Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika kordamisküsimused". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
valimüpotees, keskväärtus, normaaljaotus, karakteristik, elementaarsündmus, diskreetse, binoomjaotus, üldkogum, kvantiil, jaotusfunktsioon, tihedusfunktsioon, standardhälve, poissoni, nullhüpotees, vahemikhinnang, piirteoreem, statistik, integraal, tinglik, lõpmatu, reaalarv, defineeri, jääme, lõpmatus, kvantiili, punktihinnang, efektiivseksTunnused: 1)0 <= F(x) <=1 2)F(x)kasvab;3)F(+lõpmatus)=1 Juhuslik suurus võib alluda binoomjaotusele, Poissoni jaotusele. Pidev juhuslik suurus omandab iga väärtuse tõenäosusega 0. Jaotust (diskreetsel juhul) kirjeldab tõenäosusfunktsioon = ( | ( ) = ) = ( = ); pi ≥ 0; ∑pi=1 Omavahelised seosed: Ω X P R [0;1] D 9. Keskväärtus ja dispersioon. Definitsioonid. Tõestada vähemalt 3 nende omadust DEF:kindlat suurust EX = ∫ ( ) nim juhusliku suuruse X keskväärtuseks. Seega juhusliku suuruse X keskväärtus EX kui kindel suurus on arv. Diskreetse juhusliku suuruse X keskväärtus: E(X) = ∑xipi Omadused: a. min(xi) ≤ E(X) ≤ max(xi) E(X) = ∑xipi ≤ ∑maxxipi = maxxi∑pi = maxxi b. Homogeensus: E(cX) = cE(X), c = const E(cX) = ∑xiP(cX=cxi) = c∑xiP(X=xi) = cE(X) c. E(c) = c
Xi; A∈ F. Juhusliku suuruse X jaotuseks nimetatakse funktsiooni D: R → [0;1] selliselt, et D(X(A)) = P(A) Jaotust (diskreetsel juhul) kirjeldab tõenäosusfunktsioon pi=P ( ω| X ( ω ) =xi ) =P( X =x i) ; pi ≥ 0; ∑pi = 1 Omavahelised seosed: Ω X P [0; R 1] D 8. Keskväärtus ja dispersioon. Definitsioonid. Tõestada vähemalt 3 nende omadust Diskreetse juhusliku suuruse X keskväärtus: E(X) = ∑xipi Omadused: a. min(xi) ≤ E(X) ≤ max(xi) E(X) = ∑xipi ≤ ∑maxxipi = maxxi∑pi = maxxi b. Homogeensus: E(cX) = cE(X), c = const E(cX) = ∑xiP(cX=cxi) = c∑xiP(X=xi) = cE(X) c. E(c) = c E(c) = cP(X=c) = c d. Keskväärtus on adiktiivne. Olgu juhuslikud suurused X ja Y, siis
Nt: hinna indeks või koguse indeks Mahuindeks – Hinnaindeks – Koondindeks – 5. Jaotusseadused Juhuslik suurus - suurus, mis katse tulemusel omandab juhuslikult ühe ja ainult ühe oma võimalikest väärtustest. Nt: Täringuviskel saadud silmade arv, loengut külastavate üliõpilaste arv Diskreetne suurus – väärtused on isoleeritud, erinevad üksteisest mingi lõpliku arvu võrra Pidev suurus - väärtused täidavad mingi vahemiku täielikult ära Jaotusseadus - Diskreetse juhusliku suuruse X jaotusseaduseks nimetatakse vastavust suuruse kõikvõimalike väärtuste xi ja nende tõenäosuste pi vahel. Jaotusfunktsioon - tõenäosus, et juhusliku suuruse X väärtus on väiksem-võrdne mingist reaalarvust x. Valem: F(x)=P(X<=x) Keskväärtus ehk oodatav väärtus - Kui juhusliku suuruse X väärtuse xi esinemise tõenäosus on pi , siis selle juhusliku suuruse keskväärtus ehk oodatav väärtus. Oodatav väärtus on otsustamisel kriteeriumiks
