Tõenäosusteooria. 1. Õpetaja kutsub kuuest nõrgast õpilasest kolm konsultatsiooni. Õpilane, kes pidi kutse edastama, unustas nimed ja saatis neist huupi kolm konsultatsiooni. Kui tõenäone on, et juhtusid kutsutud? 2. Õpilane oskab 25-st eksamiküsimusest vastata kahekümnele. Kui suur on tõenäosus, et pileti 3 küsimust on kõik nende kahekümne seast? 3. Kui suur on tõenäosus, et täringu viskamisel tuleb a. 5 silma, b. paaritu arv silmi, c. kolmega jaguv silmade arv. 4. Urnis on 3 punast ja 9 sinist ühesugust kuuli. Kui suur on tõenäosus, et kuuli juhuslikul võtmisel urnist saadakse d. sinine kuul, e. punane kuul, f. roheline kuul, g. kas punane või sinine kuul. 5. Lapse käes on neli kaarti, millest igaühele on kirjutatud üks number 1, 2, 3, 4. Laps laob need juhuslikus järjrkorras üksteise kõrvale
12. klass Tõenäosusteooria 1. Sündmuse klassikaline tõenäosus Sündmuse A tõenäosuseks p(A) nimetatakse sündmusele A soodsate elementaarsündmuste (võimaluste) arvu k ja kõigi elementaarsündmuste (võimaluste) arvu n suhet. k p(A) = n Siin eeldakse: 1) arvu n lõplikkust; 2) välistatust (korraga saab toimuda vaid üks elementaarsündmus); 3) võrdvõimalikkust. Näide 1
tõenäosust p ( A B ) . Sündmuse korrutise tõenäosuse leidmisel tuleb eristada järgmisi võimalusi: · sündmused on sõltumatud (kummagi sündmuse toimumine või mittetoimumine ei mõjuta teise sündmuse toimumist või mittetoimumist), arvutusvalem: p ( A B ) = p ( A) p ( B ) (3) või kujul p(AB) = p(A)×p(B) · sündmused on sõltuvad (ühe sündmuse toimumisest või mittetoimumisest sõltub teise sündmuse toimumise tõenäosus); sellisel juhul kasutatakse mõistet tinglik tõenäosus, mida tähistatakse sümboliga p(B|A) sündmuse B toimumise tõenäosus eeldusel, et sündmus A on toimunud, arvutusvalem: p ( A B ) = p ( A) p ( B | A) (4) Mõnedes allikates on see valem kujul p(AB) = p(A)×p(B/A) Nüüd saame lõpetada eelmise näiteülesande. Sündmused A ja B on sõltumatud, seega nende korrutise tõenäosuse leidmisel kasutame valemit (3), saades
Tõenäosusteooria kordamine I 1. 25-liikmelisest koorist on vaja saata 4 lauljat esindama koori. Mitmel erineval viisil saab seda teha? (12650) 2. Mitmel erineval viisil on võimalik paigutada väljakule ühte jalgpallimeeskonda 11 jalgpallurit? (39 916 800) 3. Tõenäosus, et päeva jooksul valmistatud nööbid on defektideta, on 0,9. Leia tõenäosus, et kolme päeva jooksul ei toodeta ühtegi praaknööpi. (0,729) 4. Jürkal on öökapi peal purgike 20 ravimitabletiga. Jürka naine võttis purgist 8 tabletti välja ja asendas need arseeni sisaldavate tablettidega. a) Kui suur on tõenäosus, et Jürka võtab juhuslikult arseenitableti? (0,4) b) Kui suur on tõenäosus, et esimesel õhtul võtab Jürka ravimi, aga teisel õhtul mürgi? (24/95)
Kui tõenäone on, et ta valib õiged numbrid? P(A) = 0,011. 2. Kaupluses töötab 7 nais- ja 3 meesmüüjat. Ühes vahetuses töötab 3 müüjat. Kui tõenäone on, et ühes juhuslikult valitud vahetuses on 3 meesmüüjat? P(A) = 0,008. 3. Kauplusse saabus 500 komplekti õmblustooteid kolmest vabrikust: 100 komplekti vabrikust K , 150 vabrikust L ja 250 vabrikust M. Vabriku K toodangust kuulub keskmiselt 75 % I sorti. Vabrikute L ja M jaoks on see näitaja vastavalt 90 % ja 80 %. Leida tõenäosus, et huupi võetud komplekt on esimest sorti. (0,82) 4. Loterii iga 10000 pileti kohta loositakse 150 rahalist ja 50 esemelist võitu. Kui tõenäone on ühe piletiga võitmine? (0,02) 5. Kui tõenäone on kähe täringu viskel saada 7 või 8 silma? (0,3056) 6. Ettevõtte toodangust on 95 % standardne, millest 86 % kuulub I sorti. Kui tõenäone on, et juhuslikult valitud toode kuulub I sorti? (0,817) 7. Tehases töötab 3 tööpinki
HARJUTUSÜLESANDED TÕENÄOSUSTEOORIAST - LAHENDUSED 1. Laagris on 7 õpilast, kellest 2 on väga head sportlased. 1) Leidke tõenäosus, et: a) seitsme õpilase hulgast juhuslikult välja kutsutud õpilane on väga hea sportlane; kogu võimaluste arv n1 = 7 , soodsate võimaluste arv m1 = 2 ; tõenäosus, et m1 2 kutsutud õpilane on väga hea sportlane on: p ( A) = = n1 7 b) seitsme õpilase hulgast juhuslikult välja kutsutud õpilane ei ole väga hea sportlane. kogu võimaluste arv n 2 = 7 , soodsate võimaluste arv m2 = 5 ; tõenäosus, et m2 5
