Kovariatsioon: COVAR Olgu igal objektil on mõõdetud rohkem kui üks tunnus. Tunnuste x ja y vaheline kovariatsioon: Arvutamiseks lihtsam valem: Korrelatsioonikordaja: CORREL Variatsioonikordaja e suhteline viga: Valimidispersioon: VAR Valimstandardhälve: STDEV 2. Usaldusvahemike praktiline leidmine üldkogumi keskmisele kahel juhul: a) kui valim suur (n30, standardse Tõenäosusteooria Page 1 2. Usaldusvahemike praktiline leidmine üldkogumi keskmisele kahel juhul: a) kui valim suur (n30, standardse normaaljaotuse tabeli kasutamine), b) kui valim väike (n<30, t-jaotuse tabeli kasutamine). n30 n<30 3. Hüpoteeside kontroll. Ühe- ja kahepoolsed hüpoteesid üldkogumi keskmise kohta: hüpoteeside püstitamine, teststatistiku leidmine, nullhüpoteesi tagasilükkamise kriteerium iga hüpoteeside paari puhul. Hüpoteeside praktiline kontrollimine antud andmete korral.
Teemad I Reaalarvud ja avaldised; II Lineaar, ruut, murdvõrrandid ja võrratused; III Vektor tasandil. Joone võrrand Teemad IV Funktsioonid ja nende graafikud; V Arvjada ja selle piirväärtus; VI Logaritm ja eksponentfunktsioonid. Logaritm ja eksponentvõrrandid ning võrratused; Teemad VII Trigonomeetrilised funktsioonid. Trigonomeetrilised võrrandid; VIII Funktsiooni piirväärtus ja tuletis; IX Geomeetria tasandil ja ruumis; X Tõenäosusteooria ja kirjeldav statistika. Gümnaasiumi lõpetaja õpitulemused oskab arvutada peast, kirjalikult või arvutusvahendite abil ja oskab kriitiliselt hinnata arvutustulemusi; oskab teisendada algebralisi avaldisi; oskab lahendada ainekavaga fikseeritud võrrandeid ja võrrandisüsteeme ning võrratusi ja võrratussüsteeme; oskab kasutada põhilisi mõõtühikuid ja seoseid nende vahel; Gümnaasiumi lõpetaja õpitulemused
Tavaliselt fikseeritakse F0 = 0 ja F1 = 1. Fibonacci arve on uuritud juba 13. sajandist peale. Nimelt saab nende abil üpris hästi kirjeldada paljusid looduslikult kulgevaid protsesse. Samuti on kahe järjestikuse lõpmatusele laheneva indeksiga Fibonacci arvu jagamisel saadav suhe = 1+521, 618034 juba antiigist saati olnud kasutuses kunstis, kus seda peetakse koige harmoonilisemaks suhteks kahe pikkuse vahel (nn. kuldloige). Lisaks on arvud ise seotud mõningate kombinatoorika ja paljude tõenäosusteooria probleemidega (ka praktilise tõenäosusteooria, nt ruletiteooria, börsi liikumise teooriatega), samuti on nad leidnud kasutust informaatikas (nt. Fibonacci otsing, kui parandatud versioon kahendotsingust, mõnede algoritmide keerukuse hindamine). -Nimetatud Leonardo Pisano Fibonacci, 13. saj. itaalia matemaatiku auks. 4 1.2 Üldistused Erinevaid üldistusi on Fibonacci arvudele päris mitu
E-materjali elastsusmoodul Teras E1 = 2,1* 105 MPa; Pronks E2 = 1,2 * 105 MPa poissoni tegur: teras 0,25 ; pronks 0,32 Ebatasasuste tasandamist iseloomustav suurus: Deformatsioon temperatuuri muutumisest: Pöördemomendi ülekandmiseks vajalik minimaalne ping: Maksimaalne ping maksimaalsest kontaktsurvest: Kus maksimaalne deformatsioon Seega maksimaalne deformatsioon: Istu süntees Antud nimimõõde 260 ning Nmax= 656 m; Nmin= 110 m 273 Tõenäosusteooria järgi: Standardtolerantsid: IT10 = 210, IT11 = 320; IT12 = 520 Ilmselt sobib IT11=320, ja TD = Td =320 EI=0; ES=320; Et Nmin = 110, peaks ei = ES+Nmin=320 + 110 = 430 Et Nmax = 656, peaks es = ei + Td = 430 + 320 = 850 Tabelist näen, et esimene mõistlik toleratsijärk (võllile) on z8 (ei=710, es=791). Ist EI= 0; ES= 320; ei=710; es=791 Nmin= ei ES = 390 Nmax= es EI =791 Maksimaalne ping on liiga suur. Vähendan võlli piirhälvet: Ist , kus EI= 0; ES= 320; ei=475; es=556 Siis
Statistika 1 Statistika põhimõisted STATISTIKA - 1. KIRJELDAV STATISTIKA andmete korrastamine, nähtavaks tegemine, lihtsamate karakteristikute arvutamine 2. TÕENÄOSUSTEOORIA 3. ÜLDISTAV / JÄRELDAV (MATEMAATILINE) STATISTIKA suhteliselt väikese osa objektide (valimi) andmete abil järelduste tegemine kõigi objektide kogumi (üldkogumi) kohta. Järelduste tegemine põhineb tõenäosusteoorial VALIM ÜLDKOGUM STATISTILINE ANDMESTIK OBJEKTID, TUNNUSED, VÄÄRTUSED ANDMETE e TUNNUSTE TÜÜBID 1 KIRJELDAV STATISTIKA 1. Tabelite koostamine 2. Graafikud ja joonised 3. Lihtsamate karakteristikute arvutamine Andmetabeli koostamine Iga objekt saab endale tabelis ühe rea, Iga tunnus omale ühe veeru ja iga väärtus ühe lahtri. 2 NIMITUNNUSED (näi. Rah...