kahe keskmise liikme poolsumma. Mood on arvrea suurima sagedusega liige. Kvartiilid: 25-protsentiili nim esimeseks kvartiiliks Mediaan on 50-protsentiil ehk teine kvartiil 75-protsentiili nim kolmandaks kvartiiliks Protsentiil on arv, millest p protsenti andmetest on temast väiksem või võrdne ja (100- p) protsenti suurem või võrdne. Dispersioon on andmeväärtuste hajuvust näitav karakteristik. N ( x i - µ )2 =2 i =1 (definitsiooni järgi) N Standardhälve: = 2 Haare on suurima ja vähima väärtuse vahe. 2. Sündmus ja tõenäosus. Kindel sündmus ja võimatu sündmus. Sündmus on tõenäosusteooria põhimõiste. Tavaliselt tähistatakse suurte tähtedega, vajadusel kasutatakse indekseid. Nt A, A1 , Bi , Cjk jne. Sündmuse tõenäosus on sündmuse võimalikkust näitav arv lõigul [0,1], mida
summa on sündmus, mille toimumine seisneb neist vähemalt ühe (A v B) toimumises. Sündmuse A x B korrutis on sündmus, mille toimumine seisneb mõlema (A ja B) toimumises. Sündmuse sagedus on sooritatud (n) katsete ja katseseeriate (m) arvu vahejagatis Sündmuse tõenäosus on juhuslik sündmuse konstant, mille ümber grupeerub selle sündmuse sageduse katsete arvu suurenedes (m- soodsate sündmuste arv, n- võrdvõimalike sündmuste arv) 3. Juhusliku suuruse keskväärtus ( EX ). Keskväärtuse punkthinnang (aritmeetiline keskmine x ). Diskreetse ja pideva juhusliku suuruse mood ja mediaan. Juhusliku suuruse keskväärtus grupeeritud juhuslike suuruse võimalikud väärtused. Juhuslike võrdvõimalike sündmuste arvu (N) soodsate sündmuste protsendilise tõenäosuse korrutis E(X) = n * p p=1q Võrdvõimalike sündmuste sageduse tiheduse ( ) korrutise summa ..
Enne katse toimumist on tundmata. Üldjuhul tähistatakse X. Diskreetne juhuslik suurus on juhuslik suurus, mille väärtuste hulk on lõplik või loenduv. Praktiliselt vaatleme ainult selliseid DJS, mille võimalikud väärtused on 0, 1, 2, ... või alamhulk eelnevast. DJS jaotusseadus on eeskiri, mis seob juhusliku suuruse väärtused ja nende tõenäosused: pi=P(X=xi).( esitatud valemina, tabelina, arvupaaridena või graafikuna). keskväärtus - EX = E(X). kus xi tähistab diskreetse juhusliku suuruse x väärtust ja p i selle tõenäosust. Keskväärtus on juhusest sõltumatu suurus, mis paikneb väikseima ja suurima väärtuse vahel dispersioon, - Dispersioon on hälbe ruudu keskväärtus. DX = D(X) = E(X-EX) 2= standardhälve - Standardhälve on ruutjuur dispersioonist 7. Jaotusfunktsioon. - Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on funktsioon, mis seob väärtusega
juhusliku suuruse võimalikud väärtused ja nende tõenäosused pi=P(X=xi).
Tõenäosusfunktsiooni võib esitada valemina, tabelina, arvupaaridena või graafikuna.
