinevad ainult vähima ja suurima väärtuse vahel, siis see väärtus esineb seal samuti. Seetõttu leidub punkt , milles
Kui korrutame mõlemad võrduse pooled pikkusega , saame esialgse väite, ning see esinev väärtus kannab nimetust funktsiooni keskväärtus lõigul. (L. Pallas)

Määratud integraali arvutamine Newton-Leibnizi valemiga

Eelnevalt kõverjoonelist trapetsit uurides saime valemi, mis arvutab trapetsi pindala:
kus
ning teine valem tuleneb määratud integraali definitsioonist , kus vastavalt esimese definitsioonile saame järelduse, kui
siis määratud integraal
esitab -telje, funktsiooni
graafiku ja sirgetega
ning
määratud kõverjoonelise trapetsi pindala.
Vaatleme lähemalt järgmist kõvertrapetsit :
Joonis 2
Vaatleme osalõigule
toetuvat kõvertrapetsi osa . Kui on väike, siis muutub pidev funktsioon f osalõigul
vähe. Seega võib ta sellel osalõigul lugeda ligikaudselt võrdseks konstandiga ehk , kui .
Sellest järeldub, et ligikaudselt ristkülik ja tema pindala avaldub ligikaudu kõrguse ja aluse korrutisena: . Tervikliku kõvertrapetsi ligikaudse pindala valemi saame, kui summeerime osapiirkondade pindalad :
Seda konkreetset valemit saab kasutada määratud integraali ligikaudseks arvutamiseks. Mida väiksem on , seda vähem muutub funktsioon f osalõigul , sellest tulenevalt seda täpsem on eeltoodud valem. Samuti mida peenem on tükeldus, seda täpsem on pindala valem.
Piirporotsessis ϱn → 0 saame eelnevast ligikaudsest valemist järgmise täpse valemi pindala jaoks:
Kuna mõlemad valemid arvutavad trapetsi pindala samaselt, siis
kus
Seda valemit nimetatakse Newton- Leibniz ’i valemiks.

Määratu integraali ligikaune arutamine. Kvadratuurvalemid

Newton-Leibniz’i valem arvutab küll määratud integraali täpselt, aga alati ei osutu selle valemi kasutamine võimalikuks, kuna kõikidel funktsioonidel ei pruugi leiduda piisavalt lihtne algfunktsioon.
Niisugustel juhtudel on määratud integraali arvutamine arukas teha ligikaudselt.
Kuna määratud integraal on integraalsumma piirväärtus, ehk võrdub ligikaudselt integraalsummaga:
Määratud integraali ligikaudse arvutamise valemeid nimetatakse kvardratuurvalemiteks.
Lihtsamaid kvadratuurvalemeid saab tuletada otseselt integraalsummast.

Keskmine ristkülikvalem

Jaotame integreerimislõigu
võrdse pikkusega
osaks. Tähistame vahemikke järgnevalt:
, kus
ja .
Iga vahemiku keskpunktiks on . Seejärel visandame ristkülikud iga
kõrgusega. Järgnevalt on joonisel toodud näide kasutades
Joonis 3
(P. Dawkins )
Selliselt on integraal ligikaudu võrdne vastavate ristkülikute pindalade summaga
(A. Sauga )
Tuues
sulgude ette saame üldistatud Keskpunkti reegli
(P. Dawkins)
Ristkülikvalem on esimest järku täpsusega, ehk
(J. Janno )

Trapetsvalem

Sarnaselt eelmisega jaotame integreerimislõigu
võrdse pikkusega
osaks. Iga
vastavusse arvutame funktsiooni
väärtused. Vahemikud jaotavad kõvertrapetsi n väiksemaks kõvertrapetsiks, mille asendamisel sirgega saame trapetsid.
Joonis 4
(P. Dawkins)
Vastavalt trapetsi pindala valemile saame
Kasutades seda seost, saame
Ning lihtsustades, saame
Trapetsvalem on teist järku täpsusega, seega absoluutse vea hinnang on
(J. Janno)
või
(I. Tammeraid)

Simpsoni valem

Sarnaselt eelmiste valemitega jaotame integreerimislõigu
seekord aga kindlasti paarisarvuliseks võrdse pikkusega
osaks. Trapetsi valemit kasutades ühtlustasime kõverjoont sirgjoonele, siis Simpsoni valemi jaoks ühtlustame jõverjoont paraboolile, mis ühendab kolme punkti.
Joonis 5
(P. Dawkins)
Leiame, et
Seoseid lihtsustades saame lõpliku valemi
Simpsoni valem on kolmandat järku täpsusega, seega absoluutse vea hinnang on
(J. Janno)

Trapetsivalemi näited. Veahinnangud

Järgnevalt vaatan lähemalt trapetsvalemit illustreerivate näidete põhjal.
Valem oli eenevalt tuletatud :

Näide 1.

Võtame ühe lihtsa näite
Selleks, et hiljem võrrelda trapetsvalemi viga, leiame täpse väärtuse Newton-Leibniz’i valemiga.
Trapetsvalemi jaoks jaotame integraali
osalõiguks, saame
Jaotades kõvertrapetsi suurusteks intervallideks saame trapetsite piirkondadeks
Asendades
ja piirkonnad valemisse saame
Siinkohal on viga 0.75 selgelt nähtav, aga arvutame veahinnangu juurde Ivar Tammerdaigi esitatud valemiga:
Siinkohal arvutame:

Näide 2.

Võtame seekord näiteks
Selleks, et hiljem võrrelda trapetsvalemi viga, leiame täpse väärtuse Newton-Leibniz’i valemiga.
Trapetsvalemi jaoks jaotame integraali
osalõiguks, saame
Jaotades kõvertrapetsi suurusteks intervallideks saame trapetsite piirkondadeks
Asendades
ja piirkonnad valemisse saame
Siinseks veaks on 0.048763895.
Veahinnang :
Veahinnangu jaoks arvutame:

Näide 3.

Võtame ühe näite, millel pole algfunktsiooni nii mugav leida
Trapetsvalemi jaoks jaotame integraali
osalõiguks, saame
Jaotades kõvertrapetsi suurusteks intervallideks saame trapetsite piirkondadeks
Asendades
ja piirkonnad valemisse saame
Veahinnang:
Veahinnangu jaoks arvutame:

Kasutatud kirjandus

Ivar Tammeraid – „Matemaatiline analüüs I“ (2001)

Heikki Päeva – „Matemaatiline analüüs“ (1997)

Tartu Ülikooli Avatud Ülikool – „Matemaatiline analüüs III“ (2012)

Paul Dawkins – Calculus II (2003) ( http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/ApproximatingDefIntegrals.aspx )

Tiina Kraav – „Määratud integraal“ ( http://lepo.it.da.ut.ee/~tiinakr/ )

Lembit Pallas – „Määratud integraal“ ( http://www.staff.ttu.ee/~lpallas/M%e4%e4ratud%20integraal.pdf )