Kineetilise energia teoreem (0)

Tallinna Tehnikaülikool Mehhatroonikainstituut
Jüri Kirs , Kalju Kenk
Kodutöö D-3
Kineetilise energia teoreem Tallinn 2009
Kodutöö D-3
Kineetilise energia teoreem
Leida mehaanikalise süsteemi mingi keha kiirus ja kiirendus, või mingi ploki nurkkiirus ja nurk- kiirendus vaadeldaval ajahetkel, kasutades kineetilise energia muutumise teoreemi. Mõningates variantides tuleb leida ainult mingi keha kiiruse. See, millise suuruse tuleb variandis leida, on täpsustatud iga variandi juures. Kõik süsteemid on alghetkel paigal. Kõik vajalikud arvulised andmed on toodud vastava variandi juures. Kõik rattad veerevad ilma libisemata. Kõik kehad on absoluutselt jäigad, niidid on venimatud ning kaalutud. Niidid plokkide suhtes kunagi ei libise. Kõik rattad ja plokid on ühtlased ümmargused kettad , kui variandis ei ole spetsiaalselt teisiti määratud. Kõik nöörid on alati pingul. Variantide järel on lahendatud ka näiteülesanne koos põhjalike seletustega. Näiteülesandeid kineetilise energia teoreemi kohta võib lugeda ka: 1) E. Topnik'u õpikus ,, Insenerimehaanika ülesannetest III. Dünaamika", Tallinn 2001, näited 36-42, lehekülgedel 75-95; 2) J. Kirs' i internetiõpikus ,,Insenerimehaanika III. Loenguid ja harjutusi dünaamikast", failis nr. 11, lehekülgedel 230-258.
Lehekülje häälestus: paber A4; veerised ­ ülal 22 mm, all 22 mm, vasakul 22 mm, paremal 15 mm. Autoriõigus Jüri Kirs ja Kalju Kenk 2010.
2 Variant 1.
Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1, plokkidest 2 ja 3 massidega vastavalt m2 ja m3 ning kehast 4 massiga m4. Keha 1 libiseb karedal kaldpinnal kaldenurgaga ja hõõrdeteguriga . Plokile 2 mõjub jõupaar momendiga M. Leida ketta 3 nurkkiirus ja nurkkiirendus hetkel kui keha 1 on liikunud üles mööda kaldpinda teepikkuse s võrra. Antud: m1 = m ; m2 = 4m ; m3 = 6m ; m4 = 5m ; r2 = 2r ; r3 = r ; = 30 0 µ = 0,3 ; M = 2mgr ; r = 0.2 m; s = 0,8 m.
M
2 1 s
3
4
3 Variant 2.
Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1, plokist 2 massiga m2 ja kaksikplokikujulisest rattast 3 massiga m3 ja inertsiraadiusega i3 keskpunkti C suhtes. Keha 1 libiseb karedal kaldpinnal kaldenurgaga ja hõõrdeteguriga , ratas 3 veereb kaldpinnal kaldenurgaga ja veerehõõrdeteguriga . Leida ketta 3 nurkkiirus ja nurkkiirendus hetkel kui keha 1 on liikunud üles mööda kaldpinda teepikkuse s võrra. 5 Antud: m1 = 2m ; m2 = 4m ; m3 = 12m ; r2 = r ; r3 = r ; R3 = 2r ; i3 = r ; =30°; = 45° 4 µ = 0,3 ; = 0.01r ; r = 0.2 m; s = 0,8 m.
2
1 s 3 C
4 Variant 3.
Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1, plokkidest 2 ja 3 massidega vastavalt m2 ja m3 ning kehast 4 massiga m4. Keha 1 libiseb karedal kaldpinnal kaldenurgaga ja hõõrdeteguriga . Plokile 2 mõjub jõupaar momendiga M. Leida ketta 3 nurkkiirus ja nurkkiirendus hetkel kui keha 1 on liikunud üles mööda kaldpinda teepikkuse s võrra. Antud: m1 = m ; m2 = m3 = 4m ; m4 = 5m ; r2 = r3 = r ; M = mgr ; = 30 0 ; r = 0,2 m; µ = 0,3 ; s = 0,6 m.
M 2
1 s
3
4
5 Variant 4.
Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1 ; plokist 2 massiga m2 ; kaksikplokist 3 massiga m3 ja inertsiraadiusega i3 ; kettast 4 massiga m4 ; liugurist L koos selle külge keevitatud vardaga LC ja vardast LK, mis on liigenditega kinnitatud liuguri ja kaksikploki külge. Ketas 4 veereb horisontaalpinnal veeretakistusteguriga . Varda KL pikkus on l. Joonisel on kujutatud süsteem liikumise alghetkel. Leida keha 1 kiirus hetkel, mil ta on läbinud teepikkuse s = 2r . Antud: m1 = 10m ; m2 = 4m ; m3 = 8m ; m4 = 4m ; r2 = 1,5r ; r3 = 0,5 R 3 = r ; r4 = 1,5r ; i3 = 1,5r ; r l = KL = 3r ; = ; s = 2r ; r = 12 cm. 9
2
K
1 4 L O C 3 s
6 Variant 5.
Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1 , mis libiseb alla karedal kaldpinnal kaldenurgaga ja hõõrdeteguriga ; kaksikplokist 2 massiga m2 ja inertsiraadiusega i 2 ning rattast 3 massiga m3 , mis veereb liikumatu hoidja 4 sisepinnal ja kaksikploki 2 välispiirdel. Rattale 3 mõjub jõupaar momendiga M. Süsteem on joonisel kujutatud algasendis ja varras , mis on liigendiliselt seotud kaksikploki tsentri ning ratta 3 keskpunktiga on selles asendis horisontaalne. Varda massi ei arvestata.. Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil keha 1 on laskunud s võrra. Antud: m1 = 24m ; m2 = 10m ; m3 = 2m ; r2 = r3 = 0,5 R2 = r ; i2 = 1.5r ; = 30 0 ; µ = 0.3 ; M =2mgr; s = 3,6 cm; r = 12 cm.
4 M
3 2
1 s
7 Variant 6.
Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1 , mis libiseb alla karedal kaldpinnal kaldenurgaga ja hõõrdeteguriga ; ühtlasest silindrist 2 massiga m2 ning rattast 3 massiga m3 , mis veereb kaldpinnal kaldenurgaga . Need kehad on ühendatud süsteemiks nööridega, mis on mähitud silindrile ja lähevad üle plokkide, mille massi ei arvestata. Silindrile mõjub jõupaar momendiga M. Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil keha 1 on laskunud s võrra. Antud: m1 = 24m ; m2 = 10m ; m3 = 2m ; r2 = r ; r3 = 2r ; = 30 0 ; = 45 0 ; µ = 0.3 ; M = 2mgr ; s = 40 cm.
2
M
3 1 C s
Variant 7. 8 Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1 , kaksikplokist 2 massiga m2 ja inertsiraadiusega i 2 ning rattast 3 massiga m3 , mis veereb üles kaldpinnal kaldenurgaga ja veerehõõrdeteguriga . Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil keha 1 on laskunud s võrra. Antud: m1 = 24m ; m2 = 10m ; m3 = m ; r2 = 0,5 R2 = r ; r3 = 2r ; i 2 = 1,4r ; = 0.01r ; = 45 0 ; s = 40 cm.
2
3 C 1
s
Variant 8.
9 Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1 , mis libiseb alla karedal kaldpinnal kaldenurgaga ja hõõrdeteguriga , plokist 2 massiga m2 ja rattast 3 massiga m3 , mis veereb üles kaldpinnal kaldenurgaga ja veerehõõrdeteguriga . Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil keha 1 on laskunud s võrra. Antud: m1 = 24m ; m2 = 10m ; m3 = 2m ; r2 = r3 = r ; = 30 0 ; = 45 0 ; µ = 0,3 ; = 0.01r ; s = 40 cm.
2
1 3 s C
Variant 9.
10 Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1 , mis libiseb alla karedal kaldpinnal kaldenurgaga ja hõõrdeteguriga , plokist 2 massiga m2 ning kaksikplokikujulisest rattast 3 massiga m3 ja inertsiraadiusega i3 keskpunkti C suhtes. Ratas 3 veereb horisontaalsel rööpal veerehõõrdeteguriga . Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil keha 1 on laskunud s võrra. Antud: m1 = 24m ; m2 = m ; m3 = 10m ; r2 = r3 = 0,5 R3 = r ; i3 = 1,2r ; = 30 0 ; µ = 0,3 ; = 0.02r ; s = 40 cm.
3 C
2
1 s
Variant 10.
11 Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1, plokkidest 2 ja 3 massidega vastavalt m2 ja m3 ning kehast 4 massiga m4. Keha 1 libiseb karedal kaldpinnal kaldenurgaga ja hõõrdeteguriga . Plokile 2 mõjub jõupaar momendiga M. Leida ketta 3 nurkkiirus ja nurkkiirendus hetkel kui keha 1 on liikunud üles mööda kaldpinda teepikkuse s võrra. Antud: m1 = m ; m2 = m3 = 4m ; m4 = 5m ; r2 = r3 = r ; = 30 0 ; µ = 0,3 ; M = mgr ; s = 0,6 m; r = 0,2 m.