Tõenäosusteooria ja statistika kontrolltöö nr.1. Variant F 1. (2) Kaks laskurit tulistavad ühte ja sama märklauda. Märklaua tabamise tõenäosus on vastavalt 0,7 ja 0,8. Leida tõenäosus, et märklauda ei tabata kui kumbki tulistab 2 korda. m= p= m= p= 0 0,09 0 0,04 1 0,42 1 0,32 P(A)= 2 0,49 2 0,64 2. (2) Kolm jahimeest laksksid põtra ning tabasid ühe kuuliga. Leida tõenäosus, et tabajaks oli esimen jahimees, kui tabamise tõenäosus on esimesel jahimehel 0,2; teisel 0,4 ja kolmandal 0,6. ???? 0,337778 3. (3) Kauplus sai 1000 klaaspudelis olevat jooki. Tõenäosus, et vedamisel puruneb üks pudel on 0,0 Leida tõenäosus, et kauplus sai rohkem kui kaks katkist pudelit. n=1...
Bakalaureuse kraadi omandas Moskva Ülikoolis 1941. aastal Kuid jätkas õppimist Brashman'i juhendamisel Hakkas ise Moskva Ülikooli professoriks Saadeti St. Petersburgi 1849 kaitses oma doktorantuuri Aastad 1840-1846 1840-41 osales ta Ülikooli võistlusel, kus seletas ära funktsiooni y = f (x) ( avaldati alles 1950 ) 1842 kirjutas artikli kordsete integraalide kohta, mis avaldati 1843 1844 kirjutas uurimuse Taylor'i seeriate kohta 1846 avaldas tõenäosusteooria täiendatud teooria ( suurte numbrite nõrk seadus) Aastad 1847-1850 1847 tegi uurimuse teemal "Integraalide leidmine logaritmide tähenduse abil" (avaldati alles peale tema surma) 1849-1853 avaldas erinevaid uurimusi numbrite teooria teemadel 1849 avaldas raamatu "Teooriate võrdlus" 1845 Bertrand väitis, et alati on n ja 2n vahel vähemalt üks arv, mis on n>3. Chebyshev tõestas Bertrand's väidet 1850 Aastad 1852-1887 1852 reisis ta Euroopas ning hakkas huvituma mehhaanikast
kus materjali joonpaisumistegur, ; ; t1 = t2 on detaili keskmine töötemperatuur, t1 = t2 = 50°C Pöördemomendi ülekandmiseks vajalik minimaalne ping: Maksimaalse pingu leiame maksimaalsest võimalikust kontaktsurvest: Kus max on maksimaalne deformatsioon Seega maksimaalne deformatsioon Maksimaalne ping: Istu süntees Nimimõõde dv = 120 mm Pingud: Maksimaalne: Nmax = 150 µm Keskmine: Nm = 108,5 µm Minimaalne: Nmin = 67 µm TS,N= Nmax- Nmin = 83 µm T= 0,5 TS,N = 42 µm Tõenäosusteooria alusel T = 0,7TS,N= 59 µm Valin ava tolerantsiks H8, mille piirhälveteks on: ES = 54 µm ; Ei = 0 µm Rummu alumine piirhälve: ei= ES+ Nmin=54+67 = 121 µm Rummu ülemine piirhälve: es= ei +Td = 121+ 54 = 175 µm Lähim standardist on u7, mille piirhälveteks on: es= 179 µm ; ei= 144 µm Lähim standardist on Kus: EI=0 µm; ES=54 µm; es=179 µm ; ei= 144 µm Nmax= es EI = 179- 0 = 179 µm Nmin= ei- ES = 144- 54 = 90 µm
Teooria eksami probleemid I osa Tõenäosusteooria 1. TT ja MatStat kui üksteise pöördteadused. Tõenäosusteooria on matemaatika osa, mis uurib juhuslike nähtuste üldisi seaduspärasusi sõltumatult nende nähtuste konkreetsetsest sisust ja annab meetodid nendele nähtustele mõjuvate juhuslike mõjude kvantitatiivseks hindamiseks. Juhuslikkusel põhinev lähenemine nõuab erilisi meetodeid, mida võimaldab tõenäosusteooria. Matemaatiline statistika on matemaatika osa, mis uurib statistiliste andmete kogumise, süstematiseerimise, töötlemise ja statistiliste järelduste tegemise meetodeid. Matemaatilise statistika eesmärgiks on statistiliste seaduspärasuste avastamine ja kirjeldamine. 2. Defineerige sündmuste algebra. Tooge vähemalt 2 sündmuste algebra mittetriviaalset näidet Sündmuste algebra koos tema määratud tõenäosusmõõduga moodustavad tõenäosusruumi
Tõenäosusteooria ja statistika kontrolltöö nr.1. Variant F 1. (2) Kaks laskurit tulistavad ühte ja sama märklauda. Märklaua tabamise tõenäosus on vastavalt 0,7 ja 0,8. Leida tõenäosus, et märklauda ei tabata kui kumbki tulistab 2 korda. m= p= m= p= 0 0,09 0 0,04 1 0,42 1 0,32 P(A)= 2 0,49 2 0,64 2. (2) Kolm jahimeest laksksid põtra ning tabasid ühe kuuliga. Leida tõenäosus, et tabajaks oli esimen jahimees, kui tabamise tõenäosus on esimesel jahimehel 0,2; teisel 0,4 ja kolmandal 0,6. 3. (3) Kauplus sai 1000 klaaspudelis olevat jooki. Tõenäosus, et vedamisel puruneb üks pudel on 0,0 Leida tõenäosus, et kauplus sai rohkem kui kaks katkist pudelit. 0 0,049787068 P(a) ...
Tõenäosusteooria kordamine I 1. 25-liikmelisest koorist on vaja saata 4 lauljat esindama koori. Mitmel erineval viisil saab seda teha? (12650) 2. Mitmel erineval viisil on võimalik paigutada väljakule ühte jalgpallimeeskonda 11 jalgpallurit? (39 916 800) 3. Tõenäosus, et päeva jooksul valmistatud nööbid on defektideta, on 0,9. Leia tõenäosus, et kolme päeva jooksul ei toodeta ühtegi praaknööpi. (0,729) 4. Jürkal on öökapi peal purgike 20 ravimitabletiga. Jürka naine võttis purgist 8 tabletti välja ja asendas need arseeni sisaldavate tablettidega. a) Kui suur on tõenäosus, et Jürka võtab juhuslikult arseenitableti? (0,4) b) Kui suur on tõenäosus, et esimesel õhtul võtab Jürka ravimi, aga teisel õhtul mürgi? (24/95) c) Kui suur on tõenäosus, et kahe tableti võtmisel on üks tablettidest ravim ja teine mürk? (48/95) d) Kui suur on tõenäosus...
