Reaalarvud (1)

Reaalarvud
NATURAALARVUD
Naturaalarvudena mõistame arve 1, 2, 3, …. . On ka käsitlusi, kus ka 0 loetakse naturaalarvuks. Naturaalarvude hulka tähistatakse sümboliga N.< .
0 1 2 3 4
Naturaalarvude hulga omadusi.

• Naturaalarvude hulk N on järjestatud lõpmatu hulk, milles on vähim, kuid pole suurim arvu.
  
• Naturaalarvude hulk N on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge .
  
• Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. (Kui kaks naturaalarvu liita või korrutada on tulemuseks alati naturaalarv .)
  
• Naturaalarvude hulk ei ole kinnine lahutamise või jagamise suhtes.
  

Naturaalarve, mis jaguvad 2-ga, nimetatakse paarisarvudeks, ülejäänuid paarituteks arvudeks.
Ühest suuremat naturaalarvu , mis jagub vaid ühe ja iseendaga nimetatakse algarvuks, kõiki ülejäänud ühest suuremaid arve kordarvudeks.
Algarvud on 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 jne. (Hulk on lõpmatu.)
Arvud 0 ja 1 ei ole algarvud ega kordarvud .
Arvu a teguriteks nimetatakse kõiki neid naturaalarve, millega arv a jagub. Arvu iga tegur on kas selle arvu algarvuline tegur ehk algtegur või on võrdne arvu algtegurite korrutisega.
Antud arvude suurimaks ühisteguriks (lühidalt SÜT) nimetatakse suurimat arvu, millega jaguvad kõik antud arvud. Arvude suurimat ühistegurit kasutatakse näiteks murru taandamisel lugeja ja nimetaja ühise jagajana.
Suurima ühisteguri leidmiseks tuleb antud arvud lahutada algtegureiks ja leida nende kõikide ühiste algtegurite korrutis.
NÄIDE: Leiame arvude 30 ja 84 suurima ühisteguri.
Lahutame antud arvud algtegureiks:
30 2 84 2
15 3 42 2
5 5 21 3
1 7 7
1
30 = 2×3×5; 84 = 2×2×3×7 = 22 ×3×7
Leiame nende arvude kõikide ühiste algtegurite korrutise: SÜT(30;84) = 2×3 = 6.
Arvu a kordseks nimetatakse arvu, mis jagub arvuga a. igal arvul a on lõpmata palju kordseid.
Antud arvude ühiskordseiks nimetatakse arve, mis jaguvad iga antud arvuga.
Antud arvude ühiskordseks (lühidalt VÜK) nimetatakse vähimat nullist erinevat arvu, mis jagub iga antud arvuga. Arvude vähimat ühiskordset läheb tarvis näiteks erinimeliste murdude ühise nimetaja leidmiseks.
Vähima ühiskordse leidmiseks tuleb antud arvud lahutada algtegureiks ja leida korrutis, mille teguriteks on:

Kõik esimese arvu algtegurid (kogu esimene arv);

Teisest arvust need algtegurid, mida esimeses arvus ei esine või esineb vähem arv kordi ;

Kolmandast arvust need tegurid, mida esimeses ja teises arvus ei esine või esineb vähem arv kordi;
NÄIDE: Leiame arvude 30 ja 84 vähima ühiskordse.
Arvud 30 ja 84 on näites (esimeses) juba algteguriteks lahutatud. Vähima ühiskordse leidmiseks korrutame esimese arvu kõik algtegurid teise arvu nende algteguritega, mida esimeses arvus ei ole.
VÜK (30;84) = 2×3×5×2×7 = 420
NÄIDE: Arvutame: 7 11
30 84
Nende murdude ühine nimetaja on VÜK (30; 84) = 420.
Laiendaja saame, kui jagame ühise nimetaja antud murru nimetajaga:
714 115 7×14 + 11×5 98 + 55 153 51
30 84 420 420 420 140
Murd 153 on taandatud arvuga SÜT (153; 420) = 3.
420
TÄISARVUD
Täisarvudeks nimetatakse kõiki naturaalarve 1, 2, …(positiivsed täisarvud), nende vastandarve -1, -2, …(negatiivsed täisarvud) ning arvu 0.
Täisarvude hulka tähistatakse Z, positiivseid täisarve Z+, negatiivseid täisarve Z-.
Täisarve kujutatakse arvteljel punktidena, kusjuures positiivne täisarv n ja negatiivne täisarv –n kujutatakse sümmeetrilistena 0-punkti suhtes.
Arve n ja –n nim. teineteise vastandarvudeks.
-n -1 0 1 n
Negatiivsed täisarvud. Null. Positiivsed täisarvud.
Täisarvude hulk Z.
Kahest täisarvust loetakse suuremaks see, mille vastav punkt asub arvsirgel teistega võrreldes positiivses suunas.
Täisarvude hulga omadusi:

• Täisarvude hulk Z on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv.
  
• Täisarvude hulk Z on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge.
  