M 2
3 1 s
4
Variant 11.
12 Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1, plokist 2 massiga m2 ja kaksikplokikujulisest rattast 3 massiga m3 ja inertsiraadiusega i3 keskpunkti C suhtes. Keha 1 libiseb karedal kaldpinnal kaldenurgaga ja hõõrdeteguriga , ratas 3 veereb kaldpinnal kaldenurgaga ja veeretakistusteguriga . Leida ratta 3 nurkkiirus ja nurkkiirendus hetkel kui keha 1 on liikunud üles mööda kaldpinda teepikkuse s võrra. 3 3 Antud: m1 = m ; m2 = 4m ; m3 = 6m ; r2 = r ; r3 = R3 = r ; i3 = r ; = 0.02r ; =30°; = 45° 4 2 µ = 0,3 ; s = 0,8 m; r = 0,2 m.
2
1 3 s C
Variant 12.
13 Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1 , mis libiseb alla karedal kaldpinnal kaldenurgaga ja hõõrdeteguriga , kaksikplokist 2 massiga m2 ja inertsiraadiusega i2 keskpunkti suhtes, plokist 3 massiga m3 ja kehast 4 massiga m4.. Kaksikplokile 2 mõjub jõupaar momendiga M = mgr. Leida ketta 3 keskpunkti C kiirus ja kiirendus hetkel, mil keha 1 on laskunud s võrra. Antud: m1 = 24m ; m2 = m ; m3 = 10m ; m4 = 4m ; r2 = 0,5 R2 = r ; i2 = 1,5r ; = 30 0 ; µ = 0,3 ; M = mgr ; s = 40 cm.
M
2
1 s
3
C
4
Variant 13.
14 Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1 , kaksikplokist 2 massiga m2 ja inertsiraadiusega i 2 , kaksikplokist 3 massiga m3 ja inertsiraadiusega i3 , ning rattast 4 massiga m4 , mis veereb kaldpinnal kaldenurgaga ja veerehõõrdeteguriga . Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil keha 1 on laskunud s võrra. Antud: m1 = 24m ; m2 = 3m ; m3 = 4m ; m4 = 4m ; = 45 0 ; = 0.1r ; r3 = 0,5 R3 = 0,5R2 = 0.5r4 = 0,7r2 = r ; i3 = 0,8i2 = 1,5r ; s = 40 cm.
3 2
C 1 4 s
Variant 14.
15 Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1 , plokist 2 massiga m2 ning vankrist, millel on korpus 3 massiga m3 ja kaks ratast 4 kumbki massiga m4. Vankri rattad veerevad horisontaalsel rööpal veerehõõrdeteguriga . Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil keha 1 on laskunud s võrra. Antud: m1 = 24m , m2 = m4 = m , m3 = 10m , r4 = 0,5r2 = r , = 0.1r , s = 40 cm.
3 4 4 2
1
s
Variant 15.
16 Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1 , kaksikplokist 2 massiga m2 ja inertsiraadiusega i 2 , kaksikplokist 3 massiga m3 ja inertsiraadiusega i3 ning rattast 4 massiga m4 , mis veereb kaldpinnal kaldenurgaga . Ratta 4 puhul arvestada ka veeretakistust , veeretakistustegur = 0,1r . Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil keha 1 on laskunud s võrra. Antud: m1 = 24m ; m2 = 3m ; m3 = 4m ; m4 = 4m ; r3 = 0,5 R3 = 0,5 R2 = 0,7 r2 = r ; r4 = 2r ; i3 = 0,8 i2 = 1,5r , = 45 0 , = 0,1r ; s = 40 cm.
3
4 2 C
1
s
Variant 16.
17 Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1 , liikumatust silindrist 5 raadiusega r5 , ühtlasest vardast 6 ehk OB massiga m6 , ning ühtlastest ketastest: ketas 2 massiga m2 ja raadiusega r2 , ketas 3 massiga m3 ja raadiusega r3 ning ketas 4 massiga m4 ja raadiusega r4 . Süsteem on alghetkel paigal, kusjuures varras OB on algasendis horisontaalne. Varras OB on keevitatud pöörleva ketta 2 külge. Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil keha 1 on laskunud s võrra. Antud: m1 = 24m , m2 = 2m , m3 = 2m , m4 = 2m , m6 = 3m , r2 = r3 = r , r4 = r5 = 2r , s = 4 cm, r = 12 cm. v1 = ? , a1 = ?
2 A 6 O B 3 5 4
1
s
Variant 17.
18 Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1, kaksikplokist 2 massiga m2 ning ühtlasest kettast 3 massiga m3. Kaksikploki 2 inertsiraadius tsentrit läbiva telje suhtes on i2 , ketaste raadiused on: suuremal R2 ja väiksemal r2 . Trumli 3 raadius r3 = r . Kehad 2 ja 3 on omavahel ühendatud kaalutu ja venimatu rihma abil, rihm ketaste suhtes ei libise. Keha 1 asetseb kaldpinnal kaldenurgaga ning hõõrde- teguriga . Süsteem on algul paigal, selle paneb liikuma trumlile 3 rakendatud moment M, mis on antud. Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil keha 1 on liikunud s võrra. Antud: m1 = 5m ; m2 = 2m ; m3 = m ; R2 = 4r ; r2 = r ; i2 = r 6 ; r3 = r ; µ = 0,3 ; =30°, ning moment M avaldub kujul M = 2mgr , s = 0,4 m.
2
3
M
1
Variant 18.
19 Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1, seest tühjast silindrist 2 massiga m2, ühtlasest kettast 3 massiga m3, ühtlasest vardast 4 ehk OA massiga m4 ja liikumatust silindrist 5. Keha 1 asub kaldpinnal kaldenurgaga ja hakkab mööda kaldpinda alla libisema, alghetkel oli süsteem paigal. Ketta 3 paneb mööda silindrit 5 veerema pöörlev silinder 2, ketas ja silindrid üksteise suhtes ei libise. Varras 4 oli alghetkel horisontaalne. Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil keha 1 on liikunud s võrra. Antud: m1 = 6m ; m2 = 2m ; m3 = 2m ; m4 = 3m ; r2 = 52 cm; r3 =16 cm; r5 = 20 cm; l = OA = 36 cm; i2 = r2 0,8 ; µ = 0,2320508 ; = 60° , s =0,18 m.
2
O 4 4 A 5 3
1
Variant 19.
20 Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1 , kaksikplokist 2 massiga m2 , ühtlasest kettast 3 massiga m3 , ja kehast 4 massiga m4 . Kaksikploki 2 väiksema ketta raadius on r2 , suurema ketta raadius R2 . Kaksikploki inertsiraadius tsentri suhtes on i 2 . Ketta 3 raadius on r3 . Keha 1 asub kaldpinnal kaldenurgaga ja ta hakkab liikuma mööda kaldpinda alla. Tema liikumisel arvestada ka libisemis-hõõret, hõõrdetegur on µ . Süsteem oli algul paigal. Nöörid ketaste suhtes ei libise. Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil keha 1 on liikunud s võrra. Antud: m1 = 4m ; m2 = 2m ; m3 = m ; m4 = 5m ; r2 = r ; r3 = r ; R2 = 3r ; i2 = 2r ; µ = 0,2 ; = 60° , s = 1 m.
2
1
C 3
4
Variant 20.
21 Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1 ; kaksikplokkidest 2 ja 3 ühesuguse massiga m2 = m3 , ning ühtlasest silindrist 4 massiga m4 . Kaksikplokkidel 2 ja 3 on ühesuguste raadiustega suuremad trumlid R2 = R3 ning väiksemad trumlid r2 = r3 . Nendel on ka ühesugused inertsiraadiused tsentri 5 suhtes i2 = i3 = r = 1,25r . Silindri 4 raadius on r4 ning mass m4 = 4m . Keha 1 asetseb kaldpinnal 4 kaldenurgaga ja hõõrdeteguriga . Ratas 4 veereb kaldpinnal kaldenurgaga ja veeretakistusteguriga . Süsteem oli algul paigal. Ratas 4 hakkab mööda kaldpinda alla veerema. Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil ta on läbinud teepikkuse s = 0,5 m. Antud: m1 = 3m ; r 5 m2 = m3 = 2m ; m4 = 4m ; R2 = R3 = 2r ; r2 = r3 = r ; = 4 ; i2 = i3 = r = 1,25r ; µ = 0,25 ; 8 4 = 45° ja = 30° .
3 2
4 C
1
Variant 21.
