Diskreetne matemaatika I IAY0010 eksami konspekt (1)

LAUSEARVUTUS  
Diskreetne  matemaatika  ei tegele reaalarvudega ega  pidevate  funktsioonidega. Verbaalne esitus on 
mistahes info esitamine  lingvistilise  keele abil.  Formaalne  esitus on mistahes info esitamine ilma 
lingvistilise keele  abita  ehk esitus kokkulepitud sümbolite abil. Formaalne esitus peab olema üheselt 
tõlgendatav. Lausearvutus on loogilise mõtlemise matemaatiline mudel. Lausearvutuse lause võib 
olla iga verbaalne väide, millele saame omistada tõeväärtuse – tõene või vale.  Lihtlause  on lihtsaim 
võimalik  lausearvutuslause . Lausearvutuslauseid tähistatakse formaalselt  suurtähtedega : A, B, P, Q … 
Lihtlausetest koostatakse kindlate sidesõnade ja loog konstruktsioonide abil liitlauseid. 
Lausearvutuse lihtlauseid seotakse liitlauseteks 5 loogilise konstruktsiooni ehk loogikatehte abil. 
Binaarsed   loogikatehted seovad kahte lauset (4 tk),  unaarne   loogikatehe  on  rakendatav  üksikule 
lausele (1 tk –  eitus ). Loogiline  korrutamine  ehk  konjunktsioon  ehk JA- tehe . Loogiline  liitmine  ehk 
disjunktsioon  ehk VÕI-tehe.  Ekvivalents  on seotud implikatsiooniga ehk  𝑷 ↔ 𝑸 on nagu 𝑃 → 𝑄 ja 
samal ajal ka 𝑄 → 𝑃.  Tehted inversioon , konjunktsioon ja disjunktsioon on elementaarsed 
loogikatehted – nad pole avaldatavad  mingite  teiste lihtsamate loogikatehete kaudu, kuna nad ise 
ongi „lihtsaimad“ tehted. Nii liht- kui ka  liitlausete  formaalseid esitusi nim lausearvutusvalemiteks -> 
Def – Lihtlause formaalne tähis (nt: A) ja üksik tõeväärtuskonstant 0 1 on valem. Kui A on valem, siis 
valemid on ka 𝐴̅ ja (A). Kui A ja B on valemid, siis on valemid ka 𝐴 ∧ 𝐵, 𝐴 ∨ 𝐵, 𝐴 → 𝐵, 𝐴 ↔ 𝐵. 
Loogikatehete  prioriteet : inversioon, konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, ekvivalents. 
Samaselt  tõene ehk tautoloogia on lause, mis omandab tõeväärtuse 1 koostislausete mistahes 
väärtuskombinatsiooni korral (nt: 𝐴 ∨ 𝐴̅). Samaselt väär ehk vastuolu on lause, mis omandab 
tõeväärtuse 0 koostislausete mistahes väärtuskombinatsiooni korral (nt: 𝐴 ∧ 𝐴̅). Samaselt tõesed 
laused võib kõikjal  asendada konstandiga 1, samaselt väärad konstandiga 0. Predikaat on lause 
(valem), mis sisaldab ühte või enamat muutujat. Kui predikaadi muutujad asendada mingite 
konkreetsete väärtustega lubatud väärtustehulgast, siis predikaat omandab tõeväärtuse (muutub 
lauseks). Predikaate tähistatakse suurtähtedega, predikaatmuutujaid väiketähtedega. Ühekohaline 
predikaat ehk omadus on ühe muutujaga. Määramispiirkond näitab, milliseid väärtusi 
predikaatmuutuja võib omandada. Predikaatlause P(x) on täidetav ehk kehtestatav, kui ta on tõene 
ainult osade muutujaväärtuste x korral (ehk tõene osas oma määramispiirkonnas) ; samaselt tõene, 
kui ta on kehtiv kogu oma mpk-s ; samaselt väär, kui ta ei kehti oma mpk mitte mingite 
muutujaväärtuste korral. Kvantoriteks on üldsuse  kvantor  ja eksistentsikvantor.  Muutuja  on seotud, 
kui talle on rakendatud kvantorit ja vaba, kui predikaatmuutuja on kvantormärgiga mitteseotud  
(∀𝑥𝑃(𝑥, 𝑦) korral x on seotud ja y vaba muutuja). Hüüumärgiga eksistentsikvantor tähendab, et 
„leidub täpselt üks x …“. Kvantorid on omavahel seotud nagu ∀𝑥𝑃(𝑥) ≡ ∃
̅𝑥∃𝑃̅(𝑥). Predikaadid on 
võrdväärsed (ekvivalentsed), kui nende tõeväärtuspiirkonnad langevad kokku. Loogikaseadused on 
kuni kolme operandiga lihtsaimad samaselt tõesed lausearvutusvalemid ja samaselt tõesed 
lausearvutusvalemite võrdused. Implikatsioon ei ole kommutatiivne. 
 
