Algebra ja geomeetria: Tõestused (1)

Tõestused Omadus 1.4. Maatriksite liitmine on kommutatiivne, s.t. mistahes X, Y Mat(m, n) korral kehtib X + Y = Y + X.
Tõestus: Iga X = (xij) ja Y = (yij) korral hulgast Mat(m, n), tänu reaalar- vude liitmise kommutatiivsusele (1.11), saame X + Y = (xij + yij) = (yij + xij) = Y + X X + Y = Y + X Omadus 1.10. (X + Y ) = X + Y
Tõestus (X + Y ) = ((xij) + (yij)) = ( (xij + yij)) = ( xij + yij) = = ( xij) + ( yij) = (xij) + (yij) = X + Y (X + Y ) = X + Y; Omadus 1.15.
Mistahes maatriksi X Mat(m, n) ning vastavate ühikmaatriksite Em Mat(m,m) ja En Mat(n, n) korral XEn = X, EmX = X
Tõestus
Maatriksite X = (xij ), kus i Nm, j Nn, ja n-järku ühikmaatriksi E1 = (ij) korrutise XE1 = (yij) üldelement avaldub
= = , , , =1 mistõttu XE1 = X. Juhul kui E2 on m-järku ühikmaatriks, siis
2 = = = =1
Teoreem 2.2. Kui permutatsioonis omavahel ära vahetada kaks elementi, siis permutatsioon muudab paarsust.
Tõestus. Tõestame esmalt teoreemi, kui permutatsioonis vahetatavad arvud on kõrvuti, s.o. permutatsioonist 1 ... +1 ... saame permutatsiooni 1 ... +1 ... Paneme tähele, et kummaski permutatsioonis arvudele i ja i+1 eelnevate ja järgnevate arvudega inversioonid säilusid. Ainus inversiooni muutus tekkis üleminekul paarilt (i, i+1) paarile (i+1, i). Seega inversioonide arv I (1 , ... , , +1 , ... , ) erineb ainult ühe võrra inversioonide arvust I (1 , ... , +1 , , ... , ): Järelikult jutuks olevad permutatsioonid on eri- neva paarsusega. Vaatleme nüüd olukorda, kui vahetatavad arvud ei ole kõrvuti: olgu nende vahel s arvu. Läheme permutatsioonilt 1 ... +1 ... -1 ... (2.2) s üle permutatsioonile 1 ... +1 ... -1 ... (2.3) s samm-sammult, hakates vahetama kõrvuti olevaid arve. Vahetame permu - tatsioonis (2.2) arvu i temale järgnevate arvudega, viies ta arvu k järele. Selle protseduuri käigus toimub s + 1 kõrvuti oleva arvupaari vahetust. Nüüd toome arvu k arvu i esialgsele kohale, vahetades s korda kõrvuti olevaid arve. Seega saime permutatsioonist (2.2) permutatsiooni (2.3), va- hetades kokkuvõttes (s + 1) + s = 2s + 1 korda kõrvuti olevaid arvupaare. Iga selline arvupaari vahetus, nagu teame, muutis permutatsiooni paarsust. Kuna 2s + 1 on paaritu arv, siis permutatsioonid (2.2) ja (2.3) on erineva paarsusega. Võtame nüüd kaks permutatsiooni 12.....n, 1 2 ... Neist esimene on nn. loomulik permutatsioon. Tema inversioonide arv on null, seega ta on paarispermutatsioon. Teeme kummaski permutatsioonis Äuhesuguseid arvupaaride vahetusi eesmärgiga saada teisest permutatsioo- nist loomulik permutatsioon, mis muutub paarispermutatsiooniks. Öeldut saame iseloomustada järgmiselt:
12....n1 2 ...
1 2 ... 12....n
Üleminekul uutele permutatsioonidelele kasutasime samapalju arvupaaride vahetusi. Teoreemi 2.2 kohaselt permutatsioonid 1 2 ... , 1 2 ... (2.4) on sama paarsusega. Omadus 3.3.
Teoreem 5.1. Omadus 6.1.
Omadus 6.3.
Järeldus 7.1. Järeldus 8.1.
Teoreem 9.1. Teoreem 10.3. Elementide liitmisel, lahutamisel ja arvuga korrutamisel tuleb elementide koordinaadid vastavalt liita, lahutada ja sama arvuga korrutada.