22 Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1 ; kaksikplokist 2 massiga m2 ; kehast 3, milleks on liugur koos selle külge keevitatud vardaga, selle keha mass on m3 ; ühtlasest kettast 4 massiga m4 ja raadiusega r4 ; ning ühtlasest vardast 5 ehk KL massiga m5 . Kaksikploki 2 inertsiraadius tsentri suhtes on i2 , trumlite raadiused on: suuremal R2 ja väiksemal r2 . Ketas 4 veereb horisontaalpinnal veeretakistusteguriga . Keha 1 liigub kaldpinnal kaldenurgaga ning hõõrdeteguriga . Varda 5 pikkus on l. Varras 5 on ühe liigendiga kinnitatud kaksikploki 2 külge, teise liigendiga liuguri külge. Süsteem on algul paigal, keha 1 hakkab mööda kaldpinda alla libisema. Joonisel on kujutatud süsteem liikumise alghetkel. Leida klotsi 1 kiirus hetkel, mil ta on läbinud teepikkuse s = 2r . Antud: m1 = 2m ; m2 = 4m ; m3 = m ; m4 = 4m ; m5 = 2m ; R2 = 2r ; r2 = r ; i2 = 1,5r ; l = KL = 4r r ; = 4 ; µ = 0,2 ; = 30° ; s = 2r ; r = 12 cm. 9
2 4 L 3 O C 5
K 1
Variant 22.
23 Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1, ühtlasest silindrist 2 massiga m2, ühtlasest silindrist 3 massiga m3, ühtlasest vardast 4 ehk OC massiga m4 ja liikumatust silindrist 5. Keha 1 asub kaldpinnal kaldenurgaga ja hakkab mööda kaldpinda alla libisema, alghetkel on süsteem paigal. Varras 4 on keevitatud silindri 2 külge, alghetkel on varras horisontaalne. Silindri 3 raadius on r3 . Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil keha 1 on liikunud s võrra. Antud: m1 = 9,5m ; m2 = 2m ; m3 = m ; r m4 = m ; r2 = r ; l = OC = 3r ; µ = 0,2 ; = 45°; s = ; r = 20 cm; g = 9,81 m/s2. 3
O 4 4 C
2 3 5
1
Variant 23.
24 Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1, ühtlasest kettast 2 massiga m2 , ühtlasest plokist 3 massiga m3 ja kehast 4 massiga m4 . Kehaks 4 on ratta (s.t. silindri) ja võlli jäik ühendus, sealjuures ratta raadius on R4 , võlli raadius on r4 . Nöör on mähitud rattale. Keha 4 inertsiraadius tsentrit D läbiva telje suhtes on i4 , veeretakistustegur keha 4 veeremisel kaldpinnal on (kapa), kaldpinna kaldenurk = 30° . Kettad 2 ja 3 on ühesuguste massidega m2 = m3 = m ja ühesuguste raadiustega r2 = r3 = r . Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil ta on läbinud teepikkuse s = 0,5 m. Süsteem on algul paigal, keha 1 hakkab liikuma allapoole. Antud: m1 = 3m ; m2 = m3 = m ; m4 = 6m ; r2 = r3 = r ; r r4 = r ; R4 = 3r ; i4 = 2r ; = ; =30°; s = 0,5 m; g = 9,81 m/s2. 10
3
4 D 2 C
1
Variant 24.
25 Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1 ; kaksikplokist 2 massiga m2 ; liugurist 3 massiga m3 ; ühtlasest silindrist 4 massiga m4 ja raadiusega r4 ; ühtlasest vardast 5 ehk KL massiga m5 ja kaalutust vardast 6. Kaksikploki 2 inertsiraadius tsentri suhtes on i2 , trumlite raadiused on: suuremal R2 ja väiksemal r2 . Silinder 4 veereb horisontaalpinnal veeretakistusteguriga . Varda 5 pikkus on l. Varras 5 on ühe liigendiga kinnitatud kaksikploki 2 külge, teise liigendiga liuguri 3 külge. Süsteem on algul paigal, keha 1 hakkab liikuma allapoole. Joonisel on kujutatud süsteem liikumise alghetkel. Leida keha 1 kiirus hetkel, mil ta on läbinud teepikkuse s =0,1 (m). Antud: m1 = 2m ; m2 = 4m ; 3 r m3 = m ; m4 = 10m ; m5 = m ; m6 = 0 ; R2 = 2r ; r2 = r ; i2 = 1,5r ; l = KL = 6r ; = 4 ; 4 20 s =0,1 (m); r = 20 cm.
2 3 4 O 5 6 C K L
1
Variant 25.
26 Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1 ; ühtlasest plokist 2 massiga m2 ja raadiusega r2 ; ühtlasest silindrist 3 massiga m3 ja raadiusega r3 ; ühtlasest plokist 4 massiga m4 ja raadiusega r4 ; kehast 5 massiga m5 . Kehaks 5 on ratta (silindri) ja võlli jäik ühendus, sealjuures ratta raadius on R5 , võlli raadius on r5 . Nöör on mähitud rattale. Keha 5 inertsiraadius tsentrit D läbiva telje suhtes on i5 , veeretakistustegur keha 5 veeremisel aluspinnal on 5 . Silinder 3 veereb kaldpinnal kaldenurgaga = 30° ja veeretakistusteguriga on 3 . Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil ta on läbinud teepikkuse s = 0,5 m. Süsteem on algul paigal, keha 1 hakkab liikuma allapoole. Antud: m1 = 4m ; 11 r r m2 = m ; m3 = 2m ; m4 = m ; m5 = 18m ; r5 = r ; R5 = 4r ; i5 = r ; 3 = 3 ; 5 = ; =30°; 4 10 10 s = 0,5 m; g = 9,81 m/s2; r2 ; r3 ; r4 .
5
2
D 3 4
C
1
Variant 26.
Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1; kehast 2 massiga m2 ; kaksikplokist 3 massiga m3 ning ühtlasest silindrist 4 massiga m4 ja raadiusega r4 . Kehaks 2 on ratta (s.t. silindri) ja võlli jäik
27 ühendus, sealjuures ratta raadius on R2 , võlli raadius on r2 . Keha 2 inertsiraadius tsentrit C läbiva telje suhtes on i2 , veeretakistustegur keha 2 veeremisel aluspinnal on 2 . Kaksikploki 3 suurema trumli raadius on R3 , väiksema trumli raadius on r3 , inertsiraadius tsentrit läbiva telje suhtes on i3 . Silinder 4 veereb kaldpinnal kaldenurgaga = 60° , veeretakistustegur silindri 4 veeremisel kaldpinnal on 4 . Keha 1 liikumisel arvestada ka libisemishõõret, hõõrdetegur µ = 0,2 . Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil ta on läbinud teepikkuse s = 0,5 m. Süsteem on algul paigal, silinder 4 veereb mööda kaldpinda allapoole. Antud: m1 = 11m ; m2 = m3 = 4m ; m4 = 2m ; R2 = R3 = 3r ; r r r2 = r3 = r ; i2 = i3 = 2r ; 2 = ; 4 = 4 ; µ = 0,2 ; = 60° ; r4 ; s = 0,5 m; g = 9,81 m/s2. 10 10
3
O 2 4 1 D C
Variant 27.
Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1; kaksikplokist 2 massiga m2 ; ühtlasest plokist 3 massiga m3 ja ühtlasest silindrist 4 massiga m4 . Kaksikploki 2 suurema trumli raadius on R2 , väiksema trumli raadius on r2 , keha 2 inertsiraadius tsentrit läbiva telje suhtes on i2 . Silinder 4 veereb kaldpinnal
28 kaldenurgaga =30° , veeretakistustegur silindri 4 veeremisel kaldpinnal on . Keha 3 raadius on r3 , silindri 4 raadius on r4 . Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil ta on läbinud teepikkuse s = 0,8 m. Süsteem on algul paigal, keha 1 liigub allapoole. Antud: m1 = 2m ; m2 = 6m ; m3 = 3m ; r4 3 m4 = 12m ; R2 = 3r ; r2 = r ; i2 = 2r ; = ; =30°; r3 ; r4 ; s = 0,8 m; g = 9,81 m/s2. 20
3
4 C 2 O
1
Variant 28.
Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1 ; kolmikplokist 2 massiga m2 ; ühtlasest silindrist 3 massiga m3 ja raadiusega r3 ; ühtlasest kettast 4 massiga m4 ja raadiusega r4 . Kolmikploki kõige suurema trumli raadius on R21 , keskmise trumli raadius on R22 ja kõige väiksema trumli raadius R23 . 5 Kolmikploki inertsiraadius tsentrit läbiva telje suhtes i2 = r . Silinder 3 veereb horisontaalsel 2
29 r3 aluspinnal, mille puhul veeretakistus on 3 = . Ketas 4 veereb kaldpinnal kaldenurgaga = 45°, 20 2 veeretakistustegur on seejuures 4 = r4 . Keha 1 liigub kaldpinnal kaldenurgaga =30°, 10 3 kusjuures tuleb arvestada ka libisemishõõret, hõõrdetegur µ = . Süsteem on algul paigal, ketas 4 10 hakkab mööda kaldpinda alla veerema. Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil ta on läbinud teepikkuse s = 0,6 m. Antud: m1 = 4m ; m2 = 4m ; m3 = 8m ; m4 = 2m ; R21 = 4r ; R22 = 3r ; R23 = r ; 5 r 2 3 i2 = r ; r3 ; r4 ; 3 = 3 ; 4 = r4 ; µ = ; = 45°; =30°; s = 0,6 m; 2 20 10 10 g = 9,81 m/s2.
