Mõõtmistulemuste võrrandite lahendamine vähimruutude meetodil.

Nõgene, Aigar

Mõõtmistulemuste võrrandite lahendamine vähimruutude meetodil. (0)

Eesti Maaülikool - Geograafia - Geodeesia

1 Hindamata

Praktikum nr 4. Mõõtmistulemuste võrrandite lahendamine vähimruutude meetodil.

Ülesanne 1. Antud on kolm lineaarset mõõtmistulemuste parameetrilist võrrandit:

Kõigepealt tuleb meil ülesande lahendamiseks leida tundmatute parameetrite x ja y kõige tõenäolisemad väärtused vähimruutude meetodil. Arvestada tuleb ka, et mõõtmistulemused on vastavalt kaaludega 6, 4 ja 3.
Ülesande lahendamiseks peame parameetriliste võrrandite abil koostama maatriksid A (Tabel 1) ja L (Tabel 2), mis vastavalt koosnevad tundmatute ees asetsevatest kordajatest ja paremal pool võrdusmärki asetsevatest väärtustest. Lisaks veel mõõtmistulemuste kaaludest moodustatud kaalumaatriks W (Tabel 3).
Tabel 1. Maatriks A
3
2
2
-3
6
-7
Tabel 2. Maatriks L
7.8
5.55
8.5
Tabel 3. Kaalumaatriks W
6
0
0
0
4
0
0
0
3
Lähtudes nendest andmetest ja kasutades kaalutud normaalvõrrandite lahendamiseks mõeldud valemit , leidsime maatriksi X (Tabel 4), mis koosneb otsitavatest muutujatest x ja y.
tähistab maatriksi A transponeeritud maatriksit, st read ja veerud on omavahel ära vahetatud . Maatriks
tähistab aga transponeeritud maatriksi A, kaalumaatriksi W ja maatriksi A korrutise pöördmaatriksit. Selle saame kui kasutame Excel ’I funktsiooni MINVERSE. Maatriksite omavahelisel korrutamisel on tähtis järjekord , seetõttu tuleb hoolikalt jälgida, et tehted toimuksid valemis ettenähtud järjestuses . Maatriksite korrutamiseks kasutame Excel’I funktsiooni MMULT, kus tuleb sisendina ära näidata kahe maatriksi ulatus ning käsklus lõpetada ctrl + shift +enter klahvikombinatsiooniga. Samuti tuleb arvestada, et tulemusmaatriksi suurus tuleneb esialgsetest maatriksitest. Uue maatriksi ridade arv ühtib esimese maatriksi ridade arvuga ja veergude arv teise maatriksi omaga . Maatriksit X vaadates näeme, et x= 2,21 ja y= 0,48.
Tabel 4. Maatriks X
2.21
0.48

Järgnevalt tuleb leida mõõtmistulemustele parandid vi, et mõõtmistulemused rahuldaksid geomeetrilisi tingimusi.
Otsitavate parandite leidmiseks kasutame maatrikseid A, X ja L. Vastavalt valemile V= AX-L leiame hälvete maatriksi V (Tabel 5).
Tabel 5.Hälvete maatriks V
-0.21
-2.59
1.36

Leitud parameetrid x ja y ning hälbed vi tuleb asetada algvõrranditesse ning kontrollida nende kehtivust.
Asetades vajalikud suurused võrranditesse, siis näeme, et leitud parameetrite ja hälvete puhul on kõigi võrrandite vasakud pooled võrdsed paremate pooltega. Järelikult on leitud suurused õiged ning rahuldavad antud võrrandeid .
Ülesanne 2.Antud on kolm mittelineaarset mõõtmistulemuste parameetrilist võrrandit:

