Kehakaal Sugu Tähtkuju Pikkus (cm) (kg) Jalanumber (binaarne) (järjestustunnus) (pidev) (pidev) (diskreetne) naine Neitsi 172 63 39 mees Vähk 182 64 41 naine Sõnn 155 62 38 naine Kalad 171 55 38 naine Kaksikud 170 58 38 naine Neitsi 179 58 41 naine Veevalaja 173 55 38 naine Jäär 173 55 38 naine Kaljukits 170 58 40 naine Neitsi 173 65 41 naine Kaksikud 170 64 40 mees ...
Juhuslik sündmus - sündmus, mis antud vaatluse või katse korral võib toimuda, aga võib ka mitte toimuda Kindel sündmus-sündmus, mis teatud tingimuste korral alati toimub Sõltumatu sündmus -Kaht sündmust nimetatakse sõltumatuteks, kui neist ühe toimumune ei muuda teise tõenäosust. Teineteist välistavad sündmused-Sündmusi, mille korrutiseks on võimatu sündmus, nimetatakse teineteist välistavateks. Kombinatsioonid-Katses osaleb m elementi, katse tulemuseks on k erineva elemendi välja valimine nende elementide hulgast. Permutatsioon-Kõikvõimalike erinevate järjestuste arv etteantud elementidest nimetatakse permutatsioonideks Variatsioonid-Katses osaleb m elementi, katse tulemuseks on k erineva elemendi kindlas järjekorras välja valimine nende elementide hulgast Tõenäosuse geomeetriline tähendus-Tõenäosuse geomeetriline tähendus ühemõõtmelises ruumis väljendub lõigu pikkusena, kahemõõtmelises ruumis pindalana ja kolmemõõtmelises ruumi...
Pidevad jaotused Olgu meil mõõdetud kuusenoorendikus puude kõrgused sentimeetrites rühmitatud andmetena (ülesannete 1 kuni 4 algandmed). Kõrguse Kõrguse Sage- Aritm. Standard- Teoreet. Teoreet. ülemised keskmisedx dused keskmine hälve tõen.-d pi saged. Hii-ruut xü ni ni*xi ni*(xi-xkaet)2 N*pi statistik i Normj. F(xü) 215 210 8 1680 6940,1 0,045 0,045 8 0,0086284 225 220 19 4180 7190,4 0,158 0,113 21 0,1432402 235 230 43 9890 3842,9 0,379 0,220 40 0,1748117 245 240 55 ...
Tasandi võrrand punkti ja normaalvektori jagamisel tema pikkusega. kaudu TÕENÄOSUS JA STATISTIKA Täistõenäosus Bayesi valem Bernoulli valem Keskväärtus: Geomeetriline jaotus Binoomjaotus Dispersioon: Standardhälve: Normaaljaotus Binoomjaotuse lähendamine normaaljaotusega ja Punktihinnangud
.., n vastavad tõenäosused on võrdsed ja võrduvad arvuga 1/n 2. Bernoulli1 jaotus*. Olgu sündmuse A tõenäosus P(A) = p. Bernoulli jaotusega juhuslik suurus on niisugune suurus X, mille väärtus on 1, kui sündmus A toimub, ja väärtus on 0, kui sündmus A ei toimu (toimub A ). Seega on Bernoulli jaotusega juhuslikul suurusel kaks võimalikku väärtust: 1 ja 0, millele vastavad tõenäosused on p ja 1 p, st. P(X = 1) = p ja P(X = 0) = 1 p. 16. Binoomjaotus. binoomjaotuseks nimetatakse juhusliku suuruse X jaotust, kui juhuslikuks suuruseks on sündmuse A esinemiste arv n sõltumatust katsest koosnevas katseseerias. P X =k =C kn pkq n-k. EX = np. DX = npq ning = npq .