2 3
D O 4
C 1
Variant 29.
Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1 ; kaksikplokist 2 massiga m2 ; kaksikplokist 3 massiga m3 ; ühtlasest silindrist 4 massiga m4 ja kaalutust plokist 5. Kaksikploki 2 suurema trumli raadius on R2 , väiksema trumli raadius r2 ja inertsiraadius tsentrit läbiva telje suhtes on i2 . Kaksikploki 3 suurema trumli raadius on R3 , väiksema trumli raadius r3 ja inertsiraadius tsentrit läbiva telje suhtes on i3 . Silinder 4 veereb kaldpinnal kaldenurgaga = 30° , veeretakistustegur on seejuures . Silindri raadius on r4 . Süsteem on algul paigal. Keha 1 hakkab liikuma allapoole.
30 Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil ta on läbinud teepikkuse s = 0,48 m. Antud: m1 = m ; 5 m2 = 2m ; m3 = 3m ; m4 = 18m ; m5 = 0 ; R2 = 2r ; r2 = r ; i2 = r ; R3 = 3r ; r3 = r ; i3 = 2r ; r4 4 r4 3 ; = ; = 30° ; s =0,48 m. Kas keha 1 üldse hakkab allapoole liikuma? 20
5
3 2
1
4 C
Variant 30.
Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1 ; kaksikplokist 2 massiga m2 ; kehast 3 massiga m3 ja kehast 4 massiga m4 . Kaksikploki 2 suurema trumli raadius on R2 , väiksema trumli raadius r2 ja inertsiraadius tsentrit läbiva telje suhtes on i2 . Kehaks 3 on ratta (s.t. silindri) ja võlli jäik ühendus, seejuures suure silindri raadius on R3 , võlli raadius r3 ja inertsiraadius tsentrit läbiva telje suhtes 3 on i3 . Keha 1 libiseb kaldpinnal kaldenurgaga = 30° , hõõrdetegur keha 1 libisemisel on µ = . 15
31 Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil ta on läbinud teepikkuse s = 0,6 m. Süsteem on algul paigal, keha 1 liigub mööda kaldpinda allapoole. Antud: m1 = 6m ; m2 = 2m ; m3 = 4m ; m4 = 12 m ; 5 R2 = 2r ; r2 = r ; i2 = r ; R3 = 3r ; r3 = r ; i3 = 2r ; µ = 3 ; = 30° ; s = 0,6 m. 4 15
2
1
C 3
4
Variant 31.
Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1; kaksikplokist 2 massiga m2 ; kehast 3 massiga m3 ning kehast 4 massiga m4 . Kehaks 3 on ratta (s.t. silindri) ja võlli jäik ühendus, sealjuures ratta raadius on R3 , võlli raadius on r3 . Keha 3 inertsiraadius tsentrit C läbiva telje suhtes on i3 . r Veeretakistustegur keha 3 veeremisel aluspinnal on = . Kaksikploki 2 suurema trumli raadius on 10 R2 , väiksema trumli raadius on r2 , inertsiraadius tsentrit läbiva telje suhtes on i2 . Keha 1 libiseb kaldpinnal kaldenurgaga = 30° , kusjuures arvestada tuleb ka libisemishõõret, hõõrdetegur
32 3 1 µ1 = . Keha 4 libiseb horisontaalsel aluspinnal, hõõrdetegur siin on µ4 = . Leida keha 1 kiirus 20 10 ja kiirendus hetkel, mil ta on läbinud teepikkuse s = 0,9 m. Süsteem on algul paigal, keha 1 libiseb mööda kaldpinda allapoole. Antud: m1 = 2m ; m2 = m3 = 3m ; m4 = 9m ; R2 = R3 = 3r ; r2 = r3 = r ; r 3 1 i 2 = i3 = 2 r ; = ; µ1 = ; µ4 = ; =30° ; s = 0,9 m; g = 9,81 m/s2. 10 20 10
4
3
C
1 2
Variant 32.
Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1; kaksikplokist 2 massiga m2 ; kaksikplokist 3 massiga m3 ning ühtlasest silindrist 4 massiga m4 . Silindri 4 raadius on r4 . Kaksikploki 2 suurema trumli raadius on R2 , väiksema trumli raadius on r2 , inertsiraadius tsentrit läbiva telje suhtes on i2 . Kaksikploki 3 suurema trumli raadius on R3 , väiksema trumli raadius on r3 , inertsiraadius tsentrit läbiva telje suhtes i3 . Keha 1 liigub kaldpinnal kaldenurgaga =30° , kusjuures arvestada tuleb ka 3 libisemishõõret, hõõrdetegur µ = . Süsteemi paneb liikuma kehale 1 rakendatud jõud F . See on 15 7 konstantne jõud, mille mooduli võib esitada kujul F = mg . Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, 3 mil ta on läbinud teepikkuse s = 0,4 m. Süsteem on algul paigal. Antud: m1 = m ; m2 = m3 = 3m ;
33 7 m4 = 24m ; r4 ; R2 = R3 = 3r ; r2 = r3 = r ; i2 = i3 = 2r ; µ = 3 ; = 30° ; F = mg ; s = 0,4 m; 15 3 g = 9,81 m/s2.
2 F
1
3
4 C
Variant 33.
Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1; ühesugustest kaksikplokkidest 2 ja 3 massidega m2 = m3 , ja kehast 4 massiga m4. Kaksikplokkide 2 ja 3 suurema trumli raadius on R2 = R3 = 2r , väiksema trumli 5 raadius r2 = r3 = r , inertsiraadius tsentrit läbiva telje suhtes on neil i2 = i3 = r . Kehad 2 ja 3 on 4 omavahel ühendatud kaalutu ja venimatu rihma abil, rihm ketaste suhtes ei libise. Kehaks 4 on ratta (silindri) ja võlli jäik ühendus, sealjuures ratta raadius on R4 , võlli raadius on r4 . Keha 4 inertsiraadius tsentrit C läbiva telje suhtes on i4 . Keha 4 veereb kaldpinnal kaldenurgaga =30° , 3 veeretakistustegur on seejuures = r . Süsteem on algul paigal, keha 1 hakkab liikuma allapoole. 20 Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil keha 1 on liikunud s võrra. Antud: m1 = 3m ;
34 5 5 m2 = m3 = 3m ; m4 = 3m ; R2 = R3 = 2r ; r2 = r3 = r ; i2 = i3 = r; R4 = 2 r ; r4 = r ; i4 = r; 4 4 =30°; = 3 r ; s = 0,62 m. 20
2 3
C 4
1
Variant 34.
Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1 ; kaksikplokist 2 massiga m2 ; ühtlasest silindrist 3 massiga m3 ja kergest kaalutust plokist 4. Kaksikploki 2 suurema trumli raadius on R2 , väiksema trumli raadius r2 ja inertsiraadius tsentrit läbiva telje suhtes on i2 . Silindri 3 raadius on r3 , veeretakistustegur on (kapa). Keha 1 libiseb kaldpinnal kaldenurgaga = 30° , hõõrdetegur keha 1 libisemisel on µ = 0,2 . Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil ta on läbinud teepikkuse s = 0,8 m. Süsteem on algul paigal, keha 1 liigub mööda kaldpinda allapoole. Antud: m1 = m ; m2 = 3m ; 3 m3 = 8m ; m4 = 0 ; R2 = 3r ; r2 = r ; i2 = 2r ; r3 ; = r3 ; µ = 0,2 ; = 30° ; s = 0,8 m. 32
35 2 4
1 3
C
Variant 35.
Süsteem koosneb ühtlasest trumlist 1 massiga m1 , mille mass on piirdel; kolmikplokist 2 massiga m2 ; ühtlasest silindrist 3 massiga m3 ja raadiusega r3 ; kehast 4 massiga m4 ; ning kaalutust plokist 5. Kolmikploki kõige suurema trumli raadius on R21 , keskmise trumli raadius on R22 ja 5 kõige väiksema trumli raadius R23 . Kolmikploki inertsiraadius tsentrit läbiva telje suhtes i2 = r . 2 r 3 Silinder 3 veereb kaldpinnal kaldenurgaga =30° , kusjuures veeretakistustegur on = 3 . 20 1 Keha 4 libiseb horisontaalsel aluspinnal, mille hõõrdetegur on µ = . Süsteem on algul paigal. Selle 6 paneb liikuma trumlile 1 rakendatud jõumoment M, mis on antud kujul M =11mgr . Leida trumli 1 nurkkiirus hetkel, mil tema liikuv raadius on parajasti teinud täisringi. Leida ka trumli 1
36 3 nurkkiirendus. Antud: m1 = 5m ; m2 = 16m ; m3 = 4m ; m4 = 8m ; m5 = 0 ; r1 = r ; R21 = 4r ; 2 5 1 R22 = 2r ; R23 = r ; i2 = r ; r3 ; = 3 r3 ; µ = ; =30° ; M =11mgr ; r = 0,25 m ; 2 20 6 g = 9,81 m/s2 ; trumli 1 liikuv raadius on teinud täisringi.