Leida tundmatute parameetrite x ja y kõige tõenäolisemad väärtused vähimruutude meetodil. Mõõtmistulemused on võrdsete kaaludega. Esialgsete x ja y väärtustena kasutage x0 = 2.1 ja y0 = 0.45.
Ülesande lahendamiseks leiame kõigepealt antud võrrandite osatuletised muutuja x ja seejärel muutuja y järgi. Saame 6 osatuletist, millesse asendame muutujate x ja y esialgsed väärtused. Tulemuseks saame J maatriksi ( Jacobi maatriks).
Tabel 6. Jacobi maatriks
5.55
5.4
92.61
-2.7
-0.7
-9.9
Järgnevalt asetame muutujate x ja y esialgsed väärtused algvõrranditesse ja leiame neile esialgsed väärtused. Nende kaudu leiame maatriksi K (Tabel 7), mis on tegelike mõõtmistulemuste ja parameetrite esialgsete väärtuste põhjal võrranditest leitud tulemuste vahe.
Tabel 7.Maatriks K
-0.04
-9.02
-0.34
Olemasolevate maatriksite põhjal saame leida muutujate x ja y parandid δx ja δy. Kasutame selleks valemit X=(JTJ)-1JTK, kus JT on maatriksi J transponeeritud (TRANSPOSE) maatriks ja (JTJ)-1 on maatriksite JT ja J korrutise pöördmaatriks (MINVERSE). Valemit järgides saame tulemuseks maatriksi X (Tabel 8), mis sisaldab endas muutujate x ja y parandeid (δx ja δy). Esimene lähendus on sellega lõpule jõudnud.
Tabel 8. Maatriks X muutujate x ja y paranditega esimesest lähendusest
-0.096
0.052
Arvutuste lihtsustamiseks kopeerime Excel’is oleva esimese lähenduse teisele töölehele. Esimesest lähendusest leitud parandid δx ja δy tuleb esialgsetele muutujate väärtustele juurde liita ning kogu arvutuskäik kordub ja saame muutujatele uued parandid (Tabel 9). Näeme, et parandid on võrreldes eelmistega palju väiksemad. Lahendust tuleks jätakata kuni parandid on muutunud tühiselt väikeseks.
Tabel 9. Maatriks X muutujate x ja y paranditega teisest lähendusest
-0.004
0.005
Võttes teisest lähendusest leitud parandid ja liites need teises lähenduses kasutatud muutujatele x ja y ning arvutuskäiku taas korrates, siis saame kolmandas lähenduses muutujate paranditeks väga väikesed suurused. Proovides ka neljandat lähendust, siis ilmneb, et parandid tulevad nullid.
Tabel 10. Maatriks X muutujate x ja y paranditega kolmandast lähendusest
-0.0000067
0.000050
Lõplikeks muutujate x ja y väärtusteks võtame kolmandas lähenduses kasutatud väärtusi, kus on arvestatud esimesest ja teisest lähendusest leitud parandeid. Muutujate väärtusteks on x= 2,0 ja y= 0,5.

Leidke hälbed vi ehk parandid mõõtmistulemustele, et mõõtmistulemused rahuldaksid geomeetrilisi tingimusi.
Hälvete vi leidmiseks kasutame valemit V= JK-K. Arvutustes kasutame kolmanda lähenduse tulemusi ning leiame hälvete maatriksi V (Tabel 11).
Tabel 11. Hälvete maatriks V
-0.21
0.01
-0.12

Kontrollige võrrandite kehtivust leitud parameetrite ja hälvete asetamisega võrranditesse a, b, c.
Lõplike muutujate x ja y väärtuste ning leitud hälvete asetamisel algvõrranditesse näeme, et võrrandite vasakud pooled võrduvad parema poolega. Järelikult leitud parameetrid ja hälbed rahuldavad antud võrrandeid.

.DOCX Laadi alla originaalfail 5 lk · .docx · 14 allalaadimist

Mõõtmistulemuste võrrandite lahendamine vähimruutude meetodil #1

Mõõtmistulemuste võrrandite lahendamine vähimruutude meetodil #2

Mõõtmistulemuste võrrandite lahendamine vähimruutude meetodil #3

Mõõtmistulemuste võrrandite lahendamine vähimruutude meetodil #4

Mõõtmistulemuste võrrandite lahendamine vähimruutude meetodil #5

50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.