• Täisarvude hulk Z on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes, s.t. kahe täisarvu liitmisel, lahutamisel ja korrutamisel saame alati täisarvu.
  

RATSIONAALARVUD
Ratsionaalarvuks nimetatakse hariliku murdu a , kus a Є Z, b Є Z ja b ≠0.
b
ratsionaalarvu a vastandarvuks nimetatakse ratsionaalarvu _ a = -a = a ning
b b b -b
ratsionaalarvu a pöördarvuks b
b a.
Kõik täisarvud, pos ja neg murdarvud kokku moodustavad arvuhulga, mida nimetatakse ratsionaalarvude hulgaks ja seda arvuhulka tähistatakse tähega Q.
Z Q
N
Igale ratsionaalarvule a vastab arvteljel oma kindel punkt.
b
Pos ratsionaalarvud asuvad punktist 0 paremal ja neg ratsionaalarvud asuvad punktist 0 vasakul.
Negatiivsed ratsionaalarvud. Positiivsed ratsionaalarvud.
-1 _ 4 _ 3 _ 2 _ 1 0 1 2 3 4 1
5 5 5 5 5 5 5 5
Kahest ratsionaalarvust loetakse suuremaks see, millele vastav punkt arvsirgel asub teisega võrreldes positiivsemas suunas.
Ratsionaalarvude hulga omadusi:

• Ratsionaalarvude hulk Q on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv.
  
• Ratsionaalarvude hulk Q on tihe, s.t. iga kahe ratsionaalarvu vahel paikneb alati veel ratsionaalarve. Ka need arvud ei kata kogu arvtelge.
  
• Ratsionaalarvude hulk Q on kinnine liitmisel, lahutamisel, korrutamisel ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes.
  

Murdudega seoses kasutame järgmisi mõisteid:
Murru liikmeid nimetatakse vastavalt Lugeja .
Nimetaja
Matemaatikas on murrujoonel jagamismärgi tähendus, s.t. a = a ÷ b
b
Harilik murd a (a Є Z, b Є Z ja b ≠ 0) jaotatakse:
b
lihtmurdudeks, kui │ a │
liigmurdudeks, kui │ a │ ≥ │ b │.
Segaarv on naturaalarvu ja lihtmurru summa.
Iga segaarv saab väljendada liigmurruna.
Kümnendmurd – murd, mis on kirjutatud koma abil, kus esimene number pärast koma tähendab kümnendikke, teine sajandikke, jne.
Iga ratsionaalarvu saab esitada kümnendmurruna, kui jagada lugeja nimetajaga. Siin esineb kaks erinevat olukorda.
NÄIDE: Avaldame lõpmatu perioodilise kümnendmurru 1,2(43) kahe täisarvu jagatisena.
Lõpmatu perioodilise kümnendmurru teisendamisel harilikuks murruks :

Tähistame arvu tähega x;

Korrutame arvu 10; 100; 1000 jne, et koma läheks perioodi lõppu;

Siis korrutame arvu 1; 10; 100; 1000 jne, et koma läheks perioodi ette;

Lahutame tulemused;

Jagame mõlemad pooled läbi x ees oleva arvuga.
Lahendus: tähistame x= 1,2(43)
1000x=1243,4343…
_
10x= 12,4343…
990x= 1231
X= 1231 = 1 241
990 990
IRRATSIONAAL- JA REAALARVUD
Arvu, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, nimetatakse irratsionaalarvuks.
näiteks √2=1,4142135623373… ei ole ratsionaalarv, sest ta pole lõpmatu perioodiline kümnendmurd. See arv on lõpmatu mitteperioodiline kümnendmurd.
Järelikult on irratsionaalarv . Irratsionaalarvud on veel 3√2; 5√3; -√7; π jt.
Igal irratsionaalarvul on vastandarv. Teineteise vastandarvud paiknevad arvteljel nullpunkti suhtes sümmeetriliselt. Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I.
Laiendades ratsionaalarvude hulka irratsionaalarvudega saame reaalarvude hulga R:
R = I U Q ja Q R
I R
Q
N Z
Et iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise ja irratsionaalarv lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, siis võime öelda, et iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna.
Igale reaalarvule vastab üks punkt arvsirgel ja vastupidi. Kahest reaalarvust loetakse suuremaks see, millele vastav punktarvsirgel asub teisega võrreldes positiivses suunas. Nullist suuremaid reaalarve nimetatakse positiivseteks, nullist väiksemaid negatiivseteks.
Iga nullist erineva reaalarvu a korral nimetatakse reaalarve a ja –a teineteise vastandarvudeks ning a ja 1 teineteise pöördarvudeks.
A
Reaalarvude hulga omadusi:

• Reaalarvude hulk R on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv.
  
• Reaalarvude hulk R on pidev arvuhulk, s.t. need arvud katavad kogu arvtelje. Igale arvtelje punktile vastab üks kindel reaalarv ja igale reaalarvule vastab mingi kindel punkt arvteljel.
  
