Lineaalalgebra Esimese KT konspekt (3)

Tallinna Tehnikaülikool - Matemaatika - Matemaatika

3 KEHV

Maatriks arvutus

Def 1 : (mxn) m korda n järku arv maatriks A nim m∙n arvust moodustatud tabelit, milles on m rida ja n veergu . NT filmilint , male - ja kaberuudud.
Maatrikselemendid on elemendid, millest maatriks koosneb. Ai-reaindeksj- veeruindeks
I= 1, 2, …..m j= 1, 2, ……n
A=( a11 a12 a13 ….a1n)
( a21 a22 a23….a2n)
( a31 a32 a33 ….a3n)
m=n (ruutmaatriks) nxn n2- maatriks
m≠n (ristkülikmaatriks)
Maatriksi seda osa, kus paiknevad elemendid a11 ; a22 ; a33 ….. akk nimetatakse maatriksi peadiagonaaliks.
Maatriksi seda osa, kus paiknevad elemendid a1n ; a2n-1 ; a3n-2 …. akn(k-1) nimetatakse maatriksi kõrvaldiagonaaliks.
a11 priviligeeritud element.

Tehted maatriksiga

Def 2 : maatriksid A ja B loetakse võrdseks, kui nad on sama järku ( ühepalju ridu ja veerge) ja nende kõik vastavad elemendid on võrdsed .
A: (pxq) B: (rxs) p=r ∆ q=s
Def 3 : (mxn) järku maatriksite A ja B summaks nimetatakse sama järku numbrite A + B, mille elemendiks on lähte maatriksite kõigi vastavate elementide summa.
A+B=(aij + bij) A,B; A+B € Mmxn
Def 4 : (mxn) järku maatriksi A korrutiseks arvuga µ nimetatakse sama järku maatriksi µ∙A, mille elemendiks on maatriksi A kõigi elementide korrutis selle arvuga. Arvuga korrutamisel järk ei muutu.
A,µ∙A € Mmxn µ∙A=(µ∙aij)
Def 5 : maatriksi A vastand maatriks –A nimetatakse sellist maatriksi, mille elemendiks on lähtemaatriksi A kõigi elementide vastandväärtused.
A; -A € Mmxn -A=(-aij)
Def 6 : (m×n) järku maatriksite A ja B vaheks nimetatakse sama järku maatriksit A – B, mis loetakse võrdseks maatriksi A ja (-1)B summaga .
A,B ; A –B € M(m×n) A – B= A +(-1)B A-B= (aij – bij)
Def 7: (m×k) maatriksi A ja (k×n) maatriksi B korrutiseks nimetatakse m×n järku maatriksi A∙B, millest i’nda rea ja j’nda veeru ühine element cij saadakse maatriksi A i’nda rea ja maatriksi B j’nda veeru kõigi vastavate elementide korrutamisel ja saadud elementide liitmisel.
Maatriksi korrutis sõltub tegurite järjekorrast. BA≠AB

Maatriksi, mille kõik elemendid on võrdsed nulliga nimetatakse nullmaatriksiga.
Ω=0 A+Ω=A

Ruutmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed ühega ja ülejäänud võrdsed nulliga nimetatakse ühikmaatriksiks E.
E∙A=A A∙E=A
Maatriksite liitmisel, nende korrutamisel arvuga ja nende omavahelisel korrutamisel kehtivad omadused:

A+B = B+A ( liitmise kommutatiivsus)
(A+B)+C = A+(B+C) liitmise assotsiatiivsus
A+Ω = A
A+(-A) = Ω
1∙A= A
A ∙ Ω = Ω
0∙A = Ω
(a+ b ) ∙ A= aA + bA
a (A+B) = aA + aB
a( b ∙ A) = b (a ∙ A)
a (b ∙ A) = (ab) A
(a ∙ A) ∙ B = A ∙ (a ∙ B) = a ∙ ( A ∙ B)
A ∙ Ω = Ω ∙ A = Ω
E ∙ A = A ∙ E = A
A ∙ B ≠ B ∙ A (üldjuhul)
( A + B ) ∙ C = C ∙ A + C ∙ B
( A ∙ B) ∙ C = A ∙ ( B ∙ C)
-A = (-1)A
A – B = A + (-1)B
A0 = E

Maatriksi ja pöördmaatriksi kommutaator on null maatriks. A∙A-1=Ω

Ruutmaatriksit nimetatakse diagonaalmaatriksiks, kui selle maatriksi kõik väljaspool peadiagonaali paiknevad elemendid on võrdsed nulliga.