Def: Juhusliku suuruse jaotusfunktsiooniks nimetame funktsiooni, mis seab väärtusele
x vastavusse tõenäosuse, et X
Juhuslikud suurused liigitatakse diskreetseteks ja pidevateks. Diskreetne juhuslik suurus võib katse või vaatluse tulemusena omandada lõpliku või loenduva hulga väärtusi. Näiteks: üliõpilaste arv auditooriumis, täringu viskel saadud silmade arv jne. Pidev juhuslik suurus omandab mistahes väärtusi mingist lõplikust või loenduvast vahemikust. Näiteks: mistahes seadme tööiga, auto kütusekulu 100 km. 2.2 Diskreetse juhusliku suuruse jaotusseadus Diskreetse juhusliku suuruse jaotusseaduseks nimetatakse vastavust tema kõigi võimalike väärtuste x1, x2, …,xn ja nende tõenäosuste p1,p2, …,pn vahel. Jaotusseadust on võimalik esitada kas tabeli kujul jaotusreana X x1 x2 …. xn p p1 p2 …. pn Või graafiliselt jaotuspolügoonina n
Binoomjaotusega juhusliku suuruse esinevad üksteisest sõltumatult (st P(I on rikkis ja II töötab) = 0,9 * 0,95 + dispersioon on:DX´=pq 5. Poissoni sisuliselt eeldame, et rikaste protsent nii 0,1 * 0,8 = 0,935 jaotusega juhusliku suuruse keskväärtus on:EX=lamda6. Ühtlase hea tervisega kui ka halva tervisega N'ide21. Urnis on 5 punast 3 sinist ja 2 jaotusega juhusliku suuruse dispersioon on: kodanike hulgas on ühesugune). Leida rohelist kuulikest. Urnist võetakse DX=(b-a)*(b-a)/12 tõenäosus, et juhuslikult valitud kodanik üksteise järel kolm kuulikest. Milline on Tõenäosuse geomeetriline tähendus
1 ÜLEVAADE TÕENÄOSUSTEOORIA PÕHIMÕISTETEST Juhuslik sündmus - midagi mis mingi katse tulemusel võib toimuda. Katse - mingi tingimuste kompleksi realiseerumist (mingit toimingut). Lähtepunktiks katsega seotud sündmustel on elementaarsündmuste ruum , mis koosneb elementaarsündmustest (mis on üksteist välistavad sündmused, iga katse korral toimub tingimata üks). Tingimused elementaarsündmuste ruumile on: 1) vastastikune välistatus: korraga toimub vaid üks elementaarsündmus: ij = Ø (ij), 2) täielikkus: alati mingi elementaarsündmus toimub: i = . nt. Kaardi valik 52'sest kaardipakist Juhuslike sündmustega seonduvad põhimõisted: Vastastikku välistuvad sündmused: mis ei sisalda samu elementaarsündmusi (nt A: ruutu kaart, B: ärtu kaart) Vastastikku mittevälistuvad sündmused: mis sisaldavad samu elementaarsündmusi (nt A : ruutu kaart, B: piltkaart)
statistiline), mtteklassikalised(subjektiivne,intersubjektiivne) Juhuslikuks suuruseks nim suurust, mis järjekordse katse tulemusel omandab mingi mittennustatava väärtuse mingist võimalikust väärtuste hulgast. Diskreetne juhuslik suurus: võimalike väärtuste hulk on lõplik Pidev juhuslik suurus: võimelike väärtuste hulk on kontiinum Jaotusfunktsioon on tõenäosus, et juhusliku suuruse väärtus ei ületa funktsiooni argumenti. Jaotusfunktsioon peab rahuldama järgmisi tingimusi: monotoonsus (kui b>a, siis F(b)>F(a), normeeritus (x-lõpmatus korrral lim F(x)=0, xlõpmatus lim F(x)=1) Jaotustihedus on jaotusfunktsiooni tuletis. Arvkarakteristikud kujutavad endast mingeid jaotusseaduse järgi leitavad funktsionaale, millega opereerimine/arvutused on enamasti lihtsamad kui kogu jaotusseadusega opereerimine. Juhusliku suuruse arvkarakteristikuid võib jagada: moment ja mittemomentkarakteristikud, asendi-,hajuvus- ja kujukarakteristikud,
