Astmed (0)

Astmed  ja juured
 
 
Astme mõiste.
Definitsioon
Ühest suurema naturaalarvu n korral nimetatakse  astmeks  an korrutist, 
milles on n võrdset tegurit a, s.t.
n
a  a  a ... .
    a
n tegurit
Näited
32  33  ;
9
104  10101010  10000
 1 3

1 1 1
1
( 2
 )3  ( )
2 ( )
2 ( 2
 )  8

     
 4
4 4 4 64
(
5
0 4  (
5
0
( )
5
0
( )
5
0
( )
5
0
  ,
0 0625
1 kilobait =  210  baiti   2 2 2  2 2 2 2 2 2 ba
  
2
iti  1024 bait ;i
 
 
Astendajad 0 ja 1
Astme an  leidmist  nimetatakse astendamiseks, arvu a astendatavaks (e. 
astme aluseks) ning arvu n astendajaks (ehk astmenäitajaks). 
Kui  astendaja  on 1 või 0, siis  defineeritakse  arvu aste nii:
a1  a
0
a  ,
1 kui a  0
Näited
 11  1

01  0
 10 1
003
0
0 1
0
 
( )  1
 
Negatiivne astendaja.
Negatiivse astendajaga aste defineeritakse võrdusega
n
1
a 
   
kui a  .
0
an
Näited
2
1
1
3
1
1
3 
 ;
 2 
  ;
32
9
( 2
 )3
8
 2 1
 
1
1
 2
5
   

1:      ;
 5
1
2

 2
 5
2




5
 5
 6 3

1
 11 3
3
1
1






10 

 ,
0
001
 11
 6 3

 6 
103 1000


 11  
 
Ratsionaalarvuline astendaja.
Ratsionaalarvulise (murrulise) astendajaga aste defineeritakse 
võrdusega
m
n
m
n
a  a .
Kui n on paarisarv , siis peab reaalarvude  korral olema alus a 
mittenegatiivne arv.
Näited
1
3
01
0

01
0
1
2

01
0
 ;
1
0
4  43
2
 64  ;
8
2
1
( 10
 )
3
 (10)
3
2
3
 100;
100 1,  1010 10
 10;
2
1
1
1
1
( 
8 3 


 ;
2
( )
8
3
3
2
64
4
( )
8 3
 
 
Irratsionaalarvuline astendaja.
Irratsionaalarvulise astendajaga aste defineeritakse seosega
s
a  lim nr
a ,
n
kus (r ) on suvaline  ratsionaalarvude jada, mille piirväärtuseks on 
n
irratsionaalarv s (näiteks, (r ) on arvu s puuduga lähismurdude jada).
n
Alus a peab olema irratsionaalse astendaja korral olema mittenegatiivne.
Näited
3 2  lim 3 nr , kus rn  ,
1
( ;
4 ,
1 ;
41 ,
1
414 ...)
n
10  lim10 nr , kus rn 
1
3
14
3
1
3
41 1
3 415 ...)
n
 
 
Astme omadusi.
1. Kui a > 0, siis ar > 0 igasuguse reaalarvulise astendaja r puhul. 
2.   a)2n
2
 n
a
ja (a)2n 1

2n 1

 a
0r
3.  
 0 iga r  0 korra .l
4.   1r = 1.  
 
 
Tehted astmetega.
1. Võrdsete alustega  astmete   korrutamisel  tuleb astendajad liita:
r
s
r s
a  a  a
Näited
3
2  2
2  32
2
 5
2
4
3x  3
5x  3  4
5 x  3
x  15 43
x

7
15x

10 1 10 
1
10  1
10 
 
1 1
10

0
10  1
2. Võrdsete astendajatega astmete korrutamisel alused korrutatakse:
r
r
r
a b  (a b)
2
Näited
2  2
3  (2 2
3  62  36

5  
4  5
(  
4  
20
1
  1
1
2
2
 
x  2
y  (xy)  xy
Tehted astmetega.
3. Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse:
r
a
r s
 a
s
a
Näited
24
(a  b 3
24 6
x : (6 3
x ) 
63
x

3
4x

2
(a  b)
6
a  b
4. Võrdsete astendajatega astmete jagamisel alused jagatakse:
r
r
a
 a



r
b
 b 
Näited
3
 48 3
3

3
 6 3
3

63
216
48 :16  
  3  ;
27
( ,
0 6)  
 