kasutatava binoomjaotuse dispersioon on arvutatav lihtsama valemiga D(x)=npq Standardhälve on ruutjuur dispersioonist - (X)= ruutjuur DX. Dispersiooni punkthinnang on valiku uuringu korral. Dispersiooni hindamiseks kasutatud kõikse uuringu andmetel põhinevat üldkogumi dispersiooni arvutus: ( ²* ²) Standardhälve punkthinnang on praktilise kasutamise vajadusi rahuldav väga väikese nihkega hinnang 5. Bernoulli valem. Binoomjaotus (definitsioon, jaotusrida, keskväärtus EX ja dispersioon DX ). Poissoni jaotus. Bernouli valem Bernoulli valem on tõenäosus teoorias valem, mis näitab n ühesuguse ja sõltumatu katse korral sündmuse A toimumise tõenäosust täpseltk korda kui sündmuse tõenäosus igal katsel on p=P(A). kus q on sündmuse A vastandsündmuse toimumise tõenäosus q = 1 - P(A).
8. Geomeetriline jaotus Tekkemehhanism (kasutatakse kui): Igal katsel on sündmuse toimumise tõenäosus sama (p). Juhuslikuks suuruseks on katsete arv (X=k) sündmuse esmakordse toimumiseni. Geomeetriline jaotus on diskreetse juhusliku suuruse jaotus, mille korral defineeritakse jaotustabel valemiga: Geomeetrilise jaotuse nimetus tuleneb sellest, et tõenäosused moodustavad kahaneva geomeetrilise jada. Geom. jaotuse keskväärtus ja dispersioon 9. Binoomjaotus - n katsete arv k toimunud sündmuste arv p sündmuse toimumise tõenäosus q = 1 p sündmuse mittetoimumise tõenäosus Excelis [ BINOMDIST(k,n,p,0/1)] -Viimane arv 0 või 1 näitab kumulatiivsust kas täpselt P(X=k) või P(Xk) = F(k) ehk jaotusfunktsiooni väärtus, viimasel juhul 1 Binoomjaotus on enim esinev diskreetse juhusliku suuruse jaotus. Seda kasutatakse seoses
tinglik hind, struktuurinihete indeks tööviljakus fisheri indeks, laspeyres indeks, paasche indeks test 5 vastandsündmuse tõenäosus sõltumatud statistiline tõenäosus, klassikaline tõenäosus, täielik süsteem teoreetiline tõenäosus, tinglik tõenäosus välistavad juhuslik suurus, jaotusfunktsioon pidev juhuslik suurus, jaotusseadus, jaotusfunktsioon keskväärtus diskreetne juhuslik suurus, dispersioon, integraal, mediaan, ülemine rada 19. 15, binoomjaotus, parameetrid, parameeter Test 6 pidev, diskreetne, poissoni jaotus, jaotusseadus jaotusseadus, eksponentjaotus normaaljaotus, normaaljaotus normaaljaotus negatiivne väärtus poissoni jaotus Test 7 kogum, klastervalik, kihtvalik, lihtne juhuvalik, süstemaatiline valik tõenäosuslik valikumeetod, empiiriline valik fikseeritud samm, süstemaatiline valik, punkthinnang nihketa, efektiivne, optimaalne keskväärtus, normaaljaotus, suur valim
4 0,012345 0,407401 Tõenäosus, et saadi vähemalt 2 korda 3ga jaguv silmade arv. Ülesanne 4 Üksiksündmuse A tõenäosus on 0,3. Sooritati 8 katset. Joonistada tõenäosuste jaotuspolügoon. Leian kõikvõimalikud x väärtused ja nende tõenäosused. Tõenäosuste jaotuspolügo n= 8 8 on väike - binoomjaotus 0,4 p= 0,3 0,3 Tõenäosus p m p 0,2 0 0,057648 0,1 1 0,19765
