funktsiooni y=f(x) teiseks tuletiseks
ehk teist järku tuletiseks ja tähistatakse y´´ ehk f´´(x) ehk d2y/dx2 ehk d2f(x)/dx2 või (d2/dx2)f(x). Seega
f´´(x)=[f´(x)]´. Analoogselt ka kolmandat järku tuletis jne.
DEF 2. Funktsiooni y=f(x) n-järku tuletiseks nim. tuletist (n-1) järku tuletisest.
F(n)(x)=[f(n-1)(x)]´.
+LEIBNIZI VALEMI TÕESTUS !
1.14 Funktsiooni diferentsiaalid
DEF 1. Avaldist f´(x)x nim. funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ehk esimest järku diferentsiaaliks kohal x
ja tähistatakse dy või df.
dy=f´(x)x
DEF 2. Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ehk n-järku diferentsiaaliks nim. diferentsiaali selle funktsiooni
(n-1)-järku diferentsiaalist.
dny=d(dn-1 y)
1.15 Funktsiooni kasvamine, kahanemine. Lokaalne ekstreemum.
DEF 1. Funktsiooni y=f(x) nim. rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvalise
x1 (x-, x) ja x2 (x, x+) korral f(x1)
Näited: leian nt (3) tuletise . Leian leides algul (3) ja siis tõesta mat. Induktsiooniga. Parameetriline leida 2. Tuletis. Tulemus: Kõrgemat järku tuletised: Lause 1.(Leibnizi valem). Funktsioonide korrutise f(x)g(x) n-järku tuletis on leitav selle valemi abil: Tõestus. Leian n-nda tuletise korrutise tuletisest. Algul leian 2 tuletist: Tõestada ka mat. Induktsiooniga: 1)n=n 2)n=n+1 N. 1.14 Funktsiooni diferentsiaalid DEF 1. Avaldist f´(x)x nim. funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ehk esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja tähistatakse dy või df. dy=f´(x)x DEF 2. Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ehk n-järku diferentsiaaliks nim. diferentsiaali selle funktsiooni (n-1)-järku diferentsiaalist. dny=d(dn-1 y) N. Leian f-ni y=f(x) muudu , mis vastab argumendi muudule kohal x: Funktsiooni diferentsiaalid: Lause 1. Funktsiooni diferentsiaal on võrdeline argumendi muuduga
järku tuletiseks kohal a. ′ 𝑓 (𝑛−1) (𝑥) − 𝑓 (𝑛−1) (𝑎) 𝑓 (𝑛) (𝑎) ≔ [𝑓 (𝑛−1) (𝑎)] 𝑥=𝑎 = lim 𝑥→𝑎 𝑥−𝑎 3. Funktsiooni diferentsiaal ja selle omadused. Korgemat järku diferentsaalid. Avaldist 𝑓′(𝑥)∆𝑥 nimetatakse funktsiooni 𝑦 = 𝑓 (𝑥) diferentsiaaliks ehk esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja tähistatakse 𝑑𝑦 või 𝑑𝑓, 𝑑𝑦 = 𝑑𝑓 = 𝑓′(𝑥)∆𝑥 Võttes 𝑦 = 𝑥, saame 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 = 𝑥 ′ ∙ ∆𝑥 = ∆𝑥 𝑑𝑥 – argumendi diferentsiaal 𝑑𝑦
x 0 x . y = y + 70. See tähendab, et x , kus on lõpmata väike suurus. 71. Avaldame funktsiooni muudu y = yx + x 72. Kui x 0 , siis kõik kolm liiget valemis on lõpmata väikesed suurused. 73. Kuid esimene liidetav yx moodustab funktsiooni muudu olulisema osa. 74. Funktsiooni muudu peaosa nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ja tähistatakse dy st dy = yx 75. Kui y = x , siis y = x = 1 ja dy = dx = 1 x = x . 76. Seega dx x ja dy = y dx . 77. Võrdused defineerivad argumendi ja funktsiooni diferentsiaali: Argumendi diferentsiaaliks nimetatakse argumendi suvalist muutu. Funktsiooni diferentsiaaliks nimetatakse funktsiooni tuletise ja argumendi diferentsiaali korrutist. dy y = 78
diferentseeruv funktsioon F(x, y(x)) on samaselt null, siis on samaselt null sel hulgal ka selle funktsiooni tuletis muutuja x järgi, st ∀x ∈ X : d/dxF(x, y(x)) = 0. 11.Kõrgemat järku tuletis. Def: Funktsiooni y=f(x) njärku ehk nndaks tuletiseks nimetatakse tuletist (n1)järku tuletist, s.o 12.Funktsiooni diferentsiaal. Avaldist f´(x)△x nimetatakse funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ehk esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja tähistatakse dy või df, st dy=f´(x)△x. Kõrgemat järku diferentsiaal: Funktsiooni y=f(x) njärku ehk nndaks diferentsiaaliks nimetatakse diferentsiaali selle funktsiooni (n1)järku n n1 diferentsiaalist, s.t. d y=d(d y)
Funktsiooni muut koosneb kahest liidetavast: f'(x)x ja ax kusjuures mõlemad on lõpmata väikesed suurused, kuna x 0 . Suurus f'(x)x on aga kõrgemat järku lvs argumendi muudu suhtes, sest a x lim x = x 0 0 Niisiis: y = f'(x)x + ax Seda rohelist osa, mis kõrgema järgu lvs-na domineerib, seda korrutist f'(x)x nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks. DEF: Kui funktsioonil f(x) eksisteerib punktis x tuletis f'(x), siis tuletise ja argumendi muudu x korrutist nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ja tähistatakse sümboliga dy. dy = f'(x)x Seega funktsiooni muut avaldub kujul: y = f'(x)x + ax y = dy + ax , y
