Majandusmatemaatika loeng (0)

22. september 2008.a.
Majandusmatemaatika ja Statistika
Õppejõud: Silvi Malv
Ainepunkte: 4,0
Maht tundides : 160
Hindamisviis: eksam, + teha kõik kontrolltööd tundides (2 matemaatikas ja 1 statistikas)
+ 1 kodune uurimus Statistika valdkonnas (nt. Omad kulud).
MAATRIKSID
Maatriks - ristküliku kujuline arvude tabel, kus m-arvud on pandud m-ridasse ja n-arvud on pandud n- veergu .
m – rida
n - veerg
Maatriksis olevaid arvu nim. elementideks, neid pannakse sulgudesse () või [] või ||.
a11 a12 … a1n
A = a21 a22 … a2n = (aij)mn
am1 am2 … amn
Arves kõige oluliseim info on summa, hinded, kogus.
Igal real on oma number.
MAATRIKSITE PÕHIKUJUD

RISTKÜLIKUMAATRIKS m ≠ n
4 -2,7 3
A =
6 2 0

RUUTMAATRIKS m = n
1 3 2
A = 0 1,2 4
2 1 2
PEADIAGONAAL – moodustavad võrdsete indeksitega elemendid (Nt.: a11, a22, ... ann).
KÕRVALDIAGONAALi – moodustavad peadiagonaaliga risti olevad elemendid.

DIAGONAALMAATRIKS – peaelemendid on 0-st erinevad, aga väljaspool peadiagonaalist on nullid .
1 0 0
A = 0 3 0
0 0 5

ÜHIKMAATRIKS – tähistatakse (E) või (I) (selle peadiagonaali kõik elemendid on ühed).
1 0 0
E (I) = 0 1 0
0 0 1

SÜMMEETRILINE MAATRIKS – vastavate ridade ja vastavate veergude elemendid on võrdsed (Nt.: linnade vahelised kaugused).
1 2 3
A = 2 0 4
3 4 6

MAATRIKS – RIDA m = 1
A = ( 1; 2; 4; 1,75 )

MAATRIKSVEERG n = 1
5
A = 4
3

TRANSPONEERITUD MAATRIKS – selle tähis on At (ÜMBERPAIGUTAMINE) – toimub vastavate ridade ja veergude ümberpaigutamine.
1 2 3 1 4
A = 4 5 6 At = 2 5
3 6

PÖÖRDMAATRIKS – tähistatakse A-1
TEHTED MAATRIKSITEGA
A = (aij)mn ; B = (bij)mn

MAATRIKSITE VÕRDLUS A = B

• Loetakse võrdseteks siis, kui nende numbrid on võrdsed. aij = bij
  

LIITMINE A+B = B+A

• Liidetakse vastavad elemendid. A+B = (aij + bij)mn
  

4 -7 2 -3 2 -4
Näide: A = 6 0 5 B = 1 -3 2
1(4+(-3) -5(-7+2) -2(2+(-4)
A + B = 7(6+1) -3(0+(-3) 7(5+2)

LAHUTAMINE A-B = (aij – bij)mn
4 -7 2 -3 2 -4
Näide: A = 6 0 5 B = 1 -3 2
7(4-(-3) -9(-7-2) 6(2-(-4)
A - B = 5(6-1) 3(0-(-3) 3(5-2)

KORRUTAMINE ARVUGA (c) ja c ≠ 0 c*A = (c*aij)mn
7 -9 6 14(7*2)
-18(-9*2) 12(6*2)
Näide: 2*(A-B) = 2* 5 3 3 = 10(5*2)
6(3*2) 6(3*2)

MAATRIKSITE KORRUTAMINE AB ≠ BA (korrutamine oleneb elementide järjestusest)
A = (aij)lm veerg B = (bij)mn
rida
AB = (ai1 * b1j + ai2 * b2j + ... + aim * bmj)ln
(i – rida * j – veerg)
0 1 2 1-ne rida korrutada B 1-se veerguga 6 -1
A = 3 4 5 B = 7 9
8 -2
EXCEL: math – MMULT (korrutamise funktsioon)
( CTRL + Shift + Enter)
Sisestada A ja B
0*6+1*7+2*8 0*(-1)+1*9+2*(-2) 23 5
A*B= 3*6+4*7+5*8 3*(-1)+4*9+5*(-2) =
86 23
6 -1 0 1 2 6*0+(-1)*3 6*1+(-1)4 6*2+(-1)*5
B*A = 7 9 * 3 4 5 = 7*0+9*3 7*1+9*4 7*2+9*5 =
8 -2 8*0+(-2)*3 8*1+(-2)*4 8*2+(-2)*5
-3 2 7
= 27 43 59
-6 0 -6