1.Praak detaili tootmise tõenäosus on 0,0345. Leida tõenäoseim praagi hulk 500 detaili tootmisel. 0,035 n=500 6,3 p= p=0,035 n*p-q+1 n=17 q= 1-p=0,965 q=1-p 17,935 tõenäoseim praagi hulk on 17 detaili 2. Binoomjaotus Kulli ja kirja visatakase 5x . Leida tõenäosus et kull tuleb peale poole : a) vähem kui 2x b) mitte vähem kui 2x A. m p 0 0,03125 1 0,15625 0,1875 true- sama vastus mis p(a) P(A) 0,1875 EELNEVATE SUMMA B m= P 2 0,3125 3 0,3125
Ekstsess - liialdus; vahejuhtum. Stat järsakuskordaja, arv, mis kajastab juhusliku suuruse Xjaotuse erinevust normaaljaotusest. 16. Pidevad ja diskreetsed jaotused. Pidevad: 1) Normaaljaotus 2) X^2- jaotus 3) Empiiriline jaotus 4) Logaritmiline normaaljaotus 5) Gram-charlier normaaljaotus 6) Weibulli jaotusseadus 7) Eksponentjaotus 8) Gammajaotus 9) Beetajaotus 10) Studenti jaotus 11) F-jaotus Diskreetsed: 1) Binoomjaotus 2) Hüpergeomeetriline jaotus 3) Poissoni jaotus 4) Pascali jaotus 17. Mis on usaldusnivoo? Usaldusnivoo näitab tulemuse sattumise tõenäosust mingisse vahemikku. 18. Mis on usalduspiirid? usalduspiirid, usaldusvahemiku alumine ja ülemine otspunkt. Usalduspiirkond on valimi põhjal arvutatud piirkond, millesse hinnatava parameetri tegelik väärtus kuulub teatava tõenäosusega. Selle
järgi? Poissoni jaotusega on tegu siis, kui juhuslikuks suuruseks on vaadeldavas ajavahemikus toimuvate sündmuste arv, sündmuste toimumine teatud ajavahemikus ei sõltu selle ajavahemiku algus- ja lõppmomendist, kaks sündmust ei toimu samaaegselt ja sündmuste toimumise arv vahemikus ei sõltu nende arvust eelmises vahemikus. 44. Poissoni piirteoreem ja millal teda kasutada. Kui juhuslik suurus X on binoomjaotusega B(n,p), siis katsete arvu piiramatul suurendamisel on binoomjaotus lähendatav Poissoni jaotusega P(λ), kus λ=np. Seda saab kasutada siis, kui sündmuste toimumise tõenäosused on väiksed(alla 0,1) ja eeldatakse piisavalt suurt katsete arvu. (np)k −np Piirteoreem: B ( n , p ) ≈ P ( np )= k ! e PIDEV JUHUSLIK SUURUS 1. Milliseid juhuslikke suurusi nimetame pidevateks. Pidevaks juhuslikuks suuruseks nimetatakse juhuslikku suurust, mis võib omada väärtusi mingist reaalarvude vahemikust
1. Tõenäosus ja tema leidmise näiteid arvutusvalemite abil Sõltumatute katsete kordamisel saadavat suhtelise sageduse piirväärtust kutsutakse sündmuse A toimumise tõenäosuseks P (A) := lim mn n Sündmus, mille toimumise tõenäosus on 0 võib aset leida lim n1 =0 n n-1 Sündmus, mille toimumise tõenäosus on 1 ei pruugi alati toimuda lim =1 n n Tõenäosus, et toimuvad nii sündmused A kui ka B, P(A B), on leitav valemiga P(A B) = P(A|B) P(B) Kui A ja B on teineteisest sõltumatud: P(A|B)=P(A) ja P(A B) = P(A) P(B) Tõenäosus, et toimub kas sündmus A või sündmus B, P(A U B), on leitav valemig...
