tagurpidi: summa teisendada ruuduks 18.Hulkliikmete korrutamine - ühe hulkliikme iga liige korrutada teise hulkliikme iga liikmega ja tulemused liita, võimalusel koondada (a+b)(x+y+z)=ax+ay+az+bx+by+bz NB korrutiste leidmisel jälgida nõutud järjekorda 19.Kuupide summa valem - kahe üksliikme summa ja nende üksliikmete selgitus: 2x3 ehk 6 korrutisest koonduvad neli vahe mittetäieliku ruudu korrutis võrdub nende üksliikmete kuupide koonduvad korrutised 1.x2. ja 2.x1. summaga koonduvad korrutised 1.x3. ja 2.x2. 20.Kuupide vahe valem - kahe üksliikme vahe ja nende üksliikmete selgitus:2x3 ehk 6 korrutisest koonduvad neli summa mittetäieliku ruudu korrutis võrdub nende üksliikmete kuupide koonduvad korrutised 1.x2. ja 2.x1. vahega koonduvad korrutised 1.x3. ja 2.x2. 21
milles on kolm rida ja kolm veergu a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 Kolmerealise determinandi arvutamiseks kasutatakse n.n. Sarruse reeglit, kuid võib kasutada ka lihtsamat skeemi, kus determinandi järele kirjutatakse täiendavalt juurde kaks esimest veergu ning arvutatakse nagu skeemilt näha: a b c a b a b c a b d e f d e d e f d e g h k g h g h k g h Punaste noolte suunas võetud korrutised jäetakse sama märgiga nagu nad on ja siniste noolte suunas võetud korrutiste märgid muudetakse vastupidisteks (leidke, millega selle determinandi väärtus võrdub= 1 0 -1 1 0 0 2 3 0 2 = .... -1 2 3 -1 2
n 314 4. Leiame mootori lühisvoolu U 220 I a , k ,l = n = = 1057 A Ra 0, 208 5. Arvutame ideaalse tühijooksu punkti nurkkiiruse loomuliku tunnusjoone korral U 220 0,l = n = = 337 s -1 kn 0, 652 6. Leiame mootori konstruktsiooni teguri ja magnetvoo korrutised k 1 = 0, 75k n = 0, 75Cn = 0, 75 0, 652 = 0, 489 V s k 2 = 0,5k n = 0,5Cn = 0,5 0, 652 = 0,326 V s 7. Arvutame ideaalse tühijooksu punktide nurkkiirused tehistunnusjoonte korral U Un 0,t1 = n = = 450 s -1 k 1 0, 75 n Un Un 0,t2 = = = 675 s-1 k2 0,5 n 8
1. Et leida murdude ühist nimetajat, tegurdan kõikide murdude nimetajad ja leian siis nende vähima ühiskordse. 2. Leian kõikidele murdudele laiendajad (tegurid, mis antud murru nimetajast on puudu võrreldes ühise nimetajaga). 3. Nimetajasse kirjutan leitud ühise nimetaja. Lugejasse kirjutan esialgsete lugejate ja leitud laiendajate korrutiste summa/vahe. A( x) Murdvõrrand kujul 0 B( x) esialgsete lugejate ja laiendajate korrutised A( x) 0 kõigi murdude ühine nimetaja B( x) Kui võrrandi liikmete seas esineb täisavaldisi (arve), siis võime need esitada murruna, mille nimetaja on 1 Murru 0-ga võrdumise tingimuse rakendamine A( x) A( x) 0 Lugeja võrdub 0 B( x) 0 B( x) nulliga! Nimetaja ei tohi
(MxN) järku maatriksite A ja B summaks nimetatakse samajärku maatriksit A+B, mille elementideks on lähtemaatriksite kõigi vastavate elementide summa. A(aij) + B(aij) = A+B(a ij+bij). (MxN) A korrutiseks arvuga nimetatakse samajärku maatrikisit ·A, mille elementideks on maatriksi A kõigi elementide korrutised selle arvuga A; ·A= ·a ij) ; A, ·AM(mxn) . Maatriksi A vastandmaatriksiks A nim sellist maatriksit mille elementideks on lähtemaatriksi A kõigi elementide vastand väärtused; -A=(-a ij) ; A, -AM (mxn) . (MxN) järku maatriksite A ja B vaheks nim sama järku maatriksit A-B mis loetakse võrdseks maatriksi A ja (-1)·B summa A-B=A+(-1)·B; A-B=(a ij-bij). (MxK) maatriksi A ja (KxN) B korrutist nim (MxN) järku maatriksiks A·B,
on m-rida ja n-veergu Def. 2 Maatriksid A ja B loetakse võrdseks, kui nad mõlemad on sama järku ja nende maatriksite kõik vastavad elemendid on võrdsed Def. 3 (m x n) järku A ja B järku maatriksite A ja B summaks nimetatakse sama järku maatriksit -> A+B, mille elementideks on lähtemaatriksite A ja B kõigi vastavate elementide summa. Def. 4 (m x n) järku Maatriksi korrutiseks arvuga lambda nimetame maatriksit, mille elementideks on maatriksi kõigi elementide korrutised arvuga lambda. Def. 5 (m x n) järku A vastandmaatiksiks (-A) nimetatakse sama järku maatriksit, mille elementideks on lähtemaatriksi A kõigi elementide vastandväärtused Def. 6 (m x n) järku maatrikiste A ja B vaheks nimetatame sama järku maatriksi (A-B), mis loetakse võrseks maatriksi A ja maatriksi (-1)*B summa Def. 7 (m x k) järku maatriksi A ja (k x n) järku maatriksi B korrutiseks nimetame (m x n)
väheneb teise suurus. Selle valem on y=a/x Geogebra = y=3/x Lineaarseks seoseks nimetatakse muutujate x ja y vahelist seost, kui y = a *x + b Geogebra : y=3-x Lineaarliikmeks nimetatakse seose y=a*x + b liiget a*x ja vabaliikmeks liiget b Ei pea läbima 0 punkti Võrrand on võrdus mille mõlemal poolel on suhted ehk jagatised. Võrde põhiomaduseks on see, et jagatisena esitatud võrduse korral on diagonaalide korrutised võrdsed. NT : Võrdekujuliseks võrrandiks nimetatakse võrdust, mis on võrde kujul ja mille üks liige on tundmatu. Nt : Võrde põhiomadust kutsutakse mõnikord ka ristkorrutiseks. Sagedus näitab, kui tihti mingi sündmus toimub. Suhteline sagedus näitab, kui suure osa moodustab kindel sündmus kõikide vaadeldud sündmuste arvust. Suhtelist sagedust väljendatakse protsentides . Sagedustabel kirjeldab sündmuste esinemise sagedust.
