Annad vastuse. Veaks oli nimetaja 5x+1 kadumine. Vastuseks on 2 vahemikku x 1 2 x x 3 3 x 8x 5 x 6 x 66 6. 4p. A. Lahendad esimese võrratuse. Avad sulud, lihtsustad, saad lineaarvõrratuse. Joonis ei ole vajalik x 8x x 8x 0 9x 0 B. Millal ? Sõltub sellest kas x on mittepositiivne või mittenegatiivne arv. 6 x 60 C. Lihtsusta ja kui oled saanud avalda õige piirkond. Jälgi märke. Vastuse vormistamine. Selleks, et osata kirjutada vastust, tuleb A, B, C osades saadud vastused kanda erinevate värvidega (KOHUSTUSLIK) ühisele arvteljele. Vastuseks on vahemik II RÜHM 3 3x 0 25 x 1. 2p. Lahendamiseks tuleb kasutada intervallmeetodit
Matemaatika 7 klass 1 veerand Across 3. Mitme nullist erineva arvu korrutis on negatiivne,kui negatiivsete arv on 4. korrutis nulliga 8. on alati mittenegatiivne arv 10. Kahe samamärgilise arvu korrutis ja jadatis on 11. Kahe erimärgilise arvu korrutis ja jagatis on 12. Korrutamise vahetuvus sedaus Down 1. Korrutamise ühenduvuse seadus 2. Kahe vastandarvu summa on võrdne 5. Mitme nullist erineva arvu korrutis on positiivne, kui see arv on 6. Kui kahe arvu summa on võrdne nulliga ,siis need on teineteise 7. Nulliga jagada 9. Teineteise vastandarvu absoluutväärtus on
11 6 6 10 1000 11 Ratsionaalarvuline astendaja. Ratsionaalarvulise (murrulise) astendajaga aste defineeritakse m võrdusega a n n am . Kui n on paarisarv, siis peab reaalarvude korral olema alus a mittenegatiivne arv. Näited 1 3 0,01 0,011 0,01 0,1; 2 4 43 64 8; 2 2 1 3 3 (10) (10) 100; 3 2
Vastus: x[ -2;-1[ [ 0,6; 1[. ( x - 3)(x - 1) x + 4 ( x + 3) 5 Näide 3. Lahendada võrratus 0. x( x + 1) 2 ( x - 2)(x + 2) MP määravad tingimused on: x + 4 0, x 0, -1, 2, -2 ja seega MP on: x -4, x -2, -1, 0, 2 ehk x [-4; -2[ ] -2;-1[ ] -1;0 [ ] 0;2 [ ] 2; [. Võib ära jätta liikme x + 4 , mis on alati mittenegatiivne . Jääb järele võrratus ( x - 3)(x - 1)(x + 3) 5 0. x( x - 2)(x + 2)( x + 1) 2 Selle vasaku poole üksikute tegurite nullkohad on 3; 1; -3; 0; 2; -2; -1. Kuna võrratuse vasaku poole ees ei ole "-" märki, saame joonistada järgmise kõvera. -3 -2 -1 0 1 2 3 x Seega on viimane murd mittenegatiivne järgmistes piirkondades: x -3, -2 x 0, 1 x 2, x 3. Võrdleme seda MP-ga
Normaaljaotus-Normaaljaotus on pidev jaotus, mis võib omandada kõiki reaaltelje väärtuseid, teda kirjeldavad kaks parameetrit µ ja s 2. Tähistatakse N(µ, s 2). Tihedusfunktsioon-Pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni tuletist nimetatakse juhusliku suuruse tihedusfunktsiooniks,tähistatakse tähega f(x). Tihedusfunktsioonil on järgmised omadused, mis vahetult tulenevad jaotusfunktsiooni omadustest: 1) Tihedusfunktsioon on mittenegatiivne f(x) >= 0. 2) Tihedusfunktsiooni alune pindala on võrdne ühega. Ühtlane jaotus-Pidev juhuslik suurus on ühtlase jaotusega, kui selle juhusliku suuruse võimalikud väärtused on mingis lõplikus vahemikus ja juhusliku suuruse jaotustihedus on konstantne Diskreetse juhusliku vektori tõenäosusfunktsioon-Diskreetse juhusliku vektori tõenäosusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni p(xi,yj), mis on määratud eeskirjaga p(xi,yj) = P(X=xi, Y=yj)
Sellepärast x2 1 leiame antud funktsiooni määramispiirkonna tingimusest x2 1 0 ehk x 2 1 ehk x 1 tuletame meelde, et ka 1 1 . 2 Seega, kui tähistame määramispiirkonna tähega X, siis X ; 1 1;1 1; . Näide 2. Leida funktsiooni y 5 3x määramispiirkond. Lahendus. See funktsioon on määratud, kui ruutjuure alune avaldis on mittenegatiivne, s.t. 5 3x 0 . Lahendame selle võrratuse: 5 3x , jagame kolmega, saame 5 5 x ehk x . 3 3 5 Seega määramispiirkond on X ; . 3 Näide 3
8. Algtegur naturaalarvu algarvuline tegur. 9. Algteguriteks lahutamine naturaalarvu esitamine algarvuliste tegurite korrutisena. 10. Alusnurk võrdhaarse kolmnurga või trapetsi aluse ja haara vaheline nurk. 11. Apoteem 1. korrapärase hulknurga keskpunktist küljele tõmmatud ristlõik. 12. 2. korrapärase püramiidi tipust külgtahule tõmmatud kõrgus. 13. Aritmeetiline keskmine suuruste summa jagatis nende suuruste arvuga. 14. Aritmeetiline ruutjuur mittenegatiivne arv, mille ruut võrdub antud arvuga. 15. Arvtelg, arvsirge reaalarvude kujutamiseks kasutatav sirge, millel on fikseeritud arvude 0 ja 1 kujutised ning sellega määratud ka teiste reaalarvude kujutised. Alguspunkti ehk nullpunkti, pikkusühiku ning positiivse suunaga varustatud sirge. 16. Astendamine 1. võrdsete tegurite korrutise leidmine, kus an on aste, a astme alus ehk astendatav ja n astendaja ehk astmenäitaja. 2. negatiivse astendaja korral a-n =1/an. 17
