DX=λ 43. Millise juhusliku suuruse korral võime väita, et ta on jaotunud Poissoni jaotuse järgi? Poissoni jaotusega on tegu siis, kui juhuslikuks suuruseks on vaadeldavas ajavahemikus toimuvate sündmuste arv, sündmuste toimumine teatud ajavahemikus ei sõltu selle ajavahemiku algus- ja lõppmomendist, kaks sündmust ei toimu samaaegselt ja sündmuste toimumise arv vahemikus ei sõltu nende arvust eelmises vahemikus. 44. Poissoni piirteoreem ja millal teda kasutada. Kui juhuslik suurus X on binoomjaotusega B(n,p), siis katsete arvu piiramatul suurendamisel on binoomjaotus lähendatav Poissoni jaotusega P(λ), kus λ=np. Seda saab kasutada siis, kui sündmuste toimumise tõenäosused on väiksed(alla 0,1) ja eeldatakse piisavalt suurt katsete arvu. (np)k −np Piirteoreem: B ( n , p ) ≈ P ( np )= k ! e PIDEV JUHUSLIK SUURUS 1. Milliseid juhuslikke suurusi nimetame pidevateks.
= 2 dt = x1 -µ e dz = 2 - 1 2 2 e x1 2 2 7. Tsentraalne piirteoreem. Moivre-Laplace'i integraalne piirteoreem. Tsentraalne piirteoreem Olgu Sn sõltumatute ühte moodi jaotatud juhuslike suuruste X1, X2, ... , Xn summa, kusjuures eksisteerivad EXi=µ ja DXi=2, i=1,2,...,n , siis teatud tingimustel ( S n = X 1 + X 2 + ... + X n ~ N nµ , n ja Z n = n n ) S - µ n
Olgu Xi ~ Be(p); i=1,2,…,n; X = ∑Xi. P(X=0) = q; P(X=1) = p Kui X1,…Xn on sõltumatud, siis ∑ ( )= ∏ ( ) ( )= ∑ ( )= ∏ ( )= ∏ ( + )= ( + ) = ∑ ( ) = ∑ Öeldakse, et juhuslik suurus X=0,1,…,k on binoomjaotusega parameetritega n ja p ∈ [0;1], kui P(X=k) = . Tähis: X ~ B(n,p) 12. Kuidas tekib Poisson’i jaotus? Poisson’i piirteoreem. ( ) Kui npn → λ, siis npn = λ + σ(n); lim =0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim (1 ) = lim ( ) ( ) (1 ) = lim (1
Hinnang leitakse valimi põhjal. Valim on juhuvalim. Punkthinnang on juhuslik suurus. Vahemikhinnang - valimi põhjal määratud vahemik, mis katab parameetri tegeliku väärtuse etteantud (küllalt suure) tõenäosusega. Usaldusvahemik - Parameetri a usaldusvahemikuks usaldatavusega β nimetatakse vahemikku, mis katab parameetri a väärtuse tõenäosusega β: Üldkogumi keskväärtuse µ punkthinnanguks - valimi keskväärtus: Üldkogumi dispersiooni σ^2 punkthinnang: Tsentraalne piirteoreem: Küllalt suure valimi mahu n korral alluvad valimite keskväärtused normaaljaotusele keskväärtusega µ ja standardhälbega σ/ √n, kus σ on kogumi standardhälve. Valimjaotusi standardhälve σ/sqrt n iseloomustab valimite (maht n) keskväärtuste hajuvust, see on valimi keskväärtuse valimjaotuse standardhälve. Kogumi standardhälbe hinnang. Iseloomustab üksikute objektide hajumist
=∑ Z k Cnk pk q n−k ∑ Xi i=1 i=1 k=0 k=0 i=1 Öeldakse, et juhuslik suurus X=0,1,…,k on binoomjaotusega parameetritega n ja p ∈ [0;1], kui P(X=k) = Cnk pk q n−1 . Tähis: X ~ B(n,p) 11. Kuidas tekib Poisson’i jaotus. Poisson’i piirteoreem σ (n) Kui npn → λ, siis npn = λ + σ(n); lim =0 n →∞ n lim n ! k n−k n pn +σ ( n ) n pn +σ ( n ) n →∞ k n k lim C p ( 1− pn ) n
Funktsiooni CONFIDENCE abil leiame usaldusvahemiku laiuse 95% usaldatavuse jaoks. Vahemiku laius on 8,2. Vastus: 95% ostjatest kulutavad leiva- ja saiatoodete ostmise peale kuus ühe inimese kohta 71,1 ± 8,2 krooni ehk 95%-l on vastavad kulutused vahemikus 62,9 ÷ 79,3 krooni. 15 Väikeste valimite korral valimi keskväärtuste jaotus erineb normaaljaotusest ja tsentraalne piirteoreem ei kehti. Sellisel juhul kasutatakse kogumi keskväärtuse usalduspiiride määramisel t-jaotust ehk Studenti jaotust. Jaotuse võttis kasutusele inglise matemaatik William Seally Gosset (1876-1937) oma töös, mille ta avaldas Studenti varjunime all. MS Excelis leiab Studenti koefitsiendi funktsioon TINV, kus argument probability on vea tõenäosus ja deg_freedom vabadusastmete arv. NÄIDE 2.2 Kauba X nädalane läbimüük viies kesklinna poes oli 16, 82, 29, 31 ja 55 tk
pirnide arv. Keskväärtus: EX=np, dispersioon DX=npq, standardhälve npq Poisson'i jaotus: DJS jaotus, mille korral jaotustabel defineeritakse valemiga k - P( X = k ) = e , k=0,1,... k! Sarnaselt binoomjaotusele juhuslik suurus tekib n katsel toimuvast k sündmusest, lisaks n ja p0. Näiteks kirjavigade arv masinakirjutajal/sekretäril. Rikete arv seadmes. Tööõnnetuste arv. Keskväärtus: EX= , dispersioon DX= . Poissoni piirteoreem: kui katste arv n ja p0 nii, et np= , siis koondub k - binoomjaotuse tõenäosus P ( X = k ) e . (Praktikas n50 ja p 0.1) k! Viimast kasutame võimalusel Bernoulli valemi asemel kui n suur. Geomeetriline jaotus: DJS jaotus, mille korral jaotustabel defineeritakse valemiga P( X = k ) = q k -1 p Toimuvad sõltumatud katsed, juhuslikuks suuruseks on katsete arv kuni esimese
Tõene 6. Kui parameetri hinnangu keskväärtus võrdub tegeliku väärtusega, siis hinnang on nihketa. 7. Joonisel on toodud tunnuse X jaotuskõver kolmes erinevas kogumis. Millisel juhul alluvad vastavast kogumist võetud valimite keskväärtused normaaljaotusele? kõigi kogumite korral, kui valimid on piisavalt suured. 8. Mis on keskväärtuse standardviga? keskväärtuse valimjaotuse standardhälve. 9. Tsentraalne piirteoreem ütleb, et küllalt suure valimite mahu n korral alluvad valimite keskväärtused normaaljaotusele. Kui on üldkogumi standardhälve, siis milline on valimite keskväärtuste jaotuse standardhälve? . 10. Kui valimi mahtu suurendada 9 korda, siis üldkogumi keskväärtuse hinnangu standardviga väheneb 3 korda. 11. Et keskväärtuse usalduspiirid ei muutuks, peab juhuvalimi standardhälbe suurenemisel 2 korda valimi maht suurenema 4 korda.
annaabi.ee 