Ehhiin on karika- või vaasikujuline, seda katavad lopsakad taimemotiivid (akantusleht, väädid ja õied), mis kujundavad ülemineku nelinurksele abakusele. Sambad saledad ja kõrged. Kreeka templiarhitektuuris vaimustab konstruktiivne loogika, kõikide üksikosade vastastikune suhe ja põhjendatus. Detailid ei varja tervikut ja tervik ei hävita üksikosade iseseisvust. Tihti kasutati mmodulit ehk algmõõtu (näiteks samba alumise osa raadius), ülejäänud mõõdud olid selle korrutised. Kreeka arhitektid kasutasid ka oskuslikult nn. Optilisi parandusi, et ehitis näiks reeglipärane, pidi mõnelpool reeglistikust kõrvale kalduma. Kreeka templid olid tegelikult värvilised, tänaseni säilinutel on värv maha koorunud.
siis on tegemist ruutmaatriksiga, vastupidisel juhul on tegemist ristkülikmaatriksiga. Def2_Maatriksid on võrdsed, kui nad on sama järku ja nende kõik vastavad elemendid on võrdsed. Üherealist maatriksit nimetatakse vektoriks. Def3_2 sama järku maatriksi summaks nimetame maatriksit, mille elementideks on lähtemaatriksite kõigi vastavate elementide summa. Def:4 Maatriksi korrutiseks arvuga lambda nimetame sama järku maatriksit, mille elementideks on maatriksi kõigi elementide korrutised arvuga lambda. Def5: maatriksi vastandmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit, mille elementideks on lähtemaatriksi kõigi elementide vastandväärtused. Def6: Kahe sama järku maatriksi vaheks A-B nimetatakse sama järku maatriksit, mis loetakse võrdseks maatriksi A ja maatriksi (-1)*B summaga. A-B=A+(-1)B Def7: maatriksite korrutiseks nimetakase maatriksit, mille i- nda rea ja j-nda veeru ühine element saadakse maatriksi A i-nda
korrutiseks esialgse maatriksi. 8)n-järku determinandid. Teist ja kolmandat järku determinandid kui erijuhtumid. N-järku ruutmaatriksile seatakse vastavusse realarvuline parameeter, mida nimetatakse n-ndat järku determinandiks, mis on sobivalt valitud märgiga. Kõikvõimalike niisuguste n teguri korrutiste summa, kus tegurid on valitud maatriksi erinevatest ridadest ja veergudest. Teist järku determinant sisaldab 2 liidetavat mis on maatriksi kahe elemendi korrutised. Teist järku determinant on peadiagonaali elementide korrutise ja kõrvaldiagonaali elementide korrutise vahe. Kolmandat järku determinant koosneb 3 liidetavast, mis on maatriksi 3 elemendi korrutused ja nende märgid määratakse vastavalt
2 algtehtes. NÄITEKS: ( a + b + c ) = a 2 + b2 + c 2 + 2 ( ab + ac + bc ) 2 ( a + b + c + d + e + f ) = a 2 + b2 + c 2 + d 2 + e2 + f 2 + 2 +2 ( ab + ac + ad + ae + af + bc + bd + be + bf + cd + ce + cf + de + df + ef ) *Segakorrutise summa on korrutis, kus teatud hulk arve on omavahel kindla seaduspära järgi korrutatud nii, et iga arvu omavahelise korrutise väärtus on erinev; ja korrutised on omavahel kokku liidetud. NÄITEKS: a + 2 + r + s2 2a + ar + as 2 + 2r + 2 s 2 + rs 2 3 + d + h2 + d 2 + l 3d + 3h2 + 3d 2 + 3l + dh 2 + d 3 + dl + h 2 d 2 + h 2l + d 2l · Neljas seos ASTMETE KASVAMINE JA KAHANEMINE Olgu näiteks tehe ( a + b ) . Eeldatavalt on liikmeid 9 tk, sest 8+1=9 8 1) Paneme paika järgneva: ( a + b ) ab + ab + ab + ab + ab + ab + ab + ab + ab 8
2. Def. 2 Maatriksid A ja B loetakse võrdseks, kui nad mõlemad on sama järku ja nende maatriksite kõik vastavad elemendid on võrdsed 3. Def. 3 (m x n) järku A ja B järku maatriksite A ja B summaks nimetatakse sama järku maatriksit -> A+B, mille elementideks on lähtemaatriksite A ja B kõigi vastavate elementide summa. 4. Def. 4 (m x n) järku Maatriksi korrutiseks arvuga lambda nimetame maatriksit, mille elementideks on maatriksi kõigi elementide korrutised arvuga lambda. 5. Def. 5 (m x n) järku A vastandmaatiksiks (-A) nimetatakse sama järku maatriksit, mille elementideks on lähtemaatriksi A kõigi elementide vastandväärtused 6. Def. 6 (m x n) järku maatrikiste A ja B vaheks nimetatame sama järku maatriksi (A-B), mis loetakse võrseks maatriksi A ja maatriksi (-1)*B summa 7. Def. 7 (m x k) järku maatriksi A ja (k x n) järku maatriksi B korrutiseks nimetame (m x n) järku maatriksi A*B,
ja Eesti Kohtunike Ühing. Selleks, et astuda Tartu Ülikooli õigusteaduskonna bakalaureuseõppele on vaja sooritada järgmised riigieksamid (sulgudes on osakaal): ajalugu (33,3 %), emakeele kirjand (33,3 %), võõrkeel (inglise, saksa, prantsuse või vene keel) (33,3 %). Üliõpilaskandidaadi punktisumma arvutatakse järgnevalt: vastuvõtutingimuse tulemus korrutatakse vastava protsentuaalse osakaaluga, mitme vastuvõtutingimuse korral korrutised liidetakse ning summa jagatakse 100-ga. Kui lõplik punktisumma ületab lävendit või on sellega võrdne, siis on üliõpilaskandidaat ülikooli vastu võetud. Riigieelarvelise õppekoha lävend on 92,0 ning riigieelarvevälise õppekoha lävend 60,0. Gümnaasiumi kuld- või hõbemedaliga lõpetanud üliõpilaskandidaadile lisatakse kolm konkursipunkti. Mina soovin astuda 3+2 õppevormi, mis tähendab ka sisseastumiseksamit, mille osakaal on 50%