Ülesanne 6. (A) Ülesanne 7 Rühmas õpib 25 tudengit. Leida tõenäosus, et 1.septembe 1) Ühel tudengil 2) Kolmel 3) Mitte ühelgi 4) Alla 2 5) Üle 4 (A) Ülesanne 8 Analüüsi järgi selgus, et poes on seelikute hulgast 4% seelikuid, m 1) Üks seelik
Tõenäosused tabada igal viskel on vastavalt 0,6 j m p m p 0 0,064 0 0,027 1 0,288 1 0,189 0,32076 2 0,432 2 0,441 3 0,216 3 0,343 0,6 0,7 ül. 3. Tehas saadab lattu 500 kõrgekvaliteedilist toodet. Tõenäosus, et toode rikneb teel, on 0,02. Kui suu n= 500 lambda= 10 p= 0,02 m p 0 4,540E-005 1 0,000454 2 0,00227 3 0,00756665 4 0,01891664 0,02925269 Tehas saadab lattu 500 kõrgekvaliteedilist toodet. Tõenäosus, et toode rikneb teel, on 0,02. Kui suur on t
Tõenäosusteooria ja statistika kontrolltöö nr.1. Variant F 1. (2) Kaks laskurit tulistavad ühte ja sama märklauda. Märklaua tabamise tõenäosus on vastavalt 0,7 ja 0,8. Leida tõenäosus, et märklauda ei tabata kui kumbki tulistab 2 korda. m= p= m= p= 0 0,09 0 0,04 1 0,42 1 0,32 P(A)= 2 0,49 2 0,64 2. (2) Kolm jahimeest laksksid põtra ning tabasid ühe kuuliga. Leida tõenäosus, et tabajaks oli esimen
25 17.5 1225 90 0.107143 9.642857 867.85714 110 0.011905 1.309524 144.04762 keskväärtus 61.78571 3903.5714 dispersioon 86.096939 ma on juhuslik suurus. Leida juhusliku suuruse jaotustabel ja keskväärtus. ma on juhuslik suurus. Leida juhusliku suuruse jaotustabel ja keskväärtus. seni. Saadud rahasumma on juhuslik suurus. Leida juhusliku suuruse jaotustabel ja keskväärtus. Laskur tulistab märklauda 3 korda. Tõenäosus tabada märki igal lasul on 0,7. Koostada taba Dispersioon on: p 0.7 n 3 xi pi xi*pi 0 0.027 0 0 1 0.189 0.189 0.189 2 0.441 0.882 1.764 3 0.343 1.029 3.087 2.1 5.04
Ülesanne 1 Infopunkti külastab ühes tunnis keskmiselt 15 klienti. Kliente teenindab üks vastuvõtja ja ühele kliendile kulub keskmiselt 3 minutit. Määrata kindlaks: a) järjekorra tekke tõenäosus b) tõenäosus, et ei ole järjekorda c) tõenäosus, et süsteemis on 1, 2 või 3 klienti d) keskmine klientide arv süsteemis e) keskmine klientide arv järjekorras f) süsteemis viibimise keskmine aeg g) järjekorras viibimise keskmine aeg Ülesanne 2 Postkontorit külastab keskmiselt 12 inimest tunnis ja ühe kliendi teenindamiseks kulub postkontoris keskmiselt 4 minutit. Leida järjekorra keskmine pikkus ja keskmine ooteaeg järjekorras? Kuidas mõjub järjekorrale teenindusaja vähenemine 3 minutini? Ülesanne 3
B summana saadakse 11 silma c. Kaardipakis on 52 kaarti. Tõmmatakse 4 suvalist kaarti. A saadud kaartide hulgas on 3 ässa B saadud kaartide hulgas on vähemalt 2 ärtu mastist kaarti d. Kaardipakis on 36 kaarti. Tõmmatakse üks kaart. A saadud kaart on ärtu äss B saadud kaart on risti mastist Tõenäosuse mõiste, tõenäosuse arvutamine Tõenäosus sündmuse toimumise võimalikkuse määr (arv, mis iseloomustab sündmuse toimumise võimalikkust). Eristatakse järgmisi tõenäosuse arvutamise võtteid: klassikaline tõenäosus, geomeetriline tõenäosus, statistiline tõenäosus. Vaatleme neid lähemalt. m p(A) = 1. Klassikaline valem: n p - tõenäosus p(A) sündmuse A tõenäosus m sündmuse A jaoks soodsate võimaluste arv antud katses
sündmuste süsteemiks. Kui kõigi sündmuste summaks on kindel sündmus, siis nimetatakse seda süsteemi täielikuks sündmuste süsteemiks. Kui süsteemi kuuluvad sündmused on kõik võrdtõenäosed, siis sellistsüsteemi nimetatakse elementaarsündmuste süsteemiks. 1.3 Tõenäosuse mõiste Sündmuse toimumise võimalikkust nimetatakse sündmuse tõenäosuseks. Kasutatakse kahte liiki tõenäosust: - klassikaline tõenäosus ( lõpliku arvu sündmuste korral) - statistiline tõenäosus (lõpmatu arvu sündmuste korral). Klassikaliseks tõenäosuseks nimetatakse sündmuse A elementaarsündmuste m ja kõikvõimalike elementaarsündmuste n suhet. m P(A) = n m Statistiliseks tõenäosuseks nimetatakse suurust p = lim n . 1.4 Tõenäosuse omadused 1