6,25 2,5 ja 6,25 2,5 ehkki nii 2,5 6,25 (2,5) 2 6,25 2 kui ka algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Ratsionaalarvuline astendaja. Ratsionaalarvulise (murrulise) astendajaga aste defineeritakse võrdusega m a n n am . Kui n on paarisarv, siis peab reaalarvude korral olema alus a mittenegatiivne arv. Näited 1 3 0,01 0,011 0,01 0,1; 2 4 43 64 8; 2 2 1 3 (10) (10) 100; 3 2 100,1 10 10 10;
suurte tähtedega, vajadusel kasutatakse indekseid. Nt. A, nim. konstantse arvu P(A), mille läheneb sündmuse A A1, Bi, Cjk jne. Sündmuse tõenäosus on sündmuse suhteline sagedu, kui katsete arv n käheneb lõpmatusele. võimalikust näitav arv lõigul [0,1], mida tavaliselt Suhtelise sageduse omadused: 1. Sündmuse suhteline tähistatakse P. Võimatu sündmuse V tõenäosus P(V)=0, sagedus on mittenegatiivne. 2. Kindla sündmuse suhteline 17. Binoomjaotusega juhuslik suurus, selle kindla sündmuse K tõenäosus P(K)=1. Ülejäänud sagedus on 1 3. Võimatu sündmuse suhteline sagedus on jaotustabel, keskväärtus (tõestusega) ja dispersioon sündmused on juhuslikud sündmused. (tõestusega) Sündmuse A toimumise arv X kirjeldatud
x2 -1 Sellepärast leiame antud funktsiooni määramispiirkonna tingimusest x 2 - 1 0 ehk 1 [tuletame meelde, et ka ( -1) = 1 ]. 2 x2 1 ehk x Seega, kui tähistame määramispiirkonna tähega X, siis X = ( - ; - 1) U ( -1;1) U ( 1; ) . Ülesanne 2. Leida funktsiooni y = 5 - 3 x määramispiirkond. Lahendus. See funktsioon on määratud, kui ruutjuure alune avaldis on mittenegatiivne, s.t. 5 - 3x 0 . Lahendame selle võrratuse: 5 3x , jagame kolmega, saame 5 5 x ehk x . 3 3 5 Seega määramispiirkond on X = - ; . 3 Ülesanne 3. Leida funktsiooni y = ln ( x + 2 ) määramispiirkond.
Optimeerimine majanduses 2011 sügis, kt nr 1 vastused/vihjed Ülesanded Optmajkt1A_11 1(2p). Firma kulufunktsioon on C = a q 3 + 3 q 2 + 3 q . Kuidas sõltub marginaalkulu parameetri a muu- tumisest ? Millise a korral on marginaalkulu alati mittenegatiivne? Tehke marginaalkulu graafik a = ¾ ja q > 0 korral. 2(2p). . Näidake, et y = 1 / ln (a / x ) (a > 0, x > 0) jaoks elastsus (y; x ) = y. Millise y korral (y; x ) = x ? 3(4p). Olgu nõudlusfunktsioon D n = 5 4 p n2 ja pakkumisfunktsioon S n + 1 = 1 + p n2 . a) Koostage hinna diferentsvõrrand. b) Leidke tasakaaluhind. c) Tehke "ämblikuvõrgu" analüüsi. d) Hinnast p 0 = 1 lähtudes leida kolm järgmist hinda. Vihje: x 2 / a 2 + y 2/ b 2 = 1 on ellips. 4(6p)
• Teiseks tähendab see, et muutuja dispersioon ei muutu ajas • Kolmandaks tähendab see, et muutuja autokorrelatiivsed omadused on ajas muutumatud Kui protsess on statsionaarne, siis üksikute šokkide mõju aja jooksul kaob. statsionaarsel protsessil, mille keskväärtus on konstantne ja lõplik, ei saa esimest järku autoregressioonikordaja võrduda 1-ga. Kuna dispersioon peab olema lõplik ja mittenegatiivne, peab autoregressioonikordaja rahuldama tingimust -1<Φ1<Φ1 6. Kuidas muuta mittestatsionaarse statsionaarseks; Statsionaarne: keskväärtuse järgi (rea keskmised on konstansed), rea dispersiooni järgi (ka peab olema konstantne) ja autokor. järgi (kui esimene ja teine on täidetud, siis kolmas ka). Mittestatsionaarne: (need kolm komponendid ei ole konstantsed) – rea algus ja lõpp on erinevad, reas on sees trend. Stat
funktsiooniks Funktsiooni loomulik määramispiirkond: Argumendi väärtuste hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri on rakendatav. Vaatleme ainult reaamuutuja funktsioone, st nii X kui ka Y koosnevad reaalarvudest. * jagatise nimetaja ei tohi võrduda nulliga 1 X R f (x ) = x + 3 X = ]- ;-3[ ]- 3; [ * paarisjuure argument peab olema mittenegatiivne X R f (x ) = 2x - 7 X = [3,5; [ *logaritmfunktsiooni argument peab olema positiivne X R ( f ( x ) = log x 3 + 1 ) X = ]- 1; [ 1 Funktsiooni muutumispiirkond Eeskirja kohaselt määramispiirkonna kõigi punktide teisendamisel saadud reaalarvude alamhulk on funktsiooni muutumispiirkond. Argumendi igale