Sooritame katse ja selle käigus toimub sündmus A. See sunnib ümber hindama sündmuste B tõenäosusi. Tuleb leida sündmuse Bi tõenäosus pärast seda kui sündmus A on juba toimunud. Seda tõenäosust võimaldabki arvutada bayesi valem. P(Bi/A) = P(Bi)*P(A/Bi)/∑P(Bi)*P(A/Bi) 20. Juhusliku suuruse mõiste - suurust nim juhuslikuks kui see omab antud tingimustes ühe oma võimalikest väärtustest, mis sõltub juhuslikest põhjustest. 21. Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon – tõenäosust selleks, et juhuslik suurus X omandab mingist konkreetsest väärtusest x väiksemaid või võrdseid väärtusi nimetatakse juhusliku suuruse jaotusfunktsiooniks. F(x)=P(X≤x). Jaotusf.on üks juhusliku suuruse jaotuse esitusviise. Iseloomustab täielikult juhusliku suuruse väärtuste jaotumist nende esinemise tõenäosuse järgi. Kui jaotusf.F(x) on teada siis iga x korral on võimalik leida, kui tõenäone on, et juhusliku suuruse väärtused on
objekti kohta mingi tõenäosuslik mudel, sh hinnates mudeli arvparameetreid ja kontrollides erinevaid hüpoteese objekti mudeli kohta. Mediaani hinnang: - kasvavalt järjestatud valimi keskelement (kui valimi maht on paaritu arv) - kasvavalt järjestatud valimi keskelementide poolsumma (kui valimi maht on paarisarv) Haare: valimi suurima ja vähima elemendi vahe Statistika põhiteoreem: Empiiriline jaotusfunktsioon FN(x) on teoreetilise (üldkogumi) jaotusfunktsiooni F(x) nihutamata ja mõjus hinnang. Histogramm: Histogramm on enimkasutatav (üldkogumi) jaotustiheduse hinnang. Histogrammi kasutatakse ettekujutuse saamiseks üldkogumi jaotusseadusest ning ta kujutab endast tulpdiagrammi, mille tulpade kõrgused näitavad vastavasse vahemikku sattumise sagedust. 2-jaotus on kasutusel normaaljaotusega juhusliku suuruse dispersiooni hinnangu jaoks usaldusvahemike arvutamisel.
5 80-100 3 0,12 90 Histogramm 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0-20 20-40 40-60 60-80 80-100 Kontrollin kahte hüpoteesi põhikogumi jaotuse kohta Pearsoni χ2 - testi abil; olulisuse nivooks kasutan α = 0.10 4.1 Põhikogumi jaotiseks on normaaljaotus (mille parameetrid μ ja σ tuleb hinnata valimi järgi) Keskväärtuse hinnang: k 1 ^μ= x´ = ∑n x n i=1 i i 9,83∗6+33∗7+ 49,25∗4+70∗5+90∗3 ^μ= =44,28 25 Dispersioonihinnang: k 1 ∙ ∑ ( x i− x´ ) ∙ ni 2 2 σ^ =s =
11. Grupis on 30 õpilast. Kui suur on tõenäosus, et 2 õpilasel on samal päeval sünnipäevad? P= 2/30 12. Diskreetne ja pidev juhuslik suurus, nende jaotusfunktsioonid. Juhuslikku suurust, millel on lõplik või loenduvalt lõplik võimalike väärtuste hulk, nimetatakse diskreetseks. Tõenäosusjaotus. Juhuslikku suurust, mille võimalike väärtuste hulk on mitteloenduvalt lõpmatu (st väärtuste hulgaks on teatav(ad) arvude intervall(id)), nimetatakse pidevaks. Tihedusfunktsioon. 13. Diskreetse juhusliku suuruse tõenäosusjaotus. Diskreetse juhusliku suuruse X tõenäosusjaotuseks nimetatakse funktsiooni p(x), kus p(x) = P(X = x). See funktsioon omandab positiivseid väärtusi ainult nende argumentide korral, mis on juhusliku suuruse võimalikeks väärtusteks. Tõenäosusjaotust esitatakse kas valemina või tabeli abil, milles loetletakse juhusliku suuruse kõikvõimalikud väärtused ja nende omandamise tõenäosused. 14. Juhusliku suuruse keskväärtuse ja dispersiooni omadused.