• Reaalarvude hulk R on kinnine liitmisel, lahutamisel, korrutamisel ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust on alati reaalarv.
  

REAALARVUDE PIIRKONNAD
Reaalarve võime kujutada punktidena arvteljel. Valime arvteljel kaks suvalist reaalarvu a ja b nii, et a Kandes need reaalarvud kasvavas järjekorras arvteljele, näeme ,et punktid a ja b jaotavad arvtelje kolmeks osaks e. piirkonnaks.
x b x
Sellised piirkonnad kujutavad endast reaalarvude osahulki. Mõnedele neist hulkadest on antud spetsiaalsed nimetused ja tähised. Need on esitatud järgmises tabelis.
Nimetus
Tingimus
Tähis
Graafiline esitus
Lõik a-st b-ni
A ≤ x ≤ b
[a; b]
a b
Vahemik a-st b-ni
A (a; b)
a b
Poollõik a-st b-ni
A (a; b]
a b
Poollõik a-st b-ni
A ≤ x [a; b)
a b
Lõpmatu poollõik
X ≥ a
[a; ∞)
a
Lõpmatu poollõik
X ≤ b
(-∞; b]
b
Lõpmatu vahemik
X > a
(a; ∞)
a
Lõpmatu vahemik
X (-∞; b)
b
Kogu arvtelg on kõigi reaalarvude hulk R = (- ∞; ∞)
Lõike, vahemikke, poollõike ja kõiki reaalarvude hulka nim. koos reaalarvude piirkondadeks.
REAALARVU ABSOLUUTVÄÄRTUS
Reaalarvu absoluutväärtuseks │ a │ nimetatakse arvu a, kui a ≥ 0 ja arvu a vastandväärtust –a, kui a a, kui a ≥ 0,
Sümbolites: │ a │ =
-a, kui a NÄIDE: │ 5 │= 5 ; │ -7 │= 7
Arvteljel tähendab arvu absoluutväärtus sellele arvule vastava punkti kaugust arvtelje nullpunktist.
Absoluutväärtuse omadusi:

• Arvu absoluutväärtus on mittenegatiivne, s.t. │ a │ ≥ 0.
  
• Vastandarvude absoluutväärtused on võrdsed, s.t. │ -a │= │ a │.
  
• Arvu absoluutväärtus pole arvust väiksem, s.t. │ a │ ≥ a.
  
• Arvu absoluutväärtus pole väiksem antud arvu vastandarvust, s.t. │ a │ ≥ -a.
  
• │ │ a │- │ b ││ ≤ │ a+ b │ ≤ │ a │ + │ b │
  
• │ │ a │ - │ b ││ ≤ │ a- b │ a │ ≤ │ + │ b │
  
• Absoluutväärtus korrutisest on võrdne tegurite absoluutväärtuste korrutisega, s. t. │ a × b │ = │ a │ × │ b │.
  
• Absoluutväärtus jagatisest on võrdne jagatava ja jagaja absoluutväärtuste jagatisega, s.t. a a , kui b ≠ 0.
  

b b
NÄIDE:

Leiame x, kui │ x │= 5.
Kui x │ x │= -x │ x │ = x
-x = -5 x = 5
x = -5
vastus: võrrandi lahendid on -5 ja 5.
ARVU KÜMME ASTET
Klassid
Järgud
Kümne aste
Mõõtühikute kümnend-
Eesliited
Tähis
Triljonid
Sada triljonit
1014
Kümme triljonit
1013
Üks triljon
1012
tera -
T
Miljardid
Sada miljardit
1011
Kümme miljardit
1010
Üks miljard
109
giga -
G
Miljonid
Sada miljonit
108
Kümme miljonit
107
Üks miljon
106
mega -
M
Tuhanded
Sada tuhat
105
Kümme tuhat
104
Üks tuhat
103
kilo-
k
Ühelised
Sada
102
hekto-
h
Kümme
101
deka -
da
Üks
100
Murdosad
Kümnendikud
10-1
setsi-
d
Sajandikud
10-2
senti-
c
Tuhandikud
10-3
milli -
m
Miljondikud
10-6
mikro -
µ
Miljardikud
10-9
nano -
n
Pikkuste korral kehtivad järgmised seosed.
×1000 ×10 × 10 ×10 ×1000 km m dm cm mm µ m
÷1000 ÷10 ÷ 10 ÷10 ÷1000
Pindalade korral kehtivad järgmised seosed.
× 100 × 100 × 100 × 10 000 × 100
km2 ha a m2 cm2 mm2
÷ 100 ÷ 100 ÷100 ÷10 000 ÷100
Ruumalade korral kehtivad järgmised seosed.
× 1000 × 1000 × 1000 1 liiter = 1 dm3
m3 dm3 cm3 mm3 1 m3 = 1000 l
÷ 1000 ÷ 1000 ÷1000
Kaalude korral kehtivad järgmised seosed.
× 10 × 100 × 1000
T ts kg g
÷ 10 ÷ 100 ÷ 1000