K C D Joonisel toodud orienteeritud graaf on sidus (iga kaks tippu on ühendatud teega), kui aga vahetame tippe C ja D ühendava kaare suuna, siis saadud uus graaf enam pole sidus. Selgitada miks! Näide: Linnatänavad lähtudes sõidukite liikumisest, osa on ühesuunalised liiklusega, osa kahesuunalise. Võrk ehk kaalutud graaf Võrk ehk kaalutud graaf on graaf, mille igale kaarele on seatud vastavusse mittenegatiivne arv ehk kaare kaal. Võrk võib olla orienteeritud või mitteorienteeri- tud. Näide: kaal on sihtpunktide vaheline teepikkus. Kaalutud graafis võib kaal sõltuda suunast. Lühim tee: tee, mille kaarte kogukaal on vähim. Puu (Tree) Puu koosneb lõplikust tippude (sõlmede) hulgast, mis on tühi või mille üks tipp juur on välja eraldatud ja ülejäänud tipud moodustavad mittelõikuva alamhulga, millest igaüks on omakorda puu. Puu on sobiv hierarhiliste andmestruktuuride kirjelda-
juba oli võetud tingimuseks, et mis iganes x väärtuse puhul on f(x) g(x), ka i on üks argumendi x väärtustest. Pealegi on alati xi 0. Nii et saame väita, et g(i) f(i) 0. n Järelikult on integraalsumma i =1 [g(i) f(i) ]xi iga liidetav* POSITIIVNE või nulliga võrdne suurus, seega on kogu integraalsumma MITTENEGATIIVNE SUURUS, seega on integraalsumma PIIRVÄÄRTUS mittenegatiivne. Aga integraalsumma piirväärtus seatud tingimustel pole ju midagi muud kui määratud integraal, mis on seega MITTENEGATIIVNE: b a [g(x) f(x)]dx 0 , nüüd saime seda väita! Teisendades nüüd määratud integraali omadusi tundes seda avaldist, saame: b b a g(x)dx - a f(x)dx
f(x), y = g(x), x = a ja x = b piiratud kõverjoonelise trapetsi pindala S avaldub kujul . Lause2 Olgu lõigul [a; b] pidev funktsioon y = f(x) 0 antud parameetriliste võrranditega , kusjuures (t) on rangelt monotoonne pidevalt diferentseeruv funktsioon lõigul [; ]. Kui () = a ja () = b, siis joontega y = f(x), y = 0, x = a ja x = b piiratud kõverjoonelise trapetsi pindala S avaldub kujul . Def2 Kui funktsioon f(x) on lõigul [a; b] pidev ja mittenegatiivne, siis joontega y = f(x), y = 0, x = a, x = b määratud kõverjooneline trapetsi D pöörlemisel ümber x- telje tekkiva pöördkeha ruumalaks V nimetatakse piirväärtust .
a 5. integreerimisradade asukohtade vahetamisel muutub määratud integraali märk vastupidiseks b a f (x)dx = - f (x)dx; a b 6. määratud integraal mittenegatiivsest funktsioonist on mittenegatiivne, st kui f (x) 0, siis b f (x)dx 0; a 7. iga arvu c korral lõigust [a, b] (a < c < b) saab määratud integraali radades a-st b-ni esitada kahe sellise määratud integraali summana, millest üks on radades a-st c-ni ja teine on radades c-st b-ni
33. Millal on süsteemi liikumishulk võrdne nulliga? Kui süsteemi masskeskme kiirus on võrdne nulliga K=mvc 34. Mis ühist on süsteemi liikumishulga teoreemil ja masskeskme liikumise teoreemil? Sisuliselt sama eri vormid. Vt järeldus 5 35. Mida iseloomustab keha inertsmoment antud telje suhtes? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus? Kas see saab olla ka negatiivne? Keha massijaotust vaadeldava telje suhtes. Skalaarne. Mittenegatiivne. 36. Milleks on vaja inertsmomente? Kas translatoorse liikumise uurimiseks, või pöördliikumise uurimiseks, või mõlema uurimiseks, või mitte kummagi uurimiseks? keha inertsmoment antud telje suhtes on inertsi mõõduks pöörlemisel ümber antud telje 4 37. Mida nimetatakse süsteemi inertsmomendiks mingi telje suhtes? Valem.
2 3 n 1! 2! 3! n! 7. Teoreemid funktsiooni kasvamise ja kahanemise ning funktsiooni tuletise vahelistest seostest tõestuseta. Nende teoreemide geomeetriline tõlgendus. 1) Kui lõigul [ a, b] diferentseeruv funktsioon on sellel lõigul kasvav, siis on funktsioonil lõigul [ a, b] mittenegatiivne tuletis, s.t. f ( x ) 0 . 2) Kui funktsioon f ( x ) on lõigul [ a, b] pidev ja vahemikus ( a, b ) diferentseeruv, kusjuures a< x 0 , siis see funktsioon lõigul [ a, b] kasvab. 1) Kui funktsioon f ( x ) lõigul [ a, b] kahaneb, siis sellel lõigul f ( x ) 0 . 2) Kui f ( x ) < 0 vahemikus ( a, b ) , siis f ( x ) kahaneb lõigul [ a, b] . 8. Funktsiooni maksimumi ja miinimumi definitsioonid. Funktsiooni ekstreemumi mõiste.