P(A1A2A3) = standardhälbe kuubi suhe, mille valem 0,005,ehk tõlkides saadud tõenäosuse P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) = diskreetsel juhul on ja analoogiliselt eelnevaga ka pideval juhul. protsentide keelde: N riigi 2/10×3/9×5/8 0,042. Binoomjaotus on diskreetse juhusliku suuruse valimisõigulike kodanike hulgas on vaid Vastandsündmuse tõenäosus.P(Ac)=1- soodsatest sündmustest 0,5% nii hea tervisega kui ka P(A) A×Ac= P(A)+P(Ac)=1N'ide23. moodustuv tõenäosusjaotus. rikkad.Kuna sündmus, mille tõenäosust Seadmes on relee, mis tõenäosusega 0,9 Katseseeria korduste arv on fikseeritud, iga
väärtuse ja leiame statistilised tõenäosused. Saame empiirilise jaotuse. Empiirilise jaotuse saab anda vaid tabeli või diagrammina. Teoreetilised jaotused - Teatud teoreetilistest printsiipidest tuletatud jaotusseadus on teoreetiline jaotus. Diskreetse juhusliku suuruse korral: valem tõenäosuste leidmiseks. Pideva juhusliku suuruse korral: valem jaotustiheduse leidmiseks. Tuntakse üle 100 erineva teoreetilise jaotuse. Diskreetsed jaotused: ühtlane jaotus, Bernoulli jaotus, Binoomjaotus, Poissoni jaotus. Pidevad jaotused: ühtlane ehk ristkülikjaotus, eksponentjaotus, normaaljaotus, t-jaotus, F-jaotus, χ 2-jaotus(hii-ruut jaotus) 1. Juhusliku suuruse iseloomu ja empiirilise jaotuse järgi leitakse sobiv teoreetiline jaotus. 2. Vaatlusandmete põhjal leitakse teoreetilise jaotuse parameetrid. 3. Teoreetilist jaotust kasutatakse tõenäosuste arvutamisel. Seda, kas valitud teoreetiline jaotus sobib, saab testida jaotuse sobivuse χ 2 testiga.
Keskväärtuse leidmine: E(X) = Gx’(1) Gx’(Z) = (∑Zxipi)’ = ∑pi(Zxi)’ = ∑xiZxi-1pi Gx’(1) = ∑xi1xi-1pi = ∑xipi = E(X) Dispersiooni leidmine: D(X) = Gx’’(1) + Gx’(1) – (Gx’(1))2 Gx’’(Z) = (∑xiZxi-1pi)’ = ∑xipi(Zxi-1)’ = ∑xi(xi – 1)Zxi-2pi = ∑xi2Zxi-2pi – ∑xiZxi-2pi Gx’’(1) = ∑xi21xi-2pi – ∑xi1xi-2pi = E(X2) – E(X) E(X2) – E(X) + E(X) + E(X)2 = E(X2) – E(X)2 = D(X) 11. Kuidas tekib binoomjaotus? Olgu meil sõltumatud juhuslikud suurused X1,X2,…,Xn. Olgu Xi ~ Be(p); i=1,2,…,n; X = ∑Xi. P(X=0) = q; P(X=1) = p Kui X1,…Xn on sõltumatud, siis ∑ ( )= ∏ ( ) ( )= ∑ ( )= ∏ ( )= ∏ ( + )= ( + ) = ∑ ( ) = ∑ Öeldakse, et juhuslik suurus X=0,1,…,k on binoomjaotusega parameetritega n ja p ∈ [0;1], kui P(X=k) = . Tähis: X ~ B(n,p) 12. Kuidas tekib Poisson’i jaotus
Tõenäosuste binomiaalne valem – sõltumatute katsete korral pakub meile huvi järgmine sündmus, et ’’n katsel meid huvitav sündmus (sündmus A) toimub täpselt m korda’’. Pn(m)=n!/M!*(n-m)!*p astmel m*q astmel(n-m). 27. Tõenäoseim sagedus sõltumatutel katsetel – m*=täisosa(n*p- q+1) juhul kui valemis sulgudes oleva avaldise väärtus on täisarv, siis tõenäoseima sageduse väärtusi on kaks, avaldise väärtus ja temale eelnev täisarv. 28. Binoomjaotus – tekib sõltumatute katsete korral. Juhuslikuks suuruseks on meid huvitava sündmuse A toimumiste arv. Binoomjaotusega juhuslik suurus saab omada ainult täisarvulisi väärtusi, sest sündmuste toimumiste arv saab olla ainult täisarv.Minväärtuson 0 max väärtus on n. Valem küsimus 26 juures. BINOM.DIST, seal kumulatiivsus FALSE – üksikväärtuste tõenäosus või TRUE – jaotusfunktsiooni väärtus F(x). 29
