assotsiatiivsuse seadust nimetatakse poolrühmaks. Aditiivne poolrühm- hulgas on defineeritud liitmine. a + (b + c) = (a + b) + c Multiplikatiivne poolrühm - hulgas on defineeritud korrutamine. ( a b ) c = a ( b c) Def4 Algebralises süsteemis, milles defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse ja kommutatiivsuse seadusi nimetatakse kommutatiivseks poolrühmaks. Aditiivne kommutatiivne poolrühm (a + b) + c = a + (b + c) a + b = b + a Multiplikatiivne kommutatiivne poolrühm ( a b ) c = a ( b c) a b = b a Sellist elementi c, mis kuulub hulka M, mis iga a korral hulgast M rahuldab tingimust a e = a ja e a = a nimetatakse hulga M ühikelemendiks. Osutub, et multiplikatiivses süsteemis M leidub ülimalt 1 ühikelement.
vektorite skalaarkorrutiseks. Y'*x' · Süsteemis M on korrutamine distributiivne 2. Skalaarkorrutis on kommutatiivne liitmise suhtes 3. Skalaarkorrutis on distributiivne vektorite 1. (a+b)+c=a+(b+c)
Punkti kohavektoriks nimetatakse vektorit, mille alguspunkt asub koordinaatide alguspunktis ja lõpp-punkt meid huvitavas punktis. Kui lõpp- punkti koordinaadid on x, y, z, avaldub kohavektor komponentides järgmiselt: r = xi + y j + z k 2. Vektorite liitmine, lahutamine ja korrutamine skalaariga Vektorite liitmist on lihtsaim kirjeldada geomeetriliselt: kasutatakse rööpküliku reeglit. Liitmise tulemusena saadakse uus vektor: a + b = c . Liitmine on kommutatiivne: a + b = b + a . Lahutamine on liitmine vastandmärgiga: a - b = a + (-b) . Miinusmärk ei muuda vektori suurust. Ta muudab vektori suuna vastupidiseks. Skalaariga korrutamine muudab vektori absoluutväärtust (välja arvatud juhtum, kus skalaari absoluutväärtus on 1). Kui skalaar on negatiivne arv, muutub vektori suund vastupidiseks. 2 3. Kahe vektori skalaarkorrutis
leidmiseks tarvitseb iga järgmise liidetava alguspunkt viia eelmise liidetava lõpp-punkti ning summavektori määrab tekkinud murdjoone sulgeja so vektor mis suundub esimese liidetava alguspunktist viimase liidetava lõpp-punkti. Kahe vektori vahe leidmiseks viiakse nad ühisesse alhuspunkti ja nende vahe on vektor, mis kulgeb vähendaja lõpp-punktist vähendatava lõpp-punkti. Vektorite liitmine allub järgmistele arvutusseadustele: 1. vektorite liitmine on kommutatiivne ( a+b=b+a) 2. vektorite liitmine on assotsiatiivne a+(b+y)=(a+b)+y 3. lahutamise olemasolu seadus, tähendab seda et ka vektorvõrdustes võib viia liikmeid teisele poole, muutes märki. Vektori korrutamine arvuga Vektori korrutiseks arvuga nim vektorit mille pikkus võrdub arvu absoluutväärtuse ja lähtevektori pikkuse korrutisega ning mis on lähtevektoriga sama- või vastassuunaline vastavalt sellele,kas arv on positiivne või negatiivne.
(a*b)c= a*(b*c) multiplikatiivne poolrühm, korrutamise assotsiatiivsus · Öeldakse, et tegemist on kommutatiivsuse seadusega. Kehtivad järgmised: a+b=b+a - liitmise kommutatiivsus a*b=b*a korrutamise kommutatiivsus · Def4: Algebralist süsteemi, milles defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse ja kommutatiivsuse seadust nim kommutatiivseks poolrühmaks. Seega on olemas: 1. aditiivne kommutatiivne poolrühm (a+b)+c=a+(b+c) liitmise assotsiatiivsus a+b=b+a liitmise kommutatiivsus 2. multiplikatiivne kommutatiivne poolrühm (a*b)*c= a*(b*c) korrutamise assotsiatiivsus a*b=b*a korrutamise kommutatiivsus · Sellist elemendi e M, mistahes a M rahuldab tingimust: a*e=a ja e*a=a nim hulga M ühikelemendiks. (e=1 ; e=E) · Ühikselement käitub korrutamisel neutraalse elemendina. · Osutub, et multiplikatiivses süsteemis M leidub ülimalt üks ühikelement.
