Iga tunnuse kui juhusliku suuruse korral saame leida tema jaotuse. Karakteristik - üldkogumi iga tunnuse korral võib leida seda tunnust iseloomustavad karakteristikud, näiteks keskmine väärtus. Kõik karakteristikud arvutatakse kindlate eeskirjade järgi ja nende väärtused on konkreetse üldkogumi korral üheselt määratud arvulised suurused. Valim - üldkogumist valitud objektide hulk. Hinnang - valimi põhjal arvutatud arvuline väärtus (punktihinnang) või väärtuste vahemik (vahemikhinnang), mis seatakse vastavusse üldkogumi karakteristikutega. 23. Mis on üldkeskmine ja mis on üldkeskmise ruuthälve? Üldkeskmine on karakteristik, mis oma olemuselt on tunnuse väärtuste aritmeetiline N 1 keskmine μ= ∑x N i=1 i . Üldkeskmiste ruuthälve ehk dispersioon on karakteristik, mis N 1
II OSA. Matemaatiline statistika 1. Leida üldkogumi keskmise X2, X4 ja X8 punkthinanngud vanuse punkthinnang = 29,8157895 lastearvu punkthinnang = 0,94871795 palga punkthinnang = 268,923077 2. Leida üldkogumi keskmise X2, X4 ja X8 vahemikhinnangud (usaldusnivoo 0,9545) Antud juhul t=1,96 2.1 Keskmise vanuse vahemikhinnang s2 = 27,809717 s = 5,2734919 ( 28,16 ; 31,47 ) 2.2 Keskmise laste arvu vahemikhinnang s2 = 0,9973009 s = 0,9986496 ( 0,64 ; 1,26 ) 3.3 Keskmise palga vahemikhinnang s2 = 3902,2308 s = 62,467838 ( 249,32 ; 288,53 ) 3
Leidke, millistesse piiridesse jääb olulisuse nivool 0,05 ülesande lahendamiseks kulunud aeg Vastus: 14,2...19,8 Ülesanne 2 100 ostja küsitlemisel selgus, et keskmiselt kaupadele kulutatav summa on 10 standardhälbega 5 . Leidke keskmine kulu kaupadele usaldatavusega 0,95. x Vastus: 9...11 Ülesanne 3 160 ostja küsitlemisel selgus, et 20 nendest pidasid toote hinda liiga kõrgeks. Kui suur osa vastanutest (mitu protsenti) pidas toodet liiga kalliks (leidke vahemikhinnang usaldusnivool 0,95) 0,06 × 100=6% Vastus: 6,5%...18,5%
Ülesanne 1 Uuringus, mille käigus tuleb lahendada teatud tüüpi ülesanne, osaleb 10 inimest. Keskmiselt kulus ülesande lahendamiseks aega 17 minutit standardhälbega 4,5. Leidke, millistesse piiridesse jääb olulisuse nivool 0,05 ülesande lahendamiseks kulunud aeg. 14,2...19,8 Selle ülesande kohta oli õppejõu kommentaar et väike valim. Ilmselt pole siis esimene ülesanne päris õige, sain 9 punkti 10-st punktist. Kaotasin siin siis 1 punkti. Ülesanne 2 100 ostja küsitlemisel selgus, et keskmiselt kaupadele kulutatav summa on 150 kr standardhälbega 75 kr. Leidke keskmine kulu kaupadele usaldatavusega 0,95. 135...165 Ülesanne 3 160 ostja küsitlemisel selgus, et 20 nendest pidasid toote hinda liiga kõrgeks. Kui suur osa vastanutest (mitu protsenti) pidas toodet liiga kalliks (leidke vahemikhinnang usaldusnivool 0,95). 6,5%...18,5%
Ülesanne 2 100 ostja küsitlemisel selgus, et keskmiselt kaupadele kulutatav summa on 10 standardhälbega 5 . Leidke keskmine kulu kaupadele usaldatavusega 0,95. Andmed: n=100 =10 s=5 =95% Lahendus: x=? x=2xSE SE=? SE= = =0,5 x=2x0,5=1 10±1 9...11 Vastus: Keskmine kulu kaupadele on 9 ...11 . Ülesanne 3 160 ostja küsitlemisel selgus, et 20 nendest pidasid toote hinda liiga kõrgeks. Kui suur osa vastanutest (mitu protsenti) pidas toodet liiga kalliks (leidke vahemikhinnang usaldusnivool 0,95). Andmed: n=160 =0,95 Lahendus: p=? p= =0,125(12,5%) s=? s= = =0,31 x=? x=2xSE SE=? SE= = =0,03 x=2x0,03=0,06 0,06x100=6% 12,5% ± 6% 6,5%...18,5% Vastus: Toodet pidas liiga kalliks 6,5%...18,5% vastanutest.