võimalikust näitav arv lõigul [0,1], mida tavaliselt Suhtelise sageduse omadused: 1. Sündmuse suhteline tähistatakse P. Võimatu sündmuse V tõenäosus P(V)=0, sagedus on mittenegatiivne. 2. Kindla sündmuse suhteline 17. Binoomjaotusega juhuslik suurus, selle kindla sündmuse K tõenäosus P(K)=1. Ülejäänud sagedus on 1 3. Võimatu sündmuse suhteline sagedus on jaotustabel, keskväärtus (tõestusega) ja dispersioon sündmused on juhuslikud sündmused. (tõestusega) Sündmuse A toimumise arv X kirjeldatud 0 4. Sündmuse A vastandsündmuse suhteline sagedus on 2. Tehted sündmustega
Tunnikontrollis: Kui juhuslik suurus X on binoomjaotusega X~B(n; p), siis tema tõenäosusfunktsioon avaldub kujul P(X=x)= Cxn px (1-p)n-x astmes x (X=x)= Poissoni jaotus: P e- x! a ma seda kasutada küll ei oska xd - keskmine õnnetuste arv muidu 3. Jaotus- ja tihedusfunktsioon Siin olid Märdil ainult erinevad funktsioonid ja 0 teksti. Jaotusfunktsioon on juhusliku suuruse universaalne iseloomustaja, mis kirjeldab võimalike väärtuste tõenäosuste jaotust. Jaotustabel x 0 1 3 P(X=x) 0,8 0,1 0,1 Leia E(X2): 02x0,8+12x0,1+32x0,1= 1 1
Rakendusstatistika arvestusharjutus AGT-1 (Andmete kood: 38 42 36) OSA A 1. Leida keskväärtuse, dispersiooni, standarthälbe, mediaani ja haarde hinnangud Keskväärtus N 1 ´x = N ∑ xi i=1 ´x =53,24 Dispersioon N 1 s x 2= ∑ N−1 i=1 ( x i−´x )2 s x 2 =705,69 Standardhäve s x =√ s x 2 s x =26,56 Mediaan Me=51 Haare R = xmax – xmin = 94 – 9 = 85 2
N 1 1 Hinnang: σ^ =s = N −1 ∑ ( x i− x´ ) = 24 ∙ 19537,36 ¿ 814,057 2 2 2 i=1 Standardhälve: S= √ s = √ 814,056=28,53 2 Mediaan: Me = 41 – järjestatud arvukogumi keskmine arv Haare: R=x max −x min =87−1=86 2. Keskväärtuse ja dispersiooni usaldusvahemikud: Eeldan, et üldkogum on normaaljaotusega ning võtan olulisuse nivooks α = 0,10. Olulisuse nivoo ehk tõenäosus, et tegelik väärtus satub väljapoole usaldusvahemikku on 0,1. Seega usaldustõenäosus p = 1 – α = 1 – 0,1 = 0,9 ehk 90% Vabadusastmete arv k = n-1 = 24 2.1 Keskväärtuse usaldusvahemikud: t 0,95 ( 24 )=t ∝ ( k )=1,7109 1− 2 s 28,53 ∆ μ= ∙ t 0,95 ( 24 )= ∙1,7109=9,76
60-80 1 0,04 62 80-100 7 0,28 90,9 Valimi histogramm 8 7 6 5 Tõenäosus 4 3 2 1 0 0-20 20-40 40-60 60-80 80-100 Intervall m 4.1 põhikogumi jaotuseks on normaaljaotus (mille parameetrid μ ja σ hinnatakse valimi järgi) k 1 ^μ= x´ = ∑ ni xi n i=1 7∗8,7+5∗31,6+5∗45,6+ 1∗62+7∗90,9 ^μ= = 45,8 25
Lihtsustamise põhilised printsiibid. Kui kahe objekti (süsteemi) vahel on võimalik tuvastada pisemgi sarnasus, siis on nendel objektidel originaali mudeli vahekord: ühte objektidest võime käsitleda originaalina, teist aga mudelina. Objektide A ja B sarnasust tähistatakse A~B. Mudel peegeldab objekti alati lihtsustatult. Mudelid on kas materiaalsed või abstraktsed. Mudelites nagu süsteemideski, võib üheks muutujas olla aeg. Sellest tulenevalt on mudelid pideva ajaga või diskreetse ajaga. Ulatuslikult kasutatakse matemaatilisi mudeleid. Põhilised lihtsustamise printsiibid: muutujate agregeerimine, ekvivalenteerimine, sõltuvuste lihtsustamine, süsteemi dekomponeerimine 7. Protsessid. Determineeritud protsesside klassifitseerimine ja kirjeldamisviisid. Protsessid on üldjuhul olekud ja operaatorid ehk ajas muutuvad suurused, vektorid ja sündmused. Determineeritud protsess on protsess , mille tulevikku on võimalik täpselt prognoosida, vaja on vaid teada