pikkusega teel (SI tööühik on dzaul J, ehk töö, mida teeb jõud 1 njuuton 1 meetri pikkusel teel). Töö avaldise võib esitada ka jõuvektori ja nihkevektori skalaarkorrutisena (skalaar, mis on võrdne vektorite moodulite ja nendevahelise nurga korrutisega) AB=ABcos. Vektori ruut on vektori skalaarkorrutis iseendaga A2 = AA = AA cos 0 = A2 . Skalaarkorrutis ei sõltu tegurite järjekorrast, seega on see kommutatiivne. AB =AB cos = A(Bcos) = B (A cos). Distributiivse skalaarkorrutise korral A= limsi->0fsi si = fds A = lim ti->0fiviti = fvdt A = lim (si)i->0fi(sf)i = fdsf Kui jõu suurus ja suund ei muutu, võtab avaldis kuju A=f ds = fs =fsf . Võimsus Füüsikaline suurus, mis näitab, kui palju tööd sooritatakse mingi ajaühiku kestel. W= . Kui võimsus muutub ajas, võetakse kasutusele võimsuse hetkväärtus: W=limt->0=. Kui dA=fds saame: W==f. Kuna ds/dt on kiirusvektor v, siis W=fv
samal sirgel. Võivad olla sama või vastassuunalised. . Vektoreid nim komplanaarseteks, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel ja samal tasandil. Kahe vektori skalaarkorrutiseks nim vektorite moodulite ja nende vahelise nurga cos korrutist. . Omadused: · Vektorite skalaarkorrutis võrdub 0-ga, kui üks teguritest võrdub nulliga või vektorid on omavahel risti. . · Vektorite skalaarkorrutis on kommutatiivne. . · Vektorite skalaarkorrutis on assotsiatiivne skalaariga korrutamise suhtes. . · Skalaariga korrutamise on distributiivne. . · Vektori sklaarruuduks nim vektori skalaarkorrutist iseendaga. . . Kahe vektori vektorkorrutiseks nim vektorit, mis rahuldab järgmisi tingimusi a) b) c)
lähtemaatriksi kõikide elementide korrutamisel antud arvuga. Kahe maatriksi korrutamiseks peab esimese maatriksi veergude arv võrduma teise maatriksi ridade arvuga. Tulemuseks on maatriks, mille ridade arv võrdub esimese maatriksi ridade arvuga ja veergude arv võrduv teise maatriksi veergude arvuga. Selleks et saada i-nda rea k-ndat elementi tuleb esimese maatriksi i-s reavektor korrutada teise maatriksi k-nda veeruvektoriga skalaarselt. Maatriksite korrutamine ei ole üldjuhul kommutatiivne. Kahe nullist erineva maatriksi korrutis võib anda nullmaatriksi. Mingi maatriksi korrutamisel ühikmaatriksiga saame korrutiseks esialgse maatriksi. 8)n-järku determinandid. Teist ja kolmandat järku determinandid kui erijuhtumid. N-järku ruutmaatriksile seatakse vastavusse realarvuline parameeter, mida nimetatakse n-ndat järku determinandiks, mis on sobivalt valitud märgiga. Kõikvõimalike niisuguste n teguri korrutiste summa, kus tegurid
.., n*p x iy r cosir sin r cosi sin Avaldist võrduse paremal poolel nimetatakse kompleksarvu Maatriksite korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete = x iy trigonomeetriliseks kujuks; suurust r nimetatakse ning korrutamise vahel on kompleksarvu mooduliks ja suurust selle kompleksarvu järgmised: argumendiks; neid tähistatakse järgmiselt: 1) maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne, s.t. leiduvad r z| , arg z . sellised maatriksid A ja B, et Kompleksarvu z 0 argument on üheselt määratud kuni AB BA; arvu 2täisarvu kordse 2) maatriksite korrutamine on assotsiatiivne, s.t. täpsuseni. Seepärast lepitakse sageli kokku valida mingil ABCABC, alati, kui vaadeldavad maatriksid on kindlal arvtelje poollõigul korrutatavad;
1. Kompleksarv kui reaalarvude paar. Tehted kompleksarvudega. Tehete omadused. Kompleksarvu algebraline kuju. Tuletatavad tehted ja nende omadused. Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvude paari (x,y). C = {(x;y) | x, y R} Tehted kompleksarvudega: z1 = (x1; y1) C; z2 = (x2; y2) C 1. liitmine: z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) 2. korrutamine: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) Kompleksarvudega tehete omadused 1. liitmine on kommutatiivne, st z1 + z2 = z2 + z1 z1, z2 C korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z z C korral), st leidub C, nii et z + = + z = z z korral; = (0; 0) = 0 4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv, st selline arv w C, et z + w = w + z = 0; w = -z 5. korrutamine on kommutatiivne, st z1z2 = z2z1 z1, z2 C korral 6
Tõestused Omadus 1.4. Maatriksite liitmine on kommutatiivne, s.t. mistahes X, Y Mat(m, n) korral kehtib X + Y = Y + X. Tõestus: Iga X = (xij) ja Y = (yij) korral hulgast Mat(m, n), tänu reaalar- vude liitmise kommutatiivsusele (1.11), saame X + Y = (xij + yij) = (yij + xij) = Y + X X + Y = Y + X Omadus 1.10. (X + Y ) = X + Y Tõestus (X + Y ) = ((xij) + (yij)) = ( (xij + yij)) = ( xij + yij) = = ( xij) + ( yij) = (xij) + (yij) = X + Y (X + Y ) = X + Y; Omadus 1.15. Mistahes maatriksi X Mat(m, n) ning vastavate ühikmaatriksite Em Mat(m,m) ja En Mat(n, n) korral XEn = X, EmX = X Tõestus Maatriksite X = (xij ), kus i Nm, j Nn, ja n-järku ühikmaatriksi E1 = (ij) korrutise XE1 = (yij) üldelement avaldub = = , , , =1 mistõttu XE1 = X. Juhul kui E2 on m-järku ühikmaatriks, siis ...
alguspunkt viia eelmise liidetava lõpp-punkti ning summavektori määrab tekkinud murdjoone sulgeja so vektor mis suundub esimese liidetava alguspunktist viimase liidetava lõpp-punkti. Kahe vektori vahe leidmiseks viiakse nad ühisesse alhuspunkti ja nende vahe on vektor, mis kulgeb vähendaja lõpp-punktist vähendatava lõpp-punkti. Vektorite liitmine allub järgmistele arvutusseadustele: 1. vektorite liitmine on kommutatiivne ( a+b=b+a) 2. vektorite liitmine on assotsiatiivne a+(b+y)=(a+b)+y 3. lahutamise olemasolu seadus, tähendab seda et ka vektorvõrdustes võib viia liikmeid teisele poole, muutes märki. Vektori korrutamine arvuga Vektori korrutiseks arvuga nim vektorit mille pikkus võrdub arvu absoluutväärtuse ja lähtevektori pikkuse korrutisega ning mis on lähtevektoriga sama- või vastassuunaline vastavalt sellele,kas arv on positiivne või negatiivne.
