Optimeerimine majanduses 1kt vastused (0)

Optimeerimine majanduses 2011 sügis, kt nr 1 vastused/vihjed
Ülesanded
Optmajkt1A_11 1(2p). Firma kulufunktsioon on C = a q 3 + 3 q 2 + 3 q . Kuidas sõltub marginaalkulu parameetri a muu-tumisest ? Millise a korral on marginaalkulu alati mittenegatiivne? Tehke marginaalkulu graafik a = ¾ ja q > 0 korral.
2(2p). . Näidake, et y = 1 / ln (a / x ) (a > 0, x > 0) jaoks elastsus (y; x ) = y. Millise y korral (y; x ) = x ?
3(4p). Olgu nõudlusfunktsioon D n = 5 – 4 p n2 ja pakkumisfunktsioon S n + 1 = 1 + p n2 . a) Koostage hinna diferentsvõrrand. b) Leidke tasakaaluhind. c) Tehke “ämblikuvõrgu” analüüsi. d) Hinnast p 0 = 1 lähtudes leida kolm järgmist hinda.
Vihje: x 2 / a 2 + y 2/ b 2 = 1 on ellips .
4(6p). Käsitlege Cournot ’ duopoli mudelit juhul diferentsvõrrandis TC i = (i c ) q i (i = 1, 2). Leidke q1*, q2*, Q*, P*. Tehke q1* võrdlevat staatikat kulumarginaali c suhtes ning sõnastage saadud tulemus.
5(6p). Monopolisti toodangule on nõudlusfunktsioon P = 3 Q –1/2 ja tema toodangufunktsioon on Q = (L K) 2/3, kusjuures tööjõud L on hinnamääraga w ning kapitalimahutused K hinnamääraga r. a) Leida L * ja K *, mille korral kasum on maksimaalne. b) Kontrollida Hesse maatriksi tingimusi. c) Tehke L * analüüsi r suhtes.
Vihjed/vastused

Marginaalkulu on MC = dC/dq, selle muutumist a suhtes iseloomustab tuletis dMC/da. Mittenegatiivsus tähendab ruutkolmliikme mittenegatiivsust (uurida diskriminanti), saame, et a > 1. Juhul a = ¾ saame
MC = (9/4) q 2 + 6 q + 3, see on ruutparabool.

Lahendasime loengus, y’ = (1 / (ln a - ln x ) ))’.

Tähtis tasakaaluvõrrand on S n + 1 = D n + 1 , kuhu asendatakse nõudlusfunktsioon ja pakkumisfunktsioon. Tähiseid K, L, A, jne loengust ei saa siin kasutada ! Asendades saadakse diferentsvõrrand muutujate p n (mõelge x-le) ja p n+1 (mõelge y-le) suhtes. See võrrand määrab “ämblikuvõrgu” analüüsi joonisel joone I-ses veerandis, antud juhul ellipsi. Kui diferentsvõrrandis n -> , siis p n -> p* (kui see eksisteerib !) ja ka p n+1 -> p* . Nii saate p* = 0.894… Kui alustate hinnaga p 0 = 1, siis diferentsvõrrandist saate p 1 = 0.866, p 2 = 0.901, p 3 = 0.893. Protsess koondub tähelepanuväärselt kiiresti !

Firma i kasum on Π i = TR i - TC i = (a – b (q 1 + q 2)) q i - (i c ) q i (i = 1, 2). Mõlemal juhul kirjutage eraldi välja. Tuletis d Π 2 /d q 2 = 0 annab vastumõju võrrandi (R 2) , antud juhul q 2 = (a – b q 1 – 2 c)/( 2 b) .Analoogiliselt saate
(R 1) . Ühise tasakaalukoguse leidmiseks tuleb lahendada süsteem (R 1) , (R 2) . Ei pea tingimata maatrikseid kasutama. Lihtsaim, kuid vist töömahukaim on asendusmeetod. Süsteemi lahendades saate q 1* =a / (3 b ) ja
q 2* =( a –3 c ) / (3 b ) . Edasi, Q* = q 1* + q 2* , P* = a - b Q* , kuhu on tehtud vastavad asendused. Kogus
q 1* =a / (3 b ) on konstant c suhtes, seega “kulumarginaali c muutmine ei muuda esimese firma optimaalset tootmiskogust q 1* ”.

Monopolisti toodang mõjutab turuhinda P nõudlusfunktsiooniga P = 3 Q –1/2 . Monopolisti kasum on
Π = TR - TC = P Q – w L – r K = [pärast asendusi ]=3 ( L K )1 / 3 – w L – r K . Kasumi Π maksimeerimine on mat-se analüüsi II keeles lokaalse ekstreemumi leidmine. Osatuletiste nulliga võrdsustamisel saate võrrandisüsteemi
K 1 / 3/ L 2 / 3 = w , L 1 / 3/ K 2 / 3 = r . Saadud süsteem on peaaegu alati teatud mõttes sümmeetriline, mis võimaldab kasutada erivõtteid, näiteks võrrandite jagamist/korrutamist. Antud süsteemi on lihtne lahendada vahetu asendusmeetodiga (jagamisel/korrutamisel tuleb lõpuks ka asendada !). I-st saame K 1 / 3 = w L 2 / 3 ning asendades II-e saame L 1 / 3= r ( w L 2 / 3) 2 , millest L = L* = 1 / (r w 2 ). Vahetulemusest K 1 / 3 = w L 2 / 3 saame
K* = 1 / (r 2 w ). Hesse maatriksit tuleb tegelikult uurida punktis (L*, K* ), kuid vahel on praktilisem alustada üldkujul. Siin ülemine nurgaelement on (- 2/ 3) K 1 / 3 L - 5 / 3 ja det H = (1/ 3) K - 4 / 3 L - 4 / 3 > 0 ja seega tõesti maksimum . L * analüüs r suhtes tähendab leida osatuletis L*/ r , millest teha vajalikud järeldused.