Nüüd tuleb näidata induktsioonisamm: eeldame, et valem kehtib juhul ja näitame, et sel juhul kehtib ta ka n korral. Seega kehtib: Saame: Teeme esimeses summas muutujavahetuse (summeerimisindeksi nihke) j:=k+1(k=j-1) Saame: Kuna 6. Funktsiooni diferentsiaal ja selle omadused. Kõrgemat järku diferentsaalid. Definitsioon Avaldist nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ehk´esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja tähistatakse või , Võttes , saame argumendi diferentsiaal Diferentsiaali omadusi · Funktsiooni diferentsiaal on võrdeline argumendi muuduga. · Nullist erineva tuletise korral on funktsiooni muut ekvivalentne funktsiooni diferentsiaaliga piirprotsessi · · · · Kõrgemat järku diferentsiaalid: Definitsioon
igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. 21. Funktsiooni diferentsiaal- on antud piirkonnas X diferentseeruv funktsioon y = f(x). Selle funktsiooni tuletis piirkonna X mingis punktis x määratakse võrdusega: f ` (x) = lim y / x ; x 0 Suhe y / x läheneb x 0 puhul kindlale arvule ja erineb seega tuletisest lõpmatult väikese suuruse võrra: y / x = f `(x) + a , kus a 0 kui x 0 y = f `(x)* x + a*x Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks dy nimetatakse avaldist dy = f `(x)* x 22. Funktsiooni n-järku diferentsiaal- funktsiooni n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni (n 1 )-järku diferentsiaali diferentsiaali. 23. Funktsiooni statsionaarne punkt- punkte x X, kus f `(x) = 0 , nimetatakse funktsiooni y = f(x) statsionaarseteks punktideks. 24. Funktsiooni kriitiline punkt- funktsiooni statsionaarseid punkte ja punkte, kus funktsiooni tuletis on
y Funktsiooni f(x) vasakpoolseks tuletiseks punktis a nimetatakse piirväärtust f ( x ) = lim ehk x 0 x f ( x + x ) - f ( x ) f ( x ) = lim x 0 x Avaldist f'(x)x nimetatakse funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks ehk esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja tähistatakse dy või df Liitfunktsiooniks nim funktsiooni z=g(f(x)) Monotoonne funktsioon on kogu oma määramispiirkonnas kas mittekahanev(monotoonselt kasvav) või-mittekasvav Polaarraadius-punkti x,y kohavektori pikkus, punkt mis moodustatakse x-teljega positiivses suunas-polaarnurk
6. Funktsiooni diferentsiaal ja selle omadused. Kõrgemat järku diferentsaalid. Definitsioon Avaldist f’(x)Δx nimetatakse funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ehk´esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja LAUSE: Kui lõigul [a,b] pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y=f(x) on kohal x tähistatakse dy või df , dy= df = f’(x)Δx nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil x=f -1(y) leidub tuletis kohal f(x), kusjuures Võttes y=x , saame dy=dx=x’ * Δx = Δx
Avaldame võrdusest . = f ' ( a )+ r ( ∆ x ) ∥∙ ∆ x ∆x ∆x ∆ y =f ' ( a ) ∆ x + β , kus β=r ( ∆ x ) ( ∆ x ) Funktsiooni muut ∆y koosneb kahest liidetavast: f′(a)∆x ja β. Esimene liidetav f′(a)∆x sõltub lineaarselt argumendi muudust ∆x. Suurust f′(a)∆x nimetatakse funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a ja tähistatakse dy või df. Seega ∆y = dy + β . 12. Mida nimetatakse funktsiooni argumendi diferentsiaaliks? Näidata, et argumendi x korral kehtib valem Δy = dy + β , kus dy on sama järku lõpmatult väike suurus Δxx = dx . Vastavalt diferentsiaali definitsioonile, dy = f′(a)∆x . Tähistame funktsiooni y = x diferentsiaali sümboliga dx ja nimetame seda argumendi x diferentsiaaliks. Kui y = x, siis y′ = 1 ja rakendades valemit dy = f′(a)∆x saame dx = ∆x. 13
diferentseerimiseks. 53.Seos funktsiooni pidevuse ja diferentseeruvuse vahel 54.Konstandi, summa, korrutise ja jagatise tuletis Konstandi tuletis on null C =0 55.Liitfunktsiooni tuletis 56.Pöördfunktsiooni tuletis 57.Ilmutamata kujul oleva funktsiooni diferentseerimine 58.Kirjeldage logaritmilise diferentseerimise võtet. Millistel juhtudel seda võtet rakendatakse? 59.Parameetrilisel kujul antud funktsiooni tuletis 60.Mida nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks? Korrutist f'(x)x nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ja tähistatakse sümboliga dy või df(x). 61.Funktsiooni tuletis funktsiooni diferentsiaali ja argumendi diferentsiaali kaudu. Diferentsiaal ehk tuletis Me same kirjutada valem funktsiooni diferentseerimiseks nagu Selliselt me same, et ... see valem tähendab, et tuletis on esitatud funktsiooni diferentsiaali ja argumendi diferentsiaali kaudu 62.Funktsiooni diferentsiaali omadused.