12.On antud pideva juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooni kaks väärtust: F(5)=0,4 ja F(6)=0,7. Pane kirja järgmised tõenäosused: p(x < 5)= 0,6 p(x > 5)= 0,6 p(x > 6)= 0,3 p(5 < x < 6)= 0,18 p(- < x < )= 1 13.Binoomjaotuse määravad ära järgmised parameetrid: positiivse sündmuse tõenäosus, katsete arv. Jaotusseadused - Test 6 1. Milline jaotusseadus kirjeldab diskreetset juhuslikku suurust, milline pidevat? a. binoomjaotus diskreetne b. eksponentsiaalne jaotus pidev c. normaaljaotus pidev d. Poissoni jaotus diskreetne 2. Vaatlusandmete põhjal leitud tõenäosus, et juhuslikult valitud tööealine inimene on parajasti töötu, on 9%. Tuleb leida tõenäosus, et juhuslikult valitud 50 inimese hulgas on töötuid vähem kui 5. Millist jaotusseadust tuleb kasutada? Binoomjaotus 3
juurdekasvuga selles vahemikus: p( X < ) = F() F() Normaaljaotuse funktsioon: F(x) = 1/2 * (--st kuni (x-Ex)/x)* e astmes(-t2/2)dt Normeeritud kuju: (x) = 1/2 * (--st kuni x-ni)* e astmes(-t2/2)dt Avaldame jaotusfunktsiooni F(x), mille parameetrid on Ex ja x, funktsiooni (x) kaudu: F(x) = ((x Ex)/x) Tõenäosus, et juhuslik suurus X satub piirkonda ...: p( < X < ) = (( Ex)/x) - (( Ex)/x) 15. Poissoni jaotusseadus ja binoomjaotus. Poissoni jaotusseadus: Kehtib ainutl diskreetsetel juhuslikel suurustel. Olgu olemas juhuslik suurus X, mis võib omandada vaid täisarvulisi mittenegatiivseid väärtusi: 0, 1, 2, 3,..., m, ... Juhuslik suurus X allub Poissoni jaotusseadusele, kui tõenäosus, et ta omandab teatud väärtuse m, avaldub järgmise valemiga: P(X=m) = pm= am/m! * ea (M m =0, 1, 2,...) Poissoni seaduse jaotusrida: Xm 0 1 2 ... m ... pm e-a a/1! e-a a2/2
Matemaatika Riiklik õppekava: https://www.riigiteataja.ee/aktilisa/1140/1201/1002/VV2_lisa3.pdf# Gümnaasium matemaatika 1.-5 kursus Õppeaine: Matemaatika (lai kursus) Klass: 10. klass 1. Õppekirjandus: l.Lepmann, T.Lepmann, K.Velsker Matemaatika 10.klassile 2. Õppeaine ajaline maht: 5 kursust (175 tundi) 3. Õppeaine eesmärgid:õpilane 1) saab aru matemaatika keeles esitatud teabest; 2) tõlgendab erinevaid matemaatilise informatsiooni esituse viise; 3) kasutab matemaatikat igapäevaelus esinevates olukordades; 4) väärtustab matemaatikat, tunneb rõõmu matemaatikaga tegelemisest; 5) arendab oma intuitsiooni, arutleb loogiliselt ja loovalt; 6) kasutab matemaatilises tegevuses erinevaid teabeallikaid; 7) kasutab arvutiprogramme matemaatika õppimisel. Õppeaine sisu: Käsitlevad teemad Käsitlevad Õpitul...
