GPS võrgu tasandamine (0)

Praktikum nr. 8. GPS võrgu tasandamine

Tasandada joonisel 1 kujutatud GPS-võrk maatriksite abil. Koostage mõõtmistulemuste võrrandid , A, L ja W maatriksid . Lähtepunktide koordinaadid on antud tabelis 1. Mõõdetud vektorite pikkused kooskovariatsioonimaatriksi elementidega on toodud tabelis 2.
Joonis 1. Tasandatav GPS-võrk
Tabel 1. Lähtepunktide geotsentrilised koordinaadid (WGS84)
Punkt
X (m)
Y (m)
Z (m)
A
-1683429.825
-4369532.522
4390283.745
B
-1524701.61
-4230122.822
4511075.501
C
-1480308.035
-4472815.181
4287476.008
D
-1725386.928
-4436015.964
4234036.124
Tabel 2. Mõõdetud vektorid ja kovariatsioonimaatriksi elemendid (m)
Baasjoon
dX
dY
dZ
AE
94208.555
61902.843
24740.272
0.00001287
-1.6E-07
-1.9E-07
1.62E-05
-0.00000016
1.54E-05
BE
-64519.667
-77506.853
-96051.488
0.00003017
-2.6E-07
0.00000021
2.83E-05
-0.00000025
2.56E-05
CE
-108913.237
165185.492
127548.005
0.00008656
-8.1E-07
-0.00000087
7.88E-05
-8.00E-07
8.65E-05
DE
136165.65
128386.277
180987.895
0.00005893
-6.6E-07
-0.00000059
6.71E-05
-0.00000064
5.23E-05
EA
-94208.554
-61902.851
-24740.277
0.00002284
0.00000036
-0.00000042
3.83E-05
-0.00000035
3.23E-05
EB
64519.65
77506.866
96051.486
0.00008244
0.00000081
-0.00000077
7.74E-05
-0.00000081
8.48E-05
EC
108913.236
-165185.494
-127547.991
0.00002784
-3.6E-07
0.00000038
3.40E-05
-0.00000035
2.62E-05
ED
-136165.658
-128386.282
-180987.888
0.00003024
-3.7E-07
0.00000031
3.94E-05
-0.00000036
3.90E-05
Kõigepealt koostame mõõtmistulemuste võrrandid. Need on toodud järgnevalt baasjoone AE näitel- teised võrrandid koostatakse analoogselt iga vastava baasjoone kohta.
dxAE= XE-XA  XE= dxAE+ XA
dyAE= YE-YA YE= dyAE+ YA
dzAE= ZE-ZA ZE= dzAE+ ZA
Mõõtmistulemuste võrrandite põhjal koostame L maatriksi (Tabel 3).
Tabel 3. Maatriks L
-1589221.27
-4307629.679
4415024.017
-1589221.277
-4307629.675
4415024.013
-1589221.272
-4307629.689
4415024.013
-1589221.278
-4307629.687
4415024.019
1589221.271
4307629.671
-4415024.022
1589221.26
4307629.688
-4415024.015
1589221.271
4307629.687
-4415023.999
1589221.27
4307629.682
-4415024.012
Maatriks A kujuneb parameetrilistes võrrandites tundmatute ees olevate kordajatest (+1 või -1).
Tabel 4. Maatriks A
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
-1
0
0
0
-1
0
0
0
-1
-1
0
0
0
-1
0
0
0
-1
-1
0
0
0
-1
0
0
0
-1
-1
0
0
0
-1
0
0
0
-1
Järgnevalt koostame kovariatsioonimaatriksi E, mille peadiagonaal koosneb plokkidest. Ploki moodustavad tabelis 2 toodud elemendid , , ,,
ja . Moodustatud 24x24 maatriks E ning selle pöördmaatriksiks olev kaalumaatriks W on toodud lisatud Excel ’i failis .
Moodustatud maatriksid viime programmi Matrix ning teeme läbi tasanduse kaalutud vähimruutude meetodil. Tulemusena saame X maatriksi (Tabel 5), mis sisaldab otsitava punkti E koordinaate. Lisaks saame kaaluühiku dispersiooni S02, mille väärtuseks on 1,07605 ning S0= 1,037.