graafiku kumerusest (nogususest) vahemikus (a, b) jareldub, et x (a, b) f''(x) 0 (f''(x) 0). 3. Funktsiooni diferentsiaal ja selle omadused. Kõrgemat järku diferentsaalid. Oeldakse, et punkt a (täpsemini punkt(a, f(a))) on funktsiooni f(x) graafiku käänupunkt, kui leidub Avaldist f'(x)x nimetatakse funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks ehk esimest järku tuletiseks kohal x ja selline > 0, et funktsiooni f(x) graafik on kumer hulgal (a - , a) ja nogus hulgal (a, a + ) voi nogus tähistatakse dy või df, dy=df= f'(x)x. Võttes y=x, saame dy=dx = x'x= x, dx argumendi hulgal (a - , a) ja kumer hulgal (a, a + ). diferentsiaal dy=f'(x)dx <->f'(x)= . Omadusi: *funktsiooni diferentsiaal on võrdeline argumendi muuduga *nullist erineva tuletise korral on
rataste koormus. [8] Miinused: kiirendades liigub kaalujaotus taha otsa ning väheneb haarduvus vedavate ratastel, libedaga läheb pigem otse ning auto ei ole niivõrd kontrollitav. 8 5.2 Kardaanülekanne Kardaanülekandeks on püsikiirusliigendid mõlema veovõlli küljes. Sele 6. Kardaan [9] 5.3 Diferentsiaal Diferentsiaaliks on tavaline differ (tasakaalustab veorataste pöörlemissageduse erinevust. väliskurvi-poolsed rattad pöörlevad kiiremini kui sisekurvi-poolsed rattad). [8] Sele 7. Diferentsiaal [10] 9 5.4 Rattavõllid Rattavõllid koosnevad kahest osast. Sisemine võll ja välimine. Sisemine võll kinnitub 6 poldiga, käigukastist väljuvatele võllidele
1 1 on x=sin y ning selle tuletis y järgi on x y'=cos y ; ( arcsin x ) = = . cos y = (1- ( sin y ) y cos y sin2y)=(1-x2) ning seega yx'=1/(1-x2). Diferentsiaal ja muut, erinevus, sarnasus- Funktsiooni muudu peaosa nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ja tähistatakse dy-ga. dy = yx . Funktsiooni muut ja diferentsiaal on ligikaudselt võrdsed dyy, ning seda juhul kui x läheneb nullile. Argumendi diferentsiaaliks nimetatakse argumendi suvalist muutu. Funktsiooni diferentsiaaliks nimetatakse funktsiooni tuletise ja argumendi diferentsiaali korrutist. 3 dy Võrduse võib kirjutada kujul y = . dx
a nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil x = g(y) leidub tuletis kohal b = f(a), kusjuures g '(b)=1/f ' (a) Param kujul f tuletis: kui f y=f(x) on antud parameetrilisel kujul x(t)=(t); y(t)=(t) , t=[a,b], kusjuures f-id (t) ja (t) on diferentseeruvad vahemikus (a,b) ja (t) on rangelt monotoonne lõigul[a,b] ning (t)0 (t=(a,b), siis y '=(t)/(t) F f(x) n-järku tuletiseks nim f-i f(x) (n-1)-järku tuletise tuletits, st fn(x)=(fn-1(x)) ' F-i y=f(x) n-järku diferentsiaaliks nim diferentsiaali selle f-i n-1 järku diferentsiaalist dny=d(dn-1y) Funktsiooni y = f(x) nimetatakse rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvaliste x1 (x-,x) ja x2 (x; x + ) korral f(x1) < f(x) < f(x2). Kui funktsioon on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline 0, et 0|x| --y/x0 Funktsiooni y = f(x) nimetatakse rangelt kahanevaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvaliste x1 (x-,x) ja x2 (x; x + ) korral f(x1) f(x) f(x2)
1! 2! 3! 𝑛! *Avaldist 𝑓′(𝑥)∆𝑥 nimetatakse funktsiooni 𝑦 = 𝑓 (𝑥) diferentsiaaliks ehk (𝑥−𝑎)𝑛+1 esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja tähistatakse 𝑑𝑦 või 𝑑𝑓, 𝑑𝑦 = 𝑑𝑓 = 𝑓′(𝑥)∆𝑥 Võttes 𝑓 (𝑛+1) (𝜉)
b) Iga puhul kehtib võrratus Lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. · Fermat' lemma Kui funktsioonil on punktis lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis siis 4. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. N järku tuletis Funktsiooni n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist N järku diferentsiaal Funktsiooni n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku diferentsiaali . Kehtib valem Kõrgemat järku diferentsiaalid Teades, et funktsiooni tuletis on , kus suurus dy sõltub punktist a, kus ta arvutatakse argumendi muudust dx, olgu viimane konstantne. 5. Funktsiooni Taylori polünoomi valem. Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? · Funktsiooni Taylori polünoom Polünoomi Pn nimetatakse funktsiooni f Taylori polynoomiks e n-järku lähendiks punkti a ümbruses
Matemaatilise analüüsi (I) II osaeksami teooriaküsimused (Tallinnas õppivatele kaugõppijatele) 1. Funktsiooni muudu peaosa ja funktsiooni diferentsiaal. Sõltumatu muutuja diferentsiaal. Funktsiooni diferentsiaali valem. Ligikaudse arvutamise valem. Funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene [kui f ( x ) 0 ] on muudu niinimetatud peaosa, mis on võrdeline argumendi muuduga x . Korrutist f ( x ) x nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ja tähistatakse sümboliga dy või df ( x ) . Sõltumatu muutuja x diferentsiaal dx ühtib tema muuduga x . dy f ( x ) = Funktsiooni diferentsiaali valem: dy = f ( x ) dx ehk dx Ligikaudse arvutamise valem: f ( x + x ) f ( x ) + f ( x ) x 2. Kõrgemat järku tuletised.