Gx’(Z) = (∑Zxipi)’ = ∑pi(Zxi)’ = ∑xiZxi-1pi Gx’(1) = ∑xi1xi-1pi = ∑xipi = E(X) Dispersiooni leidmine: D(X) = Gx’’(1) + Gx’(1) – (Gx’(1))2 Gx’’(Z) = (∑xiZxi-1pi)’ = ∑xipi(Zxi-1)’ = ∑xi(xi – 1)Zxi-2pi = ∑xi2Zxi-2pi – ∑xiZxi-2pi Gx’’(1) = ∑xi21xi-2pi – ∑xi1xi-2pi = E(X2) – E(X) E(X2) – E(X) + E(X) + E(X)2 = E(X2) – E(X)2 = D(X) 10. Kuidas tekib binoomjaotus? Olgu meil sõltumatud juhuslikud suurused X1,X2,…,Xn. Olgu Xi ~ Be(p); i=1,2,…,n; X = ∑Xi. P(X=0) = q; P(X=1) = p n Kui X1,…Xn on sõltumatud, siis G n ( Z ) =∏ G X ( Z ) i ∑ Xi i=1
Kombinatoorika valemeid ja mõisteid · Variatsioonideks n erinevast elemendist k kaupa nimetame ühendeid, mis sisaldavad k elementi antud n elemendist ning erinevad kas elementide või nende järjestuse poolest. Erinevaid variatsioone on A =n(n-1) ...(n-k+1)=n!/(n-k)! · Permutatsioonideks n elemendilisest hulgast nimetame ühendeid, mis sisaldavad kõiki n elementi (üks kord) ja erinevad järjestuse poolest. Erinevaid permutatsioone on Pn=n (n-1) ...1 = n! · Kombinatsioonideks n elemendist k kaupa nimetame ühendeid, mis sisaldavad k elementi (antud n elemendi hulgast) ja erinevad vähemalt ühe elemendi poolest. n! · Erinevaid kombinatsioone on C =A /Pk C nk = ( n - k )!k! Tõenäosusteooria · Sündmuste hulka, kus alati üks sündmus toimub ja see välistab teiste toimumise ni...
Olgu Ai p**10,p**10+10p**9(1-p), 10**9(1-p),45(1- sündmus, et N=i ja P(Ai)=2**-i , i>=1. Olgu p)**2p**8,1+9p**10-10p**9,36p**10- visketulemuse summa S. Leida tõenäosus, et N=2, 80p**9+45p**8 kui on teada, et S = 4 Bernoulli: idanemine, loterii, vise Lahendus: Bayes P(H1)=1/2 P(H2)=1/4 P(H3)=1/8 Diskreetse juhusliku suuruse uurimine P(H4)=1/16 genereeriva funktsiooni abil. Binoomjaotus P(S/H1)=1/6 P(S/H1)=3/36 P(S/H3)= 3/6*36 Eksamiküsimusi on viis. Tudeng teab neist kolme. P(S/H4)=1/36*36 Talle esitatakse kolm küsimust. Olgu X küsimuste arv, mida tudeng neist teab. Leidke suuruse X jaotusseadus, jaotusfunktsioon F(x) analüütiliselt ja
Alleel segregeerub populatsioonis seni kuni fikseerub või läheb kaduma. Efekt on seda suurem, mida väiksem populatsioon. Väikeses populatsioonis panustab iga alleel rohkem alleelisagedusse, seega ka iga juhuslik muutus on suurema osatähtsusega ja mõjutab alleelisagedust rohkem kui suures populatsioonis. Geenitriivi tulemus pole ennustatav täpselt, vaid ainult tõenäosuslikult. Seda saab teha statistilise binoomjaotuse (“mündiviskejaotus”) mudeli abil. Binoomjaotus ehk nn mündiviskejaotus: kaks alleeli oleksid nagu „kull“ ja „kiri“ ja münti visatakse 2N korda. Tõenäosus, et järgmisse põlvkonda valitakse A alleeli i korda, kui selle sagedus eelmises põlvkonnas oli p, on [JB] 4. (A) Millised on geenitriivi ja populatsiooni suuruse vahelised seosed? (B) Kas (kuidas) alleeli sagedus mõjutab selle fikseerumise tõenäosust triivi tõttu? A). Geenitriivi mõju on suurem väikestes populatsioonides – s.t. alleelisagedused muutuvad kiiremini
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
