Lineaaralbebra, kompleksarvud ja algebraline süsteem. (2)

Kompleksarvud

• Kui vaatleme ruutvõrrandit x2+1=0 siis selline ruutvõrrand ei ole lahendatav. Kui aga eeldame, et arvu i olemasolu, mille korral i2 =-1 x2=1 x=+- 1.
  
• olgu hulk C kõigi selliste (2*2) ruutmaatriksite hulk, kus iga maatriksi korral tema peadiagonaali elemendid on võrdsed ja kõrvaldiagonaali elemendid on teineteise vastandarvud.
  

• Def1: Kui hulgas on määratud mingisugune tehe ja kui selle hulga mistahes kahe elemendiga sooritatud tehte tulemus osutub uuesti selle sama hulga elemendiks, siis öeldakse, et hulk on vaadeldava tehte suhtes kinnine .
  
• Tuginedes maatriksarvutustele võime väita, et hulgas C kehtivad järgmised omadused:
  

• Hulk C osutub algebralise süsteemi mõttes kommutatiivseks korpuseks.
  
• hulk C osutub ka vektor ruumiks (baasi temas moodustavad 1 ja i).
  

• seega i on kaldsümmeetriline maatriks
  
• Def2: Hulka C, mille elementideks on kõik sellised (2*2) järku ruutmaatriksid, kus iga maatriksi korral peadiogonaalil paiknevad arvud on omavahel võrdsed ning kõrvaldiagonaalil asuvad arvud on teineteisest märgi poolest erinevad nim kompleksarvude hulgaks ja tema elemente nim kompleksarvudeks.
  

• Tehetes kompleksarvudega peame meeles pidama järgmisi omadusi:
  

• Suurust /α/ nim kompleksarvu mooduliks ja teda arvutame valemiga:
  

• Kehtivad omadused (1-7)
  

• Kompleksarvu saab geomeetriliselt kujutada ja tõlgendada punktidena tasandil, kus on fikseeritud ristkoordinaadistik ( Cartesiuse koordinaadistik)
  
• Kompleksarvu moodulit saab geomeetriliselt tõlgendada sellele vastava kompleksarvu kaugusena koordinaat telgede alguspunktist.
  
• Suurust fii nim kompleksarvu α argumendiks.
  

• 1. algebralinekuju 2.maatrikskuju 3. vektor kuju 4. trigonomeetrilinekuju 5. eksponentkuju
  

• Euleri valem:
  

• Moivre valem:
  

Algebralised süsteemid

• algebralise süsteemi mõiste koosneb hulgamõistest ja algebralise tehte ehk arvutusoperatsiooni mõistest.
  
• Olgu hulk M selline, mis koosneb näiteks arvudest, funktsioonidest, vektoritest, maatriksitest, sõnadest, sündmustest jne või ükskõik millistest ühelaadsetest objektidest . Edaspidi nim hulka M elementideks.
  

<

• Edasises loeme kehtivaks järgmised 3 omadust: (1-3)
  

1. a=a - refleksiivsus
2. a=b, siis ka b=a - sümmeetria
3. a=b ja b=c, siis a=c - transitiivsus

• Neid 3 omadust nim ka Ekvivalentsi postulaadid.
  

• Def1: Kui hulga M igale kahele kindlas järjekorras võetud elementide paarile (a;b) on seotud mingi eeskirja f alusel vastavusse üks kindel element f(a;b), siis öeldakse, et hulgas M on defineeritud ühene arvutusoperatsioon ehk ühene tehe.
  

• Def2: Hulka M, kus on defineeritud vähemalt üks arvutusoperatisoon ehk tehe nim algebraliseks süsteemiks.
  

Kui mistahes a ja b korral hulgast M ilmneb ka, et f(a;b) ϵ M, siis öeldakse, et hulk M on defineeritud tehte suhtes kinniseks.

• Seda tehet f nim kas liitimiseks või korrutamiseks.
  

f liitmine - aditiivne- f(a+b)=a+b
f korrutamine - multiplikatiivne- f(a*b)=a*b

• Arvude vallas etendavad tähtsat osa arvud 0, 1, -a, a-1. Need mõisted võime üle kanda mistahes ühe või kahe arvutusoperatsiooniga määratud algebralistesele süsteemile.
  

• Eeldame, et lisaks vaadeldav arvutusoperatsioon rahuldab nn assotsiatiivsuse seadust. Kehtivad järgmised: (a+b)+c= a+(b+c) (a*b)c= a(b*c)
  

• Def3: Algebralist süsteemi M, milles defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse seadust nim poolrühmaks.
  

Kehtib: (a+b)+c=a+(b+c) - aditiivne poolrühm, liitmise assotsiatiivsus , lubatud liita
(a*b)c= a*(b*c) – multiplikatiivne poolrühm, korrutamise assotsiatiivsus

• Öeldakse, et tegemist on kommutatiivsuse seadusega. Kehtivad järgmised:
  

a+b=b+a - liitmise kommutatiivsus
a*b=b*a – korrutamise kommutatiivsus

• Def4: Algebralist süsteemi, milles defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse ja kommutatiivsuse seadust nim kommutatiivseks poolrühmaks. Seega on olemas:
  

1. aditiivne kommutatiivne poolrühm
(a+b)+c=a+(b+c) – liitmise assotsiatiivsus
a+b=b+a – liitmise kommutatiivsus
2. multiplikatiivne kommutatiivne poolrühm
(a*b)*c= a*(b*c) – korrutamise assotsiatiivsus
a*b=b*a – korrutamise kommutatiivsus

• Sellist elemendi e ϵ M, mistahes a ϵ M rahuldab tingimust: a*e=a ja e*a=a nim hulga M ühikelemendiks. (e=1 ; e=E)
  
• Ühikselement käitub korrutamisel neutraalse elemendina.
  

• Osutub, et multiplikatiivses süsteemis M leidub ülimalt üks ühikelement.
  

• Kui eeldada, et leidub mõni teine ühikelement veel ε, siis ta peaks rahuldama tingimusi: a*ε=a ja ε*a=a
  

• Kui süsteemis M leidub ühikelement e, siis sellist elementi a-1 ϵ M, mis mingi teatava a ϵ M rahuldab tingimusi a*a-1=e ja a-1*a=e nim elemendi a pöördelemendiks.
  

• Osutab, et multiplikatiivses süsteemis saab igal elemendil olla ülimalt üks pöördelement. Kui eeldab, et leidub veel mõni teine pöördelement α-1 kuulub M, peavad olema täidetud tingimused: a*α -1=e ja α-1 *a=e