lõigu [a, b] keskpunkt. Dispersioon on DX = (b - a)2/12. Normaaljaotuse keskväärtus EX = µ ja dispersioon on s2. 16. Pideva juhusliku suuruse tihedusfunktsioon. Pideva juhusliku suuruse korral on võimalik leida jaotusfunktsioonist tuletis. Jaotusfunktsiooni tuletist nimetatakse juhusliku suuruse tihedusfunktsiooniks. Tihedusfunktsiooni tähistatakse tähega f(x). Tihedusfunktsioonil on järgmised omadused, mis vahetult tulenevad jaotusfunktsiooni omadustest: Tihedusfunktsioon on mittenegatiivne f(x) >= 0.; Tihedusfunktsiooni alune pindala on võrdne ühega. Tihedusfunktsioon kannab endaga kaasas kõikvõimalike intervallide tõenäosusi, intervalli (a, b) tõenäosus on võrdne pindalaga, mis jääb tihedusfunktsiooni alla selle intervalli kohale. 17. Juhusliku vektori mõiste, tema jaotusfunktsioon ja vektori komponentide marginaaljaotused. Juhuslikuks vektoriks nimetatakse vektorit (X, Y), mille koordinaadid ehk komponendid on juhuslikud suurused
rajades a-st b-ni Tähistused: a= integraali alumine rada b= integraali ülemine rada Teoreemid: TEOREEM: Lõigus {a,b} pidev funktsioon f(x) on integreeruv selles lõigus TEOREEM: Lõigus {a,b} monotoone funktsioon f(x) on integreeruv selles lõigus TEOREEM: Lõigus {a,b} integreeruv funktsioon f(x) on tõkestatud selles lõigus Geomeetriline tähendus: kui funktsioon f(x) on lõigus {a,b} integreeruv ja mittenegatiivne (f(x)>0), siis integraal kõvertrapetsi pindala 26. Määratud integraali arvutamine Newton-Leibnizi valemi abil (valem). b ∫ f ( x ) dx=F ( b )−F (a) a 27. Määratud integraali omadused. a b 1) kui a>b, siis ∫ f ( x ) dx=−∫ f ( x) dx b a a 2) kui a=b, siis ∫ f ( x ) dx=0 a 28
A B (A või B). Hulkade A ja B ühisosasse kuuluvad mõlema hulga ühised elemendid. A B (A ja B). Absoluutväärtus Reaalarvu absoluutväärtuseks (mooduliks) nimetatakse arvu a, kui a0 ja arvu a vastandväärtust a, kui a 0. a; a 0 a a; a 0 Absoluutväärtus a b on võrdne arvtelje punktide a ja b vahelise kaugusega. Omadused: 1. Arvu absoluutväärtus on mittenegatiivne, a 0 2. Vastandarvude absoluutväärtused on võrdsed, a a 3. Arvu absoluutväärtus pole arvust väiksem, a a 4. Arvu absoluutväärtus pole väiksem antud arvu vastandarvust a a 5. ab a b 6. ab a b 7. a b a b a a 8. , kui b0 b b 2 Astmed ja juured Tehted astmetega: 1. a m a n a m n 2
A B (A või B). Hulkade A ja B ühisosasse kuuluvad mõlema hulga ühised elemendid. A B (A ja B). Absoluutväärtus Reaalarvu absoluutväärtuseks (mooduliks) nimetatakse arvu a, kui a0 ja arvu a vastandväärtust a, kui a 0. a; a 0 a a; a 0 Absoluutväärtus a b on võrdne arvtelje punktide a ja b vahelise kaugusega. Omadused: 1. Arvu absoluutväärtus on mittenegatiivne, a 0 2. Vastandarvude absoluutväärtused on võrdsed, a a 3. Arvu absoluutväärtus pole arvust väiksem, a a 4. Arvu absoluutväärtus pole väiksem antud arvu vastandarvust a a 5. ab a b 6. ab a b 7. a b a b a a 8. , kui b0 b b 2 Astmed ja juured Tehted astmetega: 1. a m a n a m n 2
Standardne kuju: z=c1x1 + ... + cnxn à max a11x1 + ... + a1nxn b1 ... am1x1 + ... + amnxn bm x0 Kasutades vektoreid c, b, x ja m*n-maatriksit A kirjutame ülesande vektorkujul: z = (c,x) à max Ax b, x0. Kanooniline kuju: z=(c,x) àmin Ax = b x0 Standardse ülesande teisendamisel kanooniliseks, lisandub igale reale üks mittenegatiivne muutuja, et võrdused oleksid õiged. Maksimumi miinimumiks saamisel korrutame rida läbi -1-ga. Kanoonilise ülesande teisendamisel standardseks korrutame samuti esimese rea -1ga läbi. Kitsendusele lisandub sama kitsenduse vastasmärgiline kitsendus. N: 3x1+x2 = 5 à 3x1+x2 5; -3x1-x2 -5. 9. Lubatavate lahendite hulga omadused (kolm teoreemi) Teoreem 1: Lubatud lahendite hulk Q on kumer. *võtame kaks punkti ning tõmbame nende vahele joone. Joon x = 1x1+2x2 1 + 2 = 1, 1, 2 > 0
korral lokaalne miinimum. Jääkliikme tegur (x-a)2/2! Ei muuda märki. Kuna f''(a)0 ja f''(x)C(a), siis leidub punkti a selline ümbrus, kus f''(a+(x-a)) ei muuda märki selles ümbruses. Seega seal a ümbruses, kus jääkliikme märk ei muutu eksisteeribki punktis a range lokaalne ekstreemum. Kui f''(a)<0, siis jääkliige on mittepositiivne ning tegemist on range lokaalse maksimumiga ja kui f''(a)>0, siis jääkliige on mittenegatiivne ning tegemist on range lokaalse miinimumiga. 1. 23. Joone kumerus ja nõgusus. Def.1. funktsiooni y=f(x) graafik on kumer punktis a(täpsemini pu nktis (a,f(a))), kui lelline - ümbrus, et funktsiooni f(x) graafik argumendi x väärtustel ümbrusest (a-, a+) allpool(mitte ülalpool) puutujat, mis on tõmmatud punktis (a,f(a)) funktsiooni graafikule. Def.2. F-ni graafik on nõgus punktis a kui selle punkti (a,f(a)) joonele tõmmatud puutuja on allpool f-ni graafikut. [tee joonised puutujatega]
koos reaalarvude piirkondadeks. REAALARVU ABSOLUUTVÄÄRTUS Reaalarvu absoluutväärtuseks a nimetatakse arvu a, kui a 0 ja arvu a vastandväärtust a, kui a < 0. a, kui a 0, Sümbolites: a = -a, kui a < 0. NÄIDE: 5 = 5 ; -7 = 7 Arvteljel tähendab arvu absoluutväärtus sellele arvule vastava punkti kaugust arvtelje nullpunktist. Absoluutväärtuse omadusi: · Arvu absoluutväärtus on mittenegatiivne, s.t. a 0. · Vastandarvude absoluutväärtused on võrdsed, s.t. -a = a . · Arvu absoluutväärtus pole arvust väiksem, s.t. a a. · Arvu absoluutväärtus pole väiksem antud arvu vastandarvust, s.t. a -a. · a - b a+ b a + b · a - b a- b a + b · Absoluutväärtus korrutisest on võrdne tegurite absoluutväärtuste korrutisega, s. t. a × b = a × b .