Torricelli punkt - T Fermat’ punkt • Pierre de Fermat [ferma:] (17.08.1601 – 12.01.1665) – prantsuse matemaatik. Töötas juristina ja tegeles matemaatikaga vaid vabal ajal. Oma tulemusi ei avaldanud, kuid kirjutas neist tuntud matemaatikutele. Olulisi tulemusi saavutas arvuteoorias (Fermat’ teoreemid), geomeetrias (võttis kasutusele koordinaatide meetodi), matemaatilises analüüsis (jõudis lähedale diferentsiaal- ja integraalarvutusele). On üks tõenäosusteooria rajajaid. Fermat’ punkt - F • Kolmnurga ABC tippe selle külgedele joonestatud võrdkülgsete kolmnurkade (BKC, CLA, AMB) uute tippudega (vastavalt K, L ja M) ühendavate sirgete (KA, LB ja MC) lõikepunkt. Fermat’ punkt - F Fermat’ punkt - F • Sõltuvalt võrdkülgsete kolmnurkade joonestamise suunast leidub üldiselt (kui ABC pole just võrdkülgne kolmnurk) kaks erinevat Fermat’ punkti. Järgmisel joonisel
pahandas sellega jesuiidid jesuiite. Umbes samal ajal omandas Pascal jansenism jansenistlikud vaated. Arstide soovitusi järgides püüdis Pascal 1647. aasta paiku viletsa tervise huvides uurimistöödes vahet pidada ning harrastada "eakohasemaid" eluviise Pariisis. Järjekindlast puhkusest midagi välja ei tulnud, kuid mitmesugused hasartmängud, millega Pascal sel perioodil tegeleda olevat proovinud, äratasid temas huvi tõenäosusteooria vastu. Teistel andmetel süstis Pascali huvi hasartmängude teooria vastu alles Roannez' hertsogi majas kohatud "praktik" ''chevalier'' de Méré. 1650 jättis Pascal katki oma matemaatika- ja füüsikauuringud, mis selleks ajaks olid andnud mõnegi nimetamisväärse tulemuse, ja pühendus religioonile.1651 suri Pascali isa, 1652 asus 3 Blaise'ga väga lähedane õde Jacqueline Port-Royai kloostrisse, kus ta peagi nunnaks pühitseti. 1653
Eero Ringmäe 3811210**** LAP32 010636 10. dets 2002 Kodutöö aines tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika 4 n 14 7 i 1 .. n 10 X: Y: xi 13 25 31 38 46 floor 0.3. 56 58 63 70 74 81 84 89 93 yi 3.6 3.8 0.1. 4.9 5.5 6.2 6.3 7.8 0.1. 7.3 7.4 8.2 8.6 8.5 9 9.8 Näitan punktide (x_i,y_j) asetust xy-tasandil: Juhuslike punktide jaotus 10 8 y i 6 4 2 0 20 40 60 80 100
Marianna Köster 093432 YASB41 YMR3720 Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika statistika kodutöö 1. Andmestik Sugu Vanus Toidukulud Eluaseme kulud x² y² xy M 25-34 19348,75187 468,048 374374198,9 219068,9303 9056144,615 M 25-34 9899,71287 1242,45408 98004314,91 1543692,141 12299938,65
Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika Ajaloost Tekkinud 17. saj. seoses hasartmängudes (kaardid, täringud) tekkinud probleemidega kuidas jaotada panuseid, kui mäng juhtuks mingil põhjusel pooleli jääma, milliste kaartide korral on mõtet edasi mängida jms Tuntumad teadlased, kellel on suuri teeneid tõenäosusteooria arendamisel: De Fermat, Pascal, Huygens, Bernoulli, Gauss, Laplace, Kolmogorov jt Tänapäeval on tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika paljude ülikoolide mitmete erialade õppekavas. Põhimõisted katse põhimõtteliselt lõpmatult palju kordi teostatav toiming, mille korraldamise protseduur on fikseeritud; katse käigus jälgitakse, kas teatud sündmused toimuvad või mitte sündmus katse tulemus või erinevate tulemuste ühendamisel saadav tulemus Näit. Katseks on täringu viskamine, sündmusteks võivad olla järgmised: - saadakse 4 silma - saadakse 5 silma
Igale monaadidel kuulub tajumaailm, mis on ainult tema oma. Subjekt ja objekt langevad temas kokku, ta on eneseküllane. See aga, et need monaadid on omavahel kooskõlas nagu paljud iseseisvad hääled orkestris, eeldab, et Jumal lõi nad algusest peale nii, et nende vahel oleks harmoonia.1 Leibnizil on oluline koht maailma matemaatika ja filosoofia ajaloos. Ta on andnud olulise panuse füüsika ja tehnoloogia ning ka bioloogia, meditsiini, geoloogia, Tõenäosusteooria, psühholoogia, lingvistika ja informaatika alal. Ta on loonud ka rafineeritud kahendarvu süsteem, mis on praktiliselt kõikide digitaalarvutite aluseks. Leibnizi filosoofia on enamasti tuntud tänu oma optimismile. Nt on tema järeldus, et meie Universum on piiratud mõttes parim võimalik, mille Jumal oleks võinud luua. Leibnizi filosoofiline süsteem põhineb väikesel hulgal alusprintsiipidel, milllest on
1. Reaalarvud ja avaldised (humanitaarharus 20 tundi, reaalharus 30 tundi) 2. Võrrandid ja võrratused (hum. harus 20 tundi, reaalharus 30 tundi) 3. Trigonomeetria (20, 30) 4. Vektor tasandil. Joone võrrand (30, 30) 5. Funktsioonid, vastavad võrrandid ja võrratused (30, 60) 6. Funktsiooni piirväärtus ja tuletis (30, 60) 7. Stereomeetria. Vektor ruumis (10, 30) 8. Integraal ja selle rakendusi (25, 45) 9. Tõenäosusteooria ja mat. statistika (25, 30). Viimane, 9. kursus oli uus ja lülitus programmi esmakordselt pärast 1930ndaid aastaid. Peale selle olid programmis välja toodud ka lisakursused: determinandid ja maatriksid; hulkliikmed ja algebralised võrrandid; koonuselõiked; täiendavaid küsimusi planimeetriast; matemaatiline loogika; tulude ja kulude matemaatika; matemaatika ajalugu. Kuid seda programmi asuti kohe ümber töötama. Programmi lisati algklasside osa, üldiselt polnud muutused eriti suured