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Tõenäosus Katse on tegevus (täringu või mündi viskamine, urnist esemete võtmine). Katse kolm tingimust nõuavad, et katse tulemusi peab olema lõplik arv, kõik tulemused on võrdvõimalikud ning katse tulemusena tuleb esile ainult üks võimalikest tulemustest. Elementaarsündmused (E1; E2; E3; ...; En) on katse tulemused, kui kõik kolm tingimust on täidetud. Elementaarsündmuste ruumi (U = { E1; E2; E3; ...; En }) moodustavad kõik elementaarsündmused kokku
leida diameeter, millest neljandik puudest on peenemad. x0,25= 31,8
8. Eeldades männi diameetrite korral normaaljaotust, leida, kui suur osa diameetritest
jääb vahemikku 32 kuni 36 cm P(32
tõenäosuse omadustega). Sündmuse A suhteliseks suuruse X jaotustabel järgmine: 1, Sündmus ja tõenäosus. Kindel, võimatu ja juhuslik sageduseks Pn(A) antud katseseeria puhul nim. sündmuse sündmus, nende tõenäosused. Sündmus on Aesinemiste arvu m ja kõigi katsete arvu n suhet: P n(A)= tõenäosusteooria põhimõiste. Tavaliselt tähistatakse m/n Juhusliku sündmuse A statistiliseks tõenäosuseks suurte tähtedega, vajadusel kasutatakse indekseid. Nt. A, nim. konstantse arvu P(A), mille läheneb sündmuse A A1, Bi, Cjk jne
Tõenäosusteooria ja statistika kontrolltöö nr.1. Variant F 1. (2) Kaks laskurit tulistavad ühte ja sama märklauda. Märklaua tabamise tõenäosus on vastavalt 0,7 ja 0,8. Leida tõenäosus, et märklauda ei tabata kui kumbki tulistab 2 korda. m= p= m= p= 0 0,09 0 0,04 1 0,42 1 0,32 P(A)= 2 0,49 2 0,64 2. (2) Kolm jahimeest laksksid põtra ning tabasid ühe kuuliga. Leida tõenäosus, et tabajaks oli esimen
toimub sündmus A aga sündmus B ei toimu. Sündmuste A ja B vahet tähistatakse sümboliga AB. Näide 3. Olgu täringu viskel sündmus A = {1, 3 5} ja sündmus B = {1, 2 3}, siis AB = {5}. , , SÕLTUV JA SÕLTUMATU SÜNDMUS Sündmuse A tõenäosuseks P(A) nimetatakse arvu, mille korral on täidetud tingimused: 1) 0 <= P(A) <= 1 2) Kindla sündmuse tõenäosus on üks, P(K) = 1. 3) Võimatu sündmuse tõenäosus on null, P(V) = 0 4) Kui sündmused A ja B on üksteist välistavad, siis P(A U B) = P(A) + P(B). Klassikalise tõenäosuse valem Valem on rakendatav, kui juhuslikul katsel on lõplik arv võrdvõimalikke tulemusi. Tõenäosus väljendab siin ka sündmuse toimumise sagedust. Klassikaline näide on mündivise. Viske (katse) tulemusi on kaks ( S = { kull , kiri } )
süsteemiks ja sündmusi elementaarsündmusteks.
· Sündmuse (klassikaliseks) tõenäosuseks nimetame sündmuse soodsate
elementaarsündmuste arvu k ja kõigi võrdvõimalike elementaarsündmuste arvu suhet.
P(A)=k/n. 0P(A)1
· Kindel sündmus P(A) = 1
· Võimatu sündmus P(A)=0 Ø
· Juhuslik sündmus 0
p= 0.7 n= 100 q= 0.3 a= 70 sigma= 4.582575695 F(x)= x2= 75 0.862383238 x1= 63 0.063315229 P(A)= 0.7991 Kahe objekti vahelise kauguse mõõtmisel tekkiv mõõtmisviga allub normaaljaotusele. Keskväärtus on Leida tõenäosus, et mõõdetud kauguse väärtus erineb tõelisest väärtusest mitte rohkem kui 15 meetr a= 5 sigma= 10 F(x)= x2= 15 0.8413447461 x1= -15 0.0227501319 P(A)= 0.8186 Tehas saadab lattu 500 kõrgekvaliteedilist toodet. Tõenäosus, et toode rikneb teel, on 0,02. Kui suur o n= 500
Võimatuteks sündmusteks on näiteks ja sündmus B = {1, 2, 3}, siis AB = täringul üheaegselt 6 ja 4 silma heitmine; {5}.Kaht sündmus nim sõltumatuteks, vesi ei saa tahkes olekus olla, kui kui neist ühe toimumune ei muuda teise mõlemad poisid, teades, et vähemalt üks temperatuur on +10 kraadi.Kindla tõenäosust Näide8.Kui suur on nendest on poiss.Lahendus. Eeldame, et sündmuse vastandsündmus on võimatu tõenäosus, et tõmbame 52kraadiga elementaarsündmuste hulk on S={(t, t); sündmus.Juhuslik sündmus - sündmus, kaardipakist ruutu? Ruutusid on selles (t, p); (p, t); (p, p)} ja kõik tulemused on mis antud vaatluse või katse korral võib pakis 13, kokku kaarte 52, seega võrdtõenäolised. Siin (t, p) tähendab, et toimuda, aga võib ka mitte P(ruutu)=13/52=0.25eht vanem laps perekonnas on tüdruk ja