(nim, skalaarruuduks) Koordinatidega antud kahe vektori skalaarkorrutis Kasutades skalaarkorrutise omadusi saame arvutada vektorite a ja b skalaarkorrutise, kui need veektorid on antud oma kordinaatide või komponentidega ortonormaalsel baasil. Teoreem 3 kui baas on ortonormaalne siis selleks et korrutada skalaarselt kahe vektorit, mis on antud oma koordinaatidega sellel baasil, tuleb korrutada vektorite vastavad koordinaadid ja need korrutised liita a*b=a1b1+a2b2+a3b3 Lõigu pikkus AB= (x2-x1) + (y2-y1) + (z2-z1) Kahe vektori vektorkorrutis Vektorite a ja b vektorrkorrutis nim vektorit y mille pikkus on arvuliselt võrdne niisuguse rööpküliku pindalaga, mis on ehitatud vektoritele a ja b kui külgedele ja mis on risti nende vektoritega ning suunatud nii et lühem pööre vektorist a vektorini b ümber vektori y toimub vastupäeva, kui vaadata vektori y lõpust. Vektorkorrutise omadused
a b a c Näitame, et kehtib võrdus c d b d Lisatud märgid näitavad, millised korrutised võetakse determinandi väärtuse Võrduse vasaku poole väärtus on ad cb ja parema poole väärtus on ad bc. arvutamisel sama märgiga ja missugused vastandmärgiga. Seega on võrduse mõlemad pooled võrdsed.
Tühikud ja Tehte- mõttepunktid märgid Loogika Varia Maatriksid Jooned ja Murrud ja nooled Korrutised ja ruutjuured Summad hulgateooria all/peal Sulud Ala- ja Integraalid Noole- ülaindeksid tähised Pärast klõpsu nupuriba mingil nupul avaneb selle all märgipalett. Soovitud märgi (või malli) sisestamiseks tuleb klõpsata sellel vajalikul nupul.
2.Üksliikme kordaja - esimesel kohal olev kordaja on 10 arvuline tegur normaalkujulises üksliikmes 3.Sarnased üksliikmed - üksliikmed, mis ja on sarnased, sest täheline osa on erinevad ainult kordaja poolest või ei erine üldse samasugune 4.Üksliikme teisendamine normaalkujule - kirjutame arvuliste tegurite korrutise esimesele kohale ning asendame samade muutujate korrutised astmetega astmealuste tähestikulises järjekorras 5.Üksliikmete koondamine - tuleb teha vastav Õ ül.161 tehe vaid üksliikmete kordajatega, täheline osa jääb muutmata NB koondada saab sarnaseid üksliikmeid selgitus: sarnased on esimene ja teine liidetav, neid saab koondada (täheline osa ei muutu),
Ositi integreerimise valem on rakendatav väga mitmesuguste funktsioonide integreerimisel, kaasa arvatud ka niisuguste integraalide korral, mille leidmine muude meetoditega on lühem ja lihtsam. Enam huvi pakuvad funktsioonid, mille 3 integreerimine muude meetoditega osutub võimatuks. Näiteks on ainult ositi integreeritavad: 1) hulkliikmete ja siinuste korrutised; 2) hulkliikmete ja koosinuste korrutised; 3) hulkliikmete ja eksponentfunktsioonide korrutised, kusjuures kõigil kolmel juhul ositi integreerimise valemis funktsiooniks u valitakse hulkliige ja diferentsiaaliks dv vastavalt siinuse ja argumendi diferentsiaali korrutis, koosinuse ja argumendi diferentsiaali korrutis või eksponentfunktsiooni ja argumendi diferentsiaali korrutis. 38. Ratsionaalavaldise täisosa eraldamine Ratsionaalavaldiseks nimetatakse kahe hulkliikme jagatist. Näiteks
13. Missugused karakteristikud iseloomustavad tihedusfunktsiooni kuju (nimeta 2). Definitsioonid. 14. Nimeta erinevad valimi keskmised. Aritmeetiline keskmine jne. Mis on neil erinevused? Aritmeetiline keskmine üldkogumi keskväärtus Ruutkeskmine teisenduseks ruutfunktsioon Geomeetriline keskmine teisenduseks logaritmfunktsioon Harmooniline keskmine teisenduseks pöördfunktsioon Kaalutud keskmine juhusliku suuruse iga väärtus Xi korrutatakse mingi kaaluga Wi, summeeritakse korrutised ning jagatakse tulemus kaalude summaga Tinglik keskmine juhusliku suuruse selliste väärtuste arit. Keskmine mis rahuldab teatud tingimust. 15. Mis on standardhälve, standardviga, asümmeetriakordaja, ekstsess, dispersioon? Dispersioon on juhusliku suuruse varieeruvuse mõõt, ta näitab, kui palju uuritav suurus varieerub. Mida suurem aga dispersioon on, seda enam erinevad katsete tulemused üksteisest. Standardhälve on ruutjuur dispersioonist. Mõõdetava suuruse standardhälbe
Vastand maatriks on maatriksi B vastand A, mille kõik elemendid vahetavad märki. · Maatriksite korrutamine : erimese teguri A veergude arv peab võrduma teise teguri B ridade arvuga. A (m*n) ja B (n*p). A*B = C, mille elemendid c ik leidakse summana: Seega tuleb korrutismaatriksi elemendi cik leidmiseks korrutada maatriksi A i-nda reamaatriksi ja maatriksi B k-nda veerumaatriksi vastavad elemendid ja saadud korrutised liita. Nt 1: Nt 2: · Maatriksi transponeerimine: transponeeritud maatriks on maatriks AT, mille veergudeks on maatriksi A vastavad read. 3. Determinandi mõiste, järk, tähistused. Miinor, alamdeterminant. Igale ruutmaatriksile saab vastavusse seada ühe reaalarvu, mis leaitakse ühe ja sama algoritmi järgi ruutmaatriksi elementide abil. Saadud arvu nim selle ruutmaatriksi determinandiks. Täh | A|