elementaarsündmused sisalduvad ka sündmuses B (nt A: ärtu sõdur, B: ärtu piltkaart, C: piltkaart korral A B C) Vastandsündmus A : sisaldab kõik elementaarsündmused, mis ei sisaldu sündmuses A (nt A: must kaart, A : punane kaart) sündmusega seondub tema tõenäosus, mis on mingi arv nullist kuni üheni. Tõenäosus- sündmuse esinemissagedust katsetes (ka võimalikkust, osakaalu vms). Tõenäosusteooria seisukohalt on tõenäosus sündmuse mõõduks ning tõenäosuse omadused tulenevad tõenäosusteooria aksiomaatikast : 1.Normeeritusaksioom: 0 P(A) 1 2 Liitmisaksioom: vastastikkku välistuvate sündmuste loenduva summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, st P( Ai ) = P( Ai ) kui AiAj = Ø (-aditiivsus) 3.Tinglik tõenäosus määratletakse seosega P(A/B) = P(AB) / P(B) (tinglik tõenäosus näitab sündmuse A
Teravnurga koosinus on selle nurga lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe. Teravnurga tangets on selle nurga vastaskaateti ja lähiskaateti suhe(Näide38) 41. Sk= p*H St= Sk+2*Sp V= Sp*H (Näide39) 42. V= 1/3Sp*H (Näide40) 43. Sp = r² Sk =2rh St =2rh+2r2 V = r2 h(Näide41) . 44. Sp = r² Sk = rm St = Sp + Sk V = 1/3 r²h (Näide42) 45. S = 4 r² V = 4 : 3 r³(Näide43) 46.Tõenäosusteooria uurib seaduspärasusi,mis iseloomustavad juhuslikke sündmusi. 47.sagedus(Näide44)
Statistika- teadus massnähtuste kvantitatiivse uurimise meetoditest. Teadus info kogumisest, esitamisest, organiseerimisest, analüüsimisest ja kokkuvõtust, nii, et andmed oleksid kergesti tõlgendavad. Jaguneb oma olemuselt: kirjeldav statistika, järeldav statistika. Statistiline vaatlus- info hankimine, kirjeldav statistika- info ülevaatlik esitamine, tõenäosusteooria- tulevikuga seonduv ebakindluse kirjeldamine, prognoosimine, statistiline otsuste teooria- otsuste tegemine ebakindlas keskkonnas mittetäieliku info tingimustes. Uurimisobjekt- protsess või nähtus, mille kohta soovitakse teha järeldusi. Massnähtus- suurest hulgast vähemalt mõningaid ühiseid omadusi või tunnuseid omavatest nähtustest koosnev nähtus. Üldkogum- nt terve keskkooli klass, Eesti elanikud, Euroopa Liidu riigid
paikades viljapõldudele. Enamikku viljasõõride juhtumistest peetakse pettuseks. On teada juhtumeid, kui inimesed on ise viljasõõride tekkimist näinud ning keegi ei maini mingeid kosmoselaevu, kirjeldatakse müstilisi ülalt laskuvaid keeriseid, mis kestavad vaid hetke. Aknapiirkonnad Aknapiirkonnad on kõikjal maailmas paiknevad mõistatuslike nähtuste esinemisalad, kus toimub märksa rohkem kummalisi sündmusi, kui seda tõenäosusteooria alusel olla tohiks. Uurimused näitavad, et aknapiirkonnad on kohad, kus kontsentreerunud loodusliku energia mõjul juhtub palju pealtnäha paranormaalseid nähtusi, mida seostatakse UFO-de ja muude nähtustega. Kosmosetulnukad Keravälk Üks kohutavaim nähtus, mis meile taevast kaela langeda võib on keravälk. See võib olla tennisepalli kuni korvpalli suurune ergav mass, mis kestab paarist sekundist mõne minutini
2014) Küberneetika aluseks on idee ühtse lähenemisviisi võimalikkusest erineva iseloomuga juhtimisprotsesside uurimisel. Selle idee jõud on selles, et ta võimaldab lisaks ühisele metodoloogialisele käsitlusele luua võimsa matemaatilise aparaadi protsesside kvantitatiivseks kirjeldamiseks ja keeruliste ülesannete lahendamiseks. See aparaat rajaneb informatsiooniteooria, dünaamiliste süsteemide teooria, algoritmide teooria ja tõenäosusteooria meetoditel. Küberneetika üheks põhiliseks iseärasuseks on see, et ta ei vaatle juhitavaid süsteeme staatilistena, vaid nende liikumises ja arengus. Süsteemide uurimine liikumises muudab põhjalikult nende käsitlust, võimaldab nii mõnigi kord avastada seaduspärasusi ja teha kindlaks fakte, mis muidu oleksid jäänud avastamata. Küberneetika ei käsitle süsteeme üksteisest isoleerituna, vaid uurib nende teatud ühendust, milleks kõige üldisemalt võttes on kogu universum