Tabel 5. Maatriks X punkti E koordinaatidega
-1589221.27
-4307629.68
4415024.01
Nüüd saame arvutada χ2 statistiku, mille leiame valemi χ2=
abil. Vabadusastmete (v) arv kujuneb mõõtmiste (m) arvu ja tundmatute arvu (n) vahena. Vabadusastmete arvuks praegusel juhul on 21. χ2 statistiku väärtuseks saame 22,597. Leiame statistiliste jaotustabelite järgi vastavalt olulisuse nivoole α=0,05 ja vabadusastmete arvule χ2 kriitilised väärtused. Esmalt =35,479, mille abil hindame kas saadud S0 on suurem kui 1 ning = 10,283, mille järgi hindame kas saadud S0 on 1st väiksem. Praegusel juhul jääb teststatistik kriitiliste piiride sisse ning kaaluühiku standardhälve on statistilises mõttes võrdne a’priori valitud standardhälbega (δ=1). Kaaluühiku standardhälve on 1’le lähedal, seega ei ole alust arvata, et mõõtmistulemustes esineks jämedaid vigu.
Leitud punkti E koordinaatide usaldusväärsuse hindamiseks leiame nende standardhälbed Sx, Sy ja Sz. Selleks kasutame valemit , kus
on parameetrite kofaktormaatriksi Qxx i-nda rea ja i-nda veeru element ning S0=1,037 tasandusjärgse kaaluühiku standardhälve. kofaktormaatriksi Qxx saame programmist Matrix. Leitud koordinaatide standardhälbed on vastavalt ,
ja . Standardhälbed jäävad maksimaalselt 2,2 mm piiresse ning võib eeldada, et need on usaldusväärsed tulemused.
Tabel 6. Kofaktormaatriks Qxx
3.78E-06
-2.61E-08
-1.40E-08
-2.61E-08
4.58E-06
-4.38E-08
-1.40E-08
-4.38E-08
4.14E-06
Järgnevalt leiame mõõtmistulemuste (mõõdetud vektorite) standardhälbed. Selleks on meil vaja mõõtmistulemuste kofaktormaatriksit, mis avaldub kujul . Mõõtmistulemuste standardhälbed valemit , kus qjj on mõõtmistulemuste kofaktormaatriksi Qjj (Excel’i failis) diagonaalelement. Siinkohal toome välja ainult baasjoone AE vektoritele arvutatud standardhälbed, sest teistele vektoritele arvutatud standardhälbed on täpselt samad. Baasjoone AE vektorite standardhälbed on , , . Näeme, et nagu leitud koordinaatide puhulgi ei ületa vektorite standardhälbed 2,3 mm. Jällegi võib lugeda mõõtmistulemused usaldusväärseiks. Siiski leiame mõõtmistulemuste standardiseeritud hälbed jämedate vigade olemasolu kontrolliks.
Standardiseeritud hälvete leidmiseks leiame esmalt hälvete kofaktormaatriksi Qvv (Excel’i failis) ja hälvete maatriksi V (Tabel 7). Standardiseeritud hälbed (Tabel 8) leiame valemi
abil (vi- mõõtmistulemuse hälve, qvv- maatriksi Qvv diagonaalelement). Siinkohal tuleb silmas pidada, et kui standardiseeritud hälve on suurem kui 3,29*S0= 3,423, siis on see mõõtmistulemus 99,7% tõenäosusega jämeda veaga ning tuleks mõõtmistulemuste seast eemaldada. Praegusel juhul on maksimaalne standardiseeritud hälve baasjoone EC vektori dz puhul 3,086. Kriitilist suurust 3,29*S0 praegusel juhul ükski väärtus ei ületa ja võib eeldada, et jämedaid vigu ei esine.
Tabel 7. Hälvete maatriks V
-0.0012752
-0.0014982
-0.0035052
0.00572476
-0.0054982
0.00049483
0.00072476
0.00850181
0.00049483
0.00672476
0.00650181
-0.0055052
0.00027524
0.00949819
0.00850517
0.01127524
-0.0075018
0.00150517
0.00027524
-0.0065018
-0.0144948
0.00127524
-0.0015018
-0.0014948
Tabel 8. Standardiseeritud hälbed vdi
Baasjoon
dx
dy
dz
vdx
vdy
vdz
AE
94208.555
61902.843
24740.272
0.4230
0.4393
1.0457
BE
-64519.667
-77506.853
-96051.49
1.1145
1.1279
0.1068
CE
-108913.237
165185.492
127548.01
0.0797
0.9867
0.0545
DE
136165.65
128386.277
180987.9
0.9056
0.8225
0.7937
EA
-94208.554
-61902.851
-24740.28
0.0630
1.6366
1.6037
EB
64519.65
77506.866
96051.486
1.2713
0.8793
0.1676
EC
108913.236
-165185.49
-127548
0.0561
1.1995
3.0856
ED
-136165.658
-128386.28
-180987.9
0.2479
0.2545
0.2530