2
1
3 O
C M
5
4
Variant 36.
Süsteem koosneb ühtlasest silindrist 1 massiga m1 ja raadiusega r1 ; ühtlasest plokist 2 massiga m2 ja raadiusega r2 ; kehast 3 massiga m3 ; ühtlasest silindrist 4 massiga m4 ja raadiusega r4 . Kehaks 3 on ratta (s.t. silindri) ja võlli jäik ühendus, sealjuures ratta raadius on R3 = 3r , võlli raadius on r3 = r . Keha 3 inertsiraadius tsentrit D läbiva telje suhtes on i3 = 2r . Veeretakistustegur keha 3 r 3 veeremisel kaldpinnal on 3 = , kaldenurk = 30°. Silinder 1 veereb kaldpinnal kaldenurgaga 20 r1 = 60° , veeretakistustegur on 1 = . Silinder 4 veereb kaldpinnal kaldenurgaga = 30°, veere- 20 r4 3 takistustegur on 4 = . Leida silindri 1 keskpunkti C kiirus ja kiirendus hetkel, mil ta on 20 läbinud teepikkuse sC s = 0,5 m. Süsteem on algul paigal, silinder 1 hakkab veerema allapoole.
37 m r Antud: m1 = 6m ; m2 = ; m3 = 3m ; m4 = 3m ; r1 ; r2 ; r4 ; R3 = 3r ; r3 = r ; i3 = 2r ; 1 = 1 3 20 r 3 r 3 =30° = 60° s s = 0,5 ; 3 = ; 4 = 4 ; ; ; C m; g = 9,81 m/s2. 20 20
2
3
D
4 1 E C
Variant 37.
Süsteem koosneb ühtlasest trumlist 1, mille mass on piirdel, tema mass on m1; kehast 2 massiga m2 ; kaksikplokist 3 massiga m3 ; ning ühtlasest kettast 4 massiga m4 , mille raadius on r4 . Kaksikploki 3 inertsiraadius tsentrit läbiva telje suhtes on i3 = 2r , ketaste raadiused on: suuremal R3 = 3r ja väiksemal r3 = r . Trumli 1 raadius r1 = 2r . Keha 4 veereb kaldpinnal kaldenurgaga = 30° ning r4 3 1 veeretakistusteguriga = . Keha 2 libisemisel arvestada ka hõõrdumist, hõõrdetegur on µ = 20 5 . Süsteem on algul paigal, selle paneb liikuma trumlile 1 rakendatud moment M, mis on antud kujul M = 7,4 mgr . Leida trumli 1 nurkkiirus ja nurkkiirendus hetkel, mil trumli 1 liikuv raadius on teinud 2 täisringi. Antud: m1 = m ; m2 = 2m ; m3 = 3m ; m4 = 24m ; r1 = 2r ; R3 = 3r ; r3 = r ; i3 = 2r ; r4 3
38 1 r 3 =30° M = 7,4mgr r = 0,2 ; µ= ; = 4 ; ; ; m; trumlil 1 on mass piirdel ; vaadalda hetke, 5 20 mil trumli 1 liikuv raadius on teinud täisringi.
2 1 3 M
4 C
Variant 38.
Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1 , mis libiseb alla karedal kaldpinnal kaldenurgaga ja hõõrdeteguriga , plokist 2 massiga m2 , kaksikplokikujulisest rattast 3 massiga m3 ja inertsiraadiusega i3 keskpunkti C suhtes ning rattast 4 massiga m4. Rattad 3 ja 4 veerevad horisontaalsetel rööbastel, kusjuures vastavad veerehõõrdetegurid on 3 ja 4 . Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil keha 1 on laskunud s võrra. Antud: m1 = 24m , m2 = m , m3 = 10m , r2 = r3 = r4 = 0,5R3 = r , = 30 0 , µ = 0,3 , 3 = 4 = 0,1r , s = 40 cm.
39 3 4 C
2
1 s
Variant 39. 2 Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1 , plokist 2 massiga m2 ning vankrist, millel on korpus 3 massiga m3 ja kaks ratast 4 kumbki maasiga m4. Vankri rattad veerevad kaldpinnal kaldenurgaga , veeretakistustegur on mõlemal rattal . Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil keha 1 on laskunud s võrra. Antud: m1 = 24m , m2 = m4 = m , m3 = 10m , r4 = 0,5r2 = r , = 45 0 , = 0,01r , s = 40 cm. 1 3 4 s 4
40 Variant 40.
Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1 , kaksikplokist 2 massiga m2 ja inertsiraadiusega i 2 , kaksikplokist 3 massiga m3 ja inertsiraadiusega i3 ning rattast 4 massiga m4 , mis veereb kaldpinnal kaldenurgaga ja veeretakistusteguriga . . Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil keha 1 on laskunud s võrra. Antud: m1 = 24m , m2 = 3m , m3 = 4m , m4 = 4m r3 = 0,5R3 = 0,5R2 = r , r2 = 1.4r , r4 = 1.7 r , i3 = 0,8i2 = 1,5r , = 45 , = 0,01r , r = 20 cm, 0
s = 40 cm. .
41 3
4 2 C
1
s
Variant 41.
Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1 , kaksikplokist 2 massiga m2 ja inertsiraadiusega keskpunktisuhtes i 2 , plokist 3 massiga m3 ning kaksikplokikujulisest rattast 4 massiga m4 ja inertsiraadiusega i4 keskpunkti suhtes. Ratas 3 veereb kaldpinnal kaldenurgaga ja veeretakistusteguriga . . Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil keha 1 on laskunud s võrra. Antud: m1 = 24m , m2 = 3m , m3 = 4m , m4 = 4m r4 = 0,5R4 = 0,5 R2 = 0,7r2 = 0,6r3 = r , 0 = 0,02 r i4 = 0,8i2 = 1,5r , = 45 , , s = 40 cm.
2 4
1 C
s 42 Variant 42.
Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1 , mis libiseb alla karedal kaldpinnal kaldenurgaga ja 3 hõõrdeteguriga , plokist 2 massiga m2 , ploki ääre külge on jäigalt kinnitatud kuulike 3 massiga m3 ja rattast 4 massiga m4 . Alghetkel on kuulike 3, mille 2 loeme masspunktiks, kõige ülemises asendis. Ratas 4 veereb kaldpinnal kaldenurgaga ja veerehõõrdetegur on . Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil keha 1 on laskunud s võrra. Antud: m1 = 24m , m2 = 10m , m3 = m , m4 = 6m r2 = r3 = r , = 30 0 , = 45 0 , µ = 0,3 , r = 20 cm, s = 40 cm. 1 4 s C
43 Variant 43.
Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1 , mis libiseb alla karedal kaldpinnal kaldenurgaga ja hõõrdeteguriga , plokist 2 massiga m2 , ploki peale radiaalselt jäigalt kinnitatud ühtlasest vardast 3 pikkusega l ja massiga m3 ning rattast 4 massiga m4 . Alghetkel on varras 3 horisontaalne. Ratas 4 veereb kaldpinnal kaldenurgaga ja veerehõõrdetegur on . Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil keha 1 on laskunud s võrra. Antud: m1 2= 30m , m23= 10m , m3 = 3m , m4 = 8m r2 = r3 = r , l = 2r , = 30 0 , = 45 0 , µ = 0,3 , = 0,02r2 , r = 20 cm, s = 40 cm.
1 2 s 4 1 2 2 2
2
44 Variant 44.
Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1 , mis libiseb alla karedal kaldpinnal kaldenurgaga ja hõõrdeteguriga , plokist 2 massiga m2 , rattast 3 massiga m3 ning ratta peale radiaalselt jäigalt kinnitatud ühtlasest vardast 4 pikkusega l ja massiga m4 . Ratas 3 veereb kaldpinnal kaldenurgaga ja veerehõõrdetegur on . Leida keha 1 kiirus ja kiirendus hetkel, mil keha 1 on laskunud s võrra. Antud: m1 = 24m , m2 = 10m , m3 = m , m4 = 6m r2 = r3 = r , l = 2r , = 30 0 , = 45 0 , µ = 0,3 , = 0,02r , r = 20 cm, s = 40 cm. 2 2
1 2 s 3 4 1 3 2 2 2
2
45 Lühiülevaade teooriast.
I. Selle kodutöö ülesanded tuleb lahendada kineetilise energia teoreemi abil. See teoreem on järgmine: Süsteemi kineetilise energia muutus tema üleminekul ühest asendist teise on võrdne kõikide süsteemile mõjuvate välis- ja sisejõudude tööde summaga sellel liikumisel Tt -T0 = Wke + Wki k k (1) kus on T0 -- süsteemi kogu kineetiline energia alghetkel, Tt -- süsteemi kogu kineetiline energia vaadeldaval lõpphetkel t, Wke -- kõigi süsteemile mõjuvate välisjõudude tööde summa süsteemi liikumisel k algasendist lõppasendisse, Wki -- kõigi süsteemile mõjuvate sisejõudude tööde summa süsteemi liikumisel k algasendist lõppasendisse.