Mehaanikaseadusi analüüsides jõuti järeldusele, et inimese tulevik pole määratud millegi muu kui tema molekulide seisundiga sünnihetkel. Inimese oma soovid ega teod ei saa tulevikku mõjutada! Nüüdisaegne füüsika Selgus, et füüsika pole veel sugugi valmis. Tekkis kaasaegne füüsika, mille kaht põhiteooriat -- kvantmehaanikat ja relatiivsusteooriat alles arendatakse. Kasutusele on võetud kaose mõiste ning matemaatikast pärit statistika ja tõenäosusteooria . Mis saab edasi? Einstein töötas oma elu lõpuni ühtse välja teooria loomise nimel. Ühtse välja teooria peaks kirjeldama korraga kõiki loodusnähtusi. Kogu füüsika koosnekski siis ainult ühest teooriast. Einstein seda endale võetud ülesannet lahendada ei jõudnud. Ehk kunagi jõuavad teadlased selleni. Seniks jääb füüsika arengut näitava skeemi lõppu punane küsimärk püsima. Maailma füüsikud, kes on teinud suuri avastusi optikas ja kvantfüüsikas
12. klass Tõenäosusteooria 1. Sündmuse klassikaline tõenäosus Sündmuse A tõenäosuseks p(A) nimetatakse sündmusele A soodsate elementaarsündmuste (võimaluste) arvu k ja kõigi elementaarsündmuste (võimaluste) arvu n suhet. k p(A) = n Siin eeldakse: 1) arvu n lõplikkust;
Kui suur on tõenäosus, et kontsert toimub? Lahendus. Vastavalt ülesande tingimustele on vaja leida sündmuse tõenäosus. Kuna sündmused A ja B ei välista teineteist, siis kasutame valemit (2) /või läheme üle vastandsündmusele/: p ( A B ) = p( A) + p( B ) - p( A B) = 0,8 + 0,9 - 0,8 0,9 = 1,7 - 0,72 = 0,98 Kui lahendada vastandsündmuse kaudu (kontsert ei toimu), saaksime tulemuseks p ( A B) = 1 - p ( A B ) = 1 - 0,2 0,1 = 0,98 7. Peeter lahendab tõenäosusteooria ülesande tõenäosusega 0,3. Ants on veidi parem lahendaja, tema puhul on vastav tõenäosus 0,6. Lausa "kuldlahendaja" on aga Piret, kelle puhul on sama ülesande lahendamise tõenäosus 0,95. Kui eeldada, et õpilased istuvad kontrolltöö ajal hajutatult ning neil puudub võimalus üksteisega lahenduskäiku kooskõlastada, kui suur on siis tõenäosus, et a) kõik kolm õpilast lahendavad antud ülesande b) mitte ükski neist ülesannet ei lahenda c) ülesande lahendab vähemalt üks neist
Tõenäosusteooria ja statistika eksam 1) Üldkogum – (ka populatsioon) looduse või ühiskonna või objektide hulk, mille kohta soovitakse teha järeldusi teda esindava valimi põhjal. Valim – väljavõtukogum; liikmed tuleb valida juhuslikult, st igal üldkogumi liikmel peab olema võrdne võimalus saada valitud valimisse. Valimi maht – vaatluste arv Tunnused: Kvalitatiivsed (sõnadega) – nominaalsed (värvid, rahvused, tõud) – järjestus e ordinaalsed (ei meeldi, pigem meeldib) Kvantitatiivsed e arvtunnused (mõõdame, loendame) – sõredad e diskreetsed – saavad omandada väärtusi ainult kindlate ajavahemike järel (laste arv peres). – pidevad – teatud piires võivad omandada, mistahes väärtusi ainult kindlate ajavahemike järel (nisu saagikus). 2) Statistilise uurimistöö etapid Uuringu ettevalmistamine (eesmärk, plaan, andmete vajadus, andmete kogumisviis, töötlemisviis, võimalikud järeldused). Statistiline ...
tõenäosuse omadustega). Sündmuse A suhteliseks suuruse X jaotustabel järgmine: 1, Sündmus ja tõenäosus. Kindel, võimatu ja juhuslik sageduseks Pn(A) antud katseseeria puhul nim. sündmuse sündmus, nende tõenäosused. Sündmus on Aesinemiste arvu m ja kõigi katsete arvu n suhet: P n(A)= tõenäosusteooria põhimõiste. Tavaliselt tähistatakse m/n Juhusliku sündmuse A statistiliseks tõenäosuseks suurte tähtedega, vajadusel kasutatakse indekseid. Nt. A, nim. konstantse arvu P(A), mille läheneb sündmuse A A1, Bi, Cjk jne. Sündmuse tõenäosus on sündmuse suhteline sagedu, kui katsete arv n käheneb lõpmatusele. võimalikust näitav arv lõigul [0,1], mida tavaliselt Suhtelise sageduse omadused: 1. Sündmuse suhteline tähistatakse P
Teooria eksami probleemid I osa Tõenäosusteooria 1. Defineerige sündmuste algebra. Tooge vähemalt 2 sündmuste algebra mittetriviaalset näidet Klassi F0 nimetatakse sündmuste algebraks, kui: 1) ∅,Ω ∈ F0 (Ω < ∞; Ω – elementaarsündmuste ruum ehk hulk, mille elementideks on juhusliku katse kõikvõimalikud tulemused) 2) A ∈ F0 => Ā ∈ F0 3) A,B ∈ F0 => A + B ∈ F0 Nt: Ω = {1,2,3,4,5,6} a. F = {∅,Ω} b
kunagi ei toimu. Võimatuteks sündmusteks on näiteks täringul üheaegselt 6 ja 4 silma heitmine; vesi ei saa tahkes olekus olla, kui temperatuur on +10 kraadi. Kindla sündmuse vastandsündmus on võimatu sündmus. Juhuslik sündmus sündmus, mis antud vaatluse või katse korral võib toimuda, aga võib ka mitte toimuda. Juhuslikeks sündmusteks on 6 silma tulek täringu viskel, loteriiga võidu saamine, tuttava kohtamine tänaval. Juhuslik katse on tõenäosusteooria jaoks kirjeldatud, kui on loetletud tema võimalike tulemuste hulk. Seda hulka nimetatakse lühidalt elementaarsündmuste hulgaks ja tähistatakse sümboliga S. Näide 1. Katse võimalikuks tulemuseks täringu viskel loetakse teatava tahu peale langemist. Sellel katsel on 6 võimalikku tulemust ja vastav elementaarsündmuste hulk on: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Katsetulemuste hulk moodustab elementaarsündmuste ruumi, tähistatakse . Eelnevas näites S =.