SE=s/n SE= 0,026587 x=2*SE x= 0,053174 Keskmiselt kulus ülesande lahendamiseks aega 17 minutit standardhälbega 4,5. Leidke, millistesse piiridesse jääb olulisuse utit rohkem/vähem. standardhälbega 75 kr. Leidke keskmine kulu kaupadele usaldatavusega 0,95. suur osa vastanutest (mitu protsenti) pidas toodet liiga kalliks (leidke vahemikhinnang usaldusnivool 0,95). e piiridesse jääb olulisuse nivool 0,05 ülesande lahendamiseks kulunud aeg.
Ex = µ valimkeskmise keskväärtus (hinnang x on nihketa, mis on hea omadus) x + x 2 + ... + x n 1 = E ( x1 + x 2 + ... + x n ) = (Ex1 + Ex 2 + ... + Ex n ) = nµ = µ 1 1 Ex = E 1 n n n n (Ex1=µ, Ex2=µ, ... ,Exn=µ) 4. Üldkogumi keskmise vahemikhinnang (usaldusnivoole 1a vastav usaldusvahemik ). 1- on ühele lähedane arv, mida nim usaldusnivooks ja vahemikku x - -1 1 - ; x + -1 1 - sellele usaldusnivoole vastavaks 2 n 2 n usaldusvahemikuks ehk usaldusintervalliks. Usaldusvahemik on hinnatava parameetri vahemikhinnang. Praktikas ei ole tavaliselt üldkogumi dispersioon teada ja parameetrit lähendatakse valimstandardhälbega s. 1
Seega · Valikuuringu korral tuleks tulemuste üldistamisel valimilt üldkogumile arvestada võimaliku veaga · Suurte arvude seadus: Küllalt suure katsete arvu korral erineb sündmuse toimumise suhteline sagedus tavaliselt küllalt vähe sündmuse tõenäosusest (Tooding 2007: 49). Paljude mõõtmistulemuste keskmine on tegelikule keskmisele väga lähedal · Seega saab välja arvestada, kui palju me tüüpiliselt juhuvalimit tehes võiksime eksida. Vahemikhinnang- saadud hinnangule (näiteks keskmisele) lisatakse teatav eksimisvahemik, mis on võimalik välja arvutada eeldusel, et eksimused on juhuslikud. 8) Usalduspiirid, millal kasutada ja mis nende laiust mõjutab. Mida vaja, et arvutada usalduspiire. · Suurte arvude seadus: Küllalt suure katsete arvu korral erineb sündmuse toimumise suhteline sagedus tavaliselt küllalt vähe sündmuse tõenäosusest (Tooding 2007: 49).
väike, siis juhuslik suurus X on normaaljaotusega. 34. Punkt-ja vahemikhinnangud. Vabadusastmete arv – Punkthinnangud: üldkogumi parameetri punkthinnanguks on valimi vastav parameeter, so.üks konkreetne väärtus. Ühest üldkogumist saab moodustada valimeid – järelikult parameetrite hinnanguid on ka palju. Väikeste valimite korral võib punkthinnang oluliselt erineda hinnatava parameetri tegelikust väärtusest. Vahemikhinnang: üldkogumi karakteristiku vahemikhinnang – valimi alusel leitud vahemik, kuhu see parameeter kuulub teatud tõenäosusega. Seda ette antavat tõenäosust nim usaldusnivooks ja täh traditsiooniliselt 1-α. Tavaliselt võetakse usaldusnivoo väärtuseks 0,95 aga ka 0,90 või 0,99. Vabadusastmete arv – üksteisest sõltumatute suuruste koguarvu nimetatakse selleks. Enamasti n-1. 35. Statistiliste hüpoteeside kontrollimine, vead hüpoteeside
dispersioonanalüüs) eeldab kahte tunnust: üht kategoriaalset tunnust, mis kirjeldab võrreldavaid gruppe ning üht arvtunnust, mille osas gruppe võrrelda tahetakse. Dispersioonanalüüsi keerulisemate mudelite puhul võib lisanduda nii grupeerivaid kui ka uuritavaid tunnuseid. Kui aga korraga soovitakse vaadelda mitut sõltuvat tunnust, siis räägitakse mitmemõõtmelisest dispersioonanalüüsist (Atkinson; Nevill 2001). 2.3 Usaldusintervallid Hinnatava parameetri usaldusintervall (vahemikhinnang) kujutab enesest sellist piirkonda parameetri punkthinnangu ümber, mis katab parameetri õige väärtuse küllalt suure etteantud tõenäosusega. Täpsuse huvides räägitakse vahel ka alumisest ja ülemisest usalduspiirist (du Prel et. al 2009). 2.4 Student t-test Üheks rakendatavamaks testiks aritmeetiliste keskmiste võrdlemisel on t-test, nimetatakse ka selle väljamõtleja varjunime Student järgi Studenti t-testiks. Erinevad