Võimatu sündmus- Sõndmus mis ei ole võimalik . NÄIDE : Loeme täringu viskamisel sündmuseks A kolmega jaguva silmade arvu (3 või 6 silma) tuleku. Sündmuse A vastandsündmuseks A on kolmega mitte jaguva silmade arvu tulek, st. 1, 2, 4 või 5 silma tulek. Kindla sündmuse vastandsündmuseks loetakse võimatut sündmust, st. U =V ja võimatu sündmuse vastandsündmuseks kindlat sündmust, st. V =U . 7. Klassikaline tõenäosus. sündmuse A tõenäosuseks P(A) nimetatakse sündmusele A soodsate võimaluste arvu k ja kõigi võimaluste arvu n suhet k/n Sündmuse tõenäosust tähistatakse tähega p või sümboliga P(A). Rõhutame: selle definitsiooni korral eeldatakse kõigi elementaarsündmuste 1) arvu (n) lõplikkust, 2) välistatust (korraga saab toimuda vaid üks elementaarsündmus), 3) võrdvõimalikkust. Tõenäosuse definitsioonist tulenevad tõenäosuse omadused: 1
TÕENÄOSEIM SAGEDUS Ülesanne 1 Praakdetaili tootmise tõenäosus on 0,035. Leida tõenäoseim praagi hulk 500 detaili tootmisel. m*=täisosa(np-q+1), kus m*-tõenäoseim sagedus n=500 p=0,035 q=1-0,035=0,965 m*=500*0,035-0,965+1=17,535 Vastus: Tõenäoseim praagi hulk on 17 detaili. Ülesanne 2 Kulli ja kirja visatakse 5 korda. Leida tõenäosus, et kull tuleb peale: a) vähem kui kaks korda; b) mitte vähem kui kaks korda. a) vähem kui kaks korda n= 5 5 on väike - kasutan binoomjaotust Tõenäosus, et kull tuleb peale p=0,5 Meid huvitavad variandid (kull tuleb 0 või 1 korda) m p 0 0,03125 1 0,15625 0,1875 Tõenäosus, et kull tuleb peale vähem kui kaks korda.
Matemaatilist tõenäosust saame kasutada pokkeris, sest teame, et kaardipakis on kokku 52 kaarti. Lisaks tead sa enda kahte kaarti. Seega peale lauakaartide nägemist, saad sa juba väljaarvestada oma võidu tõenäosuse. Näiteks. Kui sinul on ning lauakaartideks tulevad: võidad kui lauda tulevatest kahest kaardist on üks veel poti mastist, sest siis on sul kõrgeim võimalik mast. Kuidas arvutada välja kui suur on täpselt tõenäosus saada juurde veel üks poti? Kasutame ülevalolevat näidet, kus oled näinud nelja lauakaarti. Seega 52-st kaardist 6-t sa tead ( kahte enda kaarti ja nelja lauakaarti ), seega on veel 46 kaarti mida sa ei tea. Ühte masti kaarte on kokku 13. Sinu käes on kaks ja laual on ka 2 seega on veel kogu 46 kaardipakki jäänud kaardist 9 kaarti poti mast. Seega 46 kaardist 9 on sulle sobivad ja mittesobivaid ( 46-9 ) on 37 .
Klassikaline või geomeetriline tõenäosus μ(ΩA)=(2,25-2*0,5)=1,25 k V =k! Ck P(A)=1,25/2,25=5/9 Variatsioonid: n n Liitmislause, korrutamislause, tinglik 1) Karbis on 10 pooljuhti, neist 7 hiljuti testitut. Karbist tõenäosus, sõltumatud sündmused, võetakse huupi 5 pooljuhti. Leidke tõenäosus, et sõltumatute katsete seeria nende hulgas on täpselt 3 hiljuti testitut. Liitmislause: P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2) Lahendus: A=“3 pooljuhti 5-st on testitud“ P((A1+A2)+A3)= P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)- 5 P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3) │Ω│=n= C10 =12 Tinglik tõenäosus: DEF. P(A/B)=P(AB)/P(B) ; 3 2
kasutame Bernoulli valemit: Pm,n=n! / m! *(n-m)! * p astmes m * q astmes n-m q=1-0-5= 0,5 P6(0)=6! / 0! * (6-0)! * 0,5 astmes 0 * 0,5 astmes 6= 0,0156 P6(1)=6! / 1! * (6-1)! * 0,5 astmes 1 * 0,5 astmes 5= 0,0938 P(A)= 0,1094 ül.2 Kak s k orvpallurit visk avad 3 k orda järjest k orvile. Tõenäosused tabada igal visk el on vastavalt 0,6 ja 0,7. Leida tõenäosus, et mõlemal on võrdne arv tabamusi. n= 3 m- tabamuste arv BINOMDIST I korvpalluri iga viske p= 0,6 II korvpalluri iga viske p= 0,7 p1= p2= p1 * p2 m= 0 0,0640 m= 0 0,0270 0,0017
Täidetud tellimused · Kontrollin tingumust < µS, et näha kas järjekord kasvab lõputult või mitte: 15 < 11*2 tingimus on täidetud, seega järjekord ARK'is ei kasva lõputult. · Teenindussüsteemis teenindamisel olevate tellimuste keskmine arv: ´ = ´ = = 1,36 · Teenindussüsteemi koormatuse näitaja: = = = 0,68 · Tööseisakute tõenäosus: Selleks kasutan väljatöötatud M|M|S teenindussüsteemi tööseisakute tõenäosuste tabelit. Kuna teeninduskanalite arv on 2 ja teenindussüsteemi koormatuse näitaja on 0,68, siis vastavalt tabelile on tööseisakute tõenäosus 0,19048 ehk siis P0 = 0,19048 · Tõenäosus, et ARK'i Pärnu büroos on kaks klienti: P2 = * 0,19048= 0,176 Kui büroo klientide arv on suurem kui kaks, siis osal neist tuleb jääda tellimuse