a=x 0< x 1 <…< x k−1 < x k < x k+1 <…< x n =b . Selliselt tekkinud osalõigud on [ x k−1 ; x k ], kus k =1,2, 3,... , n ning nende osalõikude hulka nimetatakse lõigu [a ; b] tükelduseks. (I. Tammeraid) Tähistame k -osalõigu pikkuse järgnevalt ∆ x k =x k −x k −1 . Järgnevalt igalt osalõigult valime vabalt ühe punkti ξ k ∈ [ x k−1 ; x k ] , kus k =1,2, 3,... , n , ning moodustame korrutised f (ξ k ) ∆ x k . (L. Pallas) Liites sellised korrutised omavahel saame funktsiooni y=f ( x ) integraalsumma lõigul [a ;b] : n S abBA =∑ f ( ξ k ) ∆ x k . k =1 Saadud summat nimetatakse ka Riemanni summaks. (H. Päeva) Kuna jaotuspunktid x 1 , x 2 , x 3 , … x n−1 on valitud täiesti vabalt, siis osalõikude ∆ x k , k =1,2, 3,... , n pikkused samuti erinevad
~iste Olgu funktsioon y = f (x) m¨a¨aratud l~oigul [a; b]. Jaotame l~oigu [a; b] suvalisel viisil punktidega x1 , x2 , ... xn-1 n osal~oiguks, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk-1 < xk < . . . < xn = b. Tekkinud osal~oigud on [xk-1 ; xk ], kus k = 1, 2, . . . , n. T¨ahistagu xk = xk - xk-1 k-nda osal~oigu pikkust. Edasi valime igalt osal~oigult t¨aiesti suvalise punkti k [xk-1 ; xk ], k = 1, 2, . . . , n, ja moodustame korrutised f (k )xk . Liites need korrutised, saame summa n sn = f (k )xk , k=1 mida nimetatakse funktsiooni f (x) integraalsummaks l~oigul [a; b]. Jaotuspunktid x1 , x2 , . . . on suvalised. Seeaga on osal~oikude pikkused xk , k = 1, 2, . . . , n erinevad. T¨ahistagu pikima osal~oigu pikkust st = max xk .
· vähimat väärtust mn ja suurimat väärtust Mn abil, kus n näitab, mitmenda lõiguga on tegemist. Olgu lõigul [x0 ; x1] vähim väärtus m1 ja suurim väärtus M1 Olgu lõigul [x1 ; x2] vähim väärtus m2 ja suurim väärtus M2 Olgu lõigul [xn-1 ; xn] vähim väärtus mn-1 ja suurim väärtus Mn · Korrutades funktsiooni igal lõigul esineva vähima väärtuse vastava lõigu argumendi ning siis saadud korrutised kokku liites, saame suuruse, mida nimetatakse integraalseks alamsummaks: n Sn = m1x1 + m2x2 +.....+ mnxn = i =1 m x i i · Korrutades funktsiooni igal lõigul esineva suurima väärtuse vastava lõigu argumendi muuduga ning liites saadud korrutised, saame suuruse, mida nimetatakse integraalseks ülemsummaks: n
lähteandmetes teada. N: 23,4 + 123 = 146,4 146 1999 + 2,989 = 2001,989 2002 11.Ligikaudsete arvude korrutis ja jagatis Ligikaudsete arvude korrutises ja jagatises tuleb säilitada nii mitu tüvenumbrit, kui neid on vähima tüvenumbritega arvuga lähteandmetes. N: 234*23.45 = 5478,3 5480 2300 / 0,13 = 17692,30769 18000 12.Kaksliikmete korrutamine Kaksliikme korrutamisel kaksliikmega korrutame ühe kaksliikme kummagi liikme teise kaksliikme kummagi liikmega ja saadud korrutised liidame. N: (a + b) * (c + d) = ac + ad + bc + bd 13.Kahe üksliikme summa ja vahe korrutis Kahe arvu summa ja samade arvude vahe korrutis võrdub nende arvude ruutude vahega. (a + b)(a b) = a 2 - b 2 14.Summa ruut Kahe arvu summa ruut on võrdne esimese arvu ruuduga, millele on liidetud nende arvude kahekordne esimese ja teise arvu korrutis ning millele on liidetud teise arvu ruut. (a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2 15.Vahe ruut
rakendatud ühte punkti) ja lauskoormus q [N/m] (koormus, mis mõjub mingile pinnale). sellise summa piirväärtust, mille liikmed on pinnaelementide dA ja nende x-teljest (y- teljest) mõõdetud kauguste ruutude korrutised: Tasapinnaline jõusüsteem ja selle tasakaaluks vajalikud tingimused. kõikide jõudude projektsioonide algebralised summad ning kõikide momentide 2 y dA algebralised summad suvalisete punktide suhtes peavad võrduma nulliga Ix = ; mõõtühik on m4
täielikuks süsteemiks nt. NING, VÕI ja EI. Minimaalne funktsionaalselt täielik süsteem on selline millest ükskõik millise elemendi väljajätmine muudab süsteemi mittetäielikuks. Nt.VÕI EI või NING EI. 16. Täielik disjunktiivne normaalkuju e. TDNK DNK on loogika funktsiooni esitamine realiikmete disjunktsioonina (summana), kus liikmed on argumentide või argumentide inversioonide elementaarkonjunktsioonid (korrutised). Elementaarkonjunktsioonid on nt. 1 × 2 × 3 ; Elementaarkonjunktsioonid ei ole nt. X2*X3*X3; X1*X3; X3*X4*X5 TDNK puhul peavad kõik liikmed sisaldama funktsiooni kõikki argumente või nende inversioone. Kui algfunktsioon on antud tabelina siis saab TDNK otse tabelist välja kirjutada. 17. Loogikaavaldise lihtsustamine Kornaugh kaardiga. Kaartide meetodit saab kasutada kuni 5 argumendi korral. Kaardis 2,3 ja 4 argumendi jaoks on järgmised.