NB! Selleks, et valimi uurimise alusel teha tõepäraseid järeldusi üldkogumi kohta, peab valimi moodustamisel üldkogumi igal elemendil olema võrdne võimalus (tõenäosus) valimisse sattuda. Valim peab olema esindav ehk representatiivne. Valimi alusel üldkogumi karakteristikute kohta tehtavad järeldused on tõenäosuslikud (enamasti kasutatakse 95% ja 99% protsendilisi tõenäosusi) 45. Punkt- ja vahemikhinnang (usalduspiirkond, usalduspiirid). Üldkogumi mingi parameetri (näiteks keskväärtuse) punkthinnang on valimi põhjal arvutatud vastava parameetri (näiteks aritmeetilise keskmise) väärtus. NB! Kuna ühest üldkogumist võib moodustada palju erinevaid valimeid, siis iga valim annab meid huvitavale üldkogumi parameetrile erineva punkthinnangu. Niisuguseid punktihinnanguid võib vaadelda omakorda kui teatud JS, millel on oma jaotus.
Stohhastiliste protsesside modelleerimisel (ökon.mudelid) tuleb analüüsida hinnangute ja juhuslike suuruste omadusi. Eesmärgiks on saada parimad lineaarsed nihketa hinnangud e efektiivsed hinnangud (BLUE best linear unbiased estimator). 47. Väärkorrelatsioon korrelatsioonikordaja on statistiliselt oluline, kuid tegelik põhjuslik seos nähtuste vahel puudub. 48. Usaldusnivoo (level of confidence) tõenäosus 1 , mille korral parameetri vahemikhinnang katab tema tegeliku väärtuse. Parameeter satub lubatud piiridesse. 49. Üldkogum ökon.modelleerimisel on üldkogumiks modelleeritav majandusprotsess. 50. Spearmani korrelatsioonikoefitsent (rs) järjenumbrite korrelatsioonikordaja. N: on vaja reastada 2 erineva grupi arvamused ning need järjestada ja võrrelda (järjenumbrid astakud astakkorrelatsioon) N: tippjuhtide ja töötajate arvamused. Siis saab Spearmani kasutada.
Välja jäävad (SPSS puhul automaatselt) puuduvad väärtused Vahel kaheväärtuseliste tunnuste puhul esitatakse vaid ühe grupi osakaal See vähendab segavalt infot ning aitab vajadusel ruumi kokku hoida Hii-ruut-stat arvutamiseks on olemas netikalkulaatoreid. Nt http://www.quantpsy.org/chisq/chisq.htm http://stattrek.com/online-calculator/chi-square.aspx Loeng 4 (27.09) Keskmiste võrdlus Usalduspiirid T-test Vahemikhinnang Kui tegemist on valimiuuringuga võib lisaks tavalise keskmise esitamisele punkthinnanguna anda ka keskmise vahemikhinnangu. Üheainsa hinnangu asemel pakutakse sellist vahemikku arvteljel, mille iga väärtus võiks võrdväärsena olla parameetri hinnanguks. Keskmine abiellumisvanus on: 23,8-0,1a ja 23,8+0,1a vahemikus - Seda vahemikku nimetatakse usaldusvahemikuks - Punkte (23,7 ja 23,9) nimetatakse usalduspiirideks