Toiduallergia ja toidutalumatus 9klass Toiduallergia Toiduallergia on haigus, mille puhul keha immuunsussüsteem võitleb tavaliselt ohutuks peetud toiduvalkudega, näiteks piima või kanamunavalgu vastu. Toiduallergia avaldumine Toiduallergia avaldub enamasti põletikena. Lastel avaldub sageli nahalööbena või kõhuhädadega. Tekkimise tõenäosus Kui kummalgi vanemal pole allergilisi haigusi on tõenäosus 1030% Kui ühel vanemal on allergiline haigus, on tõenäosus 50% Kui mõlemal vanemal on allergiline haigus on tõenäosus 80% Emapoolne allergia on tugevam riskifaktor kui isapoolne. Seda esineb Toiduallergiat esineb peamiselt väikelastel piimale, munale ja nisule Vanematel lastel ka kalale ja pähklitele Ka toored puu ja aedviljad põhjustavad toiduallergiat Näiteks: porgand, maasikas, õun, mustsõstar, viinamari Toidutalumatus Toidutalumatus on mitteallergiline ülitundlikkus
abi raha korjamise alal. Mitmel erineval viisil saab seda teha? Lahendus: Kuna pole sugugi ükskõik, missuguseks funktsionääriks konkreetne õpilane valitakse, siis on siin tegemist variatsioonidega. Valiku võimalusi on seega 28! 28! A 328 19656 . 28 3 ! 25! 6. Lapsel, nimega Pille, on käes 27 ladina tähestiku tähte. Ta võtab nende hulgast juhuslikult 5 tähte. Leia tõenäosus, et ta saab oma nimes olevad tähed kätte Tööd asuvad aadressil www.kool.ee a) õiges järjekorras (sündmus A); Lahendus: Soodsate sündmuste arv on 1. Kõigi võimaluste arv: kuna tähtede järjekord on oluline, siis on tegu variatsioonidega ning valiku võimalusi on seega 27! 27 ! A 527 213127200 . 27 5 ! 22!
1. Tõenäosus ja tema leidmise näiteid arvutusvalemite abil Sõltumatute katsete kordamisel saadavat suhtelise sageduse piirväärtust kutsutakse sündmuse A toimumise tõenäosuseks P (A) := lim mn n Sündmus, mille toimumise tõenäosus on 0 võib aset leida lim n1 =0 n n-1 Sündmus, mille toimumise tõenäosus on 1 ei pruugi alati toimuda lim =1 n n Tõenäosus, et toimuvad nii sündmused A kui ka B, P(A B), on leitav valemiga P(A B) = P(A|B) P(B)
ootama, sest teenindajad näevad/tajuvad päris kiiresti, et keegi soovib maksta ning kiirustavad kassaaparaadi juurde. Kõik tellimused saavad rahuldatud ning pole näinud ühtegi rahulolematut klienti. Tavaliselt järjekorras üle kahe inimese pole. 3. Andmete kirjeldus 3.1 Andmeid saan koguda vaatluse teel. Oleks vaja teada, kui palju keskmiselt kliente ühes tunnis käib, siis on võimalik matemaatiliselt Poissoni jaotuse abil välja arvutada tõenäosus teeninduskanali efektiivsusest. 3.2 Lähteandmete kogumine võiks olla ühel suvalisel tööpäeval kaks korda päevas, näiteks kell 12 ja kell 18 ning ka laupäeval samadel kellaaegadel. Selliselt saaks vaadelda, palju keskmiselt kliente tunnis oleks. Probleem on selles, et klientide keskmine arv sõltub paljudest teguritest, näiteks allahindlustest, palgapäevadest, tähtpäevadest/pühadest ning need tegurid võivad klientide keskmist arvu ühele või teisele poole kallutada. 3
A-T-G-C-G-A-G-T-G-A-T-T-T-G-A Koosta teine, selle ahelaga komplementaarne DNA ahel ja koostatud ahelale vastav RNA molekul. Mitut aminohapet see RNA kodeerib? Milliseid? Inimese veregruppe määravad retsessiivne geen i ning dominantsed geenid Ia ja Ib. Millise veregrupiga järgasi võib esineda A veregrupiga mehel ja B veregrupiga naisel, kui neist mõlemal oli üks vanem 0 grupi verega? Inimese veregruppe määravad retsessiivne geen i ning dominantsed geenid Ia ja Ib. Milline on tõenäosus, et 0 veregrupiga emal ja AB veregrupiga isal sünnib A veregrupiga laps? Inimese veregruppe määravad retsessiivne geen i ning dominantsed geenid Ia ja Ib. Milline on tõenäosus, et 0 veregrupiga isa ja AB veregrupiga ema esimene laps on B veregrupiga poeg? Inimese veregruppe määravad retsessiivne geen i ning dominantsed geenid Ia ja Ib. Millisseid järglasi millistes suhetes võib sündida 0 veregrupiga emal ja A veregrupiga isal (2 varianti).