Mida tähendab hüüumärgiga eksistentsikvantor? Tähendab, et leidub täpselt üks. Millal on kaks predikaati võrdväärsed? Predikaadid on võrvdväärsed, kui nende tõeväärtuspiirkonnad langevad kokku. Mida nimetatakse loogikaseadusteks? Loogikaseadused on kuni kolme operandiga lihtsaimad samaselt tõesed lausearvutusvalemid ja samaselt tõesed lausearvutusvalemite võrdused. Õpi Loogikaseadused selgeks!(LK 22-23) Milline binaarne loogikatehe ei ole kommutatiivne. Selleks peaks olema implikatsioon. Millist avaldise teisendusvõimalust esitab distributiivsusseadus? Sulgude ette toomist. Millise loogikaväärtusega disjunktsioon ei muuda avaldise väärtust? 0 väärtuse puhul? Millise loogikaväärtusega konjuktsioon ei muuda avaldise väärtust? 1 väärtuse puhul? Milline on disjunktsiooni tulemus, kui vähemalt üks operandidest on loogikaväärtus 1? Tulemuseks on 1
8. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks Maatriksi mille reavektoriteks on 1 , 2 ,..., m , korrutiseks maatriksiga mille veeruvektorid on 1 , 2 ,..., p , nimetatakse maatriksit kus i j tähistab vektorite i ja j skalaarkorrutist. Maatriksite korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel on järgmised: 1. maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne, s.t. leiduvad sellised maatriksid A ja B, et AB BA ; 2. maatriksite korrutamine on assotsiatiivne, s.t. A (BC)= (AB) C alati, kui vaadeldavad maatriksid on korrutatavad; 3. liitmine ja korrutamine on seotud distributiivsusega, s.t. A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC BC alati, kui antud tehted on teostatavad; 4. kui eksisteerib maatriksite korrutis AB, siis a(AB)=(aA)B=A(aB) iga a korral. m-ndat järku ühikmaatriksiks nimetatakse m-ndat järku ruutmaatriksit. 9. Transponeeritud maatriks
Aksioom2 Igale kahele kindlas järjekorras võetud punktile a ja b seatakse vastavusse parajasti üks vektor. Aksioom3 Iga punkti A ja vektori a korral leidub parajasti üks punkt B, nii et punktidele A ja B vastab vektor. Aksioom4 Kui AB = CD kehtib, siis ka AC = BD. Toodud nelja aksioomi ja liitmise definitsiooni põhjal saame järeldada järgmist: Järeldus1 AC = BD AB + BC = BC + CD AB + BC = BC + AB vektorite liitmine on kommutatiivne. Järeldus2 AB + ( BC + CD ) = ( AB + BC ) + CD vektorite assotsiatiivsus. Järeldus3 BB = 0 AB = AB + BB on olemas null vektor. Järeldus4 BA = ( -a ) AA = AB + BA 0 = a + ( -a ) eksisteerib vastandvektor. Aksioomid 1 4 seovad algmõisteid punkt ja vektor. Järgnevalt vaatleme aksioome, mis on seotud reaalarvudega.
I n A A B A hulkade vahe " A ilma B-ta " hulga A täiend A A B B A ehk hulkade lahutamine pole kommutatiivne (oleneb operandide järjekorrast) ( täiend on alati universaalhulgani ) ainus mittekommutatiivne (binaarne) hulgatehe. I I T T Ü A B A
Hüüumärgiga ekistentsikvantor tähendab, et eksisteerib ainult üks selline väärtus. Kaks predikaati on võrdväärsed kui nad omavad sama tõeväärtust. Loogikaseadused on lihtsaimad samaselt tõesed lausearvutusvalemid. Assotsiatiivsusseadus on sama, mis „vastus ei olene tehete järjekorrast“. Kommutatiivsusseadus on sama, mis „vastus ei olene operandide järjekorrast“. Kommutatiivne pole ainult implikatsiooni tehe. Distributiivsus esitab lahtiliitmist ja lahtikorrutamist. DeMorgani seadused kehtivad ükskõik mitme muutuja korral. Loogika seadusi rakendatakse, et saada lausest uut, samaväärset lauset. Hulgad: Hulk kooseb hulgaelementidest. Hulka saab esitada täieliku hulgaelementide loeteluna, osalise loeteluna, nähtava seaduspärasusega ning valemina, mis kehtib iga hulgalemendi korral.
kus x,y,z on reaalarvud 16.Komplanaarsed vektorid- Vektoreid nimetatakse komplanaarseteks, kui nad asetsevad kas ühel tasandil või paralleelsetel tasanditel 17.Skalaarkorrutis- kahe vektori a, b skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu a ∙ b=|a||b| cos ∠(a , b) 18.skalaarkorrutamise omadused- skalaarkorrutis on null parajasti siis, kui vähemalt üks vektoritest on nullvektor või kui vektorid on omavahel risti skalaarkorruti on kommutatiivne: a ∙ b=b∙ a skalaarkorruti on assotsiatiivne arvuga korrutamise suhtes: k ( a ∙ b )=(ka) ∙b ditributiivsus: ( a+b ) ∙ c=a∙ c +b ∙ c 19.arvutamise valem koordinaatides ristreeperis- a ∙ b=x 1 x 2 + y 1 y 2+ z 1 z2 20.Parema käe kolmik-kolmevektorilist vektorsüsteemi { x , y , z } nimetatakse
on samad mõõtmed ning ¨uhesugustel kohtadel on võrdsed elemendid. Maatriksite A ja B võrdsust tähistame A = B. Liitmine Maatriksite liitmine on assotsiatiivne, s.t. mistahes X,Y , Z Mat(m, n) korral kehtib (X + Y ) + Z = X + (Y + Z). Iga X Mat(m, n) ning nullmaatriksi Mat(m, n) korral kehtivad X + = X, + X = X. Iga X Mat(m, n) ning tema vastandmaatriksi -X Mat(m, n) korral kehtivad X + (-X) = , (-X) + X = . Maatriksite liitmine on kommutatiivne, s.t. mistahes X,Y Mat(m, n) korral kehtib X + Y = Y + X. Lahutamine - Maatriksite X,Y Mat(m, n) vaheks nimetatakse (m, n)-maatriksit X - Y := X + (-Y ). Korrutamine reaalarvuga - Reaalarvu ja mistahes mõõtmetega maatriksi A korrutiseks nimetatakse maatriksit, mille elemendid saadakse maatriksi A vastavate elementide läbikorrutamisel arvuga . Arvu ja maatriksi A korrutise tähiseks on A. Vastavalt defnitsioonile on seega reaalarvu R ja maatriksi
n =1 n (a ) = a (a, q )da 26. Operaatorite korrutis ja kommutaator Kahe operaatori F^ , G^ korrutamise all tuleb mõista nende järejest rakendamist olekufunktsioonile , s o F^ G^ = F^ G^ . ( ) (26.1) Kahe operaatori korrutis ei ole üldiselt kommutatiivne. Olgu operaatorite F^ , G^ järjest rakendamine suvalisele funktsioonile ekivalentne mõnesuguse kolmanda operaatori A^ rakendamisega. Siis kirjutame A^ = F^G^ . (26.2) Avaldame A^ kaasoperaatori A^ + operaatorite F^ + ja G^ + kaudu. Lähtume ( ) kaasoperaatori definitsioonist i * A^ k dq = B^ i * k dq ja (26.2)
θ, kus θ on vektori a ja vektori b vaheline nurk, st θ = ∠(a,b) Ristreeper on ristkoordinaadisüsteemi ristreeper. 1 Skalaarkorrutis Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu Skalaarkorrutamise omadused 1. Skalaarkorrutis on null parajasti siis, kui vähemalt üks vektoritest on nullvektor või kui vektorid on omavahel risti. 2. Skalaarkorrutis on kommutatiivne: a · b = b · a. 3. Skalaarkorrutis on assotsiatiivne arvuga korrutamise suhtes: k(a · b) = (ka) · b. 4. (a +b) · c = a · c +b, c distributiivsus. Arvutamise valem koordinaatides ristreeperis Parema käe kolmik Kolmevektorilist vektorsüsteemi {x, y, z} nimetatakse parema käe kolmikuks, kui vaadelduna vektori z lõppp-punktist toimub vektori x pööre vektorini y lühemat teed pidi kellaosuti liikumise suunale vastupidises suunas.