46 Seega üldjuhul tuleb kineetilise energia teoreemi kasutamise korral arvestada ka süsteemi sisejõudude poolt tehtud tööd. See asjaolu teeb kineetilise energia teoreemi kasutamise üldjuhul kaunis ebamugavaks. Õnneks lihtsustub see teoreem erijuhul, kui meil on tegemist nn. muutumatu süsteemiga. Muutumatuks süsteemiks nimetatakse sellist süsteemi, milles kõikide sisejõudude rakenduspunktide vahelised kaugused ei muutu kogu liikumise vältel. Muutumatuks süsteemiks on näiteks selline süsteem, kus kõik kehad on absoluutselt jäigad kehad, mis on omavahel ühendatud täiesti venimatute niitidega. Muutumatu süsteemi korral on kõikide sisejõudude poolt tehtud tööde summa null
Wki muutumatul = 0 k süsteemil Kuna selle kodutöö kõikide variantide puhul ongi tegemist muutumatute süsteemidega, siis kasutame kineetilise energia teoreemi siin kujul Tt -T0 = W ke k (2)
II. Millega võrdub keha kineetiline energia? Selle arvutamiseks kasutatakse Königi II teoreemi: Süsteemi (jäiga keha) kineetiline energia võrdub summaga masskeskme kineetilisest energiast, kui masskeskmesse koondada kogu süsteemi (keha) mass, ja süsteemi (jäiga keha) kineetilisest energiast tema relatiivsel liikumisel ümber masskeskme kui ümber paigaloleva punkti m v C2 T= + TCr (3) 2 Kõik praktilised arvutusvalemid igal konkreetsel erijuhul tulenevad sellest teoreemist. Selle kodutöö kõikides variantides võib kehadel esineda ainult järgmised kolm liikumist: a) translatoorne liikumine; b) pöörlemine ümber kinnistelje; c) tasapinnaline liikumine. Jäiga keha kineetilise energia nendel erijuhtudel arvutame järgmiste valemite abil: m v C2 1. Translatoorne liikumine: T= (4) 2 I z 2 2. Pöörlemine ümber kinnistelje: T= (5) 2 kus I z on keha inertsmoment pöörlemistelje z suhtes. m v C2 I Cz 2 3. Tasapinnaline liikumine: T= + (6) 2 2 kus inertsmoment tuleb arvutada masskest C läbiva ja vaadeldava tasapinnaga ristuva telje z suhtes. III. Jõu töö arvutamine üldjuhul on kaunis keeruline. Kui jõud on muutuv suurus nii suuruselt kui suunalt, ja tema rakenduspunkt läbib suvalise kõverjoonelise trajektoori, siis: Jõu töö lõplikul teekonnal on võrdne joonintegraaliga üle jõu rakenduspunkti poolt läbitud joone avaldisest P1 a) W = F dr P0 (7a) P1 b) W = F cos ds P0 (7b)
47 P1
c) W = ( F x dx + F y dy + Fz dz ) P0 (7c) Vaatame nüüd momendi tööd keha pöörlemisel ümber kinnistelje. Võtame pöörlemistelje z-teljeks. M z olgu moment z-telje suhtes, üldjuhul võib ta samuti olla muutuv suurus M z () . Selle töö arvutame valemi 1 W = M z () d (8) 0 abil. Õnneks pole siin kodutöös vaja nii keerulisi valemeid kasutada, sest siin on kõikides variantides tegemist konstantsete jõudude ja momentidega. Sel juhul lihtsustuvad need valemid tunduvalt, eriti juhul kui jõu rakenduspunkt läbib seejuures sirgjoonelise trajektoori. Sellest johtuvalt võib tuletada rida lihtsaid praktilisi valemeid konstantse jõu töö arvutamiseks juhul, kui jõu rakenduspunkt läbib sirgjoonelise trajektoori, jõu rakenduspunkti siirdevektori tähistame siin r . Siirdevektori mooduli tähistame r =s . Toome need valemid siin ära. 1. Suuruselt ja suunalt konstantse jõu rakenduspunkt liigub mööda sirgjoonelist trajektoori, mis on jõuga ühes sihis ja ühes suunas:
F r W = Fs (9.1) r =s
2. Suuruselt ja suunalt konstantse jõu rakenduspunkt liigub mööda sirgjoonelist trajektoori, mis on jõuga ühes sihis kuid vastassuunas :
r F W = -F s (9.2) r =s
3. Suuruselt ja suunalt konstantse jõu rakenduspunkt liigub mööda sirgjoonelist trajektoori, mis moodustab jõuga konstantse nurga :
F
W = F s cos r (9.3) r =s
4. Kaldpinnal oleva keha raskusjõu töö: a) kui keha liigub allapoole:
W = P s sin (9.4a) r r =s P 48 Lisame siia veidi selgitusi. Valemi (9.3) otsese rakendamise korral saaksime
W = F s cos
kuid kuna = 90° - , siis tulebki cos = cos( 90° - ) = sin r r =s b) kui keha P liigub ülespoole:
r r =s W = - P s sin (9.4b)
P
5. Horisontaalpinnal oleva keha hõõrdejõu töö:
r W = - Fh s (9.5a) Fh r =s
Tähistades hõõrdeteguri ja keha kaalu P, on siin Fh = µ N = µP seetõttu W = -µP s (9.5b)
6. Kaldpinnal oleva keha hõõrdejõu töö:
N Fh
W = - Fh s (9.6a)
r r =s P
Kuna siin Fh = µN = µPcos , siis W = -µP s cos (9.6b)
49 Olgu siinkohal selgituseks veel öeldud, et libisemis-hõõrdejõud on alati suunatud liikumisele vastassuunas ja tema töö on alati negatiivne.
7. Pöörlevale kehale rakendatud konstantse jõupaari momendi töö: a) kui moment mõjub pöörlemisega ühes ja samas suunas. Keha pöörleb nurga võrra ümber telje, mis on joonisega risti.
W = M (9.7a)
M b) kui moment mõjub pöörlemisega vastassuunas. Keha pöörleb nurga võrra ümber telje, mis on joonisega risti.
M W = -M (9.7b)
8. Veeretakistusmomendi töö: Olgu veeretakistusmoment M v , ratta raadius r, liikuva raadiuse poolt läbitud pöördenurk , veeretakistustegur (kapa). a) ratas veereb horisontaalpinnal:
N W = -M v (9.8a) C rc
rc = s c Mv P
sc Kuna M v = N , aga siin N = P , siis W = -P . Arvestades, et = , saame lõplikult r W =- P sc (9.8a1) r Veeretakistusmoment mõjub alati ratta pöörlemisele vastassuunas ja tema töö on alati negatiivne.
b) ratas veereb kaldpinnal:
50 N W = -M v (9.8b) C Kuna M v = N , aga siin N = P cos , siis M v = P cos
rc sc Arvestades veel, et = , saame Mv r P rc = s c W =- P cos sc (9.8b1) r
9. Mööda horisontaalset tasapinda liikuva (või veereva) keha raskusjõu töö:
a) b)
C rc r
P P
Kuna siin mõlemas on jõud risti siirdega , siis valemist (9.3) saame cos = cos 90° = 0 tõttu WP = 0 (9.9)
10. Aluspinna normaalreaktsiooni töö:
N a)
r Samal põhjusel on ka aluspinna normaal- reaktsiooni N töö alati null juhul, kui keha N liigub (või ratta puhul veereb) mööda pinda, sest b) ju ka siin cos = cos 90° = 0 . WN = 0 (9.10) C rc
11. Libisemis-hõõrdejõu Fh töö juhul, kui ratas veereb ilma libisemata:
Libisemis-hõõrdejõud Fh on ratta veeremise puhul alati olemas, sest just see võimaldabki rattal veereda ilma libisemata. Kuid selle töö on alati null. Muidugi
C rc 51 juhul, kui ratta veeremine toimub tõesti ilma libisemata! Fh W Fh = 0 (9.11) Cv Miks? Sellepärast, et libisemis-hõõrdejõud teeks tööd ainult libisemise korral! Siin on aga see libisemis-hõõrdejõud igal ajahetkel rakendatud kiiruste hetkelisse tsentrisse C v , mis on aga igal ajahetkel paigal. Jõud Fh on igal ajahetkel rakendatud paigalolevasse punkti ja seetõttu ongi tema töö null.