Jälgida, kummas pesas tekib sade? Võrrelda katsetulemusi arvutuslike tulemustega, võttes arvesse, et aine sadeneb, kui ioonkorrutis lahustuvuskorrutise avalduses ületab lahustuvuskorrutise väärtuse. Või vastupidi, kui ioonkorrutis jääb väiksemaks lahustuvuskorrutisest, siis sadet ei teki. Arvutame, kui suur on Pb2+ - ja Cl- - ioonide kontsentratsioon lahustes enne ja pärast NaCl lisamist., arvestades lahjendamist reaktiivide segamisel, ning leiame ioonide kontsentratsioonide korrutised vastavalt lahustuvuskorrutise avalduse paremale poolele: KS = CPb2+ · (CCl-)2 (mol dm-3)3 Pb2+ kontsentratsioon enne lahuste kokkusegamist on 0,1 M, kuna lahused segatakse 1:1-le, siis väheneb Pb2+ kontsentratsioon 2 korda, ehk on peale lahuste kokkusegamist 0,05 M Cl- kontsentratsioon väheneb esimeses TAP pesas samuti kaks korda, kuna lahjendatakse 1:1- le Pb2+ga. Teises TAP pesas väheneb kontsentratsioon 8x, kuna on üks NaCl tilk 8 lahuse tilga kohta
Staatiline moment kesktelje suhtes võrdub nulliga 20. Pinna inertsimomendid. x Kujundi inertsimomendiks x-telje (y- telje) suhtes nimetatakse integraalina väljenduvat sellise summa piirväärtust, mille liikmed on pinnaelementide dA ja nende x-teljest (y-teljest) mõõdetud kauguste ruutude korrutised: 2 Ix = ; mõõtühik on m4 y dA A 2 x dA Iy = A 21. Ristlõike peateljed ja peainertsimomendid. Kujundi sümmeetriatelge ja sellega ristuvat kesktelge nim keskpeateljeks. Inertsimomendid keskpeatelgede suhtes on peainertsmomendid. Ühe peatelje
ja n-elemendiliste permutatsioonide arv on n-faktoriaal, st neid on n! = 1 2 . . . n tükki. Öeldakse, et kaks arvu k ja l moodustavad permutatsioonis inversiooni, kui suurem arv asetseb väiksema ees. St kui ( . . . k . . . l . . .) ja k > l, siis nad moodustavad inversiooni, vastasel korral aga mitte. NÄITEID 1) TEIST JÄRKU DETERMINANT (n = 2). Teist järku ruutmaatriksi determinant sisaldab 2! = 12 liidetavat, mis on maatriksi kahe elemendi korrutised. Täpsemalt, teist järku determinant on peadiagonaali elementide korrutise ja kõrvaldiagonaali elementide korrutise vahe: A2×2 | A | = a11 a22 a12 a21. 2) KOLMANDAT JÄRKU DETERMINANT (n = 3) koosneb 3!=123 liidetavast, mis on maatriksi kolme elemendi korrutised ja nende märgid määratakse vastavalt SARRUSE REEGLILE: A3×3 | A | = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
ja n-elemendiliste permutatsioonide arv on n-faktoriaal, st neid on n! = 1 2 . . . n tükki. Öeldakse, et kaks arvu k ja l moodustavad permutatsioonis inversiooni, kui suurem arv asetseb väiksema ees. St kui ( . . . k . . . l . . .) ja k > l, siis nad moodustavad inversiooni, vastasel korral aga mitte. NÄITEID 1) TEIST JÄRKU DETERMINANT (n = 2). Teist järku ruutmaatriksi determinant sisaldab 2! = 12 liidetavat, mis on maatriksi kahe elemendi korrutised. Täpsemalt, teist järku determinant on peadiagonaali elementide korrutise ja kõrvaldiagonaali elementide korrutise vahe: A2×2 | A | = a11 a22 a12 a21. 2) KOLMANDAT JÄRKU DETERMINANT (n = 3) koosneb 3!=123 liidetavast, mis on maatriksi kolme elemendi korrutised ja nende märgid määratakse vastavalt SARRUSE REEGLILE: A3×3 | A | = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
suhteliste mahtudega p ja 1-p, kus p on murdarv vahemikus 0...1. (kvantiil - JS väärtus, millest väiksemaid on osakaaluga p ja suuremaid 1-p. ) 17. (Kirjeldav statistika) aritmeetiline keskmine - Kaalutud aritmeetiline keskmine, - Kaalutud keskmise puhul antakse igale väärtusele mingi kaal ja korrutatakse iga väärtus talle antud kaaluga. Seejärel liidetakse kõik korrutised ja jagatakse kaalude summaga. geomeetriline keskmine, - Geomeetrilise keskmise leidmiseks korrutatakse kõik väärtused (n väärtust) omavahel ja võetakse saadud korrutisest n-juur. Näiteks saab geomeetrilise keskmise abil arvutada palkade keskmise kasvutempo kasvuindeks (kasvutempo).