1. Tõenäosuse mõiste - Sündmuse (klassikaliseks) tõenäosuseks nimetame temas sisalduvate (ehk soodsate) elementaarsündmuste arvu ja kõigi elementaarsündmuste arvu suhet. kindel sündmus, võimatu, juhuslik. Vastandsündmus, selle tõenäosus. - Sündmuse A vastandsündmuseks nimetame sündmust, mis toimub parajasti siis, kui sündmus A ei toimu. 2. Sündmuste summa - Sündmuste A ja B summa on sündmus, mis toimub kui toimub vähemalt üks sündmustest A või B. korrutis - Sündmuste A ja B korrutis on sündmus, mis toimub parajasti siis, kui toimuvad sündmused A ja B. (samaaegselt) vahe - Sündmuste A ja B vahe on sündmus, mis toimub parajasti siis, kui sündmus A toimub aga sündmus B ei toimu
Leida tõenäoseim praagi hulk 500 detaili tootmisel. 0,035 n=500 6,3 p= p=0,035 n*p-q+1 n=17 q= 1-p=0,965 q=1-p 17,935 tõenäoseim praagi hulk on 17 detaili 2. Binoomjaotus Kulli ja kirja visatakase 5x . Leida tõenäosus et kull tuleb peale poole : a) vähem kui 2x b) mitte vähem kui 2x A. m p 0 0,03125 1 0,15625 0,1875 true- sama vastus mis p(a) P(A) 0,1875 EELNEVATE SUMMA B m= P 2 0,3125 3 0,3125 4 0,15625
4000lt 6000le 60004000=2000 20004000=0,50,5100=50% 7. Oleme juhuse võimuses Katse-mingi tegevus Iga katse tulemusena toimub üks võimalik sündmus. Sündmust, mis katsel võib toimuda, kuid võib ka mitte toimuda, nimetatakse juhuslikuks sündmuseks. Sündmust, mis ei juhtu ühelgi katsel, nimetatakse võimatuks sündmuseks. Kindel sündmus toimub igal katsel vältimatult. Võrdvõimalikud sündmused kui katse toimub täpselt smades tingimustes 8. Tõenäosus Tõenäosus näitab kui suure osa moodustavad soodsad võimalused kõikide võimaluste arvust. soodsad võimalused võidupunkti saamise võimalused Tõenäosus Kindla sündmuse tõenäosus on 1. Võimatu sündmuse tõenäosus on 0. 9. Laen ja intress Laen e krediit on võlgu võetud vara, mille laenu saaja peab kokkulepitud tähtajal laenuandjale tagastama. intress aadud laenu eest juurde makstud summa Intressimäär intressi suurust väljendav arv
P(A)= 1. Kindel sündmus, võimatu sündmus, juhuslik sündmus; nende tõenäosus. Kindel sündmus (K) - sündmus, mis teatud tingimuste korral alati toimub. P(K) = 1. Võimatu sündmus (V) - sündmus, mis antud vaatluse või katse korral kunagi ei toimu. P(V) = 0 Juhuslik sündmus - sündmus, mis antud vaatluse või katse korral võib toimuda, aga võib ka mitte toimuda. 2. Teineteist välistavate sündmuste summa, korrutis ja vahe. Sündmuste A ja B summaks elementaarsündmuste hulgas nimetatakse sündmust, mis toimub parajasti siis,
4)Õistaimed-sibula,mugula,risoomi Pärmseene rakud punguvad Ainuõõssed punguvad Õistaimed vegetatiivsete osadega: sibula, mugula, risoomi, varre Maikellukesed paljunead risoomiga- maa aluse varrega Eoseline paljunemine- Eos on üherakulune millest hakkab kasvama uus organism Mittesugulise paljunemise järglased on geneetiliselt identsed ja kiire paljunemine Kehaväline- Puudused :1)sugurakud võivad ebasoodsates keskkondades hukkuda, 2) Keskkond ainult vees Eelised:2)Haiguste ülekandumise tõenäosus ei ole suur (Nt: konn, kala, kilpkonn) Kehasisene: Eelised- 1)munarakud väliskeskkonna eest paremini kaitstud. 2) Sigimise jaoks ei ole vaja veekogu 3) viljastumise tõenäosus on suu Puudused: Haiguste ülekandumis tõenäosus suur. (Nt inimene)
1. Joonisel on kujutatud 2-meetrise läbimõõduga märklaud, mille pihta laskmisel on iga punkti tabamine võrdvõimalik. Leia tõenäosus, et ühe lasuga tabatakse märklaual kujutatud sinist piirkonda. 1 2 1) 2) 0,414 2. Ümmarguse laua läbimõõt on 80 cm. Väike laps ulatab haarama laualt eset kuni 20 cm kauguselt laua äärest. Millise tõenäosusega saaks ta laualt eseme kätte? 3. Kuubi sees on kera, mis puudutab kõiki kuubi tahke. Juhuslikult välja tulistatud kuul tabab kuubi