üldkogumile, vaid ainult hinnanguid. Üldkogumi keskväärtuse punkthinnanguks on valimi keskmine, üldkogumi standardhälbe punkthinnanguks on valimi standardhälve ja sarnaselt on hinnanguteks ka teised näitajad. Mida esinduslikum on valim, seda paremini iseloomustavad valimi tulemused üldkogumit, valimi esinduslikkuse tagamiseks oli vajalik objektide juhuslikkus (sobiv valikumeetod) ja valimi suurus. Punkthinnangud on erinevate valimite põhjal erinevad, seepärast on kasutusel vahemikhinnang üldkogumi keskmise usaldusvahemik ja statistilised hüpoteesid mingid piiravad väited üldkogumi keskmisele või osakaalule. Järgnevas punktis tutvustame üht levinumat ja lihtsamat jaotust - normaaljaotust, millel põhineb suur osa statistika meetodeid. 4.1. Normaaljaotus Kõige tuntuim pidev jaotus on normaaljaotus, mis lihtsustatult tähendab, et tunnuse enamus väärtusi on normaalsed ehk sarnased keskmisele. Normaaljaotust iseloomustab 2 parameetrit,
mõjutavad uuritavaid tunnuseid. Valikunihe - tekib siis, kui valimi moodustamisel on teatud tüüpi objektidel suurem võimalus valimisse sattuda kui teistel. Nt küsitlused veebis Valimi suurusest on tähtsam valimi esinduslikkus. Valesti koostatud suur valim annab halvema tulemuse kui õigesti koostatud väike valim. Punkthinnang - parameetri hindamise tulemuseks on üks arv. Hinnang leitakse valimi põhjal. Valim on juhuvalim. Punkthinnang on juhuslik suurus. Vahemikhinnang - valimi põhjal määratud vahemik, mis katab parameetri tegeliku väärtuse etteantud (küllalt suure) tõenäosusega. Usaldusvahemik - Parameetri a usaldusvahemikuks usaldatavusega β nimetatakse vahemikku, mis katab parameetri a väärtuse tõenäosusega β: Üldkogumi keskväärtuse µ punkthinnanguks - valimi keskväärtus: Üldkogumi dispersiooni σ^2 punkthinnang: Tsentraalne piirteoreem: Küllalt suure valimi mahu n korral alluvad valimite keskväärtused
arvväärtus. Me teame, et iga konkreetse punkthinnangu väärtus erineb hinnatava parameetri tegelikust väärtusest. Parameetri hinnangu ja tegeliku väärtuse erinevust nimetatakse esindusveaks. Selle tekkimise põhjuseks on väljavõtuvaatluse iseloomust tingitud valimi ja üldkogumi struktuuride erinevus. Esindusvea väärtuse määramine ei ole võimalik, sest see eeldaks parameetri tegeliku väärtuse teadmist. Üldkogumi parameetri vahemikhinnang on piirkond arvteljel, millesse hinnatav parameeter jääb teatud usaldatavusega. Vahemikhinnangul on mõned olulised omadused: usaldatavuspiirkond on seda laiem, mida suurem on usaldatavus ja seda väiksema täpsusega on määratud hinnatav parameeter. Mida suurem on väljavõtukogum, seda kitsam on usaldatavuspiirkond ja seda täpsemalt on määratud hinnatav parameeter. · Keskväärtuse hindamisel võrdub keskmine esindusviga ehk standardviga
Keskmine esindusviga 6. on vale keskmise valiku tulemus (me ei pea alguses valima, millist keskmist kasutame) 7. on väljavõtukeskmiste lineaarhälve (standardhälve) 8. vahe ühe valimi keskmise ja üldkogumi keskmise vahel (see on lihtsalt esindusviga, mitte ühe, vaid kõigi) 9. on ruutjuur valimite keskmiste dispersioonist (ÕIGE) 10. ei ükski Keskmise esindusvea tekkepõhjus on kindlasti eksamil Valimi kohta on kindlasti ka ülesanne (vahemikhinnang või valimi suurus) Valimi teema on sarnane hüpoteeside teemaga (eksamil on need läbipõimunud) DISPERSIOONANALÜÜS ÜL ei tule Kindlasti on teooria küsimused mida rühadesisene ja rühmadevaheline dispersioon näitavad, Q2+Q1=Q ja et usaldusväärsuse kontrollimiseks tuleb vaadata dispersioonidesuhet Vaadata ka usaldatavuse kontrolli (kas trendijoon on statistiliselt usaldatav) µ +/- beeta 68,27% usaldatavus µ +/- 2beetat 95,45% usaldatavus
