7 4. Leia funktsiooni y tuletis. x3 Lahendus: 3 5. Leia funktsiooni s 5t 4 t 2 tuletis. t Lahendus: 6. Leia funktsiooni f x x4 x tuletis kohal x = 0,01. Lahendus: 6x 2 7. On antud funktsioon f x . Leia f ’(27). 53 x Lahendus: Teisendame antud funktsiooni järgmiselt: Tööd asuvad aadressil www.kool.ee 1 1 5 6x 2 6 2 3 6 23 6 3 f x x x x x . 53 x 5 5 5 Leiame nüüd tuletise
Sellepärast x2 1 leiame antud funktsiooni määramispiirkonna tingimusest x2 1 0 ehk x 2 1 ehk x 1 tuletame meelde, et ka 1 1 . 2 Seega, kui tähistame määramispiirkonna tähega X, siis X ; 1 1;1 1; . Näide 2. Leida funktsiooni y 5 3x määramispiirkond. Lahendus. See funktsioon on määratud, kui ruutjuure alune avaldis on mittenegatiivne, s.t. 5 3x 0 . Lahendame selle võrratuse: 5 3x , jagame kolmega, saame 5 5 x ehk x . 3 3 5 Seega määramispiirkond on X ; .
MITME MUUTUJA FUNKTSIOON 1. Punkti ümbrus. Kinnine ja lahtine piirkond. Mitme muutuja funktsioon ja selle määramispiirkond. Def. 1.1. ( 0 0 )0 Punkti P x1 , x 2 ,..., x n ümbruseks n-mõõtmelises ruumis R n nimetatakse punktide hulka { U ( P ) , mis rahuldavad tingimust U ( P ) = Q( x1 , x 2 ,..., x3 ) R n ( P, Q ) < , kus } ( P, Q ) = PQ = (x1 - x10 ) + (x 2 2 - x 20 ) 2
3) D = [a, b ) = {x : a x < b} D = {a, b} hulk D ei ole lahtine ega kinnine 1 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 2. Mitme muutuja (m-muutuja) funktsiooni mõiste Def. Kui hulga D R m igale punktile P = ( x1 ,..., x m ) on vastavusse seatud kindel reaalarv z , siis öeldakse, et hulgal D on määratud m-muutuja funktsioon f . Kirjutame: z = f (P ) või z = f ( x1 ,..., x m ) Hulka D nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Funktsiooni z = f (P ) loomulikuks määramispiirkonnaks nimetatakse punktide P hulka, mille korral funktsiooni määrav eeskiri omab mõtet. Def. M-muutuja funktsiooni f graafikuks nimetatakse hulka { ( f ) = ( x1 ,..., x m , z ) R m +1 : ( x1 ,..., x m ) R m , z = f ( x1 ,..., x m ) . } 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus
muutujaks. Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Hulka Y = {f(x) || x X} nimetatakse funktsiooni f väärtuste hulgaks. Funktsiooni esitusviisid. 1. Esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. 2. Anaüüutiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. 3.Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Funktsiooni f graafiku definitsioon on järgmine: G = {P = (x, f(x)) || x X} . Kui f(x) > 0, siis graafik paikneb ülalpool x-telge. Kui aga f(x) < 0, siis graafik jääb x-teljest allapoole. Kui suvaline y-teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis, siis funktsioon on ühene
y (12) = 0 st pole teada kas selles punktis on lokaalne ekstreemum. x 4) kasvamis ja kahanemispiirkonnad y 0 (x = 12 või x-8 0) (x > 8või x 0); ] - ; 0] ja ]8; [ - kasvamispiirkonnad. Viimane ütleb, et punktis x = 12 ei ole lokaalset ekstreemumit. 5) kumeruspiirkonnad y 0 x - 12 0(x = 8) x 12(x = 8) Järelikult piirkonnas ] - ; 8] ja ]8; 12[ on funktsioon kumer ja piirkonnas ]12; [ on funkt- sioon nõgus. 7) asümptoodid x2 (x - 9) lim = - x8- 2(x - 8)2 x2 (x - 9) lim = - x8+ 2(x - 8)2 st. sirge x = 8 on püstasümptoot x2 (x - 9) 1
ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, ................................................... 3 17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri ............................................ 4 20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. ..................................... 4 1. Arvuhulgad: naturaal-, täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud. Nende omadused. ...............6 2. Reaalarvu absoluutväärtus, absoluutväärtuse omadused. ....................................................
· Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Hulka Y = {f(x) || x X} nimetatakse funktsiooni f väärtuste hulgaks. · Funktsiooni esitusviisid. 1. Tabel Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. 2. Analüütiline Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. 3.Graafiline Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Funktsiooni f graafiku definitsioon on järgmine: G = {P = (x, f(x)) || x X} . · Graafiku omadused: o Kui f(x) > 0, siis graafik paikneb ülalpool xtelge. o Kui aga f(x) < 0, siis graafik jääb xteljest allapoole.
Kõik kommentaarid