väärtused saavad olla vahemikus 0≥F(x)≤1. ; Jaotusfunktsioon on mittekahanev funktsioon; F(-∞)=0; F(+∞)=1. Jaotusfunktsiooni graafik sõredate suuruste korral on trepiastmete kujuline. Pidevate juhuslike suuruste korral on sujuvalt ülesminev, mitte astmik. 22. Juhusliku suuruse tihedusfunktsioon – nimetatakse jaotusfunktsiooni esimest tuletist, st P(x)=F’(x). OMADUSED: Tihedusfunkts.on ainult pidevatel juhuslikel suurustel!; mittenegatiivne funktsioon p(x)≥0, st tihedusf. on kas võrdne nulliga v omab positiivseid väärtuseid. ; P(-∞)=0, st tihedusf.kohal -∞ on võrdne nulliga. JA p(+∞)=0. Määratud integraal tihedusf. lõpmatutes rajades on võrdne ühega. Tihedusf. graafik ei saa asuda allpool x-telge ning kogu kõvera ja x-telje vahele jääva kujundi pindala on võrdne ühega. (graafik läheb üles ja siis alla). 23. Juhusliku suuruse antud vahemikku langemise tõenäosus –
Seosed polaar- ja ristkoordinaatide vahel, joonis. Punkti M asukoha tasapinnal määravad kaks arvu: polaarkaugus (polaarraadius) , mis on punkti M kaugus poolusest, ja polaarnurk , mis on polaartelje ja lõigu OM vahel. Vastu kellaosuti liikumise suunda mõõdetud nurk loetakse positiivseks ja kellaosuti liikumise suunas mõõdetud nurk negatiivseks. Arve ja nimetatakse punkti M polaarkoordinaatideks. Polaarkaugus on alati mittenegatiivne: 0. Polaarnurga üheseks määramiseks valitakse see poollõigult 0 < 2 , siis vastab igale punktile tasapinnal peale pooluse teatud kindel arvude ja paar. Pooluse puhul = 0 ja on suvaline. Seose saamiseks punkti polaarkoordinaatide ja ristkoordinaatide vahel võtame pooluseks ristkoordinaatide alguspunkti ning polaarteljeks x-telje positiivse suuna. 6. Muutuva suuruse piirväärtus, selle geomeetriline tähendus. Definitsioon muutuja x lähenemisest lõpmatusele.
seda kasutatakse niisuguste avaldiste integreerimisel, mida saab esitada kahe teguri u ja dv korrutisena. Funktsioon u on sellinne, mis diferentseerimise kaudu muutub lihtsamaks (näiteks arcsinx, lnx, x3), aga dv on avaldis, millest integreerimise teel saame leida v. 21. Integraalsumma ja määratud integraal. Definitsioonid, lisaks ka korralik selgitus. Integraalsumma. On antud lõigul [a, b] esialgu pidev ja mittenegatiivne funktsioon y = f(x). Jaotame lõigu [a, b] n osaks punktidega a = x0, x1, x2 ... xn = b, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b. Igal lõigul pikkusega xi = xi xi 1 (ehk lõikudel [x0, x1], [x1, x2], ... [xn - 1, xn]) võtame punkti i ning arvutame funktsiooni vastava väärtuse f(i). Summat Sn = f(1)x1 + f(2)x2 +...+ f(n)xn = nimetatakse funktsiooni y = f(x) integraalsummaks lõigul [a, b]. Määratud integraal
punktis B. Nullvektor Eukleidilises ruumis (näiteks tasandil) on nullvektoriks määramata suunaga vektor, mille pikkus on null. Ühikvektor Kui vektori pikkus on 1, siis teda nimetatakse ühikvektoriks. Vektorite liitmine ja lahutamine Lahutamine toimub sama põhimõtte järgi. Reaalarvu ja vektori korrutis. Vektori pikkus Vektori pikkuseks loetakse sellele vektorile vastava sirglõigu AB pikkust. See on mittenegatiivne reaalarv.Tähistus Kollineaarsed vektorid Vektoreid AB ja CD nimetatakse kollineaarseteks ehk samasihilisteks, kui lõigud AB ja CD asuvad kas ühel sirgel või paralleelsetel sirgetel. Komplanaarsed vektorid Vektoreid nimetatakse komplanaarseteks, kui nad asetsevad kas ühel tasandil või paralleelsetel tasanditel. Samasuunalised vektorid Kui vektorid on samasihilised ning on samas suunas. Vastassuunalised vektorid Kui vektorid on samasihilised ning vastupidises suunas üksteise suhtes.
ühel hetkel, mitte ajavahemikus. Kummalgi juhul võidakse kiiruse all mõelda vektorit (kolmemõõtmelises ruumis), mille suunaks liikumissuund ja mille moodul näitab liikumise intensiivsust, mittenegatiivset reaalarvu -- kiirusvektori moodulit, märgiga reaalarvu -- kui keha liigub mööda sirget vm. joont ning sellel joonel on kokku lepitud "positiivne suund". Keskmine kiirus (kui mittenegatiivne reaalarv) on selles ajavahemikus keha poolt läbitud teepikkuse ja kulunud aja suhe: , kus on keskmine kiirus, on keha poolt läbitud teepikkuse muut ja on aja muut. 4.Kiirendus (seletus ,valem ,mõõtühik) Kiirendus (tähis ) on vektoriaalne füüsikaline suurus, mis väljendab kiiruse muutumist ajaühiku kohta. Kiirenduse dimensioon on teepikkus/aeg2. Kiirenduse mõõtühik SIsüsteemis on meeter sekundi ruudu kohta ( ).
f ( ξ k ) ≥ 0. Korrutased viimast võttatust viimase k -osalüigu pikkusega, saame f ( ξ k ) ∆ x k , k=1, 2, 3, … ,n . Liites kõik n mittenegatiivset suurust, saame mittenegatiivse suuruse n ∑ f ( ξ k ) ∆ x k ≥ 0. k=1 Kuna mittenegatiivse suuruse piirväärtus on piirprotsessis λ → 0 mittenegatiivne suurus, on omadus tõestatud. Järeldus 2. Lõigul [a ; b] f ( x ) ≥ g( x ) , siis kehtib b b ∫ f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx . a a Tõestus Eelduse kohaselt f ( x )−g ( x ) ≥ 0 , seega omadus 3 järgi b ∫ [ f ( x )−g ( x ) ] dx ≥ 0. a Järelduse 1 alusel b b ∫ f ( x ) dx−∫ g ( x ) dx ≥ 0, a a mis võrdubki meie väitega. Omadus 4.