Tõenäosusteooria. 1. Õpetaja kutsub kuuest nõrgast õpilasest kolm konsultatsiooni. Õpilane, kes pidi kutse edastama, unustas nimed ja saatis neist huupi kolm konsultatsiooni. Kui tõenäone on, et juhtusid kutsutud? 2. Õpilane oskab 25-st eksamiküsimusest vastata kahekümnele. Kui suur on tõenäosus, et pileti 3 küsimust on kõik nende kahekümne seast? 3. Kui suur on tõenäosus, et täringu viskamisel tuleb a. 5 silma, b. paaritu arv silmi, c. kolmega jaguv silmade arv. 4. Urnis on 3 punast ja 9 sinist ühesugust kuuli. Kui suur on tõenäosus, et kuuli juhuslikul võtmisel urnist saadakse d. sinine kuul, e. punane kuul, f. roheline kuul, g. kas punane või sinine kuul. 5. Lapse käes on neli kaarti, millest igaühele on kirjutatud üks number 1, 2, 3, 4. Laps laob need juhuslikus järjrkorras üksteise kõrvale. Kui suur on tõenäosus, et nii teki...
25- protsentiili nim. esimene kvartiil. Mediaan on 50-protsentiil e. teine kvartiil. 75-protsentiil nim. kolmas kvartiil. Mood arvrea suurima sagedusega liige. Dispersioon 2= ((x1-x)2+(x2-x)2+...+(xN-x)2)/N =(i=1N(xi-x)2)/N Standardhälve =2 Haare arvrea suurima ja vähima väärtuse vahe 2. Sündmus ja tõenäosus. Kindel sündmus ja võimatu sündmus. Sündmus on tõenäosusteooria põhimõiste. Tavaliselt tähistatakse sündmusi suurte tähtedega ladina tähestiku algusest:A, B, C Vajadusel kasutatakse indekseid. Sündmuse tõenäosus on sündmuse toimumise võimalikkust näitav arv lõigult (0,1), mida tavaliselt tähistatakse tähega P. Võimatu sündmuse V tõenäosus P(V)=0 Kindla sündmuse K tõenäosus P(K)=1 3
Näide: log57 + log53x = log5105 -> log521x=log5105 -> (Potentseerimine) 21x=105|:21 -> x=5 Kindlasti tuleb teada logaritmide omadusi, mis on kirjas ülevalpool. Kui muutuja on logaritmi aluses, siis tuleb kasutada logaritmi definitsiooni ning siis tekib kas ruut- või eksponentvõrrand. Logaritmvõrrandit tuleb alati kontrollida, võib tekkida võõrlahendeid! 11. Tõenäosusteooria Klassikaline tõenäosus Tõenäosus näitab, kui suur on võimalus, et mingi sündmus juhtub. Sündmusi liigitatakse kindlateks, võimalikeks ja võimatuteks. Tõenäosust väljendatakse arvudega 0st 1ni, 0 tähendab võimatut sündmust ja 1 seda, et sündmus toimub kindlasti. Sündmuse A tõenäosuseks nimetatakse toimumiseks soodsate võimaluste arvu m ja kogu võimaluste arvu n suhet. Ehk siis P(A) =
.......241 kõik võngub* ..................................... 254 Kuidas kaob helisalvestisest sahin? ..............258 AM-raadio ..................................................259 6 OSA 8 – loendamine ja OSA 9 – lugusid mõõtmine ........................................ 359 tõenäosusteooriast .................. 389 Ümbermõõt, pindala ja ruumala ......362 tõenäosusteooria tähendus ja Matemaatilised etalonid: kasutamine ....................................... 392 sirglõik, ruut, kuup ....................................362 Väike mündilugu ehk mida tõenäosus Hulknurkade pindalad .................................364 ikkagi tähendab? .......................................393 Ringi ümbermõõt ja pindala .......................
üleelamistõenäosuse ehk tõenäosuse elama jääda. Selle alusel patsientidest, kellel seda omadust uuritud; spetsiifilisus võib sõltuda võrdlusgrupid on tõepoolest võrreldavad, jne. Juhuslik varieeruvus ei arvutatakse keskmine eeldatav eluiga. (Matemaatiline tehe `1- sellest, kas tegu asümptomaatilise rahvastikuga või juba teatud ole välditav, allub tõenäosusteooria reeglitele ja tema võimalikku suremistõenäosus') Keskmine eeldatav eluiga sünnimomendil ehk sümptomitega inimestega; Optimaalse piiri leidmiseks kasutatakse nn ulatust saab hinnata. Protsendi standardviga- keskmine kaugus
kronol. Keskmine sobib ainult väga pikkade ridade korral – VALE, rea pikkus ei määra kvanitatiivse tunnuse korral tuleb arvutada ainult aritmeetiline keskmine – VALE, saab, aga ei pea geom.keskmine on alati aritmeetilisest keskmisest väiksem – ÕIGE mood ja mediaan on alati aritmeetilisest keskmisest suuremad – VALE, mitte alati Varieeruvuse hindamisel peavad Me ja Mo olema võrdsed, aritmeetiline keskmine võib erineda – VALE lineaarhälve on seotud tõenäosusteooria rakendustega, kuid standardhälve ei ole – VALE, vastupidi peavad olema mõlemasuunalised kõrvalekalded keskm.tasemest võrdvõimalikud – VALE võib kasutada dispersiooni – ÕIGE standardhälve (hälvete ruutkeskmine) on varieeruvas kogumis alati keskmisest lineaarhälvest (hälvete aritm keskm) väiksem – VALE, suurem Väljavõtukogumi suurus ei tohi sõltuda: üldkogumi suurusest (mida suurem üldkogum, seda suurem valim)
korral A Ì B Ì C) 4) Vastandsündmus A: sisaldab kõik elementaarsündmused, mis ei sisaldu sündmuses A (nt A: must kaart, B: punane kaart) Iga sündmusega seondub tema tõenäosus, mis on mingi arv nullist kuni üheni. Tõenäosus iseloomustab sündmuse esinemissagedust katsetes (ka võimalikkust, osakaalu vms). Tõenaosusteooria seisukohalt on tõenaosus sündmuse mõõduks ning tõenäosuse omadused tulenevad tõenäosusteooria aksiomaatikast: 1. Normeeritusaksioom: 0 £ P(A) £ 1 2. Liitmisaksioom: vastastikku välistuvate sündmuste loenduva summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, st P( Ai ) = P( Ai ) kui AiAj = O (-aditiivsus) 3. Tinglik tõenäosus määratletakse seosega P(A/B) = P(AB) / P(B) (tinglik tõenäosus näitab sündmuse A toimumise tõenäosust tingimusel, et sündmus B on juba toimunud ja P(B) > 0) Tõenäosuse määramise viisid:
TÕENÄOSUSTEOORIA 1 Juhuslik sündmus 1.1 Juhusliku sündmuse mõiste. Mingi katse või vaatluse tulemusena toimub teatud sündmus. Sündmusi tähistatakse tähtedega A, B, C, … . Iga sündmust vaadeldakse teatud tingimuste kompleksi olemasolu korral. Näiteks lumi sulab 0 kraadi juures normaalrõhul. Sündmused võib jaotada kolme liiki: 1. Kindel sündmus , mis toimub alati antud tingimuste juures ( päike tõuseb idast ja loojub läände). 2. Võimatu sündmus , mis ei saa kunagi antud tingimuste kompleksi korral toimuda (rong sõidab maanteel, päike loojub itta). 3. Juhuslik sündmus, mis võib toimuda või mitte toimuda (paarisnumbrisaamine täringuviskel, mündi viskamisel saada kull või kiri). 1.2 Sündmuste vahelised seosed. Sündmuste vahelised seosed on nagu vastavate hulkade vahelised seosed. 1. AB, sündmus B järeldub sündmusest A ehk sündmus A sisaldub sündmuses B. Näiteks: A = (2) ja B = (2;4;6), s...