~ 5 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2015-12-24 Kuupäev, millal dokument üles laeti

14 laadimist Kokku alla laetud

0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

Aigar Nõgene Õppematerjali autor

Lähtudes nendest andmetest ja kasutades kaalutud normaalvõrrandite lahendamiseks mõeldud valemit X=〖(A^T WA)〗^(-1) A^T WL, leidsime maatriksi X (Tabel 4), mis koosneb otsitavatest muutujatest x ja y. A^T tähistab maatriksi A transponeeritud maatriksit, st read ja veerud on omavahel ära vahetatud. Maatriks 〖(A^T WA)〗^(-1) tähistab aga transponeeritud maatriksi A, kaalumaatriksi W ja maatriksi A korrutise pöördmaatriksit. Selle saame kui kasutame Excel’I funktsiooni MINVERSE. Maatriksite omavahelisel korrutamisel on tähtis järjekord, seetõttu tuleb hoolikalt jälgida, et tehted toimuksid valemis ettenähtud järjestuses.

normaalvõrrand kaalumaatriks pöördmaatriks Mõõtmistulemuste võrrandite lahendamine vähimruutude meetodil

Sarnased õppematerjalid

docx

Mõõtmistulemuste võrrandite lahendamine vähimruutude meetodil

Iseseisev töö nr 4. Mõõtmistulemuste võrrandite lahendamine vähimruutude meetodil. Ülesanne 1. Antud on kolm lineaarset mõõtmistulemuste parameetrilist võrrandit: 1) Leida tundmatute parameetrite X ja Y kõige tõenäolisemad väärtused vähimruutude meetodil. Mõõtmistulemused on võrdsete kaaludega. Kuna mõõtmistulemused on võrdsete kaaludega, siis paregusel juhul neid arvestama ei pea ja kaalumaatriksit arvutustes kasutada ei ole vaja. Vastavalt ette antud võrranditele kirjutame välja maatriksid A (Tabel 1) ja L (Tabel 2), mis vastavalt koosnevad tundmatute muutujate X ja Y kordajatest ning paremal pool võrdusmärki asetsevatest suurustest (mõõtmistulemustest). Tabel 1. Maatriks A 1 2 2 -3 2 -1

Geodeesia

docx

Nivelleerimisvõrgu tasandamine

Praktikum nr 5. Nivelleerimisvõrgu tasandamine. Ülesanne 1. Tabelis 1 on antud lahtise nivelleerimiskäigu mõõtmisandmed. Lähtepunktide kõrgused on HA=34,286 m ja HB= 41,522 m. Koostada mõõtmistulemuste võrrandid ja maatriksid ning leida tundmatute punktide kõrgused ja standardhälbed ning mõõtmistulemuste parandid vähimruutude meetodil. Koostada tasandustulemuste koondtabel(Tabel 10). Tabel 1.Nivelleerimiskäigu mõõtmisandmed. Vastavalt lähteandmetele koostame parameetrilised võrandid geomeetrilise v nivelleerimise prototüüpvõrrandi Hj-He=ΔHej+ ΔH eeskujul. Vastavalt saame neli ej parameetrilist võrrandit: H1-HA=2,179+v1 H2-H1=3,243+v2 H3-H2=-3,797+v3 HB-H3=5,608+v4

Geodeesia

docx

Teodoliitkäigu tasandamine

Joon Arvutatud Mõõdetud Mk1-A 30.4793832 - A-B 1341.55967 1341.56 B-C 1005.489793 1005.49 C-Mk2 30.47731287 - Tabel 3. Arvutatud ja mõõdetud nurgad teodoliitkäigus Arvutatud ( Mõõdetud ( ° ) ° ) Nurk võrrandite tundmatute dx ja dy kordajatest. 3 esimest rida, kus paiknevad nurgalised elemendid, on läbi korrutatud radiaaniga sekundites (ρ= 206264,8’’). See on vajalik selleks, et maatriksiga K oleks ühikuline vastavus. Prototüüpvõrrand nurga BIF (Backsight-Instrument-Foresight) on: Maatriksi J esimene rida kujuneb , teine rida ja kolmanda rea elemendid võrrandiosa järgi