M M O M m 1 m 2 K m p kus i j tähistab vektorite i ja j skalaarkorrutist. Maatriksite korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel on järgmised: 1) maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne, s.t. leiduvad sellised maatriksid A ja B, et AB BA ; 2) maatriksite korrutamine on assotsiatiivne, s.t. A ( BC ) = ( AB ) C (1) alati, kui vaadeldavad maatriksid on korrutatavad; 3) liitmine ja korrutamine on seotud distributiivsusega, s.t. A ( B + C ) = AB + AC , ( A + B ) C = AC + BC alati, kui antud tehted on teostatavad;
Otseaste. Otsekorrutise omadused [3, 4, 5] Hulkade otsekorrutis 13 o DEF: Hulkade A ja B otsekorrutiseks e. Descartes’i korrutiseks nimetatakse hulka A × B, mille moodustavad kõik järjestatud paarid (a, b), kus a∈A ja b∈B: A × B = { (a, b) | a∈A & b∈B } Otseaste o DEF: Hulga A n-ndaks otseastmeks An nimetatakse otsekorrutist A × … × A, kus A esineb n korda. Otsekorrutise omadused o Otsekorrutis ei ole kommutatiivne ega assotsiatiivne operatsioon. o Tõestus. Juba üheelemendiliste hulkade puhul koosnevad vastavad otsekorrutised erinevatest elementidest: {1}×{2} ≠ {2}×{1}, sest {1}×{2} = {(1, 2)}, aga {2}×{1} = {(2, 1)}; ({1}×{2})×{3} ≠ {1}×({2}×{3} ), sest ({1}×{2})×{3} = {(1, 2), 3}, aga {1}×({2}×{3} )= {1, (2, 3)}. o Aga otsekorrutis distributeerub kõigi binaarsete hulgateooria tehetega:
2)sümmeetria A~B B~A 3)transitiivsus A~B ja B~C A~C). Astaku leidmine: tuleb maatriks elementaarteisenduste abil teisendada tereppmaatriksiks, seejärel kasutada teoreemi treppmaatriksi astakust. Kronecker-Capelli teoreem.Öeldakse, et maatriksi astak on r, kui selle maatriksi rea ja veeru elementidest saab moodustada vähemalt ühe 0-st erineva r-järku miinori ja mitte ühtegi 0-st erinevat r+1 järku miinorit. Pöördmaatriks.Kuna maatriksite korrutamine ei olnud kommutatiivne ja lisaks leidusid nullitegurid, siis ei saa rääkida maatriksite jagamisest, kuid teatud juhtudel leidub maatriksil pöördmaatriks. Def. Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks nim sellist matrx B, mis rahuldab tingimust AB=I=BA. Teoreem. Kui matrx on olemas pöördmaatriks, siis on ta määratud üheselt.Tõestus: olgu B ja C mõlemad maatriksi A pöördmtx, st AB=I=BA ja AC=I=CA, siis mtxkorrutise assotsiatiivsuse tõttu B=IB=(CA)B=C(AB)=CI=C Olgu A ruutmtx
on seotud ja y vaba muutuja). Hüüumärgiga eksistentsikvantor tähendab, et „leidub täpselt üks x …“. Kvantorid on omavahel seotud nagu ∀𝑥𝑃(𝑥)≡∃̅𝑥∃𝑃̅(𝑥). Predikaadid on võrdväärsed (ekvivalentsed), kui nende tõeväärtuspiirkonnad langevad kokku. Loogikaseadused on kuni kolme operandiga lihtsaimad samaselt tõesed lausearvutusvalemid ja samaselt tõesed lausearvutusvalemite võrdused. Implikatsioon ei ole kommutatiivne. HULGAD Hulk on koosvaadeldavate hulgaelementide kogum. Hulk koosneb hulgaelementidest. Hulka tähistatakse suurtähtedega A B C D. Hulka esitatakse tema elementide täieliku loeteluna { 𝑎 𝑏 𝑐 }, osalise loeteluna { … ,−1 ,0 ,1 ,… }, üldise avaldise kaudu { 𝑛 |(𝑛>1899)∧(𝑛<2000) }. Hulgad on võrdsed, kui nad koosnevad samadest elementidest { 1 3 5 }={ 5 1 3 }. Elemendi e kuulumist hulka V tähistatakse 𝑒∈𝑉, mittekuulumist 𝑒∉𝑉
Vektori projektsioon teljel on skalaar. Teades nurka vektori ja telje vahel ning projektsiooni pikkust, saame arvutada vektori tõelise pikkuse koosinusfunktsiooni kaudu. Ühikvektor saadakse, kui võetakse vektoriga ühtiva suunaga vektor, mille moodul on võrdne ühega. Ühikvektori konstrueerimine on tihti vajalik tegevus, et valmistada hetkel vaja mineva suunaga vektorit. 4. Mis on vektorite skalaarkorrutis? Tooge kursusest kaks näidet. On kommutatiivne Näiteks : A=F*s*cos, =F*v*cos 5. Mis on vektorite vektorkorrutis? Joonis ja kaks näidet kursusest. A A BAsin=|[BA]| [AB] ABsin=|[AB]| [BA] B B N: N=F*v (peaasi et valemis oleks kaks vektoriaalset suurust), pöördliikumisel tangentsiaalkiirendus on nurkkiiruse ja raadiuse vektorite vektorkorrutis. 6. Mis on taustsüsteem? Joonisel on kujutatud üks keha kahel erineval ajahetkel
j i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n; k = 1, 2, . . . , p. Valemit (A) võib sõnades väljendada järgnevalt: selleks, et saada korrutismaatriksi i-nda rea k-ndat elementi, tuleb esimese teguri i-s reavektor korrutada skalaarselt teise teguri k-nda veeruvektoriga, mis koordinaatides saadakse kui samanimeliste koordinaatide korrutiste summa. MÄRKUS 1. Maatriksite korrutamine ei ole üldiselt kommutatiivne, st kui AB eksisteerib, siis BA ei tarvitse eksisteerida ja isegi kui ta eksisteerib, siis sageli AB BA. Erijuhtudel võivad maatriksid olla kommuteeruvad, st tegurid korrutises on vahetatavad ja tulemused osutuvad võrdseteks (vt märkus 3). MÄRKUS 2. Maatriksite hulgas leiduvad NULLITEGURID, st sellised nullist erinevad maatriksid, mille korrutis on nullmaatriks: lühidalt AB=0, A 0, B 0. NB! Arvude hulgas on selline olukord võimatu. MÄRKUS 3