Seejärel looge meeldejäävad sõnumid iga võimaliku turunduskanali jaoks. 8. Ebajärjekindlus. Kui käitute avalikkuses mölakana, on ilmselt parem pakkuda klientidele seda, mida ta ootab. Kui olete kena inimene, näidake end sellisena kogu aeg. 15 9. Hirm öelda "Mida kuradit..." Mõnikord peate vana hea terve mõistuse nurka viskama, Siin ei kehti tõenäosusteooria- keegi peale teie ju ei tea, milleks te võimeline olete. Järgige instinkti. 10. Mure selle pärast, mida inimesed arvavad- nagu nad teid üldse tähele paneksid. Suurimat edu saavutavad need, kes naudivad, kui nende üle naerdakse. (Laermer, Richard 2008, lk. 243) 16 KOKKUVÕTE
Juhuslikust varieeruvusest Nihkest o Nihe statistiku süstemaatiline erinevus üldkogumi vastavast parameetrist. Tekib kirjeldavas uuringus kui uuringupop ei esinda populatsiooni, mida me tahame kirjeldada. o Juhuslik valim ja uuringu hoolikas korraldamine väldib nihet üldkogumi parameetri hindamisel. o Juhuslik varieeruvus allub tõenäosusteooria reeglitele ja tema võimalikku ulatust saab hinnata. 7. KAHE VALIMI VÕRDLEMINE · Usaldusvahemik ja olulisuse tõenäosus vahendid juhuse ja seaduspära eristamiseks- · 95% usaldusvahemik teatud valiminäitajale vahemik, kuhu üldkogumi vastav parameeter jääb 95% tõenäosusega. · Olulisuse tõenäosus tõenäosus, et leitud või veel suurem erinevus kahe valimi näitajate saab tekkida vaid juhuslikult.
saavutatakse valimisse haaratavate populatsiooni tunnuste küllastumine, s.o kuni ei selgu enam uusi tunnuseid. 1 Lembit Õunapuu, PhD, dotsent Tartu Ülikool Valimi koostamiseks kasutatakse nii tõenäosuslikke (probability sampling) kui ka mittetõenäosuslikke (nonprobability sampling) valimi koostamise meetodeid. Tõenäosuslike meetodite aluseks on statistiline tõenäosusteooria. Tõenäosusteooria näitab matemaatiliselt mingi sündmuse toimumise tõenäosust, s.o. antud juhul populatsiooni liikme valimisse sattumise tõenäosust, kui neid sealt võtta juhuslikult. Kvalitatiivses uurimuses võib valimi koostamine toimuda kahel viisil: formaliseeritult või paindlikult. Formaliseeritum valimi koostamine kvalitatiivses uurimuses on vajalik näiteks siis, kui uurime inimeste eneseteadvust vaba enesekirjelduse meetodil
n elementi (üks kord) ja erinevad järjestuse poolest. Erinevaid permutatsioone on Pn=n (n-1) ...1 = n! · Kombinatsioonideks n elemendist k kaupa nimetame ühendeid, mis sisaldavad k elementi (antud n elemendi hulgast) ja erinevad vähemalt ühe elemendi poolest. n! · Erinevaid kombinatsioone on C =A /Pk C nk = ( n - k )!k! Tõenäosusteooria · Sündmuste hulka, kus alati üks sündmus toimub ja see välistab teiste toimumise nimetame sündmuste täissüsteemiks (täielikuks süsteemiks). · Võrdvõimalike sündmuste täielikku süsteemi nimetame elementaarsündmuste süsteemiks ja sündmusi elementaarsündmusteks. · Sündmuse (klassikaliseks) tõenäosuseks nimetame sündmuse soodsate elementaarsündmuste arvu k ja kõigi võrdvõimalike elementaarsündmuste arvu suhet. P(A)=k/n. 0P(A)1
Näide9.Vaatleme loteriid,mille noorem on poiss.Tähistame sündmuse B, silma tulek täringu viskel, loteriiga võidu korral trükiti 1 miljon piletit ja võidab et mõlemad on poisid ja sündmuse A, et saamine, tuttava kohtamine ainult ühe piletiga. Seega pileti omanikul vähemalt üks on poiss. P(B|A)= tänaval.Juhuslik katse on on võidu tõenäosus P(BA)/P(A)=P({p,p})/P({t,b);(p,t); tõenäosusteooria jaoks kirjeldatud, kui 1/1000000=0.000001.Näeme,et see on (p,p)})=1/4:3/4=3/4.sõltumatud on alati on loetletud tema võimalike tulemuste praktiliselt võimatu sündmus kahe niisugune järhestikuse katsega hulk. Seda hulka nimetatakse p(A)=0.Sõltiv sündmus, kui sündmus seotud sündmused, kus esimese katse
mustandipaberile kirjutatut. Nõutavad teadmised ja oskused Matemaatika riigieksam ei ole 12. klassi lõpueksam, vaid kogu koolimatemaatika põhiteadmiste ja oskuste omandatust kontrolliv eksam. Eksamiülesannete koostamisel eeldatakse, et eksaminand on (minimaalselt) läbinud järgmised ainekursused: 1. Reaalarvud. Võrrandid ja võrratused. 2. Trigonomeetria. 3. Vektor tasandil. Joone võrrand. 4. Funktsioonid I, II. 5. Funktsiooni piirväärtus ja tuletis. 6. Tõenäosusteooria ja kirjeldav statistika. 7. Stereomeetria. Riigieksamiülesannete koostamisel lähtutakse riiklikus õppekavas esitatud nõuetest (vt ,,Põhikooli ja gümnaasiumi riiklik õppekava"; http://www.riigiteataja.ee/ert/act.jsp?id=174787 ). Eksamiülesannete lahenduste näiteid (2008/2009 õ-a riigieksami põhjal) a a 1 -2 2 1