kogunevad tema selja taha bussi. Kui õpetaja ütleb: ,,Buss hakkab liikuma!", siis enam bussi tulla ei saa". Nüüd tuleb kontroll. Kellel on vale vastus, saadetakse bussist välja. 35. KOSMOS Lastel paberteibiga riiete küljes mõisted: PÄIKE, MAA, KUU. Näidake ja seletage mõisteid PÖÖRLEMINE, TIIRLEMINE, KUUVARJUTUS, PÄIKESEVARJUTUS. Igas rühmas on üks, kes seletab mõiste lahti ja teised rühmaliikmed näitavad mõistet kehakeeles. 36. KORRUTUSTABEL Tahvlil erinevad korrutised. Lapsed veeretavad pingis kahte täringut ja korrutavad saadud tulemused. (Laudkonnad) Vastuse korral jookseb õpilane tahvli juurde, ütleb tehte ja vastuse, seejärel lööb kärbsepiitsaga tahvlile õige vastuse peale. See laudkond, kes jõuab esimesena, saab 2 punkti. Ülejäänud ühe punkti. 37. JAGA SOOVITUST/ KIITUST! Käeline tegevus. Kõik poisid tõusevad püsti ja annavad tüdrukute töödele soovitusi. Kõik tüdrukud tõusevad püsti, valivad
Seejärel liidetakse vahekorrutised Näide: 2.11 Ülesanne 1d Arvutada järgmiste kahendarvude summa ja vahe. a) 1101011,101 ja 1011101,11 d) 1010111,0111 ja 1101110,101 e) 10111001,0011 ja 1101010,1101 b) 11101010,11 ja 10111101,011 c) 1011011,1011 ja 1101101,0111 f) 11001111,1011 ja 1110101,0111 2.12 Ülesanne 1e Arvutada järgmiste kahendarvude korrutised. a) 1101011,01 * 1001,1 b) 1011010,11 * 1010,01 c) 101011,101 * 1101,01 d) 1100100,101 * 1011,101 2.13 Ülesanne 1f Arvutada järgmiste kaheksandarvude summa ja vahe. a) 1304,065 ja 672,744 b) 4512,63 ja 2764,45 c) 324,6025 ja 715,2543 d) 5034,21 ja 4651,74 Ülesanne 2 Arvutada järgmiste kaheksandarvude korrutised.
(nim, skalaarruuduks) Koordinatidega antud kahe vektori skalaarkorrutis Kasutades skalaarkorrutise omadusi saame arvutada vektorite a ja b skalaarkorrutise, kui need veektorid on antud oma kordinaatide või komponentidega ortonormaalsel baasil. Teoreem 3 kui baas on ortonormaalne siis selleks et korrutada skalaarselt kahe vektorit, mis on antud oma koordinaatidega sellel baasil, tuleb korrutada vektorite vastavad koordinaadid ja need korrutised liita a*b=a1b1+a2b2+a3b3 Lõigu pikkus AB= (x2-x1) + (y2-y1) + (z2-z1) Kahe vektori vektorkorrutis Vektorite a ja b vektorrkorrutis nim vektorit y mille pikkus on arvuliselt võrdne niisuguse rööpküliku pindalaga, mis on ehitatud vektoritele a ja b kui külgedele ja mis on risti nende vektoritega ning suunatud nii et lühem pööre vektorist a vektorini b ümber vektori y toimub vastupäeva, kui vaadata vektori y lõpust. Vektorkorrutise omadused
f i xi 1 12 12 fi 2 30 60 Arvutame kaalu ja vastava variandi 3 23 69 korrutise fi xi 4 19 76 5 9 45 6 7 42 Summeerime KOKKU 100 304 korrutised f i xi Summeerime kaalud fi Leiame korrutiste summa ja Kaalutud aritmeetiline keskmine 3,04 kaalude summa suhte. x= f i xi
kõik kordajad positiivsed, rohelisus positivsed ainult TM4 ja TM5, märgus TM2, TM3, TM4 positiivsed) faktorid on omavahel ortogonaalsed. Mõned indeksid püüavad vähendada signaalis atmosfääri mõju. Lineaarne indeks nt wetness, greeness ja brightness arvutatakse kõigi TM kanalite kaudu, mida rohkem nt rohelust, seda suurem greeness peab tulema. Wetness mida märjem on pind, seda suurem on neeldumine ja st on TM5 ja TM7 negatiivsed. Kui liidame 1 kanalite korrutised ja teiste kanalite korrutised, siis saame 0-i. Kui korrutises, siis saame 1-e. St on need ortogonaalsed. Lineaarsed multispektraalsed indeksid iga paari kohta peaks olema teada sirge tõus. NDVI mida suurem on väärtus NIR kanalis ja mida väiksem punases kanalis, seda suurem on rohelisus. Küllastub suurte tiheduste juures, nagu on enamus Eesti taimestikke. Stabiilne mõõtnusvigade suhtes. Oluline on teada, millised on punase ja lähisinfrapunase kanali lainepikkused.
aritmeetilise keskmisega. Täisarvude hulka tähistatakse tavaliselt sümboliga . Täisarvude hulgal on defineeritud liitmine, lahutamine ja korrutamine ning lineaarne järjestus. Täisnurk on nurk, mille suurus on 90°. Vastandarvu ja selle arvu summa on alati 0. N vastandarvuks on arv n (lugeda: miinus n ). Võrde põhiomadus: võrde siseliikmete korrutis on võrdne võrde välisliikmete korrutisega. Võrde ühe poole lugeja ja teise poole nimetaja korrutised on võrdsed. Võrdeline seos on lineaarse seose erijuht, mistõttu ka iga võrdelise seose graafik on sirge. Võrdelise seose korral läbib see koordinaadistiku alguspunkti. Peale selle ei saa võrdelise seose graafik olla paralleelne kummagi koordinaatteljega. Võrrand ehk võrdlus, mis sisaldab tundmatut suurust ehk tundmatut. Võrrandi lahend on kõik tundmatu väärtused, mille korral võrrand osutub tõeseks võrduseks. Võrrandi lahendamine on võrrandi lahendihulga leidmine.