ASTENDAMINE – (võimalik ainult ruutmaatriksi puhul) m = n A2 = A*A
4 5 4 5 4 5 4*4+5*(-6) 4*5+5*2 -14 30
A2 = -6 2 = -6 2 * -6 2 = -6*4+2*(-6) -6*5+2*2 = -36 -26
DETERMINANDID
-on seotud maatriksitega. Determinandiks nimetatakse ruutmaatriksite vastavat arvu, mis on leitud teatud eeskirja kohaselt.
Tähis on D, kui seostame maatriksiga siis DA.
a11 a12

DA = a21 a22 = a11*a22 – a12*a21
a11 a12 a13

DA = a21 a22 a23 = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a21*a32*a13 - a31*a22*a13 – a21*a12*a33 – a32*a23*a11
a31 a32 a33
Determinantide reegel ( Sarruse reegel)
+ * * * + * * * +
* + * , * * + , + * *
* * + + * * * + *

14
D = 5 -2 = 1*(-2) – 14*5 = -72
1 0 -2
D = 3 4 1 = 1*4*(-1) + 0*1*5 + 3*2*(-2) – 5*4*(-2) – 3*0*(-1) – 2*1*1 = 22
5 2 -1
DETERMINANDI PÕHIOMADUSED

Kui vahetada omavahel 2 rida või 2 veergu, siis determinandi märk muutub vastupidiseks ( + → - , - → + ).

Kui maatriksi 2 rida või 2 veergu on võrdsed, siis vastuseks on „0“, või kui kõik elemendid reas või veergus on „0“-id, siis selle maatriksi determinant on „0“.
23. september 2008.a.
KÕRGEMAT JÄRGU DETERMINANDID
Need on kõik determinandid alates 4-st järgust.
MIINORID ja ALAMDETERMINANDID
Elemendi aij miinoriks (Mij) nimetatakse D-di, mis saadakse antud maatriksist või D-st vastava rea (i-nda rea) ja veergu (j-nda veergu) ära jätmisel.
esimene veerg jääb välja
0 2 4 3 5
Näiteks: A = 1 3 5 M11 = 7 8
6 7 8
esimene rida jääb välja
0 2 2 4
M23 = 6 7 M31 = 3 5
(jääb välja 2-ne rida ja 3-s veerg)
Elemendi aij alamdeterminandiks (Dij) nimetatakse selle elemendi miinorit võetuna märgiga „+“, kui elemendi asukoha indeksite summa on paarisarv , ja märgiga „-„ kui ta on paaritu arv.
Dij = (-1)i+j
(paarisastmel on tulemus „+“-ga ja paaritu astmel on see „-„-ga)
0 2 4 3 5
A = 1 3 5 D11 = 7 8 = 3*8 – 7*5 = 24-35 = -11
6 7 8 (1+1=2 – paarisarv)
0 2
D23 = - 6 7 = - (0*7-2*6) = 12
2 4
D21 = - 7 8 = - (2*8-4*7) = 12
2 4
D31 = 3 5 = 2*5-4*3 = -2
0 4
D32 = - 1 5 = - (0*5-4*1) = 4
TEOREEM : Determinandi väärtus võrdub tema mingi rea või veeru elementide ja vastavate elementide alamdeterminantide korrutiste summaga .
D = ai1*Di1 + ai2*Di2 + ... + ain*Din (vaata koopiates lk.18)
Ülesanne: lk.20, nr.4b
esimese rea neljas element
esimese rea kolmas element
esimese rea teine element
esimese rea esimene element
6 3 2 7 -9 4 8 9 4 8 9 -9 8 9 -9 4
D = 9 -9 4 8 = 6 -2 7 7 - 3 3 7 7 + 2 3 -2 7 - 7 3 -2 7 =
3 -2 7 7 -3 3 5 4 3 5 4 -3 5 4 -3 3
4 -3 3 5
„+“ paarisarv „-„ paaritu arv „+“ paarisarv „-„ paaritu arv
= (-9)*7*5+4*7*(-3)+(-2)*3*8–(-3)*7*8–4*(-2)*5–3*7*(-9)=-315+(-84)+(-48)-(-168)-(-40)-(-189) =-50
=9*7*5+4*7*4+3*3*8-4*7*8-4*3*5-7*3*9= 315+112+72-224-60-189= 26
=9*(-2)*5 + (-9)*7*4+3*(-3)*8-4*(-2)*8-3*(-9)*5-(-3)*7*9= -90+(-252)+(-72)-(-64)-(-135)-(-189)= -26
= 9*(-2)*3+(-9)*7*4+3*(-3)*4-4*(-2)*4-3*(-9)*3-7*(-3)*9= -54+(-252)+(-36)-(-32)-(-81)-(-189)= -40
=+6*(-50) -3*26 +2*(-26) -7*(-40) = -300 -78 -52+280 = -150
Determinandi väärtus ei muutu kui tema elementidele midagi liita või lahutada.
Lk. 19 – Determinandi A arvutamise algoritm.
Lk. 20, Ülesanne 3B
Majandusmatemaatika ja Statistika (RP089)