Algebralised süsteemid (1)

Algebralised süsteemid

Algebralise süsteemi mõiste kaasneb hulga mõistest ja algebralise tehte ehk arvutusoperatsiooni mõistest.
Olgu hulk M selline, mis koosneb arvudest, funktsioonidest, vektoritest võik ükskõik millistest samalaadsetest elementidest, milliseid edaspidi nimetatakse hulga elementideks.<
a = b korral loeme kehtivaks järgmised 3 omadust: ( ekvivalentsi postulaadid

a = a → refleksiivsus

kui a = b, siis ka b = a → sümmeetria

kui a = b ja b = c, siis ka a = c → transitiivsus

Kui hulga M igale kahele kindlas järjekorras võetud elemendi paarile (a; b ) on seotud mingi eeskirja f alusel vastavusse üks kindel element f (a; b), siis öeldakse, et hulgas M on defineeritud arvutusoperatsioon ehk tehe .

Hulka, kus on määratud vähemalt üks arvutusoperatsioon nimetatakse algebraliseks süsteemiks. Kui mistahes a, b korral hulgast M järeldub, et ka tehte tulemus on hulgast M st hulk on kinni.
Arvude vallas etendavad tähtsat rolli arvud 0, 1, -a, a-1. Need mõisted saame ülekanda mistahes ühe või kahe arvutusoperatsiooniga algebralisele süsteemile.
Eeldame, et hulgas defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse seadust:
a + (b + c) = (a + b) + c.

Algebralist süsteemi, milles defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse seadust nimetatakse poolrühmaks.
Aditiivne poolrühm- hulgas on defineeritud liitmine . a + (b + c) = (a + b) + c
Multiplikatiivne poolrühm - hulgas on defineeritud korrutamine . ( a ∙ b ) ∙ c = a ∙ ( b ∙ c)

Algebralises süsteemis, milles defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse ja kommutatiivsuse seadusi nimetatakse kommutatiivseks poolrühmaks.
Aditiivne kommutatiivne poolrühm

• (a + b) + c = a + (b + c)
  
• a + b = b + a
  

Multiplikatiivne kommutatiivne poolrühm

• ( a ∙ b ) ∙ c = a ∙ ( b ∙ c)
  

• a ∙ b = b ∙ a
  

Sellist elementi c, mis kuulub hulka M, mis iga a korral hulgast M rahuldab tingimust a ∙ e = a ja
e ∙ a = a nimetatakse hulga M ühikelemendiks. Osutub, et multiplikatiivses süsteemis M leidub ülimalt 1 ühikelement.
Kui süsteemis M leidub ühikelement, siis sellist elementi märgime a-1 hulgast M, mis mingi a korral hulgast M rahuldab tingimusi : a ∙ a-1 = e ja a-1 ∙ a = e nimetatakse elemendi a pöördelemendiks.
Öeldakse, et multiplikatiivses süsteemis M kehtib pöördoperatsiooni olemasolu seadus aka poos, mistahes a ja b korral hulgast M on võrrandid b ∙ x = a ja y ∙ b = a lahenduvas süsteemis M.
Arvutusoperatsioon f, mis seab hulgast M elementide järjestatud paarile a, b vastavusse nende jagatise nimetatakse jagatiseks ja märgitakse f (a, b) = a / b.
Eeldame, et φ ⋲ M, mis iga a korral hulgast M rahuldab tingimusi a + φ = a ja φ + a = a nimetatakse hulgast M nullelemendiks. Aditiivses süsteemis leidub ülimalt üks nullelement.
Kui süsteemis M leidub nullelement, siis iga niisugust elementi ( -a) ⋲ M, mis teadaoleva a korral hulgast M rahuldab tingimusi a + ( -a) = φ͟͞ ja ( -a) + a = φ͟͞ nimetatakse elemendi a vastaselemendiks. Aditiivses süsteemis saab igal elemendil olla ülimalt 1 vastandelement.
Öeldakse, et aditiivses süsteemis M kehtib p.o.o.s., kui mistahes a ja b korral hulgast M on võrrandid: b + x = a ja y + b = a
Arvutusoperatsiooni, mis seab M järjestatud elementide paarile ( a, b) vastavusse nende vahe nimetatakse lahutamiseks.

Poolrühma ( aditiivset poolrühma), milles leidub nullelement ja igale elemendile vastandelement nimetatakse aditiivseks rühmaks. Seal kehtivad seadused:

• a + ( b + c ) = ( a + b ) + c liitmise assotsiatiivsus
  
• a + ͟͞φ = a ^ ͟͞φ + a = a nullelemendi leidmise seadus
  
• a + ( -a ) = φ͟͞ ^ ( - a ) + a = φ͟͞ vastandelemendi leidmise seadus
  

Multiplikatiivset poolrühma, milles leidub ühikelement ja igale elemendile vastav pöördelement nimetatakse multiplikatiivseks rühmaks. Selle rühmas kehtivad seadused:

• a ∙ ( b ∙ c ) = ( a ∙ b ) ∙ c korrutamise assotsiatiivsus
  
• e ∙ a = a ^ a ∙ e = a ühikelemendi leidmise seadus
  
• a ∙ a-1 = e ^ a-1 ∙ a = e pöördelemendi leidmise seadus
  

Rühma, milles on defineeritud arvutusoperatsioonid rahuldab kommutatiivsuse seadust nimetatakse kommutatiivseks rühmaks ehk Abeli rühmaks.

• Aditiivne kommutatiivne rühm ( aditiivne Abeli rühm).
  
  • a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
    
  • a + b = b + a
    
  • a + φ͟͞ = a
    
  • a + ( - a ) = φ͟͞
    
• Multiplikatiivne kommutatiivne rühm (multiplikatiivne Abeli rühm).
  