võrra väiksem kui naistel: naistel 120 ja meestel 120-20=100. Parameeter 100 näitab, et kõrgharidusega inimestel kasvab palk võrreldes kõrghariduseta inimestega staaži kasvades ühe aasta võrra 100 ühiku (euro) võrra rohkem muude tingimuste samaks jäädes. Seega kõrghariduse marginaalne efekt kõrgharidusega inimestel on 120+100=220. NB! Kuna antud mudelis on veel lisaks staaži ja fiktiivsete muutujate korrutised, siis regressioonisirge tõus meeste ja naiste korral on erinev ning 500 ühiku võrra erineb palk meeste ja naiste korral vaid juhul kui tööstaaž on null . 20 aastase tööstaažiga kõrgharidusega naise keskmine palk on 4000+120*20+800+100*20= 9200 4000 – tööle asumise algpalk; 120*20= 2400 – palk suurem 20 aastase staazi puhul 800 – palk suurem kõrghariduse puhul 100*20=2000 – kiirem palgakasv kõrghariduse puhul Ülesanne 9
muutuja funktsioon z=f(x,y,z). Käitume järgmiselt: 1. Jaotame joone l suvalisel viisil punktidega A= A0,A1,A2,..., An=B osakaarteks . Olgu sk osakaare pikkuseks (x=1,2,...,n) ning 2. Valime igal osakaarel juhusliku punkti 3. Edasi moodustame korrutised (k=1,2,...,n). 4. Leiame summa 5. Olgu 0 ning leiame Kui eksisteerib piirväärtus ja see ei sõltu joone AB osakaarte jaotamise viisist ega punktide siis seda piirväärtust nim. funktsiooni z=f(z,y,z) esimest liiki joonintegraaliks mööda joont AB ehk joonintegraaliks kaare pikkuse järgi ja tähistatakse: (28.2.). Kui l on tasandiline joon, siis (28.2
Räpina vald 7 Valgjärve vald 7 Vastse-Kuuste vald 0 Veriora vald 0 Värska vald 2 13 38 kesk loodud ettevõtete arv ühe valla koht 2.9 Kontojääk, Kuupäev eurot Päevade arv Korrutised 1/1/2015 120 2 240 1/3/2015 95 7 665 1/10/2015 1150 2 2300 1/12/2015 940 8 7520 1/20/2015 530 5 2650 1/25/2015 420 7 2940 2/1/2015 240 31 16315 keskmine jääk 526.29 eurot
võrrandisüsteem normaalkujul x+5y=48 x-y=66 avaldan II võrrandist tundmatu x NB kasutada juhul, kui süsteemi pole x=y+66 võimalik lahendada liitmisvõttega asendan selle I võrrandisse, nii saan y (võrrandites esinevad tundmatute ruudud väärtuse või korrutised) y+66+5y=48 6y=-18 |:6 y=-3 x=-3+66 x=63 Kontroll. Lahend on x=63 ja y=-3 V1=3(63-3)=3 60=180 P1=48+2(63+3)=48+132=180 V1=P1
0 1 4 -4 2 -1 0 2 1 0 2 3 -1 2 = 2·3+1·0 -2·1+1·1 2·2+1·4 0·3+2·0 0·1+2·1 0·2+2·4 0 1 4 -1·3+0·0 1·1+0·1 -1·2+0·4 -1 0 6 -1 8 = 0 2 8 -3 1 -2 N¨ aide: rea- ja veeruvektorite korrutised 4 1, 2, 3 5 = 1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6 = 32 6 4 4·1 4·2 4·3 4 8 12 5 1, 2, 3 = 5 · 1 5 · 2 5 · 3 5 10 15 6 6·1 6·2 6·3 6 12 18 N¨ aide: ruutmaatriksite korrutised 1 2 5 6 1·5+2·7 1·6+2·8 19 22 = =
18. Kolme vektori segakorrutis (mõiste, omadused, avaldis koordinaatides). Kolme vektori segakorrutis nim. vektor a skalaarkorrutist vektorkorrutisega bx c Omadused: 1) On arvuline suurus 2) On 0, kui vektorid on komplanaarsed 3) Vôrdub vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga. Avaldis koordinaatides: (vaata üles puule). 19. Vektorite kollineaarsuse, ristseisu ja komplanaarsuse tunnused. Vektorite kollineaarsuse tunnus: 1) Vektorite vastavate koordinaatide korrutised on vôrdsed 2) Vektorkorrutis on 0 ja kumbki vektor ei ole 0-vektor 3) Skalaarkorrutis vôrdub vektorite pikkuste korrutisega. Vektorite ristseisu tunnus: 1) Skalaarkorrutis on 0 2) Vektorkorrutis vôrdub vektorite pikkuste korrutisega Vektorite komplanaarsuse tunnus: Segakorrutis on 0 20. Sirge sihivektor. Sirge võrrand tasandil. Sirge tõus. Sirge sihivektor sirge sihiline vektor (suund ja pikkus pole olulised).