ristküliku pindala on f(x∗i) ∆x Kogu joonealust pindala saame seega lähendada järgmise ristkülikute pindalade summaga: 𝑓(𝑥1∗ )∆𝑥1 + 𝑓(𝑥2∗ )∆𝑥2 + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛∗ )∆𝑥𝑛 = ∑𝑛𝑖=1 𝑓( (𝑥𝑖∗ )∆𝑥𝑖 Funktsiooni f(x) määratud integraaliks rajades a-st b-ni nimetatakse piirväärtust Geomeetriline tähendus: Kui funktsioon f(x) on lõigus [a, b] integreeruv ja mittenegatiivne (f(x) ≥ 0), siis integraal kõvertrapetsi pindala. Kui f(x) omab ka negatiivseid väärtusi, siis iga vastav f(x)∆x on negatiivne ja seega ka pindala läheb arvesse negatiivsena. Sellisel juhul kujutab R b a f(x)dx geomeetriliselt positiivselt ja negatiivselt 𝑎 loetud pindala vahe: ∫𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐴1 − 𝐴2 , kus A1 – x-teljest ülalpool olev pindala, A2- x-teljest allpool olev pindala 32. Määratud integraali omadused. 33
Olgu hulgas D paiknevatele punktidele (x,y) vastavate polaarkoodniaatide (,) hulk D`. Muutuja vahetuse teostamiseks peame arvutama jakobiaani J(, ). Kasutades ülaltooduid avaldisi x ja y jaoks saame: J(,)= x '(, ) x '(, ) = cos - sin = cos2 + sin2 = y '(, ) y '(, ) sin cos Muutuja vahetuse esimeses valemis esineb jakobiaani (J) absoluutväärtus. Kuna polaarkaugus on mittenegatiivne , siis J(, )== . Järelikult (x,y)dxdy= (a + cos , b + sin ) d d D D 10. Tuletada valem tasandilise kujundi massi arvutamiseks aine pindtiheduse kaudu. Olgu antud aine pindtihedus (P) kogupiirkonnas D. Jaotame piirkonna D osapiirkondadeks S1, S2, ..., Sn ja valime igas osapiirkonnas Si ühe punkti Pi. Tähistagu Si samaaegselt nii I-ndta tükki kui i-nda tüki pindala. Olgu S i mass mi. Kui osapiirkond Si on väike, siis võib
2) Määratud integraal funktsioonide summast võrdus liidetavate integraalide summaga. 3) Määratud integraal funktsioonide vahest võrdub integraalide vahega. 4) Kontstantse teguri C võib tuua määratud integraali märgi ette. 5) Integreerimisradade asukohtade vahetamisel muutub määratud integraali märk vastupidiseks. 6) Määratud integraal mittenegatiivsest funktsioonist on mittenegatiivne 7) Newton-Leibnizi valem: 39. Kõvertrapetsi pindala arvutamine määratud integraaliga: (a) kujund piiratud x-teljega ja funktsiooni y = f(x) graafikuga; (b) kujund piiratud funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) graafikutega. Olgu funktsioon y=f(x) määratud, pidev ja mittenegatiinve lõigus [a,b]. Kujundit mis on ülalt piiratud funtsiooni f graafikuga, alt x-teljega ning külgedelt sirgetega x=a ja x=b, nim kõvertrapetsiks
2 · i =1 Keha inertsmomendiks telje suhtes nimetatakse skalaarset suurust, mis võrdub keha kõikide punktide masside ja nende antud teljest arvatud kauguste ruutude korrutiste summaga 199. 200. 201. · Inertsmoment on skalaarne suurus · Keha inertsmoment mingi telje suhtes iseloomustab keha massijaotust selle telje suhtes · Inertsmoment mingi telje suhtes on alati mittenegatiivne suurus 202. Keha inertsmoment punkti suhtes ( ) I = m (x ) n n 2 hi = xi + yi 2 2 I = mi xi + yi
kiirusest keha liikumist ühel hetkel, mitte k ajavahemikus. Kummalgi juhul võidakse kiiruse all mõelda vektorit (kolmemõõtmelises ruumis), mille suunaks liikumissuund ja mille moodul näitab liikumise intensiivsust, mittenegatiivset reaalarvu — kiirusvektori moodulit, märgiga reaalarvu — kui keha liigub mööda sirget vm. joont ning sellel joonel on kokku lepitud "positiivne suund". Keskmine kiirus (kui mittenegatiivne reaalarv) on selles ajavahemikus keha poolt läbitud teepikkuse ja kulunud aja suhe: on keskmine kiirus, on keha poolt läbitud teepikkuse muut ja on aja muut. Heitgaasid: Heitgaas (inglise exhaust gas, waste gas) on atmosfääri lenduv kütuse põlemise või tootmise gaasiline jääk- või kõrvalsaadus, mis sisaldab kahjulikke aineid ja vajab puhastamist[1]. Heitgaasid võivad olla ka looduslikku päritolu (tekivad nt. äikese, vulkaanilise tegevuse ja
3. Nimetada määramata integraali omadusi. 1) 1) (f(x)dx)'= f(x) 2) (f(x)± g(x))dx = f(x)dx± g(x)dx 3) af (x)dx = af (x)dx 4. Defineerida määratud integral. Kui funktsioonil y=f(x) on olemas algfunktsioon F(x) lõigus [a;b] siis nimetatakse vahet F(b) - F(a) selle funktsiooni määratud integraaliks rajades a-st b-ni 5. Milline on määramata integraali geomeetriline tähendus? Geomeetriliselt kujutab määratud integraal kõvertrapetsi abBA pindala juhul, kui y=f(x) on pidev ja mittenegatiivne lõigul [a;b] 6. Nimetada määratud integraali omadusi. 7. Newton-Leibnizi valem? Teooriaküsimused nr. 7 1. Defineerida päratu integraal. 2. Kirjeldada, mida geomeetriliselt näitab päratu integraal kui f (x) > 0 piirkonnas [(a,). Päratu integraal on arvuliselt võrdne lõiguga OD, joonega f(x)=Re-ix ja x-teljega piiratud lahtise kujundi pindalaga 3. Mis on tarbija ja tootja hinnavaru?