Sellist diagonaalmaatriksi, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed nimetatakse skalaarmaatriksiks.
S(λ) = λ∙ E

Ruutmaatriksi A, mille determinant on nullist erinev nimetatakse regulaarseks maatriksiks .
A(m×n) |A| ≠ 0

Ruutmaatriksi A, mille determinant on samaselt null nimetatakse sirgjooneliseks maatriksiks. A∙A-1=E
A(m×n) |A| = 0

Maatriksi AT, mis on saadud lähtemaatriksist A selle ridade ja veergude ümbervahetamise teel nimetatakse transformeeritud maatriksiks.
AT€M(m×n) (AT)T = A

Ruutmaatriksi A nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks, kui ta rahuldab tingimust AT =A.

Ruutmaatriksi A nimetatakse kaldsümmeetriliseks maatriksiks, kui on täidetud tingimus AT=-A

Ruutmaatriksi A nimetatakse ortogonaal maatriksiks, kui ta rahuldab tingimust A-1 = AT.

Ruutmaatriksi nimetatakse nimpotentseks, kui ta rahuldab tingimust Au=Ω .

Vähimat naturaalarvu n, mille korral kehtib võrdus An+k = An ∙ Ak = Ω ∙ Ak = Ω nimetatakse impotentsuse astmeks .

Ruutmaatriksi A, mis rahuldab tingimust A2 = A nimetatakse idempotentseks.

Ruutmaatriksi A nimetatakse involutiivseks, kui ta rahuldab tingimust A-1 = A.
|A-1| = |A| 1/|A| = |A| = |A2| E=A2 |A| = +/- 1 A2k = E A2k+1 = A
Pöördmaatriksi leidmine, maatriksi astendamine ja maatriksi transponeermise omadusi:

A ∙ A-1= A-1 ∙ A = E
(A-1)-1 = A
(AT)T = A
A1 = A A0 = E
Au + Am = Au+m
(A-1)T = (AT)-1
(Ap)T = (AT)p
(Ap)-1 = (A-1)p
(A ∙ B)-1 = B-1 ∙ A-1
Ωp = ΩT = Ω
(Au)m = Aum
(a ∙ A)T = a ∙ AT
E1 = E-1 = ET = Eu = E
(A +/- B)T = AT +/- BT
(A ∙ B)T = BT = AT

Nullmaatriksist erinevad maatriksid, mille korrutis on nullmaatriks nimetatakse teguriteks.
A ≠ Ω B ≠ Ω A∙ B = Ω B ∙ A = Ω

Maatriksi polünoom ja selle nullkoht.

N – inda astme Pn(x) nimetatakse avaldist Pn(x) = α0 + α1x + α2x2 + α3x3 + …+ αnxn
Reaalarvu x0, mille korral on rahuldatud tingimus Pn(X) = 0 nimetatakse polünoomi nullkohaks.
N – inda astme maatriks polünoom Pn(A) = α0 ∙ E + α1 ∙ A+ α2 ∙ A2 + α3 ∙ A3 + …+ αn ∙ An
Ruutmaatriksi A0, mille korral on täidetud tingimus Pn(A0) = Ω

Lineaarsed võrrandi süsteemid

Def : (m×n) järku lineaarseks võrrandi süsteemiks nimetatakse m- võrrandist ja n- tundmatust moodustatud hulka järgmisel kujul.
( a11x1 + a12x2 + a13x3 + … a1nxn = b1
( a21x1 + a22x2 + a23x3 + … a2nxn = b2
( a31x1 + a32x2 + a33x3 + … a3nxn = b3
Kolme moodi seotud: m=n , mn

Pöördmaatriksi leidmine üldjuhul

Olgu antud ruutmaatriks A(n×n), mille determinant olgu nullist erinev |A| ≠ 0

Kustutame A i-nda rea ja j- inda veeru ning sellisel juhul saame uue maatriksi B(n- 1 × n-1).
Arvutame uue maatriksi determinandi ja nimetame selle maatriksi A elemendile aij vastavaks miinoriks ja märgime sümboliga mij
Saadud miinori mij korrutatakse läbi teguriga (-1)i+j. Saadakse uued suurused αij, millised nimetatakse maatriksi A elemendile aij vastavaks alamdeterminandiks.

αi j = (-1) i + j ∙ mi j
A’ = ( mi j) miinorite maatriks
A* = (αi j) alamdeterminantide maatriks
A~ = A*T adjungeeritud maatriks

Maatriksi omaväärtused ja omavektorid

Kui teatava ruutmaatriksi A (n × n) korral leidub maatriksi X (n × 1) X ≠ Ω ja leidub reaalarv λ, et rahuldatud on tingimus A∙ X = λ ∙ X, siis maatriksi X nimetatakse maatriksi A omavektoriks ja reaalarvu λ nimetatakse maatriksi A omaväärtuseks.