j i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n; k = 1, 2, . . . , p. Valemit (A) võib sõnades väljendada järgnevalt: selleks, et saada korrutismaatriksi i-nda rea k-ndat elementi, tuleb esimese teguri i-s reavektor korrutada skalaarselt teise teguri k-nda veeruvektoriga, mis koordinaatides saadakse kui samanimeliste koordinaatide korrutiste summa. MÄRKUS 1. Maatriksite korrutamine ei ole üldiselt kommutatiivne, st kui AB eksisteerib, siis BA ei tarvitse eksisteerida ja isegi kui ta eksisteerib, siis sageli AB BA. Erijuhtudel võivad maatriksid olla kommuteeruvad, st tegurid korrutises on vahetatavad ja tulemused osutuvad võrdseteks (vt märkus 3). MÄRKUS 2. Maatriksite hulgas leiduvad NULLITEGURID, st sellised nullist erinevad maatriksid, mille korrutis on nullmaatriks: lühidalt AB=0, A 0, B 0. NB! Arvude hulgas on selline olukord võimatu. MÄRKUS 3
x2 y2 z2 Vektorkorrutise omadused: vektorkorrutise vektori pikkus on arvuliselt võrdne vektoritele a ja b ehitatud rööpküliku pindalaga: a b a b sin ; vektorkorrutis ei ole kommutatiivne, tulemus sõltub tegurite järjekorrast: a b b a ; 5 vektorkorrutis on võrdne nulliga, kui üks vektoritest on nullvektor või vektorid on kollineaarsed; a b a b , kui a b ; a b a b a b ;
· Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis nende vektorite skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutise vastandarvuga · Vektorite ristseisu tunnus: kaks nullvektorist erinevat vektorit on risti siis ja ainult siis, kui nende skalaarkorrutis on null, st · Vektori skalaarruut võrdub vektori pikkuse ruuduga, so 6.12 Vektorite skalaarkorrutiste omadusi · Skalaarkorrutis on kommutatiivne, st · Skalaarkorrutis on assotsiatiivne skalaariga (arvuga) korrutamise suhtes · Skalaarkorrutis on distributiivne vektorite liitmise suhtes, st 6.13 Skalaarkorrutiste avaldamine vektorite koordinaatide kaudu Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne nende vektorite samanimeliste koordinaatide korrutiste summaga. Koordinaatteljestikus oleva ühikvektori koordinaatideks on vektori ja x-telje positiivse suuna vahelise nurga cos ja sin 6
Teoreem jõupaari paralleelsesse tasapinda ülekandmisest (Teoreem: Jõupaari ülekandmisel paralleelsesse tasapinda ei muutu jõupaari mõju jäigale kehale.) Jõupaari moment. (* Jõupaari momendi moodul: M= F`*h (h-jõupaari õlg). Jõupaari momendi vektor ~M=~r12*~F`.kus ~r12 = ~AB on jõupaari ühe jõu ~ F` rakenduspunkti A1 kohavektor jõupaari teise jõu ~F`` rakenduspunkti A2 suhtes. * Jõupaari momentvektor on risti jõupaari mõjutasapinnaga. Vektorkorrutis ei ole kommutatiivne, s.t. vektorite järjekorda korrutamise valemis ei tohi muuta.) Jõupaaride ekvivalentsus (Teoreem: Jõupaarid, mille momentvektorid on võrdsed, on ekvivalentsed.) Jõupaaride liitmine (Teoreem: Kui kehale on rakendatud jõupaaride süsteem, mis koosneb jõupaaridest momentidega ~M1, ~M2,..., ~Mn, siis need jõupaarid võib asendada ühe jõupaariga mille moment on ~M1=~Mk. Jõupaaride süsteemi tasakaal.
ühendatud iga Si korteežiga, jagamine nt leida töötajate ja osakondade vastavuse tabelist töötajad, kes töötavad osakondades 2 ja 3. • Relatsioonialgebra operatsioonide kommutatiivsuse ja assotsiatiivsuse omadus. (Hulgateoreetilise vahe operatsioon ei ole kommutatiivne ja assotsiatiivne, kõik teised on mõlemat) • Unaarsed ja binaarsed relatsioonialgebra operatsioonid. Unaarsed spetsiaaloperatsioonid: Piirang ja Projektsioon Binaarsed spetsiaaloperatsioonid: Ühendamine ja Jagamine Unaarsed hulgateoreetilised operatsioonid: Ümbernimetamine Binaarsed hulgateoreetilised operatsioonid: Hulgateoreetiline summa, Hulgateoreetiline vahe, Lõige ja Otsekorrutis
c. Vahe: R S = {(x, y) R & ¬(x, y) S} d. Täiend: R' = {(x, y) | x X & y Y & ¬(x, y) R} = (X × Y) R 26) a. Pöördrelatsioon: R-1 = {(y, x) | (x, y) R} b. Kompositsioon: R S = {(x, z) | (yY)[(x, y) R & (y, z) S]} c. Ühikelement. Kui IX on samasusrelatsioon hulgal X ja IY on samasusrelatsioon hulgal Y, siis suvalise relatsiooni R X × Y korral R IY = IX R = R d. Kompositsioon ei ole kommutatiivne, st üldiselt R S S R e. Pöördrelatsioon ei ole pöördelement algebralises mõttes, st üldiselt R R-1 I 27) a. Kompositsiooni assotsiatiivsus a.i. **Tõestus.https://moodle.ut.ee/mod/resource/view.php?id=96260 b. Kompositsiooni pöördrelatsioon. Suvaliste relatsioonide R X × Y ja S Y × Z korral (R S)-1 = S-1 R-1. Tõestus: b.i. (z, x) (R S)-1 b.ii. (x, z) (R S) b.iii. y (xRy & ySz)
moodustatakse teise samasuguse vektoripaari lisamisel nendest rööpkülik. Vektorite summavektor algab mõlema vektori algus- punktist ja lõppeb selle vastasnurgas. Vektorite liitmine on kommutatiivne, ehk 10. Kuidas lahutatakse vektoreid komponentideks ja miks on see vajalik? Kuna vektorid on definitsiooni järgi mitme teljesuunalise liikumise ühendid, saab neid ka koordinaadistiku telgedesuunalis- teks vektoriteks lahutada. See tuleb kasuks keerulisemate (mittesirgete) liikumiste või jõudude mõjumiste kirjeldamiseks. 11. Mis on vektori projektsioon teljel ja miks on seda vaja?