Funktsiooni, millel on olemas tuletis punktis x (piirkonnas X), nimetatakse diferenseeruvaks punktis x (piirkonnas X). 12. Milline on tuletise geomeetriline tähendus? Funktsiooni tuletist võib antud punktis geomeetriliselt tõlgendada, kui selle funktsiooni graafiku puutuja tõusu antud punktis. Puutuja võrrand on y-y0=k(x-x0), normaali võrrand on y-y0= - 1/k * (x-x0) 13. Mis on funktsiooni diferentsiaal? Diferentsiaali geomeetriline tähendus? Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks kohal x nimetatakse funktsiooni, mis avaldub korrutisena, mille tegurid on funktsiooni tuletis kohal x ja argumendi muut. Korrutist f'(x) x nimetatakse funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ja tähistatakse sümboliga dy, st dy=f'(x) x Geomeetriliselt kujutab funktsiooni diferentsiaal graafiku puutuja ordinaadi muutu. Kuna siis täisnurksest kolmnurgast : Väikese argumendi muudu x korral . 14. Selgitada tuletise majanduslikku tähendust
o Leidub f (a), st a X o lim xa f (x) = f (a) 7. Funktsiooni tuletis, tuletise omadused. o Funktsiooni y = f (x) tuletiseks kohal x nimetatakse y = f (x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f' (x) = lim x 0 y / x = lim x 0 f (x + x) f (x) / x 8. Funktsiooni diferentsiaal, omadused. o Funktsiooni y = f (x) diferentsiaaliks dy nimetatakse avaldist dy = f' (x) x. o Omadused: [ f (x) + g (x)]' = f' (x) + g' (x) [ f (x) g (x)]' = f' (x) g' (x) [c f (x)]' = c f (x) [f (x) g (x)]' = f' (x) g (x) + g' (x) f (x) [f (x) / g (x)]' = [f' (x) g (x) g' (x) f (x)] / [g (x)]2 9. Keskväärtusteoreemid, L'Hospitali reegel. o Keskväärtusteoreemid:
Kui x = 1 ja , siis = ( 0,3 ) + ( 0,031 ) = 0,331 2 Kui x = 1 ja , siis ( ... ) + (...muutub järjest väiksemaks...) Lähtudes tuletise definitsioonist lim(xx0) = f ' ( x ) = f ' ( x ) , kus lim(xx0) Korrutades viimast võrdust , saame ( + kõrgemat järku lvs suhtes kui 0 Definitsioon: Funktsiooni f (x) muudu peaosa f ( x ) nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ja tähistatakse dy. dy = f' (x) Erijuhul: y = x, siis = Kokkuvõttes: dy= f'(x) Kui y = f(x) on liitfunktsioon, kus x = g(x), siis dy= f'(x) 't * dt = f' (x) dx Lähtudes diferentsiaali definitsioonist f'(x)dx ehk dy ( dy = f'(x) Sellest järeldub: ( = f'(x) ehk ( f (x) + (*) Näitena vaatame ülesannet: Näide 2: Arvutada ligikaudu kasutades ligikaudset võrdust (*) Abifunktsioon: y = x=8 4
1 järelduse 3 põhjal saame viimasest võrduse uv = udv + vdu , millest omakorda valemi udv =uv - vdu , mis kannabki ositi integreerimise valemi nime. Ositi integreerimise valemi rakendamisel kerkib üles kaks põhiprobleemi. Esiteks - milliste funktsioonide korral seda rakendada ja teiseks - mida valida funktsiooniks u ja mida funktsiooni v diferentsiaaliks dv . Siin on ühest retsepti võimatu anda. Ositi integreerimise valem on rakendatav väga mitmesuguste funktsioonide integreerimisel, kaasa arvatud ka niisuguste integraalide korral, mille leidmine muude meetoditega on lühem ja lihtsam. Enam huvi pakuvad funktsioonid, mille 3 integreerimine muude meetoditega osutub võimatuks. Näiteks on ainult ositi integreeritavad:
tähendus? geomeetriliselt tõlgendada, kui selle funktsiooni graafiku puutuja tõusu antud punktis. Funktsiooni y=f(x) graafiku puutuja võrrandiks punktis (x*, f(x*) ) on y - f(x*)=f`(x*)(x - x*) Mis on funktsiooni diferentsiaal? Diferentsiaali geomeetriline Funktsiooni diferentsiaaliks nimetatakse funktsiooni tähendus. tuletise ja argumendi diferentsiaali korrutist ja tähistatakse dy Selgitada tuletise majanduslikku Mõiste tuletis asemel kasutatakse tähendust. majanduses mõistet lisand- ehk piirsuurus ehk marginaal. Tuletis on siin tõlgendatav teatud majandusliku objekti või majandusliku
f(n). Lõplikku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n-korda diferentseeruvaks. Kui funktsioonil on olemas kõik tuletised f(n), kus n = 1, 2, 3, . . ., ja neil on lõplikud väärtused, siis nimetatakse seda funktsiooni lõpmata arv kordi diferentseeruvaks. Kõrgemat järku diferentsiaalid. dy(x) = f'(x)dx d2y(x) = f'' (x)dx2 d3y(x)=f''' (x)dx3 Funktsiooni y = f(x) n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n - 1 - järku diferentsiaali diferentsiaali ja tähistatakse dny . Kehtib valem dn y(x)=f(n)(x) dxn 24.Funktsiooni Taylori polunoomi valem (tuletada pole vaja). Millal nimetatakse Taylori polunoomi McLaurini polunoomiks? Kui a = 0, siis nimetatakse Taylori polünoomi ka McLaurini polünoomiks. Seega on funktsiooni f(x) McLaurini polünoom järgmine: 25