.DOCX Laadi alla originaalfail 3 lk · .docx · 241 allalaadimist

Tasuta Faili alla laadimine on tasuta

~ 3 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2010-09-27 Kuupäev, millal dokument üles laeti

241 laadimist Kokku alla laetud

3 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

AnnaAbi Õppematerjali autor

Maatriks arvutus
tehted maatriksiga
maatriksi polünoom ja selle nullkoht
lineaarsed võrrandisüsteemid
pöördmaatriksi leidmine üldjuhul
maatriksi omaväärtused ja omavektorid

maatriksid Maatriks arvutus

Sarnased õppematerjalid

pdf

Kõrgem matemaatika 1 TK konspekt

https://courses.ms.ut.ee/MTMM.00.340/2020_fall/uploads/Main/KM%20I%20Konspekt%202 020%202601.pdf Tunnikontrolli nr 1 kordamisküsimused Tunnikontroll toimub praktikumi lõpus kuni 15 minuti jooksul. Tunnikontrollis on kolm küsimust, millest esimesed kaks on mõistete ja omaduste peale, lisaks näited mõistete kohta. Kolmas küsimus sisaldab ülesannet praktikumides 1-4 lahendatud ülesannete teemadel. 1) Definitsioon 1.1: maatriks Maatriksiks nimetatakse ümarsulgude vahele paigutatud m reast ja n veerust koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit, kus arve aij nimetatakse maatriksi elementideks ja i=1,...,m ja j=1,...,n. See on m x n maatriks. 2) Definitsioon 1.2: ruutmaatriks, reavektor, veeruvektor Ruutmaatriks või ka n-järku ruutmaatriks on maatriks, millel on võrdne arv ridu ja veerge (m=n) Reavektor - kui maatriksis on ainult üks rida, siis nimetame maatriksit reavektoriks. Veeruvektor - maatriks, milles on ainult üks veerg. 3) Definitsioon 1.3: maatriksite võrdsus Kak

Matemaatika

doc

Õppematerjal

korrutamisel arvuga saadakse samade parameetritega maatriks (A)m×n = Am×n = || ci j ||, mille elemendid saadakse lähtemaatriksi kõikide elementide korrutamisel selle arvuga (vrd vektori korrutamist arvuga koordinaatides): ci j = ai j , i = 1 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n. 9 5) KAHE MAATRIKSI KORRUTAMINE. Omavahel saab korrutada ainult selliseid maatrikseid, mille puhul esimese teguri veergude arv on võrdne teise teguri ridade a rvuga. Tulemuseks on maatriks, mille ridade arv võrdub esimese teguri ridade arvuga ja veergude arv vastavalt teise teguri veergude arvuga, st Am×n Bn×p = Cm×p . Kui Am×n = || ai j ||, Bn×p = || bj k || ja Cm×p = || ci k ||, siis on korrutamise reegel esitatav seosega ci k = ai 1 b1 k + ai 2 b2 k + . . . + ai n bn k = ai j aj k, (A)

Kõrgem matemaatika

doc

VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID

Kõrgem matemaatika

docx

Pöördmaatriksi leidmine

1. Def. 1 (m x n) järku maatriksit A nimetatakse m · n elemendist moodustatud tabelit, milles on m-rida ja n-veergu 2. Def. 2 Maatriksid A ja B loetakse võrdseks, kui nad mõlemad on sama järku ja nende maatriksite kõik vastavad elemendid on võrdsed 3. Def. 3 (m x n) järku A ja B järku maatriksite A ja B summaks nimetatakse sama järku maatriksit -> A+B, mille elementideks on lähtemaatriksite A ja B kõigi vastavate elementide summa. 4. Def. 4 (m x n) järku Maatriksi korrutiseks arvuga lambda nimetame maatriksit, mille elementideks on maatriksi kõigi elementide korrutised arvuga lambda. 5. Def. 5 (m x n) järku A vastandmaatiksiks (-A) nimetatakse sama järku maatriksit, mille elementideks on lähtemaatriksi A kõigi elementide vastandväärtused 6. Def. 6 (m x n) järku maatrikiste A ja B vaheks nimetatame sama järku maatriksi (A-B), mis loetakse võrseks maatriksi A ja maatriksi (-1)*B summa 7. Def. 7 (m x k) järku maatriksi A ja