Assotsiatiivsus 𝐴 ∨ 𝐵 ∨ 𝐶 = (𝐴 ∨ 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐵 ∨ 𝐶) ; 𝐴 ∧ 𝐵 ∧ 𝐶 = (𝐴 ∧ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴 ∧ (𝐵 ∧ 𝐶) 
Kommutatiivsus  
𝐴 ∧ 𝐵 = 𝐵 ∧ 𝐴 ; 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐴 
Idempotentsus  
𝐴 ∧ 𝐴 = 𝐴 ; 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐴 
Neeldumine     
𝐴 ∧ (𝐴 ∨ 𝐵) = 𝐴 ; 𝐴 ∨ (𝐴 ∧ 𝐵) = 𝐴 
Distributiivsus   
𝐴 ∧ (𝐵 ∨ 𝐶) = (𝐴 ∧ 𝐵) ∨ (𝐴 ∧ 𝐶) ; 𝐴 ∨ (𝐵 ∧ 𝐶) = (𝐴 ∨ 𝐵) ∧ (𝐴 ∨ 𝐶) 
Seadused konstantidega 𝐴 ∨ 0 = 𝐴 ; 𝐴 ∨ 1 = 1 ; 𝐴 ∧ 0 = 0 ; 𝐴 ∧ 1 = 𝐴 
Topelteituse seadus   𝐴̿ = 𝐴 
DeMorgani seadused   𝐴
̅̅∧
̅̅ 𝐵
̅̅̅ = 𝐴̅ ∨ 𝐵̅ ; 𝐴̅̅∨
̅̅ 𝐵
̅̅̅ = 𝐴̅ ∧ 𝐵̅ 
Välistatud kolmanda seadus 𝐴 ∨ 𝐴̅ = 1 
Vastuolu seadus  
𝐴 ∧ 𝐴̅ = 0 
Kontrapositsiooni seadus 𝐴 → 𝐵 = 𝐵̅ → 𝐴̅ 
Süllogismi seadus  
[(𝐴 → 𝐵) ∧ (𝐵 → 𝐶)] → (𝐴 → 𝐶) 
Muud loogikaseadused 𝐴 → 𝐵 = 𝐴̅ ∨ 𝐵 ; 1 → 𝐴 = 𝐴 ;  𝐴 ↔ 𝐵 = (𝐴 → 𝐵) ∧ (𝐵 → 𝐴) 
OK 
 
HULGAD 
Hulk on koosvaadeldavate hulgaelementide kogum. Hulk koosneb hulgaelementidest. Hulka 
tähistatakse suurtähtedega A B C D. Hulka esitatakse tema elementide täieliku loeteluna { 𝑎 𝑏 𝑐 }, 
osalise  loeteluna { … , −1 , 0 , 1 , … }, üldise avaldise kaudu { 𝑛 |(𝑛 > 1899) ∧ (𝑛