· Pidev punktis a asemel võib kasutada ka sünonüüme pidev kohal a või pidev argumendi väärtusel a. 12.1 Geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevus joone pidevust. 15. Funktsiooni tuletise defintisioon 15.1 Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv . Tuletise arvutamist nim diferentseerimiseks. +tuletised peast! 16. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon - Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f(a) ja argumendi muudu x = x-a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy = f(a)x . 16.1 19. Joone puutuja definitsioon - Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). Joone normaalsirge definitsioon - Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse
! !a lim ,+ Kui funktsioon ! omab punktis lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised: 15) Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. Funktsiooni ! diferentsiaaliks punktis nimetatakse tuletise ! a ja argumendi muudu korrutist ja tähistatakse c või c!. Seega definitsiooni kohaselt c c ! a ! a c 16) Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni korral (tõestusi ei küsita). Aritmeetiliste tehete reeglid: 1. ! d a
Kui leidub punkt x2 lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x2) f(x), siis nimetatakse arvu f(x2) funktsiooni f vähimaks väärtuseks (absoluutseks miinimumiks) lõigul [a, b]. Funktsiooni tuletis - f'(a) = limxaf(x) - f(a) /x a Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Funktsiooni diferentsiaali mõiste Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f(a) ja argumendi muudu x = x-a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy = f'(a)x Valem tuletise jaoks diferentsiaalide suhte kaudu: f (a) =dy/dx y dy. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral - 1. (f + g) = f + g, 2. (fg) = fg + fg, 3.(f/g)= fg-fg/g2 . 4. (Cf)' = C'f + C f' = 0 f + C f' = C f' 5. (f - g)' = [f + (-1)g]' = f' + [(-1)g]' = f' + (-1)g' = f' g' 6. {g[f(x)]}' = g'[f(x)] f'(x)
tingimus. Tuleb veel tõestada, et eksisteerib ja võrdub -ga · Tuletis, kui funktsioon Kui funktsioon on diferentseeruv alamhulga D kõikides punktides on ta diferentseeruv hulgas D · Põhilised elementaarfunktsioonide tuletised 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 19. · Funktsiooni diferentsiaali mõiste Funktsiooni diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise ja argumendi muudu korrutist. Tähistatakse tähisega df või dy. Seega definitsiooni kohaselt 20. · Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid 1. 2. Tõestus Kasutades tuletise piirväärtuse definisiooni ja tuletise arvutamise reegleid 3. · Liitfunktsiooni diferentseerimise valem Olgu kaks diferentseeruvat funktsiooni ja ning olgu nendest moodustatud liitfunktsioon
( x )’ = a x x ( a )’ = a x lna, sealhulgas ( e x )’ = ex ) log ¿ 1 1 ¿ )’ = xlna , sealhulgas (lnx)’ = x ¿ (sinx)’ = cosx (cosx)’ = -sinx 1 (tanx)’ = cos2 x 15. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f’(a) ja argumendi muudu ∆x = x − a korrutist ja t¨ahistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt: dy = f ’ (a) ∆x dy f ’ (a) = dx 16. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni korral (tõestusi ei küsita). 1) (f + g)’ = f’ + g’ 2) (fg)’ = f’ g + fg’ f f ❑' g −fg' 3) ( g ) ’ = g2
Olgu x argumendi muut punktis x X . Siis selles punktis funktsiooni muut on y = f ( x + x ) - f ( x ) . Definitsioon: Kui puntkis x funktsiooni f muut y avaldub kujul y = f ( x )x + a , kus a = o(x ) , kui x 0 , siis öeldakse, et funktsioon f on diferentseeruv punktis x. Kui funktsioon f on diferentseeruv piirkonna X igas punktis, siis öeldakse, et funktsioon f on diferentseeruv piirkonnas X. Suurust dy = f ( x )x nimetatakse funktsiooni f diferentsiaaliks punktis x. Valemis dy = f ( x )x tähistatakse x = dx , sest juhul y = x , dx = dy = x x x = x . Seega dy = f (x )dx Suurust dx = x nimetatakse argumendi x diferentsiaaliks. y Geomeetriliselt funktsiooni diferentsiaal tähendab punktis x B võetud puutuja muutu, s.o. lõigu AB pikkust. y dy>0
30. Ühe muutuja funktsiooni tuletise ja diferentsiaali mõisted. Kõrgemat järku tuletised. Ühe muutuja funktsiooni tuletis kui leidub lõplik piirväärtus: siis seda nim funktsiooni f tuletiseks kohal x ja tähistatakse sümboliga f' või y'. Ühe muutuja funktsiooni diferentsiaal kui funktsioonil on lõplik tuletis mingi piirkonna igas punktis, siis kõneldakse ka diferentseeruvast funktsioonis vaadeldavas piirkonnas. Kui leidub f'(x) ja x, siis diferentsiaaliks dy loetakse suurust dy=f'(x)* x. Kui y = x, siis dy = dx. Kõrgemat järku tuletised funktsiooni f' tuletist nim funktsiooni f teist järku tuletiseks ja tähistatakse f''. Samamoodi määratletakse ka funktsiooni f kolmandat järku tuletis f''' jne. 31. Liitfunktsioon ja selle tuletis. Liitfunktsiooniks nim funktsiooni, mis saadakse kahe funktsiooni järjest rakendamisel. Olgu antud kaks funktsiooni g : X Y ja f : Y1 Z. Kui leidub vähemalt üks selline x X, et