Diskreetne juhuslik suurus on määratud, kui on teada tema võimalikud väärtused ja
nende väärtuste ilmumise tõenäosused, st. kui on antud jaotustabel. f(xi)=1 Jaotustabel
F(x)=P(X
P (| X - m | < )=
s s
n
Suurus T = ( X - m ) on Studenti jaotusega ning
s
n n n n
P ( -
.., n vastavad tõenäosused on võrdsed ja võrduvad arvuga 1/n 2. Bernoulli1 jaotus*. Olgu sündmuse A tõenäosus P(A) = p. Bernoulli jaotusega juhuslik suurus on niisugune suurus X, mille väärtus on 1, kui sündmus A toimub, ja väärtus on 0, kui sündmus A ei toimu (toimub A ). Seega on Bernoulli jaotusega juhuslikul suurusel kaks võimalikku väärtust: 1 ja 0, millele vastavad tõenäosused on p ja 1 p, st. P(X = 1) = p ja P(X = 0) = 1 p. 16. Binoomjaotus. binoomjaotuseks nimetatakse juhusliku suuruse X jaotust, kui juhuslikuks suuruseks on sündmuse A esinemiste arv n sõltumatust katsest koosnevas katseseerias. P X =k =C kn pkq n-k. EX = np. DX = npq ning = npq .
Tingimuslik tõenäosus. Bayes'i valem 0 P(A) 1; P(AB) = P(A) + P(B), AB= või U. Tingimuslik tõenäosus tõenäosus sündmusele A kui toimus sündmus B - P(A/B) = P(AB) / P(B) 2. Sündmus ja vastandsündmus. Sõltuvad ja mittesõltuvad sündmused. Sündmuste väli P(A/B) = P(A), P(AB) = P(A)P(B) 3. Sündmuste algebralised operatsioonid. Sündmuste summa ja korrutis. C = F D> C =F D> F> 4. Juhuslik suurus X = X(e) 5. Jaotusseadus ja selle esitamine. Jaotusfunktsioon F(x) ja tema põhiomadused. Väärtus x ja tema tõenäosus p. F(x) juhuslikule suurusele X on tõenäosus, et X võtab väärtuse vähem kui antud arvul x. F(x) = P(Xx). P(x´ X x´´) = F(x´´) - F(x´); 0 F(x) 1; F(x1) F(x2) 6. Tõenäosuse tihedusfunktsioon f(x) ja tema põhiomadused. f(x) = lim P(xXx+x) / x; F(x) = f(x) dx x0 f(x) 0; f ( x ) dx 1 7. Binomiaalne jaotus.
(tuletatud suurused) loetakse teistest suurustest tuletatuteks. Põhisuurust käsitletakse mingis suuruste süsteemis leppeliselt sõltumatu suurusena( Mehaanikas pikkus, mass ja aeg=LMT süsteem) . Tuletatud suurus on mingi suuruste süsteemi põhisuuruste funktsioon. LMT süsteemis on tuletatud suuruseks näiteks kiirus, samuti jõud. Suurustesüsteemi tähistatakse selle moodustanud suuruste esitähtede järgi (LMT). Füüsikaliste suuruste kvalitatiivne karakteristik on tema dimensioon. Dimensioon on avaldis, mis väljendub suuruste süsteemi kuuluvat suurust selle süsteemi põhisuuruste astmete korrutisena. LMT süsteemis saadakse dimensioon valemiga dim X =L^l*M^m*T^t . L, M, T väljendavad põhisuurusi(antud juhul pikkus, mass ja aeg) ning l, m, t dimensiooni astmenäitajaid, mis on positiivsed või negatiivsed ratsionaalarvud. Suuruse väärtus on kvantitatiivmäärang, mida väljendatakse arvu ja ühiku korrutisena.