IV. Näiteülesanne. Süsteem koosneb kehast 1 massiga m1 = 8m ; ühtlasest kettast 2 massiga m2 = 2m ; kaksikplokkidest 3 ja 4 ühesuguse massiga m3 = m4 = 4m ; ühtlasest silindrist 5 massiga m5 , ning kaalututest plokkidest 6 ja 7. Kaksikplokkidel 3 ja 4 on ühesuguste raadiustega suuremad trumlid R3 = R4 ning 5 väiksemad trumlid r3 = r4 . Nendel on ka ühesugused inertsiraadiused tsentri suhtes i3 = i4 = r . 4 Silindri 5 raadius on r5 , mass m5 = 4m . Ketta 2 raadius r2 = r . Keha 1 liigub horisontaalpinnal hõõrdeteguriga µ = 0,25 . Silinder 5 veereb kaldpinnal kaldenurgaga ja veeretakistusteguriga . Süsteem on algul paigal. Süsteemi paneb liikuma kettale 2 rakendatud konstantne pöördemoment M, mis on antud kujul M = 6,2mgr . Leida ketta 2 nurkkiirus ja nurkkiirendus hetkel, mil tema liikuv raadius on parajasti teinud täisringi (alghetkega võrreldes). Antud: m1 = 8m ; m2 = 2m ; m3 = m4 = 4m ; m5 = 4m ; m6 = m7 = 0 ; r2 = r ; R3 = R4 = 2r ; 5 r 3 µ = 0,25 r3 = r4 = r ; i3 = i4 = r ; r5 ; = 5 ; ; M = 6,2mgr ; r = 0,2 m; = 30° ; 2 = 2 4 20 (rad).
4 3
2 O4 O3 O2 M
7 6
1 5
C
52 Joonis 4.1
Lahendus. Selle ülesande lahendame kineetilise energia teoreemi abil, mille lahendusvalem (1) omab kuju Tt -T0 = Wke + Wki k k kus T0 -- süsteemi kogu kineetiline energia alghetkel, Tt -- süsteemi kogu kineetiline energia vaadeldaval lõpphetkel t, Wke -- kõigi süsteemile mõjuvate välisjõudude tööde summa süsteemi liikumisel k algasendist lõppasendisse, Wki -- kõigi süsteemile mõjuvate sisejõudude tööde summa, mis võib ka null olla. k
Kõigepealt teemegi kindlaks, kas antud ülesandes tuleb arvestada sisejõudude tööd, või ei. Teooriast on teada, et juhul, kui on tegemist n.n. muutumatu süsteemiga, siis on süsteemi kõikide sisejõudude tööde summa null ja sel juhul sisejõudusid arvestada pole vaja. Ülesande teksti ja joonise uurimisel selgubki, et siin on tõesti tegemist muutumatu süsteemiga, kuna mõlemad vajalikud tingimused on täidetud: 1) kõik süsteemi kehad on absoluutselt jäigad, 2) kõik nöörid on venimatud (ja muidugi ei tõmbu nad ka kokku). Seetõttu on siin kõikide sisejõudude tööde summa null ja lahendusvõrrand on Tt - T0 = W ke k
Siin võib teha veel teisegi lihtsustuse: kuna kogu süsteem on algul paigal, siis on T0 = 0 ja seetõttu lõplikuks lahendusvõrrandiks on vC Tt = W ke (10.1) k
A. Leiame nüüd süsteemi kogu kineetilise energia Tt vaadeldaval lõpphetkel. Selleks tuleb teha joonis kiiruste jaotuse kohta. Selle tegemisel 4 tuleb arvestada, et kettad üksteise suhtes ei libise, samuti nöörid ketaste suhtes absoluutselt vK ei libise.3 Kogu vjaotus K koos kõigi vajalike nurkkiiruste ja kiirusvektoritega on toodud joonisel 4.2 (järgmisel leheküljel). Pilt tuleb kaunis kirju, püüame selles veidi selgust saada. v1 Alustame kettast 2, sest kogu süsteemi paneb liikuma2 just kettale 2 2 rakendatud konstantne pöördemoment M. LKetas E 2 hakkab Dpöörlema B paigalseisust K momendi M poolt osutatud suunas. Tähistame selle ketta nurkkiiruse lõpphetkel tähega A2 . See määrab ära ketta 2 äärepunkti K kiirus- vektori v K . Kuna ketas 2 ja kaksikplokkv3 teineteise suhtes absoluutselt ei libise, siis on sama kiirus M v K ka kaksikploki 3 vastaval punktil, 1mis kettaga 2 kokkupuutes on. Kuna aga v K on ka 4 kaksikploki 3 äärepunkti kiirusvektoriks, 3 siis ta määrab täielikult ära kaksikploki 3 vK horisontaaldiameetri punktide kiiruste jaotuse. Selleks tuleb tõmmata sirgjoon (kaldsirge) kiirusvektori v K otspunktist ketta 3 keskpunkti O3, seda sirget jätkame ka veel teisele poole punkti O3. Nüüd on 7 lihtne tõmmata punktide6 A, B ja D kiirusvektorid ­ kõik nende v1 kiirusvektorid peavad olema paralleelsed vektoriga v K ja lõppema täpselt äsjatõmmatud kaldjoone peal. 1 vC 5 5 C vD = vK = vK
53 v A = v B = v1
Joonis 4.2 Siinjuures on joonisel 4.2 tehtud nende punktide kiiruste tähistamisel juba mõningad lihtsustused, sest on selge, et: a) punktide D ja K kiirused on moodulilt võrdsed: v D = v K = v K , b) punktide A ja B kiirused on moodulilt võrdsed: v A = v B , c) punktide A ja B kiirused moodulilt võrduvad keha 1 kiiruse mooduliga v1, sest nöör kehade vahel ju ei veni, seega v A = v B = v 1 . Nüüd on käes punkti D kiirusvektor, mis on suunatud otse alla ja mille moodul on v K . Sama kiirus on ka kaksikploki 4 väiksema trumli vastaval äärepunktil, sest kaksikplokid 3 ja 4 teineteise suhtes ei libise. Siis aga määrab v D ära kaksikploki 4 horisontaaldiameetri punktide kiiruse jaotuse. Selleks tõmbame jälle vajaliku kaldsirge: kiirusvektori v D otspunktist keha 4 keskpunkti O4, ning pikendame seda sirget ka teisele poole. Nüüd on joonistada tõmmata punktide E ja L kiirusvektorid v E ja v L , mis peavad olema paralleelsed vektoriga v D ja lõppema täpselt kaldjoone peal. Siinjuures on d) punktide D ja E kiirused on moodulilt võrdsed: v D = v E = v K , e) punktide C ja L kiirused on moodulilt võrdsed: v L = vC = vC .
Joonistame veel pöörlevatele kehadele nurkkiiruse kaarnooled (tähelepanu: need ei ole nurkkiirusvektorid) ja joonis ongi valmis. Paneme nüüd kirja süsteemi kehade jaoks kineetilise energia üldavaldised vaadeldaval lõpphetkel. 1) Keha 1 liigub translatoorselt , seetõttu valemi (4) alusel m1 v 12 T1 = 2 tähistades tema kiiruse lihtsalt v 1 , mille moodul on v 1 . 2) Kehad 2, 3 ja 4 pöörlevad ümber kinnistelgede, mis läbivad vastavalt nende kehade keskpunkte ja on nendele kehadele tsentraalpeainertstelgedeks. Seetõttu valemi (5) alusel
54 I 22 2 I 3 3 2 I 4 4 2 T2 = , T3 = , T4 = 2 2 2 3) Kehadel 6 ja 7 on mass null ( m6 = m7 = 0 ), seetõttu T6 = T7 = 0 4) Keha 5 teostab tavalist tasapinnalist liikumist, veeredes ilma libisemata, seetõttu valemi (6) alusel m v 2 I 2 T5 = 5 C + C 5 2 2 Süsteemi kogu kineetiline energia vaadeldaval lõpphetkel on seega 2 2 2 mv 2 I 2 I I 2 mv I Tt = 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 C + C 5 (10.2) 2 2 2 2 2 2 Leiame nüüd kiirusparameetrite (s.t. kiiruste ja nurkkiiruste) vahelised seosed ja väljendame kõik nad mingi üheainsa kiirusparameetri kaudu. Selleks üheks parameetriks võib põhimõtteliselt võtta suvalise keha (punkti) kiiruse või suvalise nurkkiiruse, aga kuna küsitakse ploki 2 nurkkiirust, siis on kõige mugavam väljendada siiski kõik need suurused nurkkiiruse 2 kaudu. Alustame jällegi plokist 2. Kui tema nurkkiirus vaadeldaval lõpphetkel on 2 , siis ploki äärepunkti K kiirus on v K = 2 r2 = 2 r (10.3) Järgmisena vaatame kaksikplokki 3 ja paneme tähele, et kiirusvektorite v 1 ja v K põhjal on moodustunud sarnased täisnurksed kolmnurgad (joonis 4.3), mille täisnurgad asuvad tippude A ja K juures. Kirjutame nende sarnaste kolmnurkade põhjal välja võrdsete suhete rea. Sealjuures tuletame meelde, et teooria põhjal nurga 3 tangens on arvuliselt võrdne nurkkiirusega 3 , s.t. tan 3 = 3
3 vK
v1
D B O3 K 3 A
v1 3
vK
Joonis 4.3
Selle nurga 3 tangensi me kirjutamegi välja mõlema kolmnurga põhjal, saame v v v v 3 = K = 1 , ehk 3 = K = 1 O3 K O3 A R3 r3 Arvestades, et R3 = 2r , r3 = r , ja et v K = 2 r , saame v v r v 3 = K = 1 , ehk 3 = 2 = 1 2r r 2r r millest r 3 = 2 , v1 = 2 (10.4) 2 2 Nüüd sooritame samad operatsioonid kaksikplokiga 4. Joonise 4.4 põhjal kirjutame ka siin välja võrdsete suhete rea arvestades, et arvuliselt tan 4 = 4 .