) + tõene. Näitame, et siis kehtib ka parem pool +( + ) = ( + ) + . Rakendame võrduse vasakule poolele kaks korda liitmise teist aksioomi. Saame: + ( + ) = + ( + ) = ( + ( + )) Sulgude sees rakendame implikatsiooni eeldust ja edasi viime teist liitmise aksioomi paremalt vasakule rakendades funktsiooni ' summa teisele liikmele: ( + ( + ))' = (( + ) + )' = ( + ) + . Seega on vasak ja parem pool tõesti võrdsed. Liitmise kommutatiivsus Naturaalarvude liitmine on kommutatiivne: [ + = + ] Tõestus: Liitmise kommutatiivsuse tõestamiseks kasutame kõigepealt induktsiooni muutuja järgi ja selle induktsiooniga tekkivas kummaski lemmas veel induktsiooni järgi. Induktsioonis muutuja järgi on aksioomis P7 oleva valemi A(x) rollis on [ + = + ] . Tuleb tõestada kaks lemmat: Lemma 2.1 (induktsiooni baas). [0 + = + 0] Lemma 2.2 (induktsiooni samm) [[ + = + ] [ + = + ]] Baaslemma [0 + = + 0] tõestus Tõestame induktsiooniga y järgi:
(∀𝑥𝑃(𝑥, 𝑦) korral x on seotud ja y vaba muutuja). Hüüumärgiga eksistentsikvantor tähendab, et „leidub täpselt üks x …“. Kvantorid on omavahel seotud nagu ∀𝑥𝑃(𝑥) ≡ ∃ ̅𝑥∃𝑃̅(𝑥). Predikaadid on võrdväärsed (ekvivalentsed), kui nende tõeväärtuspiirkonnad langevad kokku. Loogikaseadused on kuni kolme operandiga lihtsaimad samaselt tõesed lausearvutusvalemid ja samaselt tõesed lausearvutusvalemite võrdused. Implikatsioon ei ole kommutatiivne. Assotsiatiivsus 𝐴 ∨ 𝐵 ∨ 𝐶 = (𝐴 ∨ 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐵 ∨ 𝐶) ; 𝐴 ∧ 𝐵 ∧ 𝐶 = (𝐴 ∧ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴 ∧ (𝐵 ∧ 𝐶) Kommutatiivsus 𝐴 ∧ 𝐵 = 𝐵 ∧𝐴 ;𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐵 ∨𝐴 Idempotentsus 𝐴 ∧ 𝐴 = 𝐴 ;𝐴 ∨𝐴 = 𝐴 Neeldumine 𝐴 ∧ (𝐴 ∨ 𝐵) = 𝐴 ; 𝐴 ∨ (𝐴 ∧ 𝐵) = 𝐴
J-õiglus eelneb K-õiglusele. Jaotava õigluse põhiküsimuste hulka kuuluvad küsimused on: .. õigluse objekt (mida tuleks jagada): vara, võim, respekt .. õigluse subjekt (mille või keele vahel jagada): inimesed (elavad, surnud..), rahvad, riigid .. mis on õige jaotus: igaühele vastavalt tema väärtusele/vajadusele/panusele/staatusele või kõigile võrdselt .. pole oluline, kes jaotust korraldab Korraldav õiglus e võrdsustav, rektifikatoorne, kommutatiivne, korrektiive Küsimus on vahetus-suhtest. ,,Õiglane" tähendab ,,õiget proportsiooni". .. teenuse eest maksmine (kui palju ,,nänni" tuleks vastu anda) .. kahju ja hüvituse vahekord .. kuriteo ja karistuse vahekord. 2. Formuleerige vähemalt 3 õiglase jaotamise printsiipi. ..Igaühele vastavalt tema väärtusele ..Igaühele vastaval tema vajadusele. ..Igaühele vastavalt tema staatusele. ..Igaühele vastavalt tema panusele. ..Kõigile võrdselt 3
(predikaat). Piirangu tulemust nimetatakse ka horisontaalseks alamhulgaks. Lõige ehk ühisosa - Operatsioon lõige annab tulemuseks relatsiooni, mis sisaldab ainult neid kirjeid, mis on nii relatsioonis R kui ka S. Lõike operatsiooni võib esitada vahe operatsiooni kaudu RUS=R-(R-S) Vahe - Operatsioon vahe annab tulemuseks relatsiooni, mis sisaldab kirjeid, mis kuuluvad relatsiooni R, kuid mis ei kuulu relatsiooni S. Vahe leidmine ei ole kommutatiivne operatsioon, st. R-S<>S-R. Hulgateoreetiline summa - Operatsioon ühend annab tulemuseks relatsiooni, mis sisaldab kõiki kirjeid nii tabelist R kui ka S. Dubleeritud kirjed kõrvaldatakse, nii et alles jääb vaid üks. Ühendatavad relatsioonid peavad olema ühilduvad (ingl. k. union compatible). See tähendab, et ühendatavates 7
Vastavalt tehetes osalevate operandide arvule määratakse signatuuri tüüp, mis on antud näites määratud vektoriga (1,2,2). Põhimõisted · Grupoid - lihtsaim algebra < M, · >, kus · on 2-kohaline operatsioon. · Parempoolne ühikelement e : mM (m · e = m). · Vasakpoolne ühikelement e : mM (e · m = m). · Ühikelement e : mM (m · e=e · m = m). Igas grupoidis pole rohkem kui üks ühikelement. · Grupoid on idempotentne, kui mM (m · m = m). · Grupoid on kommutatiivne, kui m1 , m2 M (m1 · m2 = m2 · m1 ). · Grupoid on assotsiatiivne (nimetatakse poolrühmaks), kui kehtib assotsiatiivsusseadus. · Monoid on poolrühm, kus on olemas ühikelement. · Rühm on monoid, kus igal elemendil on olemas pöördelement [mM m-1M ( m · m-1 = m-1 · m = e ) ]. 7 · Algebralise süsteemi moodustab algebra koos suhete hulgaga. Olgu antud järjestussuhe .