Tõestus Kui f ( x ) ≥ 0 kogu lõigul [a ; b] , siis on f ( x ) ≥ 0 igal osalõigul [ x k−1 ; x k ] , k=1, 2,3, … , n , seega kehtib ka f ( ξ k ) ≥ 0. Korrutased viimast võttatust viimase k -osalüigu pikkusega, saame f ( ξ k ) ∆ x k , k=1, 2, 3, … ,n . Liites kõik n mittenegatiivset suurust, saame mittenegatiivse suuruse n ∑ f ( ξ k ) ∆ x k ≥ 0. k=1 Kuna mittenegatiivse suuruse piirväärtus on piirprotsessis λ → 0 mittenegatiivne suurus, on omadus tõestatud. (L. Pallas) Järeldus 2. Lõigul [a ; b] f ( x ) ≥ g(x ) , siis kehtib b b ∫ f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx . a a Tõestus Eelduse kohaselt f ( x )−g ( x ) ≥ 0 , seega omadus 3 järgi 8 b ∫ [ f ( x )−g ( x ) ] dx ≥ 0. a Järelduse 1 alusel b b ∫ f ( x ) dx−∫ g ( x ) dx ≥ 0,
3). Pideva funktsiooni z=f(x,y) kaksikintegraal ID üle piirkonna D, mille pindala on S, võrdub korrutisega, mille üheks teguriks on pindala S ja teiseks funktsiooni z=d(x,y) väärtus piirkonna D teatud punktis P: 3. Pindala ja ruumala arvutamine kahekordse integraali abil: ruumala arvutamine (+märkus 20.1 ja 20.2); tasandilise piirkonna pindala arvutamine (selgitustega: et olgu f(x, y) 1 jne). Ruumala. Kui keha on piiratud pinnaga z=f(x,y), kus funktsioon f(x,y) on mittenegatiivne, tasandiga z=0 ja silindrilise pinnaga, mille juhtjoonteks on piirkonna D rajajoon ning moodustajad on paralleelsed z-teljega, siis keha ruumala V võrdub funktsiooni d(x,y) kahekordse integraaliga üle piirkonna D: Märkus 20.1. Kui keha, mille ruumala otsitakse, on ülalt piiratud pinnaga z=2(x,y)0, alt aga pinnaga z= z=1(x,y)0, kusjuures nende pindade projektsiooniks xy-tasandil on piirkond D, siis selle keha ruumala võrdub kahe silindrilise keha ruumalade vahega;
konstanti c nimetatakse integreerimiskonstandiks 3. Nimetada määramata integraali omadusi. 1) 2) 3) 4. Defineerida määratud integraal. Kui funktsioonil y=f(x) on olemas algfunktsioon F(x) lõigus [a;b] siis nimetatakse vahet F(b) - F(a) selle funktsiooni määratud integraaliks rajades a-st b-ni ja tähistatakse: 5. Milline on määramata integraali geomeetriline tähendus? Geomeetriliselt kujutab määratud integraal kõvertrapetsi abBA pindala juhul, kui y=f(x) on pidev ja mittenegatiivne lõigul [a;b] 6. Nimetada integraali omadusi. 1) 2) 3) 4) 5) kui f(x)g(x) iga x korral 7. Newton-Leibnizi valem? Olgu f(x) lõigul [a;b] integreeruv ja leidugu tal sellel lõigul algfunktsioon F(x), siis: TEOORIAKÜSIMUSED nr 7 1. Defineerida päratu integraal. Funktsiooni päratuks integraaliks rajades a-st lõpmatuseni (rajades miinus lõpmatusest a-ni) nimetatakse piirväärtust 2
ja binoomjaotus lähenevad normaaljaotusele.
Standardiseerimine Seda on vaja, et saaks
võrrelda erinevate jaotusparameetritega
juhuslikke suurusi, standardiseerimine viib
need ühesugusele võrreldavale skaalale. Z=(x -
µ)/ s .
Tihedusfunktsioon Pideva juhusliku suuruse
jaotusfunktsiooni tuletist
nimetatakse juhusliku suuruse
tihedusfunktsiooniks, tähistatakse tähegaf(x).
Tihedusfunktsioonil on järgmised omadused,
mis vahetult tulenevad jaotusfunktsiooni
omadustest: 1) Tihedusfunktsioon on
mittenegatiivne f(x) >= 0.2)
Tihedusfunktsiooni alune pindala on võrdne
ühega. |f(x)dx=1 Tihedusfunktsioon kannab
endaga kaasas kõikvõimalike intervallide
tõenäosusi, intervalli (a,b) tõenäosus on
võrdne pindalaga, mis jääb tihedusfunktsiooni
alla selle intervalli kohale.P(a
y=F(x) lõigus {a,b}, siis nimetatakse vahet F(b) F(a) selle funktsiooni määratud integraaliks rajades a-st b-ni ja tähistatakse f(x)dx. piirväärtust lim , 0 = lim f ( i) x i , 0 ( summa n kuni i = 1) nimetatakse funktsiooni f (x) määratud integraaliks e. Riemanni integraaliks lõigus [ a; b ] 35. Milline on määramata integraali geomeetriline tähendus? Geomeetriliselt kujutab määratud integraal kõvertrapetsi abBA pindala juhul, kui y=f(x) on pidev ja mittenegatiivne lõigul {a,b}. S= f(x)dx, f(x)>=0. 36. Nimetada määratud integraali omadusi. 1) Aditiivsus: kui 2) Lineaarsus: kui 3) Monotoonsus: kui funktsioonid f ja g on integreeruvad lõigus {a,b} ja f(x)<= g(x) iga 37. Newton-Leibnizi valem. Olgu f(x) lõigul integreeruv ja leidugu tal sellel lõigul algfunktsioon F(x). Siis Sageli kasutatakse ka tähistust: 38. Defineerida päratu integraal. Funktsiooni päratuks integraaliks rajades a-st
Dissipatiivne jõud töö on nullist erinev (nt takistusjõud). Tsentraalne on jõud, mille suurus sõltub vastastikmõjus olevate kehade vahekaugustest ja on suunatud piki nende kehade masskeskmeid ühendavat sirget. Vaatame keha liikumist kinnisel trajektooril jõuväljas. Kineetiline ja potentsiaalne energia Energia mõõtühikuks on J (dzaul). Kineetiline energia Ek on keha liikumisega seotud energia. ØKineetiline energia on alati mittenegatiivne suurus. ØKineetiline energia sõltub taustsüsteemi valikust Potentsiaalne energia Ep on kehade või keha osade vastastikuse mõju energia. Lastes mudelauto veereda mööda renni alla siis üleval olles on potentsiaalne energia ja all kineetiline. Pendli kõikumisel on potentsiaalne energia on kõige suurem kõige kaugemas punktis ja kineetiline energia kõige suurem siis kui jõuab vertikaalpunkti. Potentsiaalne energia näitab kui suur on võimalik