55 vC
vK 4
E 4 O 4 D L
4 vK
Joonis 4.4 saame vK v v K vC 2 r v C 4 = = C , ehk 4 = = , ehk 4 = = EO4 LO4 r4 R4 r 2r millest 4 = 2 , v C = 22 r (10.5) Nüüd jääb üle veel leida silindri 5 nurkkiiruse avaldis , väljendades selle nurkkiiruse 2 kaudu. Kuna silinder 5 veereb ilma libisemata, siis v 2 2 r 5 = C , ehk 5 = (10.6) r5 r5 Kõik kiirused ja nurkkiirused ongi väljendatud nurkkiiruse 2 kaudu. Jääb üle veel kirja panna pöörlevate kehade inertsimomentide avaldised . Kehaks 2 on täiesti ühtlane plokk , seetõttu m 2 r2 2 m 2 r 2 I2 = = (10.7a) 2 2 Keha 5 on ühtlane silinder, seega tema inertsimoment tsentrit C läbiva telje suhtes on m r2 IC = 5 5 (10.7b) 2 Kaksikplokid 3 ja 4 on teksti põhjal täiesti ühesugused, sest m3 = m4 ; R3 = R4 ; r3 = r4 ; ja 5 i3 = i4 = r . Seetõttu 4 2 25 I 3 = I 4 = m 3 i3 = m3 r 2 (10.7c) 16 Asendame kõik leitud suurused süsteemi kineetilise energia avaldisse (10.2) 2 2 2 2 2 2 2 m1 2 r 2 m2 r 2 2 25m3 r 2 2 25m4 r 2 2 m5 r5 4 2 r 2 m5 4 2 r 2 Tt = + + + + + 2 4 2 2 16 2 4 16 2 2 2 r5 2 2 millest
56 2 2 r 2 m1 m2 25m3 25m4 Tt = + + + + 2m5 + 4m5 2 4 2 16 4 16 Asendedes siia m1 = 8m , m2 = 2m , m3 = 4m , m4 = 4m ja m5 = 4m , saame m 2 2 r 2 25 100 Tt = 2 + 1 + + + 8 + 16 2 16 16 millest 557 Tt = m 2 2 r 2 (10.8) 32
B. Arvutame nüüd kõikide süsteemis mõjuvate välisjõudude tööde summa süsteemi liikumisel algasendist lõppasendisse. Selle liikumise määrab ära ploki 2 liikuva raadiuse poolt läbitud pöördenurk 2 , mis on ette antud. Jõudude töö arvutamiseks teeme joonise, kus on ära näidatud süsteemis mõjuvad välisjõud (ja ­ momendid ), ning vajalikud siirded ja pöördenurgad.
4 3 Y2 Y4 Y3 2 X4 X3 2 X2
4 3 M
P2 P4 P3 N1 7 6 s1 N5 1 H1 s 5
5 C P1
Mv H5
P5
Joonis 4.5
57 Plokile 2 rakendatud moment M teeb tööd pöördenurgal 2 , kusjuures valemi (9.7a) alusel W = M 2 (10.9a) M Ploki 2 tsentrisse rakendatud jõud X 2 , Y2 ja P2 tööd ei tee, kuna nende jõudude rakenduspunkt absoluutselt ei liigu. Kehale 1 on rakendatud raskusjõud P1 , aluspinna normaalreaktsioon N 1 ja libisemishõõrdejõud H 1 . Nendest tööd ei tee raskusjõud P1 ja aluspinna normaalreaktsioon N 1 , sest nende jõudude rakenduspunkti siire on vastavate jõududega risti, ning valemist (9.3) tulenevalt on W = 0 , kui = 90°. Tööd teeb ainult hõõrdejõud H 1 ning valemi (9.5a) alusel WH1 = -H1 s1 (10.9b) Kaksikploki 3 tsentrisse rakendatud jõud X 3 , Y3 ja P3 tööd ei tee, kuna nende jõudude rakenduspunkt ei liigu. Ka kaksikploki 4 tsentrisse rakendatud jõud X 4 , Y4 ja P4 samuti tööd ei tee, kuna ka nende jõudude rakenduspunkt ei liigu. Plokid 6 ja 7 on hoopis kaalutud, nende raskus on null. Vastavate liigendite reaktsioonid on nende tsentrites küll nullist erinevad, aga ka need tööd ei tee, kuna ka nende jõudude rakenduspunktid ei liigu. Jääb üle veel uurida tööde seisukohalt silindrit 5. Sellele mõjuvad raskusjõud P5 , kaldpinna normaalreaktsioon N 5 , libisemishõõrdejõud H 5 ja veeretakistusmoment M v . Nendest aluspinna normaalreaktsioon N 5 tööd ei tee, kuna keha liigub (veereb) mööda aluspinda . Ka libisemis- hõõrdejõud H 5 ei tee tööd, kuna silindri veeremine toimub ilma libisemata. Tööd teeb raskusjõud, valemi (9.4b) põhjal W P5 = -P5 s c sin = -m5 g s c sin 30° (10.9c) Tööd teeb samuti veeretakistusmoment M v , valemi (9.8b) alusel WM v = -M v 5 (10.9d) Kokkuvõttes saame kogutööks valemite (10.9*) alusel W ke = M 2 - H 1 s1 - m 5 g s c sin 30° - M v 5 (10.10) k Siinjuures hõõrdejõud H 1 väärtus on H 1 = µ N1 = µm1 g veeretakistusmoment Mv on M v = N 5 = m5 g cos = m5 g cos 30° ning plokile 2 rakendatud moment M on vastavalt ülesande tekstile M = 6,2mgr Asendades need tööde avaldisse (10.10) saame Wke = 6,2mgr 2 - µm1 g s1 - m5 g sc sin 30° - m5 g cos 30° 5 (10.11) k Nüüd tuleb avaldada suurused s1 , s c ja 5 pöördenurga 2 kaudu. a) Kuna (10.5) alusel v c = 22 r , siis järelikult sc = 22 r (10.12a) (Tõepoolest: võttes siin mõlemast poolest tuletise, saame s c = 2 2 r , mis aga ongi tõesti v c = 22 r ). 2 r b) Kuna (10.4) alusel v1 = , siis järelikult 2 r s1 = 2 (10.12b) 2
58 2 2 r c) Kuna (10.6) alusel 5 = , siis järelikult r5 2 r 5 = 2 (10.12c) r5 Asendades avaldised (10.12*) tööde valemisse (10.11), saame 2 r 1 3 22 r Wke = 6,2mgr 2 - µm1 g 2 - m5 g 22 r - m5 g 2 2 r5 k Siit µm1 m5 3 Wke = gr 2 6,2m - 2 - m5 - r5 k 1 r 3 3 Asendame siia µ = , ja = 5 ehk = 4 20 r5 20 m1 3 m5 3 m1 3m Wke = gr2 6,2m -8 - m5 - 20 = gr2 6,2m - 8 - m5 - 5 20 k Lõpuks asendame veel massid m1 = 8m ja m5 = 4m , siis 8m 3 4m Wke = gr2 6,2m - - 4m - = mgr2C. Nüüd kineetilise energia teoreemi alusel on Tt = Wke k mis (10.8) ja (10.13) kaasabil annab 557 m2 2 r 2 = 0,6 mgr 2 32 Siit 32 0,6 g 2 2 = 2 557 r ning kuna g = 9,81 (m / s 2 ) ja r = 0,2 m, siis 32 0,6 9,81 2 2 = 2 , 557 0,2 ehk 2 2 = 1,69077 2 (10.14) 1) Selle alusel on kerge leida nurkkiirenduse 2 . Võttes võrrandi (10.14) mõlemast poolset tuletise aja järgi, saame 2 2 2 = 1,69077 2 Kuna 2 = 2 ja 2 = 2 , siis järelikult 22 2 = 1,69077 2 millest 1 2 = 1,690077 (rad/s2), ehk 2 0,8454 (rad/s2) (10.15) 2 2) Jääb üle leida veel ploki 2 nurkkiiruse väärtuse hetkel, mil tema liikuv raadius on teinud täpselt täisringi. Seega tuleb leida 2 hetkel, kui 2 = 2 . Avaldisest (10.14) saame 2 2 = 1,69077 2 = 10,62343 millest 2 = 3,2594 3,26 (rad/s) (10.16)
59 60