Lineaaralgebra

docx

Lineaaralgebra

Kordamisküsimused 1) Kompleksarvu mõiste. Kompleksarvu algebraline kuju ja tehted algebralisel kujul. DEF. k.arvuks nim. Arvufoori (a,b) kus a,bR. esitatakse z=a+bi (a-reaalosa,b-imaginaar osa,i- imaginaar ühik). Põhimõiste olgu z1=a1+b1i,z2=a2+b2i z1=z2 kui a1= a2 ja b1=b2, z=0 kui a=0 ja b=0,k- arvu z1=a1-b1i nim.kaas k-arvuks z1=a1+b1i. Arvutamine z1+z2= (a1+a2)+(b1+b2)i, z1-z2= (a1-a2)+(b1-b2), z1*z2= z 1 ( a1 +b 1 i ) (a 2+b 2 i) (a1+b1i)*(a2+b2), = z 2 ( a2 +b 2 i ) (a 2+b 2 i) 2) Kompleksarvu trigonomeetriline kuju ja tehted trigonomeetrilisel kujul. geomeetriline kujutamine k-arv/reaalarvu paar (a,b).saab k-arvu z=a+bi kujutada xy tasandil kus kordinaadid a-reaal osa, b- imaginaar osa ja vastavalt X-telg k-arvu reaal telg ja Y- telg imaginaar telg.XY tasandi iga punkt M(x,y) ongi z=x+iy

Matemaatiline analüüs 2

doc

1. kontrolltöö teooria spikker

(MxN) järku maatriksite A ja B summaks nimetatakse samajärku maatriksit A+B, mille elementideks on lähtemaatriksite kõigi vastavate elementide summa. A(aij) + B(aij) = A+B(a ij+bij). (MxN) A korrutiseks arvuga nimetatakse samajärku maatrikisit ·A, mille elementideks on maatriksi A kõigi elementide korrutised selle arvuga A; ·A= ·a ij) ; A, ·AM(mxn) . Maatriksi A vastandmaatriksiks A nim sellist maatriksit mille elementideks on lähtemaatriksi A kõigi elementide vastand väärtused; -A=(-a ij) ; A, -AM (mxn) . (MxN) järku maatriksite A ja B vaheks nim sama järku maatriksit A-B mis loetakse võrdseks maatriksi A ja (-1)·B summa A-B=A+(-1)·B; A-B=(a ij-bij). (MxK) maatriksi A ja (KxN) B korrutist nim (MxN) järku maatriksiks A·B, milles i-nda rea ja j-nda veeru lõikekohal paiknev ühine element C ij saadakse A i-nda rea ja j-nda veeru kõigi vastavate elementide korrutisena ja saadakse tulemuste liitmisel; A·BB·A. Maatriksit mille kõik elemendid on võrdsed nulliga

Lineaaralgebra

pdf

Lineaaralgebra ja analüütiline geomeetria konspekt

Eksami kordamisküsimused Lineaaralgebra ja analüütiline geomeetria (2015- 2016 aasta sügis) Ristkoordinaadid. Kui ruumis on antud ristkoordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määrastud ristkoordinaatidega x, y, z, kus x on punkti P ristprojektsioon abstsissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaatteljele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaateljele. Kirjutame P(x, y, z). Kahe punkti vaheline kaugus. Kui P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) on ruumi punktid, siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga Vektori mõiste Vektor on suunatud lõik alguspunktiga punktis A ja lõpp-punktiga punktis B. Nullvektor Eukleidilises ruumis (näiteks tasandil) on nullvektoriks määramata suunaga vektor, mille pikkus on null. Ühikvektor Kui vektori pikkus on 1, siis teda nimetatakse ühikvektoriks. Vektorite liitmine ja lahutamine Lahutamine toimub sama põhimõtte järgi. Reaalarvu ja vektori korrutis. Vektori pikkus Vektori pikkuseks lo

Algebra ja analüütiline geomeetria

docx

sodipodi

Def1: m korda n maatriksiks A nimetame m korda n elemendist moodustatud arvtabelit, milles on m rida ja n veergu. Kui m=n, siis on tegemist ruutmaatriksiga, vastupidisel juhul on tegemist ristkülikmaatriksiga. Def2_Maatriksid on võrdsed, kui nad on sama järku ja nende kõik vastavad elemendid on võrdsed. Üherealist maatriksit nimetatakse vektoriks. Def3_2 sama järku maatriksi summaks nimetame maatriksit, mille elementideks on lähtemaatriksite kõigi vastavate elementide summa. Def:4 Maatriksi korrutiseks arvuga lambda nimetame sama järku maatriksit, mille elementideks on maatriksi kõigi elementide korrutised arvuga lambda. Def5: maatriksi vastandmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit, mille elementideks on lähtemaatriksi kõigi elementide vastandväärtused. Def6: Kahe sama järku maatriksi vaheks A-B nimetatakse sama järku maatriksit, mis loetakse võrdseks maatriksi A ja maatriksi (-1)*B summaga. A-B=A+(-1)B Def7: maatriksite korrutiseks nimetakase maatriksit, mille i-

Kategoriseerimata

Rohkem sarnaseid