Kui kujundil on sümmeetriatelg, siis see läbib alati kujundi raskuskeset. Kui kujundid saab jaotada lihtsateks osakujunditeks (ruudud, kolmnurgad jne.), mille raskuskeskme asukohad on teada, siis kogu kujundi staatiline moment arvutatakse lihtkujundite staatiliste momentide summana. 20. Pinna inertsimomendid. Kujundi inertsimomendiks x telje suhtes nimetatakse integraalina väljenduvat summat mille liikmeteks on pinnaelementide pindala ja nende x-teljest mõõdetud kauguste ruutude korrutised. Põikpinna telginertsimomendiks x-telje suhtes nimetatakse põikpinna geomeetrilist karakteristikut, mis on määratud integraaliga Põikpinna polaarinertsimomendiks nimetatakse geomeetrilist karakteristikut, mis on määratud integraaliga 29. Tõmbe- ja survepinge. Tugevustingimus tõmbel ja survel.
differentsiaalidena. Täisdifferentsiaal on dif.mõiste üldistus mitme muutuja funktsioonile. Funktsiooni U=U(x 1x2...xn) U U U täisdifferentsiaaliks nimetame avaldist dU = dx1 + dx 2 + ... + dx n x1 x 2 x n Täisdifferentsiaal on summa, mille liidetavateks on argumentide differentsiaalide korrutised vastavate osatuletistega dy y dx y Täistuletised: a) y=f(x;w), kus x=g(w), dy=fxdx+fwdw /:dw, = + dw x dw w x1 = g ( w) dy y dx1 y dx 2 y b) y=f(x1;x2;w), kus = × + × + x 2 = h( w) dw x1 dw x 2 dw w x1 = g (u; v) c) y=f(x ;x ;u;v)
destilleeritud vet. Kummas pesas tekib sade? Võrdleme katsetulemusi arvutuslike
tulemustega, votes arvesse, et aine sadeneb, kui ioonkorrutis jääb väiksemaks
lahustuvus korrutisest , siis sadet ei teki. Arvutame kui suur on Pb2+-ja Cl--inoodine
konsentratsioon lahustes enne ja pärast naatriumkloriidi lisamist, arvestades
lahjendamist reaktiivide segamisel, ning leiame ioonide konsentratsioonide korrutised
vastavalt lahustuvuskorrutise avaldise paremale poolele:
Arvutused
Ks- ioonide konsentratsioon lahustes Kui Pb (NO3)2 > Ks siis sade, kui Pb(NO3)2
elemendi leidmiseks tuleb korrutada esimese maatriksi rea ja teise maatriksi veeru vastavad elemendid ning tulemused liita (m x n)-maatriksi A = (aij) ja (n x p)-maatriksi B = (bjk) korrutiseks nimetatakse (m x p)- maatriksit C = (cik), mille elemendid cik leitakse summana: Seega tuleb korrutismaatriksi elemendi cik leidmiseks korrutada maatriksi A i-nda reamaatriksi ja maatriksi B k-nda veerumaatriksi vastavad elemendid ja saadud korrutised liita. Maatriksi transponeerimine: maatriksi transponeerimiseks vahetatakse selle read ja veerud. (m × n)-maatriksi A = (aij ) transponeeritud maatriksiks nimetatakse (n × m)-maatriksit AT = (bji ), mille veergudeks on parajasti maatriksi A vastavad read 3. Determinandi mõiste, järk, tähistused. Miinor, alamdeterminant. determinant ruutmaatriksile algoritmiga vastavusse seatud arv. Igale ruutmaatriksile
Magistraaljoone ja kõverjoonelise piirilõigu vaheline pindala arvutatakse maastikul tehtud mõõtmiste põhjal, kasutades kolmnurga ja trapetsi pindala valemeid. Pindala arvutamine piiripunktide ristkoordinaatide järgi- Pindala arvutamiseks ristkoordinaatide järgi kasutatakse Gaussi valemit ja selle modifikatsioone. Gaussi valem: i=n 2 P= ( X i Y i+1 -Y i X i +1) i=1 Selle valemi kasutamisel pindala arvutamiseks on vaja leida järjest korrutised (X i ·Yi+i) ja (Yi ·Xi+i), st on vaja korrutada punkti i abstsiss järgmise punkti ordinaadiga ja vastupidi. Seejärel arvutatakse ndende korrutiste vahel, mis summeerimisel annavad polügooni kahekordse pindala. 2.3. Millise täpsusega saadakse maatüki pindala analüütilise meetodiga. Üldjuhul täpsus suurem kui 0,05% maatüki pindalast Pindala täpsus sõltub: põhiliselt maastikul tehtud mõõtmiste täpsusest ja väähesel määral oleneb täpsus ka
Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni mis on koostatud elementaarsetest põhifunktsioonidest ja konstantidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise teel. Üks tähtsamaid elementaarfunktsioone on polünoom. Näited: , (mõlemad on polünoomid). Saab leida , 2. Mis on polünoom? Tooge 2 näidet! Polünoom on hulkliige, mida moodustavad üksliikmed on muutujate astmete ja konstantsete kordajate korrutised. Näited: , 3. Mis on polünoomi kordajad, aste ja juured? Tooge 2 näidet! Polünoomi üldkuju: polünoomi kordajaid tähistatakse tähega (reaalarvude kompleks) , polünoomi astmeks on arv n, polünoomi juurteks (nullkohtadeks) on need argumendi x reaal- või kompleksarvulised väärtused, mille korral polünoom f(x)=0 (nullkohad). Näited: Leian polünoomi kõik juured. 6 5 4 f ( x) := x + 30x + 4x + 7
diferentsiaal dv. Siin on u ¨hest retsepti v~oimatu anda. Ositi integreerimise valem on rakendatav v¨aga mitmesuguste funktsioonide integreerimisel, kaasa arvatud ka niisuguste integraalide kor- ral, mille leidmine muude meetoditega on l¨ uhem ja lihtsam. Enam huvi pakuvad funktsioonid, mille integreerimine muude meetoditega osutub v~oimatuks. N¨aiteks on ainult ositi integreeri- tavad: 1) hulkliikmete ja siinuste korrutised, 2) hulkliikmete ja koosinuste korrutised, 3) hulkliikmete ja eksponentfunktsioonide korrutised, kusjuures k~oigil kolmel juhul ositi integreerimise valemis funktsiooniks u valitakse hulkliige ja diferentsiaaliks dv vastavalt siinuse ja argumendi diferentsiaali dx korrutis, koosinuse ja argu- mendi diferentsiaali dx korrutis v~oi eksponentfunktsiooni ja argumendi diferentsiaali dx korru- tis. N¨aide 5.1. Leiame (x2 + 3x) sin 2xdx. Siin on integreeritavaks funktsiooniks hulkliikme ja siinuse korrutis
annaabi.ee 
