Kollokvium III 1.17-1.23 kõik (0)

1.17. L’ Hospitali reegel
Reegel, abistamaks piirväärtuse leidmist .
Lause 1. Kui
ja eksisteerib
ning , siiseksisteerib ka , kusjuures , st . Analoogiline v’ide peab paika ka vasakpoole piirväärtuse ja ka kahepoolse piirväärtuse korral.
Tõestus. Eelduses , et eksisteerib
sisaldub vaikimisi, et
Olgu suurus
selline, et . Vaatleme abifunktsioone:
ja . Ning nendest järeldub, et , kusjuures . Et , siis funktsioonid F(x) ja G(x) rahuldavad Cauchy teoreemi eeldusi ning kehtib väide: . Vasakpoolse piirväärtusega analoogselt: ( kirjutan ümber sama aint a-)
Niiet kui on täidetud see sama tingimuste kompott ja kehtivad sellised piirväärtused ja eksisteerib , siis kehtib võrdus .
N.
N.
1.18.Taylori polünoom.
Olgu y=Pn(x) n-järku vektorruum, kus baasikskordajad Ck:
Pn(a)=C0
. Diferentseerides mõlemaid pooli, saame, et .
Analoogilist mõttekäiku jätkates jõuame tulemuseni:
N. P2(x)=x2+x-7 [P2(x)=5+7/1!(x-3)+2/2!(x-3)2]
1.19. Taylori valem.
Kui funktsioon f(x) on kohal a diferentseeruv n-korda, siis on võimalik funktsioonile seada vastavusse n-järku Taylori polünoom:
Et üldjuhul need asjad ei ole võrdsed, siis kehtib seos:
Kogu seda asja nim Taylori valemiks punktis a, ning seda esimest osa Taylori n-järku polünoomiks kohal a ( Tn(x) ) ja Rn-i nim Taylori valemi jääkliikmeks. Funktsiooni f(x) Taylori valemit a=0 korral nim f-ni f(x) n-järku Maclaurini valemiks:
Ja seda sama asja ilma Rn(x)-ta nim Maclaurini polünoomiks Mn(x)=. Ning selljuhul oleks Rn(x) Maclaurini valemi jääkliige.
N. F(x)=ex
N.Leian y= cosx jaoks (2n+1)-järku Maclaurini valemi: [leian 3 tuletist kohal x ja 0]
1.20. Taylori valemi jääkliige
Uurin abifunktsiooni:
Eeldame, et see f-n f(x) on n+1 korral diferentseeruv. Kui see on nii siis on see nii ka F(x) korral. Siis on võimalik kasutada Rolle’i teoreemi. Kui , siis F(x) peaks olema a ja x vahel selline koht kus tuletis on 0.
Rollei teoreem väitis et kui otspunktide tuletised on võrdsed siis vahepeal on koht, kus F(c)=0, järelikult:
Kui n=p-1 siis p=n+1
Ja siit saame, et
Saame Taylori valemi Lagrange ’i kujuga: Kui f-n f(x) on punkti x ümbruses n+1 korda diferentseeruv, siis kehtib väide, mis ütleb, et
Kui a=0, siis saame sellest Maclaurani valemi. F(x) on punkti x ümbruses n+1 korda diferentseeruv, siis
Taylori valemi jääkliiget saab esitada ka veel mitmetel erinevatel kujudel ülesannete lahendamiseks:
n-järku Taylori valemi jääkliige Lagrange’i kujuga: , n-järky taylori valemi jääkliige Cauchy kujuga: , ning juhul kui a=0 eksisteerib ka n-järku Maclaurini valemi jääkliikme Cauchy kuju:
Sõnastan siis ka laused :
L1. Kui funktaioon on n+1 korda diferentseeruv punkti a ümbruses, siis kui iga x kuulub sinna ümbrusesse on see f-n esitatav n-järku Taylori valemi abil, kusjuures jääkliige on esitatav nii Lagrange’i kujul kui ka Cauchy kujul.
L2. Kui funktsioon on n+1 korda diferentseeruv punkti 0 ümbruses, siis kui iga x kuulub sinna ümbrusesse on see f-n esitatav n-järku Maclaurini valemi abil, kusjuures jääkliige on esitatav nii Lagrange’i kujul kui ka Cauchy kujul.
Järeldada saab sellest, et kui me kasutame Lagrange’i kujul jääkliiget Taylori esimest järku valemis kohal a siis me saame Selle valemiga saab leida valemi f(x)≈f(a)+f’(a)(x-a) vea.
N. Hindan viga nt. Seoses . . Jääkliikme absoluutväärtus: . Kuna 1≤1+0,06*θ≤2 (0