alguse ja lõpu vahel. Kui vektori algus on punktis A ja lõpp punktis B, siis tähistatakse AB , a . Vektor on kindla sihi, suuna ja pikkusega lõik. Siht on teda kandva sirge siht. Suund on alguspunktist lõpp-punkti poole. Definitsioon. Vektori mooduliks nimetatakse tema pikkust, see on lõigu AB pikkust ja tähistatakse AB AB , a a . Vektori moodul on skalaarne mittenegatiivne suurus. Definitsioon. Nullvektoriks nimetatakse vektorit, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kokku. Nullvektori moodul on alati võrdne nulliga, tema suund ei ole määratud. Definitsioon. Ühikvektoriks nimetatakse vektorit, mille moodul (pikkus) on 1. Definitsioon. Kollineaarseteks vektoriteks nimetatakse vektoreid, mis asuvad ühel sirgel või paralleelsetel sirgetel. Kollineaarseid vektoreid tähistatakse a b
· (a·b)n=an·bn · (a/b)n=an/bn · (an)m=anm · am·an=am+n · am/an=an-n 1.10 Ruutjuur a=b, kus b0 ja b2=a · a·b=a·b · a/b=a/b · na+ma=(n+m)a · a2=|a| 1.11 Arvu n-es juur 2k-ndaks juureks mittenegatiivsest arvust a nimetatakse sellist mittenegatiivset arvu b, mille 2k-s aste on a (2k+1)ks juureks arvust a nimetatakse sellist arvu b, mille (2k+1)-ne aste on a 1.12 Juurte omadusi · Igal mittenegatiivsel reaalarvul on parajasti üks mittenegatiivne n-es juur · Negatiivsel arvul ei ole reaalarvude hulgas paarisarvulise juurijaga juurt · Igal negatiivsel arvul on reaalarvude hulgas parajasti üks negatiivne paarituarvulise juurijaga juur 4. 5. 6. 7. Juure väärtus ei muutu, kui juurijat ja juuritava astendajat jagada nende ühisteguriga või korrutada ühe ja sama nullist erineva naturaalarvuga 1.13 Juurte koondamine
ab(g(x)-f(x))dx. Olgu lõigul [a,b] pidev f-n y=f(x)>=0 antud parameetriliste võrranditega {x=(t) ja y=(t), (t[,]), kusjuures (t) on rangelt monotoonne pidevalt diferentseeruv f-n lõigul[,]. Kui ()= a ja ()= b, siis joontega y=f(x), y=0, x=a ja x=b piiratud kõverjoonelise trspetsi pindala avaldub kujul S= (t)'(t)dt. 50. Keha ruumala arvutamine määratud integraali abil: Kui f-n f(x) on lõigul [a,b] pidev ja mittenegatiivne, siis joontega y=f(x), y=0, x=a ja x=b määratud kõverjoonelise trapetsi D pöörlemisel ümber x-telje tekkiva pöördkeha ruumalaks V nim piirväärtust lim(n, maxxi0) (n,i=1) f2(i)xi, kui see ei sõltu lõigu [a,b] tükeldamise viisist ja valikust i [xi-1,xi] (i = 1;2;...n). Et f(x) C[a,b] f2(x) [a,b] f2(x) I [a,b], siis eelnimetatud piirväärtus eksisteerib. Vormistame saadud tulemuse. Kui f(x) >=0 ja f(x) C[a,b], siis joontega y=f(x) (a<=x<=b), x=a
Arvu F(b) - F(a) nimetatakse funktsiooni y = f(x) määratud integraaliks rajades a-st b-ni ja tähistatakse abf(x)dx = F(b) - F(a)) määratud integraali omadused: a. kõik määramata integraalile kehtivad omadused b. võrdsete integreerimisradadega määratud integraal võrdub nulliga c. integreerimisradade vahetamisel muutub integraali märk vastupidiseks d. määratud integraal mittenegatiivsest funktsioonist on mittenegatiivne e. iga arvu c korral lõigust (a, b) saab määratud integraali radades a-st b-ni esitada kahe sellise määratud integraali summana, millest üks on radades a-st c-ni ja teine c-st b-ni. Newton-Leibnizi valem: 36. Kõvertrapetsi pindala arvutamine määratud integraaliga: (a) kujund piiratud x-teljega ja funktsiooni y = f(x) graafikuga; (b) kujund piiratud funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) graafikutega.
- on 0 ja lähenedes on 1.
4. Näidata, et jaotusfunktsioon on mittekahanev. Leida eeskiri juhusliku suuruse
vahemikku langemise tõenäosuse arvutamiseks.
Jaotusfunktsioon on mittekahanev a ja b korral kui a < b ehk F(b) ≥ F(a). Selle tõestuseks
jagame vaadeldavad arvuvahemikud sündmustega: A, et X≤a; B, et a
d.ii. On võimalik liikuda tipust v mööda suunatud ahelat tippu u. 50) a. Teoreem. Kui sidusas graafis ei leidu ühtegi silda, siis saab graafi servadele määrata suunad nii, et tekkinud graaf on tugevalt sidus. b. Tõestus. https://moodle.ut.ee/mod/url/view.php?id=107318 lk 80. 51) a. Lühima tee leidmise ülesanne a.i. Antud on suunatud graaf, mille igale kaarele on omistatud kaal (mittenegatiivne reaalarv). a.ii. Leida kahe antud tipu vahel suunatud ahel, millesse kuuluvate servade kaalude summa on vähim võimalik. a.iii. Lahendusmeetod on dünaamiline planeerimine, kus lahend leitakse samm-sammult üha pikemaid ahelaid vaadeldes. b. Floyd-Warshalli algoritm. https://moodle.ut.ee/mod/url/view.php?id=107318 lk 83 84. 52) a. **Floyd-Warshalli algoritmi keerukuse hinnang ja korrektsuse tõestus.
annaabi.ee 