määratud vektoriga (1,2,2). Põhimõisted Grupoid - lihtsaim algebra < M, >, kus on 2-kohaline operatsioon. Parempoolne ühikelement e : mM (m e = m). Vasakpoolne ühikelement e : mM (e m = m). Ühikelement e : mM (m e=e m = m). Igas grupoidis pole rohkem kui üks ühikelement. Grupoid on idempotentne, kui mM (m m = m). Grupoid on kommutatiivne, kui m1 , m2 M (m1 m2 = m2 m1 ). Grupoid on assotsiatiivne (nimetatakse poolrühmaks), kui kehtib assotsiatiivsusseadus. Monoid on poolrühm, kus on olemas ühikelement. Rühm on monoid, kus igal elemendil on olemas pöördelement [mM m-1M ( m m-1 = m-1 m = e ) ]. Algebralise süsteemi moodustab algebra koos suhete hulgaga. Olgu antud järjestussuhe .
= -8 + (4 · 5)i + (3 · 2)i - (3 · 5)i2 = (-8 + 15) + (20 + 6)i = 7 + 26i 4.6 Korrutise u ¨ ldvalem Korrutise u ¨ldvalemi esitame j¨ argmise lause t~ oestuses. Lause 4. C on kinnine korrutamise suhtes, s.t kompleksarvude korrutis on ka kompleksarv. Korrutamine on kommutatiivne. V. Kompleksarvud 7 T~ oestus. Kasutades maatrikstehete omadusi, arvutame korrutise z2 z1 = (a2 + b2 i)(a1 + b1 i) = a2 a1 + a2 (b1 i) + (b2 i)a1 ) + (b2 i)(b1 i) = a2 a1 + (a2 b1 )i + (b2 a1 )i + (b2 b1 )i2 = (a2 a1 - b2 b1 ) + (a2 b1 + b2 a1 )i C Muutes tegurite j¨arjekorda, saame kommutatiivsuse
1 Maatriksite liitmine on assotsiatiivne, s.o. mistahes kolme maatriksi X, Y, Z M at(m, n) korral (X + Y ) + Z = X + (Y + Z). (1.19) 2 Iga X M at(m, n) ja nullmaatriksi M at(m, n) korral X + = X, + X = X. 3 Iga X M at(m, n) ja tema vastandmaatriksi -X M at(m, n) korral kehtib X + (-X) = , (-X) + X = . 4 Maatriksite liitmine on kommutatiivne, s.o. mistahes kahe maatriksi X, Y M at(m, n) korral X + Y = Y + X. Enne kui t~oestame need omadused, m¨argime, et t~oestused tuginevad tegelikult reaalarvude omadustele (1.11) - (1.15). T~oestuste l¨abiviimisel kasutame maatriksite liitmise definitsiooni kompaktsel kujul, mis antakse valemitega (1.17) ja (1.18). Soovitame lugejal m~oned neist t~oestustest kirja panna, kasutades maatriksite liitmise detailsemat definitsiooni antuna valemiga (1.16).
o. mistahes kolme maatriksi X, Y, Z ∈ M at(m, n) korral (X + Y ) + Z = X + (Y + Z). (1.19) 2◦ Iga X ∈ M at(m, n) ja nullmaatriksi θ ∈ M at(m, n) korral X + θ = X, θ + X = X. 3◦ Iga X ∈ M at(m, n) ja tema vastandmaatriksi −X ∈ M at(m, n) korral kehtib X + (−X) = θ, (−X) + X = θ. 4◦ Maatriksite liitmine on kommutatiivne, s.o. mistahes kahe maatriksi X, Y ∈ M at(m, n) korral X + Y = Y + X. Enne kui t˜oestame need omadused, m¨argime, et t˜oestused tuginevad tegelikult reaalarvude omadustele (1.11) − (1.15). T˜oestuste l¨abiviimisel kasutame maatriksite liitmise definitsiooni kompaktsel kujul, mis antakse valemitega (1.17) ja (1.18). Soovitame lugejal m˜oned neist t˜oestustest kirja panna, kasutades maatriksite liitmise detailsemat definitsiooni antuna
enne ja rohkem kui isiklikku vabadust. 11. loeng ÕIGLUS I Sissejuhatus Aristotelesest alates eristatakse kaht õigluse liiki: Jaotav e distributiivne e sotsiaalne e majanduslik õiglus. Põhiküsimused: 1)Mis hüvesid tuleks/saaks jagada? 2)Kelle/mille vahel jagada? 3)Mis on „õige“ jaotus? 4)Mis on õigluse staatus? Korraldav e võrdsustav e rektifikatoorne e kommutatiivne e korrektiivne õiglus. Küsimus vahetus-suhtest. Õiglane tähendab siin õiget proportsiooni. Teenuse/asja eest tasumine, kahju ja hüvituse vahekord, kuriteo ja karistuse vahekord. Jaotava õigluse 3 keskset paradigmat/kontseptsiooni: egalitaar-liberalism, libertarianism, kommunitarism. II Egalitaar-liberalism *Rawls Õigluse eeldused: - Inimesed on omakasupüüdlikud ja ratsionaalsed - Hüvesid on suhteliselt vähe (nappuse ja külluse vahepeal)
defineerime A ja B korrutise A · B selliselt, et korrutame maatriksi A i-nda rea elemendid maatriksi B j-inda veeru vastavate elementidega ning liidame saadud korrutised: n C = A·B, cij = aik ·bkj = (ai1 ·b1j +ai2 ·b2j +· · ·+ain ·bnj ). (1.7) k=1 Joonis: http://www.cmsoft.com.br/opencl-tutorial/case-study-matrix-multiplication/ Märkus 1.1 Maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne ehk üldjuhul (ka ruut- maatriksite korral) A · B = B · A. Olgu maatriksid A, B ja C sellist järku, et allpool toodud iga üksik tehe on teostatav. Siis maatriksite korrutamisel on järgmised omadused: (A + B) · C = A · C + B · C, (distributiivsus) (A · B) · C = A · (B · C), (korrutamise assotsiatiivsus)