valitakse sealt vajalik arv inimesi välja) · Süstemaatiline valim objektide valimine toimub fikseeritud sammuga. (Näide: elanikkonnaregistrist võetakse iga kümnes inimene) · Kihtvalim selle meetodiga püütakse vältida juhusliku valiku poolt tekkivaid vigu. Valim jaotatakse alagruppidesse, keda uurida tahetakse. (Näide: on teada, et uuritavast elanikkonnagrupist 7% on asiaadid, siis peab ka valimist 7% olema asiaadid) VAHEMIKHINNANG (USALDUSVAHEMIK) Suurus kannab nime olulisuse nivoo (vea tõenäosus). Kirjeldatud tõenäosust, mille uurija ise saab valida, nimetatakse usaldusnivooks (tähistatakse 1-), tavaliselt on piisavaks tõenäosuseks 0,95 (95%) või 0,99 (99%). Niisugust üldkogumi karakteristiku võimalike väärtuste vahemikku, millesse tegelik väärtus satub tõenäosusega 1- , nimetatakse usaldusvahemikuks ning otspunkte usalduspiirideks. Usaldusvahemik = valimi keskmine ± zkrit * st.viga
statistika Millest sõltub andmeanalüüsimeetodi valik, andmete tüübid, üldistava statistika meetodite kontekst Vea hindamine, Normaaljaotuse PROPORTSIOONID Normaaljaotuse põhjal saame järeldada, väärtuste standardiseerimine Statistiline järeldamine, stattistiline üldistamine Vahemikhinnang, usaldusintervall, korrelatsioonianalüüs Korrelatsioonikordajad, pearsoni r, Spearmani roo Korrelatsioonikordajad, crameri V, , milline kordaja valida, Tulemuste esitamine, rakenduslik uurimus, empiiriline uuring, uurimistüüpide omavahelised seosed Andmekogumismeetodid, pilootuuring, küsimustik, üldine skeem, millest sõltub andmeanalüüsi valik, Tunnuse tüübid, eeltöö-andmestiku korrastamine, sugu, vanus, kool, õppevaldkond, Tegevusala,
on punkthinnang (kujutab arvsirgel ühte punkti). Punkthinnangu ülesandeks on määrata kindlaks arvkarakteristik (arvväärtus).Punkthinnang on kõige enam kasutamist leidnud statistilise hinnagu liigiks. Punkthinnangu puuduseks on asjaolu, et saadud hinnang võib osutuda vigaseks. Seega ka kõik järeldused ja punkthinnangu alusel tehtud analüüsid võivas osutuda ekslikeks.Teiseks hinnangu liigiks on vahemikhinnangud. Vahemikhinnang kujutab endast hinnangu määramispiirkonnas teatud vahemikku. Seega vahemikhinnangut iseloomustavad 3 suurust (parameetrit): vahemikku alampiir tmin, vahemiku ülempiir tmax ja vahemikkku langemise tõenäosus p. Vahemikhinnangu eelis seisneb selles, et andes ette küllalt suure tõenäosuse p, võime olla kindel selles, et me ei eksi. Vahemikhinnangu puuduseks on asjaolu, et vahemikhinnangu edaspidine kasutamine on tülikas. Praktikas analüüs tehakse kolmes erinevas variandis
alusel t-jaotuse tabelist (vt. tabel 6): uA, p t ( , p) s x (*) Student'i eeskirja võib vahemikhinnangu leidmisel kasutada ainult juhul, kui mõõdised on kas normaaljaotusega või ligikaudu normaaljaotusega. Kui oleme suuruse x jaoks leidnud määramatuse vahemikhinnangu uA,p, siis võime öelda, et leppeline tõeline väärtus asub tõenäosusega p vahemikus x uA, p / xl / x uA, p . Selleks, et anda vahemikhinnang meie poolt valitud usaldusnivool, tuleb esmalt leida tulemuste aritmeetiline keskmine ja tema A-tüüpi määramatuse hinnang. Tabelist 6 leiame vabadusastmete arvu ( = n - 1) ja soovitava usaldusnivoo alusel t-koefitsiendi ja selle alusel valemist (*) vahemikhinnangu. Usaldusnivoo füüsika praktikumis valib eksperimentaator ise, tavaliselt võetakse selleks 95 %. MathCAD'i programmis saab t-koefitsiendi leida standardfunktsiooniga !1 p
annaabi.ee 