Geodeesia

docx

GPS võrgu tasandamine

Praktikum nr. 8. GPS võrgu tasandamine Tasandada joonisel 1 kujutatud GPS-võrk maatriksite abil. Koostage mõõtmistulemuste võrrandid, A, L ja W maatriksid. Lähtepunktide koordinaadid on antud tabelis 1. Mõõdetud vektorite pikkused kooskovariatsioonimaatriksi elementidega on toodud tabelis 2. Joonis 1. Tasandatav GPS-võrk Tabel 1. Lähtepunktide geotsentrilised koordinaadid (WGS84) Punkt X (m) Y (m) Z (m) - - 4390283. A 1683429.8 4369532.52 745

Geodeesia

pdf

Kõrgema matemaatika üldkursus

3 2 -1 0 2 3 4 3 -5 1 2 -3 4 1 1 4 2 -1 0 2 2 3 2. Arvutada: D = 2 - 1 0 5 ; DA = A 1 -1 6 5. -3 1 2 0 4 3 2 1 1. Crameri valemid ehk lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine determinantide abil. Dk Xk = , k = 1,2 ....n, DA kus DA on süsteemi maatriksi determinant ja Dk on determinant, milles süsteemi determinandis k- veerg on asendatud vabaliikmete veeruga. Crameri peajuht 1) vorrandisusteemi tundmatute arv m ja vorrandite arv n on vordsed, st nm ; 2) tundmatute kordajatest moodustatud determinant on nullist erinev.

Kõrgem matemaatika

pdf

Kõrgem matemaatika / lineaaralgebra

Determinandi põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. 6. Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Pöördmaatriksi omadused. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Vasturääkiv, kooskõlaline, määratu süsteem. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. 8. Süsteemi lahendamine Crameri valemitega. Maatriksi minor. Maatriksi astak. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi rea juhtelement, treppmaatriks. Treppmaatriksi astak. Kronecker-Capelli teoreem 9. Gaussi meetodi sisu. 10. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju

Algebra I

doc

Kõrgem matemaatika

Erilahendi korral on C-le antud konkreetne arvuline väärtus. 8. Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju. Maatrikskujul antud võrrandisüsteemi lahendamisest. maatrikskuju: AX = B. võrrand, kus maatriks ise on otsitavaks. süsteemil on üks lahend, kui süsteemi maatriksil A leidub pöördmaatriks A-1 (detA on nullist erinev) ja võrrandeid ja tundmatuid on ühepalju (m = n). lahend avaldub: X = A-1B näiteks: Crameri valemid: 9. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga. Esimeses etapis viiakse laiendatud maatriks elementaarteisendustega astmelisele kujule: a) Ainult nullidest koosnev rida paikneb allpool neist ridadest, kus on nullist erinevaid elemente. Sellise rea võib ka kirjutamata jätta edaspidi. b) Rea nn juhtelemendiks on võetud rea kõige vasakpoolsem nullist erinev element, millest allpool samas veerus on ainult nullid.

Kõrgem matemaatika

doc

Maatriksi algebra

B = (bi) _ vabaliikmete maatriks-veerg, X = (xk) tundmatute maatriks-veerg. Nende maatriksite abil on lineaarse võrrandisüsteemi kuju AX = B. a. Antud võrrandisüsteemil võib leiduda ainult üks lahend, kui m = n ja DA 0. b. Süsteemil puudub lahend, kui võrrandid on vastuolulised. c. Süsteemil on lõpmata palju lahendeid,kui tundmatute arv on suurem võrrandite arvust või võrrandid on lineaarselt sõltuvad s.t. DA = 0. Sel juhul kasutatakse üldlahendit ja erilahendeid. Süsteemide lahendamise meetodid. 1. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine maatrikskujul: Olgu antud lineaarne võrrandisüsteem maatrikskujul: AX = B Avaldades sellest tundmatu X, saame: X = A-1B. Seda meetodit on eriti mugav kasutada juhul, kui mitmel erineval süsteemil on

Kõrgem matemaatika

Rohkem sarnaseid

Meedia

Praktikum nr 4. Mõõtmistulemuste võrrandite lahendamine vähimruutude meetodil.

Asetades vajalikud suurused võrranditesse, siis näeme, et leitud parameetrite ja hälvete

Kommentaarid (0)

Kommentaarid sellele materjalile puuduvad. Ole esimene ja kommenteeri

Kõik kommentaarid

.DOCX Laadi alla originaalfail 5 lk