YFR0012 Eksami küsimused Mis on elektrilaeng ja millised tema 5 põhiomadust. Elektrilaeng on mikroosakese fundamentaalne omadus. Elektrilaengu põhiomadused: Elektrilaenguid on kahte tüüpi: positiivne ja negatiivne. Eksisteerib vähim positiivne ja negatiivne laeng, mis on absoluutväärtuselt täpselt võrdsed. Elementaarlaeng. Elektrilaeng ei eksisteeri ilma laengukandjata. Kehtib elektrilaengu jäävuse seadus: Isoleeritud süsteemis on elektrilaengute algebraline summa jääv. Elektrilaeng on relativistlikult invariantne. Ei sõltu taustsüsteemist. Coulomb’ seadus, joonis, valem, seletus. Samanimelised laengud tõukuvad. Erinimelised laengud tõmbuvad. Valem: k∗1 ∗q 1∗q 2 ε r 12 ∗⃗ r 212 ⃗ F12= r 12 Joonis: ε ≥ 1 on suhteline dielektriline läbitavus, vaakumis ε =1 Elektrivälja tugevus. Valem, ühik, suund. Jõujo
Diskreetne arvuliste tunnuste võimalike väärtuste hulk on lõplik või loenduv 5. Mittearvuline tunnus järjestustunnus, nominaaltunnus. Järjestustunnus mittearvuline tunnus, mille väärtused on järjestatavad (Krafti klass, puistu Orlovi boniteet). Nominaaltunnus mittearvuline tunnus, mille väärtused pole järjestatavad. 6. Juhuslik suurus ehk juhuslik muutuja suurus või muutuja, mille väärtus enne mõõtmist või katset ei ole teada. 7. Kuidas on defineeritud jaotusfunktsioon? Jaotusfunktsiooni skitseerimine, graafikult lugemine (kvantiil, kvartiil, mediaan, täiendkvantiil). · Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooni väärtus argumendi x kohal on sellest väiksemate väärtuste esinemise suhteline sagedus (tõenäosus) F(x) = P(X < x). · 0 F(x) 1 ehk jaotusfunktsiooni piirväärtused on 0 ja 1. · F(x) on mittekahanev ja pidev. · P(a < X b) = F(b) F(a) 8. Mis on juhusliku suuruse p-kvantiil? Mis on juhusliku suuruse q-täiendkvantiil?
Tihedusfunktsiooni omadusi: b 1) P(a < X < b) = f (x)dx 2) f ( x)dx =1 a - 42. Juhusliku suuruse keskmise tendentsi mõõte (mood, mediaan, keskväärtus). Mood on juhusliku suuruse kõige tõenäosem väärtus (tähis m, mod, Mod jt.) Seega: diskreetse JS korral kõige enam esinev väärtus. Rühmitatud andmete korral loetakse moodiks suurima sagedusega klassi keskmine (Näite 2 korral seega mod = 42 kui kõige sagedamini esineva klassi 40 44 keskmine) pideva JS korral tihedusfunktsiooni maksimumile vastav argumendi väärtus NB! Üks mood unimodaalne; Kaks moodi bimodaalne jne. Mediaan (med, Me jt.) on JS väärtus, millest väiksemate ja suuremate väärtuste esinemise tõenäosus on 0,5.