võetaval normaaljaotuse kõveral. Normaaljaotuskõvera ekstsess on 0. 11.Juhuslikuks – nim sündmust, mis teatud tingimuste olemasolu korral võib toimuda ja võib ka mitte toimuda. 12.Kahe sündmuse A JA B summaks – nimetatakse keerulist sündmust, mis seisneb kas ühe või teise või mõlema toimumises. Tähistatakse A+B. Kahe sündmuse A ja B korrutiseks – nim keerulist sündmust, mis seisneb nii ühe kui teise toimumises. Tähistatakse AB. 13.Sündmuse klassikaline tõenäosus – sündmuse A tõenäosus on võrdne murruga, mille lugejaks on sündmuse A jaoks soodsate juhtude (võim.)arv m ja nimetajaks kõigi juhtude (võimal.) arv n. P(A) = M/n kusjuures m – sündmuse A jaoks soodsate juhtude arv ja n – kõigi võimaluste arv. Tõenäosuse põh. Omadused: 1.) Juhusliku suuruse tõenäosus on alati vahemikus 0 ..1. 2)võimatu sündmuse tõenäosus on 0.; 3) kindla sündmuse tõenäosus on 1; 4) sündmuse ja tema vastandsündmuse
6 3/1 6 3/1 6 1/1 6 Vastus: vererühmaga lapse sündimise tõenäosus on 9/16 ehk 56.25%; vererühmaga lapse sündimise tõenäosus on 3/16 ehk 18,75%; vererühmaga lapse sündimise tõenäosus on 3/16 ehk 18,75%; vererühmaga lapse sündimise tõenäosus on 1/16 ehk 6,25%. 4. Musta käharakarvalise ja musta siledakarvalise merisea ristamisel saadi pesakonnas valge käharakarvaline ja must siledakarvaline järglane. Milliseid poegi võib nendel vanematel veel olla? Millise tõenäosusega sünnib järgmises pesakonnas valge siledakarvaline poeg?
Nominaaltunnus mittearvuline tunnus, mille väärtused pole järjestatavad. 6. Juhuslik suurus ehk juhuslik muutuja suurus või muutuja, mille väärtus enne mõõtmist või katset ei ole teada. 7. Kuidas on defineeritud jaotusfunktsioon? Jaotusfunktsiooni skitseerimine, graafikult lugemine (kvantiil, kvartiil, mediaan, täiendkvantiil). · Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooni väärtus argumendi x kohal on sellest väiksemate väärtuste esinemise suhteline sagedus (tõenäosus) F(x) = P(X < x). · 0 F(x) 1 ehk jaotusfunktsiooni piirväärtused on 0 ja 1. · F(x) on mittekahanev ja pidev. · P(a < X b) = F(b) F(a) 8. Mis on juhusliku suuruse p-kvantiil? Mis on juhusliku suuruse q-täiendkvantiil? p-kvantiil - Arvrea väärtus, millest väiksemate ja sama suurte väärtuste osakaal on p. Nt 0,3 kvantiil on tunnuse selline väärtus, millest väiksemaid väärtuseid on variatsioonreas 30%.
Tõenäosusülesanded II 1. Kuup tükeldatakse 27 ühesuuruseks kuubiks ( tee endale joonis) ja tükid segatakse. Leia tõenäosus, et saadud kuupide hulgast juhuslikult valitud kuubil on a) üks tahk värvitud; b) kaks tahku värvitud; c) kolm tahku värvitud; d) kuubi tahud on värvimata. 2. 11. klassi poiste seast, keda on 14, valitakse lipukandjad kolmele lipule: koolilipp, linnalipp ja riigilipp. Mitu erinevat võimalust on lippude kandmiseks? 3. Veeretatakse kahte täringut. Leia tõenäosus, et a) täringutel tuleb sama arv silmi; b) silmade summa on 7 või 8. 4
Tõenäosusülesanded II 1. Kuup tükeldatakse 27 ühesuuruseks kuubiks ( tee endale joonis) ja tükid segatakse. Leia tõenäosus, et saadud kuupide hulgast juhuslikult valitud kuubil on a) üks tahk värvitud; b) kaks tahku värvitud; c) kolm tahku värvitud; d) kuubi tahud on värvimata. 2. 11. klassi poiste seast, keda on 14, valitakse lipukandjad kolmele lipule: koolilipp, linnalipp ja riigilipp. Mitu erinevat võimalust on lippude kandmiseks? 3. Veeretatakse kahte täringut. Leia tõenäosus, et a) täringutel tuleb sama arv silmi; b) silmade summa on 7 või 8. 4
ühismõõdustamine agregeerimine, ahelindeks alusindeks alusindeks ahelindeks ahelindeks teguriindeks, hindade muutumisest põhjustatud käibe muutus indeksanalüüs muutuva struktuuri indeks, püsiva struktuuri indeks muutuva struktuuri indeks, struktuurinihete, püsiva struktuuri tinglik hind, struktuurinihete indeks tööviljakus fisheri indeks, laspeyres indeks, paasche indeks test 5 vastandsündmuse tõenäosus sõltumatud statistiline tõenäosus, klassikaline tõenäosus, täielik süsteem teoreetiline tõenäosus, tinglik tõenäosus välistavad juhuslik suurus, jaotusfunktsioon pidev juhuslik suurus, jaotusseadus, jaotusfunktsioon keskväärtus diskreetne juhuslik suurus, dispersioon, integraal, mediaan, ülemine rada 19. 15, binoomjaotus, parameetrid, parameeter Test 6 pidev, diskreetne, poissoni jaotus, jaotusseadus jaotusseadus, eksponentjaotus normaaljaotus, normaaljaotus normaaljaotus
