Astmed ja juured (0)

Astmed ja juured
© T. Lepikult , 2010 Astme mõiste. Definitsioon Ühest suurema naturaalarvu n korral nimetatakse astmeks an korrutist, milles on n võrdset tegurit a, s.t. a n a a ... a. n tegurit
Näited 32 3 3 9.
104 10 10 10 10 10000.
3 1 1 1 1 1 . 4 4 4 4 64
1 kilobait = 210 baiti = 2·2·2·2·2·2·2·2·2·2 baiti 1024 baiti. = algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Negatiivse arvu astendamine Näited (2)3 (2) (2) (2) 8.
(0,5) 4 (0,5) (0,5) (0,5) (0,5) 0,0625.
Järeldus viimastest näidetest: Kui negatiivset arvu astendada paarisarvulise astendajaga, on tulemus positiivne, kui paarituarvulise astendajaga, on tulemus negatiivne.
Negatiivset arvu astendades tuleb see alati sulgudesse panna:
(4) 2 (4) (4) 16; aga: 42 4 4 16.
algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Astendajad 0 ja 1 Astme an leidmist nimetatakse astendamiseks, arvu a astendatavaks (e. astme aluseks) ning arvu n astendajaks (ehk astmenäitajaks).
Kui astendaja on 1 või 0, siis defineeritakse arvu aste nii: a1 a a 0 1, kui a 0 Näited 11 1 01 0 10 1 0,0030 1 ( ) 0 1 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Negatiivne astendaja. Negatiivse astendajaga aste on vastava positiivse astendajaga astme pöördarv: n 1 a n kui a 0. a
Näited 1 1 2 3 2 ; 23 1 3 1 ; 3 9 (2) 8 1 2 1 1 1: 2 5 ; 5 5 1 2 2 2 5 5
3 3 6 1 11 ; 1 1 3 10 3 0,001; 6 6 3 11 10 1000 11 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Juure mõiste (I) Astendamise pöördtehet nimetatakse juurimiseks. See pöördtehe on defineeritud vaid ühest suuremate naturaalarvude korral. Antud astendaja n > 1 ning arvu a korral tähendab see sellise arvu b leidmist, et bn = a.
Juurimistehte tulemust tähistatakse sümboliga n a , mida nimetatakse n-nda astme (ehk ka n-ndaks) juureks arvust a. Arvu n nimetatakse sealjuures juurijaks ja arvu a juuritavaks. juurija juuritav Näide Kuna 33 27, siis 3 27 3.
Kui juurijaks on 2, siis jäetakse juurija kirjutamata ning kasutatakse sümbolit a , mida nimetatakse ruutjuureks arvust a. Kui juurijaks on 3, siis nimetatakse juurt kuupjuureks. Näide 25 5, kuna 52 25. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Juure mõiste (II) Paarituarvulise juurija korral on juurimistehte tulemus määratud üheselt iga reaalarvu a korral. Näiteks on võrrandi 8 ainukeseks lahendiks x = -2 ja seega 3 x 3 8 2. Paarisarvulise juurija korral peame juurimistehte tulemuse ühesuse tagamiseks tegema lisaeelduse: n kui juurija n on paarisarv , siis a > 0 korral juur a tähistab niisugust positiivset arvu, mille n-es aste on a. Näide 6,25 2,5 ja 6,25 2,5
ehkki nii 2,5 6,25 (2,5) 2 6,25 2 kui ka
algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Ratsionaalarvuline astendaja. Ratsionaalarvulise (murrulise) astendajaga aste defineeritakse võrdusega m a n n am . Kui n on paarisarv, siis peab reaalarvude korral olema alus a mittenegatiivne arv.
Näited 1 3 0,01 0,011 0,01 0,1; 2 4 43 64 8; 2
2 1 3 (10) (10) 100; 3 2 100,1 10 10 10; 3 10
2 1 1 1 1 (8) 3 ; (8) 2 2 3 3 64 4 (8) 3 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Astme omadusi (I) 1. Positiivset arvu astendades saame tulemuseks alati positiivse arvu: kui a 0, siis igasuguse astendaja r korral a 0. r
Näiteks: 23 8 0; 0,251/ 2 0,25 0,5 0.
2. Kui astme alus on negatiivne ja astendaja on paarisarv, on tulemus sama, mis aluse vastandarvu astendades: (a) 2 n a 2 n ; Kui aga negatiivse aluse korral on astendaja paaritu arv, siis on tulemuseks vastava positiivse alusega astme vastandarv : (a) 2 n1 a 2 n1; Näiteks: (12) 2 122 144; (10)3 103 1000;
algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Astme omadusi (II) 3. Arvu "null" saab astendada vaid positiivse arvuga. Tulemuseks on alati null: 0r 0, kui r 0.
4. Kui astme aluseks on 1, siis on astendamise tulemus ka alati 1: 1r 1.
algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Tehted astmetega (I) 1. Võrdsete alustega astmete korrutamisel tuleb astendajad liita: ar a s ar s
Näited 23 22 232 25 3x 4 5 x 3 3 5 x 4 x 3 15 x 43 15x 7 101 10 101 101 1011 100 1