Tabel. 4.1). Seda nimetatakse jaotusreaks või jaotustabeliks. Jaotusrida esitatakse sageli graafikuna. Saadud kujundit nimetatakse jaotuspolügooniks Jaotusfunktsioon Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis näitab, millise tõenäosusega juhuslik suurus võtab väiksema väärtuse kui x: F ( x) P( X x) , (4.12) kus X on juhusliku suuruse sümbol ja x on juhusliku suuruse konkreetne võimalik väärtus. Jaotustihedus Pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on pidev. Jaotusfunktsioon annab ammendava info juhusliku suuruse kohta, kuid ta ei näita otseselt juhusliku suuruse jaotumise tihedust ühes või teises piirkonnas. Seepärast kasutatakse pidevate juhuslike suuruste puhul ka jaotusfunktsiooni tuletisfunktsiooni, mida nimetatakse jaotustiheduseks: dF ( x ) f ( x) . dx Jaotustihedus näitab jaotuse tihedust punkti x ümbruses. Jaotustiheduse graafikut nimetatakse jaotuskõveraks
intensiivsus, kui elektrivälja vektori funktsioon. Mida näitab valguse intensiivsus? ⃗ Pointingi vektor S näitab energia hulka, mis kantakse ajaühikus läbi ühikulise pinnaga pindala. 1 2 S= ∙ ⃗E ×⃗ B=c ε 0 ⃗ E×⃗B μ0 2 1 1 2 c= ⇒ =c ε 0 ε 0 μ0 μ0 E=E 0 cos ( ωt−kr ) Valguse intensiivsus on Pointingi vektori keskväärtus üle pika aja (vähemalt 1 periood). ωt−kr 1 cos 2 ( ¿ ) = 2 E¿ Intensiivsus: 1 1 E 1 I =⟨ S ⟩= c 2 ε 0 E0 B 0= c 2 ε 0 E 0 0 = c ∙ ε 0 E 20 2 2 c 2 64. Lähtudes Huygens-Fresneli printsiibist, tuletada avaldis kahe pilu interferentsi maksimumide leidmiseks. ∆ n=r 2−r 1 =m∙ λ
Sündmus A ei ilmne kui esineb sündmus A. Sündmus A on sõltumatu sündmusest B kui tema tingimuslik on võrdne mittetingimusliku tõenäosusega. 3. Sündmuste algebralised operatsioonid. Sündmuste summa ja korrutis Summa: Sündmus C, mis ilmneb igal juhul kui ilmneb vähemalt üks sündmustest A või B. C = A B, Korrutis: On sündmus C, mis ilmneb juhul kui ilmnevad mõlemad sündmused A ja B. C = A B , A 4. Juhusliku suuruse mõiste X = X(e) 5. Jaotusseadus ja selle esitamine. Jaotusfunktsioon F(x) ja tema põhiomadused 6. Tõenäosuse tihedusfunktsioon f(x) ja tema põhiomadused jaotuse tõenäosuste tihedus: f(x) = lim P(x X < x+x)/ x omadused: 1. f(x) 0 on positiivne arv. 2. 3. Eksisteerib kasvõi üks väärtus (x, x+x), millele kehtib P(x X < x+x) = F(x) = f()dx - ksii). 7. Binomiaalne jaotus 1. JS nimetatakse binomiaalselt jaotuvaks (ka Bernoulli jaotus) parameetritega n ja m, kui ta võtab võimalikud väärtused 0, 1, ...., n tõenäosusega P(n, m) valemiga
valimine nende elementide hulgast Tõenäosuse geomeetriline tähendus-Tõenäosuse geomeetriline tähendus ühemõõtmelises ruumis väljendub lõigu pikkusena, kahemõõtmelises ruumis pindalana ja kolmemõõtmelises ruumis ruumalana.Kui juhusliku katse võimalike tulemuste arv on mitteloenduv, kuid tulemused võrdvõimalikud saab sündmuse tõenäosuse arvutamiseks kasutadageomeetrilise tõenäosuse valemit Binoomjaotus-Binoomjaotus on diskreetse juhusliku suuruse soodsatest sündmustest moodustuv tõenäosusjaotus Diskreetne juhuslik suurus-Juhuslikku suurust, millel on lõplik või loenduvalt lõplik võimalike väärtuste hulk, nimetatakse diskreetseks Juhuslik suurus-Juhuslikuks suuruseks nimetatakse suurust X, kui iga x R korral eksisteerib tõenäosus P(X < x) Pidev juhuslik suurus-Juhuslikku suurust, mille võimalike väärtuste hulk on mitteloenduvalt lõpmatu (st
annaabi.ee 