teineteisele lähedased, ei torka nende tähenduste kattumine silma ega ole nii märgatav, kui kaugete mõistete puhul“ Aristoteles ÕIGLUSE LIIGID. Aristotlesest saati eristatakse kahte liiki õiglust: 1. Jaotav õiglus: distributiivne, sotsiaalne, majanduslik Mis hüvesid tuleks/saab jagada? Kelle/mille vahel jagada? Mis on õige jaotus? Mis on õigluse staatus? 2. Korraldav õiglus: võrdsustav, rektifikatoorne, kommutatiivne, korrektiivne Teenuse/asja eest tasumine: palju nänni tuleks vastu anda? Kahju hüvitise vahekord: mitu eurot BMW mõlkimise eest? Kuriteo ja karistuse vahekord: palju tapmise eest anda? Erinevad arusaamad õiglusest. Käsitleme jaotava õigluse kolme keskset paradigmat (õigluskontseptsiooni): 1. EGALITAAR-LIBERALISM John Rawls, Ronald Dworkin. Inimesed on omakasupüüdlikud ja ratsionaalsed (Pühakute ühenduses ei teki õigluse probleemi)
gravitatsioonivälja tugevuse (jõu) sõltuvus kaugusest. 171. Eksponentsiaalne s: y=a(astm.x) (posit astmenäitaja: bakterikoloonia kasv ajas, kapitali suurenemine), (neg: radioaktiivselt lagunevate tuumade arv, valguskvantide arvu vähenemine). 172. Diferentsiaalvõrrand seob suuruste muutusi. Integreerimine dif.pöördf. Ja tuletise kaudu f-i otsimine. Vektorid on samad: kui sama siht suund pikkus. 173. Skalaarkorrutis: tulemuseks skalaar. Skal.korrutis on kommutatiivne. Ristiolevate vektorite skalaarkorrutis on 0. 174. Vektorkorrutiseks on vektor, mis on korrutatavate vektoritega ristuvas tasapinnas. Suuna määramiseks kruvireegel. 175. Gradiendiks nim: mitme muutuja f-i korral nim f-i kiireima kasvamise suunda ja kiirust antud punktis isel-vat vektorit. Ernest Ratherford – orbitaalmudeli „isa“. Orbitaalmudel vastuolud: *aatomite seletamatu stabiilsus. *aatomite eristamatus. *karakteristlik joonsperkter
A × B = { < a, b > | a ∈ A ∧ b ∈ B } näide: A = { 1, 2, 3 } B = { a, b } A × B = { < 1, a > < 1, b > < 2, a > < 2, b > < 3, a > < 3, b > } Elementide (paaride) arv ristkorrutises: |A × B| = |A| • |B| Hulga A otseruut A × A on hulga otsekorrutis iseendaga: A × A = A2 = { < a, b > | a ∈ A ∧ b ∈ A } näide: Kui A = { 1, 2 } , siis A × A = { < 1, 1 > < 1, 2 > < 2, 1 > < 2, 2 > } Ristkorrutis pole kommutatiivne: A ×B ≠ B ×A Ristkorrutistehte võib defineerida ka suuremale teguritearvule. A B C ristkorrutis: 3-me hulga A × B × C = { < a, b, c > | a ∈ A ∧ b ∈ B ∧ c ∈ C } n hulga A B C . . . N ristkorrutis: A×B×C× ... ×N = { < a, b, c, ... n > | a∈ ∈A ∧ b∈ ∈B ∧ c∈ ∈C ∧ . . . ∧ n∈
76 Nimetame seda võtet "noolereegliks" ja kasutame oma joonistel homogeense magnetvälja kujutamiseks. Juhtmete, juhtmekeerdude ja laetud osakeste liikumist ning neile nõjuvaid jõude on nii väga mugav kujutada. Küsimus: Korrutustehte kirjeldamisel rääkisime kahest tegurist, mitte "korrutatavast" ja "korrutajast". Seda selle pärast, et tava-arvude matemaatikas oli korrutustehe kommutatiivne (korrutis ei sõltunud tegurite järjekorrast). Aga kuidas on lood vektorkorrutisega? Ampere'i seadus noolereegliga antud magnetväljas. Kontrollige vasaku käe reeglit! Lorentz'i jõud. Et elektrivool koosneb liikuvatest laengutest, tähendab vooluga juhtmele mõjuv jõud tegelikult liikuvatele laengutele mõjuvat jõudu. Selle jõu saab välja arvutada, lähtudes voolutiheduse definitsioonidest: Pannes selle Ampere'i jõu valemisse, saame
172. Õiglus - Aristoteles ,,Tundub, et õiglust ja ebaõiglust võib mõista mitmes tähenduses, aga kuna nad on teineteisele lähedased, ei torka nende tähenduste kattumine silma ega ole nii märgatav, kui kaugete mõistete puhul"Aristoteles (1996: 98) 173. ÕIGLUSE LIIGID Aristotlesest saati eristatakse kahte liiki õiglust (vt Nikomachose eetika rmt). 1. Jaotav õiglus - e. distributiivne - e. sotsiaalne - e. majanduslik 2. Korraldav õiglus - e. võrdsustav - e. rektifikatoorne - e. kommutatiivne - e. Korrektiivne 174. Jaotava õigluse põhiküsimused 1. Mis hüvesid tuleks/saab jagada? - rikkus, võim, hea-olu, "respekt"? 2. Kelle/ mille vahel jagada? - inimesed (elavad, surnud, tulevased põlved), loomad, rahvad, rahvusriigid? 3. Mis on "õige" jaotus? - Mis printsiip? Igaühele vastavalt tema panusele/vajadusele/staatusele vms? 4. Mis on õigluse staatus? - Suhe vabaduse, halastuse, heldusega jm 175. Korraldav õiglus Küsimus vahetus-suhtest
annaabi.ee 