75 Arvuta jada piirväärtus, kui jada üldliige on an 5n 2 3n 1 b) an = ( 4n 1 2n) 2 a) an = n 2n 1 2 4 n 2 5n 1 d) an = (n - n n ) 2 c) an= n 2n 1 2 Vastused. a) 5 b) 0 c) 4 d) -0,5 11. Tõenäosusteooria 1. Lapsel on 3 kaarti, millele on kirjutatud kolm tähte I ; S ; A. Kui suur on tõenäosus, et kaarte juhuslikult üksteise kõrvale seades saab ta a) sõna ISA b) tähendusega sõna Vastus. a) 1/6 b) 2/3 2. Kotis on 15 õuna, neist 5 magusad ja 10 hapud. Kui tõenäone on, et võttes kotist pimesi 3 õuna, saame vähemalt ühe magusa õuna Vastus 67/91 3
matemaatiliste operatsioonide jaoks ebamugavaks. · Dispersioon 2 ehk hajuvus ehk hälvete ruutude keskmine (keskmine ruuthälve). Dispersiooniks nimetatakse variantide väärtuste ja aritmeetilise keskmise erinevuste ruutude (ruuthälvete) aritmeetilist keskmist. · Standardhälve ehk hälvete keskmine on leitud ruutkeskmise abil. Standardhälve ehk ruutkeskmine hälve on ruutjuur dispersioonist. Standardhälve on seotud tõenäosusteooria rakendustega, lineaarhälve ei ole. Standardhälve ON ALATI varieeruvas kogumis keskmisest lineaarhälbest suurem. Normaaljaotuse üks parameetritest on standardhälve ehk sigma. Mida suurem on standardhälve seda laugem (suurem) on äärmuste vahe. NORMAALJAOTUS · Jaotuse püstakuse ehk ekstessi mõõtmisel tuginetakse neljandat järku normeeritud momendile ning jaotust võrreldakse normaaljaotusega (selle neljandat järku normeeritud moment on 3).
matemaatiline teoori "). Seal pakkus ta välja matemaatilise kommunikatsiooniteooria, mida hiljem hakati nimetama infoteooriaks. Need tööd on tähtsad kommunikatsiooni uurimisel, kuna avasid uued võimalused matemaatiliseks lähenemiseks. Uurimustes andis C.E.Shannon infohulga mõiste tõenäosuslikstatistilise määratluse, esitas sidesüsteemi abstraktskeemi, sõnastas sidekanali läbilaskevõime, mürakindluse, kodeerimise jt. teoreemid. Matemaatiline infoteooria on tõenäosusteooria haru, mis uurib infovoogu allikast sihtpunkti. Infoteooria tõlgendab matemaatiliselt järgmisi protsesse: informatsioon edastatakse infoallikalt kodeeritult läbi infokanali infosaajale, kus informatsioon dekodeeritakse. Nii küberneetika kui ka matemaatiline infoteooria said aluseks pöördelistele muutustele side ja informatsioonitehnikas, aga ka informatsiooni kui teadusliku uurimise objekti positsiooni üle. Informatsioonile
Selle leiutise tulemusena hakati Pascali kutsuma prantsuse Archimedeseks. 1646 hakkas Pascal tegelema vaakumeksperimentidega, mis pani aluse hüdrostaatikale. Kuna arstid soovitasid nõrga tervise tõttu Blaise`il teadustööst loobuda ja tegeleda eakohasemate lõbustustega, siis kolis Pascal 1647 aastal tagasi Pariisi. Parku ei andnud see kolimine tulemusi kuna Pariisis proovitud hasartmängud tekitasid temas hoopis huvi tõenäosusteooria vastu. 1651 aastal suri Blaise`i isa, peale mida asus õde Jaqueline elama kloostrisse. Õde tegi kõik, et ka vend kloostrisse asuks. Kuid Pascal pühendus uuesti teadustööle, kirjutades töid matemaatikast, peamiselt algebrast ja arvuteooriast. 3 Teaduse ja poliitika filosoofia kodutöö 1653 aastal tutvus ta hertsog de Roannez ja tema õe Charlottei`ga
Protsentiil on arv, millest p protsenti andmetest on temast väiksem või võrdne ja (100- p) protsenti suurem või võrdne. Dispersioon on andmeväärtuste hajuvust näitav karakteristik. N ( x i - µ )2 =2 i =1 (definitsiooni järgi) N Standardhälve: = 2 Haare on suurima ja vähima väärtuse vahe. 2. Sündmus ja tõenäosus. Kindel sündmus ja võimatu sündmus. Sündmus on tõenäosusteooria põhimõiste. Tavaliselt tähistatakse suurte tähtedega, vajadusel kasutatakse indekseid. Nt A, A1 , Bi , Cjk jne. Sündmuse tõenäosus on sündmuse võimalikkust näitav arv lõigul [0,1], mida tavaliselt tähistatakse P. Võimatu sündmuse V tõenäosus P(V)=0, kindla sündmuse K tõenäosus P(K)=1. Ülejäänud sündmused on juhuslikud sündmused. 3. Tehted sündmustega: vastandsündmus, sündmuste summa, sündmuste korrutis, sündmuste vahe. Esitada definitsioonid ja osata tuua näiteid
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK - alfa - nüü - beeta - ksii - gamma - omikron - delta - pii - epsilon - roo - dzeeta - sigma - eeta - tau - teeta - üpsilon - ioota - fii - kapa - hii - lambda - psii - müü ...
annaabi.ee 