  • a ∙ ( b ∙ c ) = ( a ∙ b ) ∙ c
    
  • a ∙ b = b ∙ a
    
  • e ∙ a = a
    
  • a ∙ a-1 = e
    

Kahe arvutusoperatsiooni, millest üks on liitmine ja teine lahutamine, poolt määratud algebralist süsteemi m nimetatakse ringiks kui:

• m on liitmise suhtes Abeli rühm.
  
• m on korrutamise suhtes poolrühm.
  
• Süsteemis m on korrutamine distributiivne liitmise suhtes.
  
• Ring
  
  • a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
    
  • a + b = b + a
    
  • a + φ͟͞ = a
    
  • a + ( - a ) = φ͟͞
    
  • a ∙ ( b ∙ c ) = ( a ∙ b ) ∙ c
    
  • a ∙ ( b + c) = a ∙ b + a ∙ c
    
  • ( b + c ) ∙ a = b ∙ a + c ∙ a
    

Ringi, milles korrutamine on kommutatiivne nimetatakse kommutatiivseks ringiks, kui :

• a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
  
• a + b = b + a
  
• a + φ͟͞ = a
  
• a + ( - a ) = φ͟͞
  
• a ∙ ( b ∙ c ) = ( a ∙ b ) ∙ c
  
• a ∙ b = b ∙ a
  
• a ∙ ( b + c) = a ∙ b + a ∙ c
  

Kommutatiivset ühikelementi sisaldavat ringi, milles ei leidu nulltegurit nimetatakse integriteetkonnaks, kui:

• a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
  
• a + b = b + a
  
• a + φ͟͞ = a
  
• a + ( - a ) = φ͟͞
  
• a ∙ ( b ∙ c ) = ( a ∙ b ) ∙ c
  
• a ∙ b = b ∙ a
  
• a ∙ ( b + c) = a ∙ b + a ∙ c
  
• e ∙ a = a
  
• Kui a ∙ b = φ ͟͞, siis kas a = φ͟͞ või b = φ͟͞.
  

Ringi, mille kõik nullelemendist erinevad elemendid moodustavad rühma korrutamise suhtes nimetatakse korpuseks, kui:

• a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
  
• a + b = b + a
  
• a + φ͟͞ = a
  
• a + ( - a ) = φ͟͞
  
• a ∙ ( b ∙ c ) = ( a ∙ b ) ∙ c
  
• a ∙ ( b + c) = a ∙ b + a ∙ c
  
• ( b + c ) ∙ a = b ∙ a + c ∙ a
  

• e ∙ a = a ^ a ∙ e = a
  
• ∀ a ≠ 0͟͞ ∃ a -1 : a ∙ a-1 = e ^ a-1 ∙ a = e
  

Korpust, milles korrutamine on kommutatiivne nimetatakse kommutatiivseks korpuseks, kui:

• a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
  
• a + b = b + a
  
• a + φ͟͞ = a
  
• a + ( - a ) = φ͟͞
  
• a ∙ ( b ∙ c ) = ( a ∙ b ) ∙ c
  
• a ∙ b = b ∙ a
  
• a ∙ ( b + c) = a ∙ b + a ∙ c
  
• e ∙ a = a
  

• ∀ a ≠ 0͟͞ ∃ a -1 : a ∙ a-1 = e ^ a-1 ∙ a = e
  

VaatlemeJärgnevalt moodustame elementide paari ( järjestatud) ( a ; 𝛼). Kui nüüd igale sellisele elementide järjestatud paarile ( a ; 𝛼) on seatud vastavusse süsteemi M teatav kindel element 𝛼, siis räägitakse, et hulgas m on defineeritud korrutamine hulga N elementidega ( kujutise erijuht ). Mainitud korrutamist süsteemi N elementidega nimetatakse skalaariga korrutamiseks. Kui seejuures kehtivad järgmised arvutusseadused:

• e ∙ 𝛼 = 𝛼
  
• ( a + b ) ∙ 𝛼 = a ∙ 𝛼 + b ∙ 𝛼
  
• a ∙ ( 𝛼 +𝛽 ) = a ∙ 𝛼 + a ∙ 𝛽
  
• a ∙ (b ∙ 𝛼 ) = ( a ∙ b ) ∙ 𝛼
  
• ( a ∙ 𝛼 ) ∙ 𝛽 = 𝛼 ∙ ( a ∙ 𝛽 ) = a ( 𝛼 ∙ 𝛽)
  

Kui süsteemis M on defineeritud ainult üks arvutusoperatsioon ( a ∙ 𝛼 ), siis jäetakse viimase välja ( kehtivad 1 – 4 [skalaariga korrutamise postulaadid]).

Aditiivset Abeli rühma M, milles on defineeritud skalaariga korrutamine, mis rahuldab postulaate 1 – 4 nimetatakse vektorruumiks ja tema elemente vektoriteks.

• 𝛼 + ( 𝛽 + 𝛾 ) = ( 𝛼 + 𝛽) +𝛾
  
• 𝛼 + 𝛽 = 𝛽 + 𝛼
  
• ∃ 𝜴 : 𝛼 + 𝜴 = 𝛼
  
• ∃ - 𝛼: 𝛼 + ( - 𝛼 ) = 𝜴
  
• e ∙ 𝛼 = 𝛼
  
• ( a + b ) ∙ 𝛼 = a ∙ 𝛼 + b ∙ 𝛼
  
• a ∙ ( 𝛼 + 𝛽 ) = a ∙ 𝛼 + a ∙ 𝛽
  
• a ∙ ( b ∙ 𝛼 ) = ( a ∙ b ) ∙ 𝛼