 ,
0 216
 16 
 10
103 1000
 
 
Tehted astmetega.
5. Astme astendamisel astendajad korrutatakse: 
r s
rs
(a )  a
Näited
1
1

6 3
18
2
1
1
1
(x ) 

x ;
9
( ) 4  9 2 


1
9
3
92
 
 
Juure mõiste.
Astendamise  pöördtehet nimetatakse juurimiseks. See pöördtehe on 
defineeritud vaid ühest suuremate naturaalarvude korral. Antud astendaja 
n > 1 ning arvu a korral tähendab see sellise arvu b leidmist, et bn = a.
Juurimistehte tulemust tähistatakse sümboliga n a , mida nimetatakse 
n-nda astme (ehk ka n-ndaks) juureks arvust a. Arvu n nimetatakse 
sealjuures juurijaks ja arvu a juuritavaks. 
Näide
juurija
juuritav
Kuna
33  27, siis 3 27  3.
Kui juurijaks on 2, siis jäetakse juurija kirjutamata ning kasutatakse 
sümbolit        , m
a
ida nimetatakse ruutjuureks arvust a. Kui juurijaks on 3, 
siis nimetatakse juurt kuupjuureks. 
Näide
25  ,
5
2
 kuna 5  25.
 
Juure mõiste.
Paarituarvulise juurija korral on juurimistehte tulemus määratud üheselt 
iga  reaalarvu a korral. 
Näiteks on võrrandi   3
x  8
 ainukeseks lahendiks x = -2 ja seega 
3  8   
 2
 .
Paarisarvulise juurija korral peame juurimistehte tulemuse ühesuse 
tagamiseks tegema lisaeelduse:  
kui juurija n on paarisarv, siis a > 0 korral  juur   n a tähistab niisugust 
positiivset  arvu, mille n-es aste on a. 
Näide
6 25   5
2
ja
6 25   5
2
ehkki  nii 
5
2 2  ,
6 25
kui ka   (
5
2
2  ,
6 25
 
 
Juure omadused.
1. Igal positiivsel arvul a on parajasti  üks positiivne n-es  juur .
2. Negatiivsel arvul ei ole paarisarvulise juurijaga juurt.
3. Igal negatiivsel arvul on parajasti üks paaritu juurijaga juur, mis 
on samuti negatiivne.
4. Iga n puhul  n 0  0 ja    n 1  .
  
1
2n
2n
5.   a
 a | .
6. 2  n 1

2n 1
a   .
a
 an
n
7.  
 .
a
 
 
Tehted juurtega.
1. Võrdsete juurijatega juurte korrutamisel korrutatakse juuritavad:
n
n
n
a  b  a b.
 
Näited
3  75  225  15; 3 3 3
 5 3
 4 3

60
2
2
x-y  x  xy  y  (x-y)( 2
2
x  xy  y )
3
3
 x -y .
2. Võrdsete juurijatega juurte jagamisel jagatakse juuritavad:
n a
a
n

n b
b
Näited
1000 : 10  100  1 ;
0
3 30 2
ab : 3 5
3
ab  6b.
 
 
Tehted juurtega.
3. Juure astendamisel astendatakse juuritav:
 am
n
n
m
 a .
 
Näited
 a3
3
 a ;
 42
4
4
 42 4

16
4. Juure juurimisel korrutatakse juurijad 
m n
mn
a 
a.
 Näide
3 4 6 12
 6;
 
 
Tehted juurtega.
5. Juure taandamise ja laiendamise  valem:
kn
km
n
m
a
 a .
 Astme juurimisel võib astendajat ja juurijat jagada või korrutada ühe 
ja sama arvuga
Näide
6
2
3
a  a; 4 64 4
 26  23  2 2;
2 4

4
3
6
3 6
2
6
5
x  x  x  x  x .
 
 

Document Outline

• Astmed ja juured
• Astme mõiste.
• Astendajad 0 ja 1
• Negatiivne astendaja.
• Ratsionaalarvuline astendaja.
• Irratsionaalarvuline astendaja.
• Astme omadusi.
• Tehted astmetega.
• Slide 9
• Slide 10
• Juure mõiste.
• Slide 12
• Juure omadused.
• Tehted juurtega.
• Slide 15
• Slide 16