Vaatleme joonel y = f (x) punkte P0 = (x0, y0) ja Q= (x0+x, y0+ y), siis vastav puutu- ja oordinaadi muut on dy(x0, x). 13. Funktsiooni diferentsiaal, selle geomeetriline tähendus 1. Suurust dy = f ( x ) x nimetatakse funktsiooni f y B diferentsiaaliks punktis x P y dy>0 A Geomeetriliselt funktsiooni diferentsiaal tähendab punktis x A võetud puutuja muutu, s.o lõigu AB pikkust
2. Defineerida tuletis Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni muutu y=(x+x)-f(x) ja argumendi muudu x suhte piirväärtust argumendi muudu lähenemisel nullile. f´(x) = 3. Milline on tuletise geomeetriline tähendus? Funktsiooni tuletist võib antud punktis tõlgendada, kui selle funktsiooni graafiku tõusu antud punktis. = tan 4. Mis on funktsiooni diferentsiaal? Diferentsiaali geomeetriline tähendus? Funktsiooni diferentsiaaliks nimetatakse korrutist f´(x)x. dy=f´(x)x dy=MK MK = tan*x=f´(x)x TEOORIAKÜSIMUSED nr 3 1. Selgitada tuletise majanduslikku tähendust. Tuletise asemel kasutatakse majanduses mõistet: lisand ehk piirsuurus ehk marginaal. Tuletis väljendab teatud majandusliku objekti või majandusliku protsessi muutumise kiirust, mis võib sõltuvuses olla mõnest majanduslikust muutujast. Näitab argumendi väikese muutusena selle üheühikulist muutust. 2
18. Def. Funktsiooni f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt Def. Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse, et ta on selles punktis diferentseeruv. Def. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu: Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised: 19. Def. Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f'(a) ja argumendi muudu x=x-a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy=f'(a)x. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena 20. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral: · (f+g)'=f'+g' · (fg)'=f'g+fg' · Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid. Olgu y=f(x) ja z=g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ja olgu nendest moodustatud liitfunktsioon z=g[f(x)]
18. Def. Funktsiooni f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt Def. Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse, et ta on selles punktis diferentseeruv. Def. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu: Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised: 19. Def. Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f'(a) ja argumendi muudu x=x-a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy=f'(a)x. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena 20. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral: · (f+g)'=f'+g' · (fg)'=f'g+fg' · Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid. Olgu y=f(x) ja z=g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ja olgu nendest moodustatud liitfunktsioon z=g[f(x)]
diferentseeruv hulgas D. Olgu f diferentseeruv hulgas D. Siis igale arvule x hulgast D vastab üks kindel reaalarv f(x). Seega on f funktsioon, mis on määratud hulgas D. Kirjutame funktsiooni f tuletise valemi välja argumendi väärtusel x. Kui tähistada x-ga argumendi muutu punktis x, siis avaldub vastav funktsiooni muut järgmiselt: y = f(x+x)-f(x). Seega vastavalt tuletise definitsioonile saame f(x) = = - f(x) 19. Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f(a) ja argumendi muudu x = x-a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy = f(a)x f(a) = . 20. Korrutise tuletis (fg)(x) = = = [ f(x + x) - f(x)]g(x + x) + f(x)[g(x + x) - g(x)] }= = = f(x)g(x) + f(x)g(x) = (fg + fg)(x) Liitfunktsiooni diferenseerumise tuletamine. Olgu y =f(x) ja z = g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning olgu nendest moodustatud liitfunktsioon z = g[f(x)]