Tõestus Olgu nüüd jä vastavalt tähistatud 1 , 2 , ... , ja 1 , 2 , ... , . Seega (10.2 = 1 1 + 2 2 + + ) kohaselt - 1 1 + 2 2 + + , - 1 1 + 2 2 + + millest ± - + (±1) - (1 1 + 2 2 + + ) + (±1)(1 1 + 2 2 + + ) - (1 1 + 2 2 + + ) + [(±1 )1 + (±2 )2 + + (± ) ] - [1 1 + (±)1 ] + [2 2 + (±)2 ] + + [ + (±) ] - (1 + 1 )1 + (2 + 2 )2 + + ( + )
Oleme saanud vektori ± avaldisekoordinaatideks on 1 ± 1, 2 ± 2, ... , n ± n Seega ± = ( 1 ± 1, 2 ± 2, ... , n ± n ) Leiame nüüd vektori avaldise baasi kaudu. Saame = (1 1 + 2 2 + + ) = (1 )2 + (2 )2 + + ( ) millest = (1 , 2 , ... . , ) Teoreem 12.1. Homogeense lineaarvõrrandisüsteemi kõigi lahendikomplektide hulk Lh on vektorruumi n (või Mat(1,n)) alamruum.
Tõestus
Valemi (8.5-) kohaselt on vaja esiteks näidata, et hulk L on mittetühi. See on meil juba näidatud. (Lahendiks on nullvektor ) Teiseks on vaja näidata, et mistahes kahe reaalarvu ja ning lineaarvõrrandisüsteemi (12.3-) mistahes kahe lahendivektori = (1 , 2 , ... , ), = (1 , 2 , ... , ) korral ka vektor + = (1 + 1 , 2 + 2 , ... , + ) on lineaarvõrrandisüsteemi (12.3) lahendivektoriks. Kuna eelduse kohaselt , , siis 11 1 + 12 2 + + 1 0, 22 1 + 22 2 + + 2 0, .................................................. 1 1 + 2 2 + + 0
ja 11 1 + 12 2 + + 1 0, 22 1 + 22 2 + + 2 0, ................................................... 1 1 + 2 2 + + 0 Viimase abil saame
11 (1 + 1 ) + 12 (2 + 2 ) + + 1 ( + ) = (11 1 + 12 2 + + 1 ) + (11 1 + 12 2 + + 1 ) = 0 + 0 = 0, 21 (1 + 1 ) + 22 (2 + 2 ) + + 2 ( + ) = (21 1 + 22 2 + + 2 ) + (21 1 + 22 2 + + 2 ) = 0 + 0 = 0, .................................................................................................................................... 1 (1 + 1 ) + 2 (2 + 2 ) + + ( + ) = (1 1 + 2 2 + + ) + (1 1 + 2 2 + + ) = 0 + 0 = 0, s.o
Vabavektorite liitmine on assotsiatiivne.
(14.3) Viimase tõestamiseks saame kasutada ainult vektorite liitmise definitsiooni, sest hulga E ehituse kohta midagi muud me veel ei tea. Fikseerime mingi punkti AE (vt.joonis) Leiduvad punktid B,C,D E nii, et
= , = , = Valemi (14.2 + : = ) abil saame
millest paremate poolte võrduse tõttu saame vasakute poolte võrduse. Sellega oleme valemi tõestanud. Omadus 15.1.
(15.2) Asendades siia valemist (15.3), saame valemi (15.2). Seega omadus 15.1 on tõestatud Omadus 15.4. Omadus 17.2.
Sellega omadus on tõestatud Omadus 17.4. Omadus 18.3. Omadus 19.3. Sirge võrrandite tuletuskäigud (ruumis ja tasandil). Tasandi võrrandite tuletuskäigud. Tuletuskäik: punkti kaugus sirgeni ristkoordinaatides tasandil ja ruumis. Tuletuskäigud: punkti kaugus tasandini ristkoordinaatides, nurk kahe sirge, kahe tasandi, sirge ja tasandi vahel (ristkoordinaatides). Ellipsi kanoonilise võrrandi tuletuskäik lähtudes ellipsi definitsioonist . Hüperbooli kanoonilise võrrandi tuletuskäik lähtudes hüperbooli definitsioonist. Parabooli kanoonilise võrrandi tuletuskäik lähtudes parabooli definitsioonist.
Teoreem 26.1. Ellipsoidi võrrandi tuletuskäik lähtudes ellipsi kanoonilisest võrrandist.