Ül. 1. Laskur tulistab märklauda 3 korda. Tõenäosus tabada märki igal lasul on 0,5. Koostada tabamuste x (tabamise arv) p (tõenäosus) 3 0,064 2 0,096 0,096 0,096 0,288 1 0,144 0,144 0,144 0,432 0 0,216 1 Jaotustabel: xi pi xi*pi xi^0*pi
edukalt vastu seista Kõik toimub väga kiiresti ning on võimalik saada arvukas põlvkond Kehasisene ja kehaväline paljunemine (eelised ja puudused) KEHASISENE PALJUNEMINE - munarakk viljastatakse emasorganismi sees Eelised Puudused Keskkond emaslooma keha Sugurakkude arv on väike Viljastumise tõenäosus suur Haiguste ülekandumise tõenäosus suur KEHAVÄLINE PALJUNEMINE - munarakk viljastatakse väljaspool organismi Eelised Puudused Sugurakkude arv on suur Keskkond vesi Haiguste ülekandumise tõenäosus väike Viljastumise tõenäosus väike
Geneetika Bioloogiaharu, mis tegeleb pärilikkuse seaduspärasustega Genoom- liigile omane ühekordne kromosoomide komplekt. 46 kromosoomi on inimesel Genotüüp- on isendile omane geenide kogum Fenotüüp- (väliste) tunnustunnusete avaldumine, isendile omane Geenivormide alleelid Homosügoot- tunnused määravad ühesugused geenid Genteetikaülesanded Kas pruunisilmsel emal (homosügoot) ja pruunisilmsel isal (heterosügoot) võib sündida sinisilme laps? Milline on tõenäosus? P p P PP Pp P PP Pp Tõenäosus on 0 A B AB 0 Ia i IA IA IA IB IA IA IA IA IB IA IAIA IAIB Kirjuta välja laste võimalikud genotüübid, fenotüübid ! Kirjuta 3. Teksti ilma lahenduseta. Kas blondi peaga emal (heterosügoot) ja brünetti peaga isal (heterosügoot) võib sündida brünetti peaga laps? Kui suur on tõenäosus? Deivis genotüüp?
25- protsentiili nim. esimene kvartiil. Mediaan on 50-protsentiil e. teine kvartiil. 75-protsentiil nim. kolmas kvartiil. Mood arvrea suurima sagedusega liige. Dispersioon 2= ((x1-x)2+(x2-x)2+...+(xN-x)2)/N =(i=1N(xi-x)2)/N Standardhälve =2 Haare arvrea suurima ja vähima väärtuse vahe 2. Sündmus ja tõenäosus. Kindel sündmus ja võimatu sündmus. Sündmus on tõenäosusteooria põhimõiste. Tavaliselt tähistatakse sündmusi suurte tähtedega ladina tähestiku algusest:A, B, C Vajadusel kasutatakse indekseid. Sündmuse tõenäosus on sündmuse toimumise võimalikkust näitav arv lõigult (0,1), mida tavaliselt tähistatakse tähega P. Võimatu sündmuse V tõenäosus P(V)=0
pole, siis teeme esimest liiki vea. · Teist liiki viga tekib üldkogumi seisukohalt õige alternatiivhüpoteesi kõrvalejätmisel ja vale nullhüpoteesi juurde jäämisel. See on siis õige alternatiivhüpoteesi mitteäratundmise viga. Kui väidame, et TÜR ja LR keskmised ei erine üksteisest, kuid tegelikult erinevad, siis teeme teist liiki vea. Vea suurust mõõdetakse tõenäosusega seda viga teha. 10) Olulisuse tõenäosus ja olulisuse nivoo. · Valikuuringu korral tuletatakse järeldused üldkogumi kohta valimi analüüsi teel. · Valimi enda kohta käivad kõik järeldused täpselt, üldkogumi kohta aga teatava veavõimalusega. · Vea suurust iseloomustatakse eksimise tõenäosusega p (olulisuse tõenäosus). · Kuna eksimist tulemuste üldistamisel valimilt üldkogumile me täielikult vältida ei saa, on levinud usaldusnivoo kasutamine
(sisaldavad samu elementaars) 3) sündmuste sisalduvus (kui toimub A, toimub ka B kõik sündmuses A sisalduvad elementaars sisalduvad ka B-s) 4)vastandsündmus (sisaldab kõik elementaars, mis ei sisaldu sündmuses A) Tehted juh.s. : 1) Summa (ühend): sisaldab kõik el.s., mis sisalduvad väh 1 liidetavatest sündmustest, tähis U 2) korrutis (ühisosa): sisaldab kõik el.s., mis sisalduvad korraga kõigis korrutatavatessündmustes Tõenäosus: iseloomustab esinemissagedust katsetes, on sündmuse mõõduks, arv nullist üheni Omadused: 1) Normeeriusaksioom (0-1) 2)Liitmisaksioom (summa P=sündmuste P summa) 3)tinglik tõenäosus Valemid: P(tühihulk)=o, P(el.s.ruum)=1, summa ja korrutise tõenäosus, erijuhud, vastandsündmuse P. Määramisviisid: A)klassikalised (kombinatoorne, geomeetriline, statistiline) B) mitteklassikalised (subjektiivne/intersubjektiivne, kuuluvusfunkts väärtus..) Juh
annaabi.ee 