1) C= 0 , C - konstant , 2) (xa)= axa-1 , 3) (ax)= ax ln a , sealhulgas (ex)= ex , 4) (loga x)=1/x ln a , sealhulgas (ln x)=1/x, 5) (sin x)= cos x , 6) (cos x)= -sin x , 7) (tan x)=1/cos2 x 8) (cot x)= - 1/sin2 x, 9) (arcsin x)= 1/1 - x2, 10) (arccos x)= -1/1 - x2, 11) (arctan x)=1/1 + x2 , 12) (arccot x)= - 1/1 + x2 . 19. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. Funktsiooni diferentsiaali mõiste. Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f(a) ja argumendi muudu x = x-a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy = f'(a)x Valem tuletise jaoks diferentsiaalide suhte kaudu: f (a) =dy/dx y dy. 20. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral. Tõestada korrutise reegel. Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid. 1. (f + g) = f + g, 2. (fg) = fg + fg, Kasutades tuletise definitsiooni ja piirväärtuste omadusi saame
( arcsin x ) = 1 = 1 ( sin y ) y cos y cos y = 1 - sin 2 y = 1 - x 2 ( arcsin x ) = 1 2 1- x Diferentsiaal ja muut, erinevus, sarnasus Kui funktsioonil y=f(x) on punktis x lõplik tuletis y'=f'(x), siis on funktsiooni muut f, mis vastab argumendi muudule x, esitatav kujul y=f'(x)x+(x), ja vastupidi. Avaldist f'(x)x nim funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ja tähistatakse sümboliga df=f'(x)x. on lõpmata väike arv. Seega on funktsiooni diferentsiaal funktsiooni muudu osa, mis on lineaarne argumendi muudu suhtes ja erineb funktsiooni muudust suuruse võrra, mis on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus muudu suhtes. Geomeetriliselt kujutab diferentsiaal funktsiooni graafiku puutuja ordinaadi muutu. Et argumendi diferentsiaal võrdub argumendi muuduga s.o dx=x, ja funktsiooni diferentsiaal on kujul dy=f'(x)dx siis dy/dx=f'(x)
.. ja neil on lõplikud väärtused, siis nimetatakse seda funktsiooni lõpmata arv kordi diferentseeruvaks. b. Tuletada kõrgemat järku diferentsiaalide valemid b.1. Tuletame valemi teist järku diferentsiaali jaoks kasutades võrdust b.2. Võttes teist järku diferentsiaalist diferentsiaali saame kolmandat järku diferentsiaali b.3. Funktsiooni y=f(x) n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku diferentsiaali diferentsiaali ja tähistatakse . Kehtib valem Jagades selle võrduse mõlemaid pooli suurusega d saame järgmise valemi n-järku tuletise jaoks: 28. Funktsiooni Taylori polünoom (tuletada vastav valem). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? a. Funktsiooni Taylori polünoom (tuletada vastav valem)
Teoreem 1 Funktsioonil y=f(x) on diferentsiaal parajasti siis, kui tal on lõplik tuletis 9. Definitsioon1 Ühe muutuja funktsioon on esitatud 10. Definitsioon 1 Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks vaadeldavas punktis ning seejuures A(x)= y'(x) parameetrilisel kujul, kui nii argument x kui ka funktsiooni nimetatakse tema muudu lineaarset osa. Tõestus: 1) Tarvilikkus: Eksisteerigu dy väärtus y on antud parameetri (t) funktsioonis
27. Kõrgemat järku tuletiste ja diferentsiaalide definitsioonid. Funktsiooni y = f(x) n-j¨arku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n - 1 - j¨arku tuletise tuletist ja t¨ahistatakse f(n). L~oplikku n-j¨arku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n- korda diferentseeruvaks. Kui funktsioonil on olemas k~oik tuletised f(n), kus n = 1,2,3,..., ja neil on l~oplikud v¨a¨artused, siis nimetatakse seda funktsiooni l~opmata arv kordi dife- rentseeruvaks. Funktsiooni y = f(x) n-j¨arku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n - 1 - j¨arku diferentsiaali diferentsiaali ja t¨ahistatakse. dny. Kehtib valem dny(x) = f(n)(x)dxn . Tuletada kõrgemat järku diferentsiaalide valemid. valem dy = f'(a)dx funktsiooni y = f(x) diferentsiaali dy jaoks. Suurus dy s~oltub punktist a, kus ta arvutatakse, ja argumendi muudust dx. Olgu dx konstantne suurus. Siis on dy arvu a funktsioon, st dy(a) = f'(a)dx. T¨ahistame selles valemis suuruse a u¨mber x-ga. Saame dy(x) = f'(x)dx
c; xa;ax;logax; sinx;...;...arccotx. Liitfunktsioonid: y=f(t) ja t = g(x) y = f[g(x)] y on argumendi x liitfunktsioon. 29. Ühe muutuja funktsiooni tuletise ja diferentsiaali mõisted. Kõrgemat järku tuletised. Ühe muutuja funktsiooni tuletis kui leidub y=f(x) piirväärtus limx0(y/x) = limx0[f(x0+x) f(x0)]/ x, siis seda piirväärtust nim. funkts. tuletiseks kohal x0 ja tähistatakse f'(x0). Ühe muutuja funktsiooni diferentsiaal kui leidub f'(x) ja x, siis diferentsiaaliks dy loetakse suurust dy=f'(x)* x. Kui y = x, siis dy = dx. 30. Liitfunktsioon ja selle tuletis. Liitfunktsiooni tuletis kui on antud y=f(t) ja t=g(x) ja y=f[g(x)]. Eeldusel, et leidub g'(x0) ja f'(t0), siis leidub ka f'(x0) = f'(t0)*g'(x0). 31. Funktsioonide summa, korrutise ja jagatise tuletise leidmise eeskirjad. Funktsioonide summa tuletise leidmise reegel: (u+-v)' = u' +- v'. Funktsioonide korrutise leidmise reegel: (uv)' = u'v + uv'.
piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. 21. Funktsiooni diferentsiaal - on antud piirkonnas X diferentseeruv funktsioon y = f(x). Selle funktsiooni tuletis piirkonna X mingis punktis x määratakse võrdusega: f ` (x) = lim y / x ; x 0 Suhe y / x läheneb x 0 puhul kindlale arvule ja erineb seega tuletisest lõpmatult väikese suuruse võrra: y / x = f `(x) + a , kus a 0 kui x 0 y = f `(x)* x + a*x Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks dy nimetatakse avaldist dy = f `(x)* x 22. Funktsiooni n-järku diferentsiaal - funktsiooni n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni (n 1 )-järku diferentsiaali diferentsiaali. 23. Funktsiooni statsionaarne punkt - punkte x X, kus f `(x) = 0 , nimetatakse funktsiooni y = f(x) statsionaarseteks punktideks. 24. Funktsiooni kriitiline punkt - funktsiooni statsionaarseid punkte ja punkte, kus funktsiooni
Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 1) C' = 0, C - konstant, 2) (xa)' = a x a-1 , 3) (ax)' = ax lna , sealhulgas (ex)' = ex , 4) (loga x)' = 1 /xlna , sealhulgas (lnx)' = 1 /x 5) (sinx)' = cosx, 6) (cosx)' = -sinx, 7) (tanx)' = 1 /cos2 x , 8) (cotx)' = - 1 /sin2 x 9) (arcsinx)' = 1/ 1 - x2 10) (arccosx)' = - 1 / 1 - x2 11) (arctanx)' = 1/ 1 + x2 12) (arccotx)' = - 1 /1 + x2 19. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f'(a) ja argumendi muudu x = x-a korrutist ja t¨ahistatakse dy v~oi df. Seega definitsiooni kohaselt dy = f'(a)x. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. f'(a) = dy /dx 20. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral. 1. (f + g)' = f' + g', 2. (fg)' = f'g + fg', 3.(f /g)'= f'g-fg'/ g2 Tõestada korrutise reegel. (fg)'(x) = lim x0 f(x + x)g(x + x) - f(x)g(x) x =
korral sellest ümbrusest. Peale selle, olgu f(a) = g(a) = 0 . Kui eksisteerib piirväärtus , siis eksisteerib ka piirväärtus ja kehtib valem = Tõestus: 14. Kõrgemat järku tuletised ja diferentsiaalid. Funktsiooni y = f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n - 1- järku tuletise tuletist ja tähistatakse f (n). Lõpliku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n-korda diferentseeruvaks. Funktsiooni y = f(x) n-järku ehk n-daks diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni (n 1) - järku diferentsiaalist ja tähistatakse d(n)y= f(n)(x)dxn 15. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Teoreemi 4.1 tõestus Teoreem. Olgu funktsioon y = f(x) diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui f'(x) > 0 iga x (a, b) korral, siis y = f(x) on kasvav vahemikus (a, b). 2. Kui f'(x) < 0 iga x (a, b) korral, siis y = f(x) on kahanev vahemikus (a, b). Tõestus: 16. Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus
siis seda nimetatakse funktsiooni f tuletiseks kohal x ja tähistatakse sümboliga f' või y'. funktsiooni tuletis on funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile. funktsiooni diferentsiaal kui funktsioonil on lõplik tuletis mingi piirkonna igas punktis, siis kõneldakse ka diferentseeruvast funktsioonist vaadeldavas piirkonnas. Kohal x diferentseeruva funktsiooni f (ehk y = f(x)) diferentsiaaliks kohal x muudu x korral nimetatakse korrutist f'(x)x ja tähistatakse kujul df(x) või dy. või ka nt: funktsiooni y = sin x tuletis on y' = cos x ja seega selle funktsiooni diferentsiaal on dy = (cos x) ·x avaldada saab ka kujul: Kõrgemat järku tuletised Kui piirkonnas X diferentseeruva funktsiooni f tuletisfunktsioonil f' leidub tuletis (f')' oma määramispiirkonna mingis punktis x, siis nimetatakse seda
Lõplikku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n-korda diferentseeruvaks. a.ii. Kui funktsioonil on olemas kõik f(n), kus n=1,2,3...ja neil on lõplikud väärtused, siis nimetatakse seda funktsiooni lõpmata arv kordi diferentseeruvaks. a.iii. Neljandat ja kõrgemat järku tuletisi tähistatakse ka rooma numbritega näiteks fV,fVII. b. Funktsiooni y=f(x) n-järku diferentsiaaliks nimeatakse selle funktsiooni n-1 järku diferentsiaali diferentsiaali ja tähistatakse dny. Kehib valem: d n y ( x) = f n ( x)dx b b.i. Jagades võrdluse mõlemaid pooli, saame: dny = f (n) x dx n c. Kõrgemat järku diferentsiaalide valemite tuletamine: dy ( x) = f ' ( x)dx
ja 3. tingimuse kehtivust, st. tuleb tõestada, et limxa f(x) eksisteerib ja võrdub f(a). Valem · Tuletis kui funktsioon Kui funktsioon f on diferentseeruv oma määramispiirkonna alamhulga D kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv hulgas D. · Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised TEAD PEAST 22) 23) · Funktsiooni diferentsiaali definitsioon Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks punktis a nim. tuletise f'(a) ja argumendi muudu x=xa korrutist ning tähistatakse dy või df. Seega def. kohaselt · Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena on 24) 25) · Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral 1 (f+g)' = f'+g' 2 (fg)' = f'g+fg' 3 4 (Cf)' = C' f + C f' = 0 f + C f' = C f' , C konstant
ja 3. tingimuse kehtivust, st. tuleb tõestada, et limxa f(x) eksisteerib ja võrdub f(a). Valem · Tuletis kui funktsioon Kui funktsioon f on diferentseeruv oma määramispiirkonna alamhulga D kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv hulgas D. · Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised TEAD PEAST 22) 23) · Funktsiooni diferentsiaali definitsioon Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks punktis a nim. tuletise f'(a) ja argumendi muudu x=xa korrutist ning tähistatakse dy või df. Seega def. kohaselt · Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena on 24) 25) · Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral 1 (f+g)' = f'+g' 2 (fg)' = f'g+fg' 3 4 (Cf)' = C' f + C f' = 0 f + C f' = C f' , C konstant
annaabi.ee 
