DÜNAAMIKA (0)

KOOLIFÜÜSIKA: MEHAANIKA2 (kaugõppele)
2. DÜNAAMIKA
2.1 Newtoni seadused.
Newtoni seadused on klassikalise  mehaanika  põhialuseks. Neist lähtuvalt saab
kehale mõjuvate jõudude kaudu arvutada keha liikumise.
Newtoni I seadus
Iga vaba keha on kas paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt.
Vaba keha all mõistame keha, millele ühtegi jõudu ei mõju või millele mõjuvad
jõud tasakaalustavad üksteist. Newtoni I seadus tähendab, et me vaatame keha
liikumist inertsiaalsest taustsüsteemist.  Rangelt  võttes on inertsiaalsüsteemiks
mistahes kinnistähega seotud taustsüsteem, paljudel juhtudel võime ka
maapinnaga seotud taustsüsteemi lugeda inertsiaalsüsteemiks. Iga
inertsiaalsüsteemi suhtes ühtlaselt liikuv taustsüsteem on samuti
inertsiaalsüsteem. 
Newtoni II seadus
Kehale mõjuv jõud määrab keha kiirenduse. Valemina
r
r
F =
a
m  ,
kus m on vaadeldava keha mass.
Juhul kui kehale mõjub samaaegselt mitu erinevat jõudu, määrab keha kiirenduse
kehale mõjuv kogujõud. Nüüd on Newtoni II seadus kujul
r
r
F =
a
m  ,
k
r
kus kehale mõjuv kogujõud  F  on võrdne kõikide kehale mõjuvate jõudude
k
vektorsummaga
r
r
r
r
F = F + F + L + F  .
k
1
2
n
1
Newtoni II seadust nimetatakse ka dünaamika, täpsemalt küll klassikalise
mehaanika põhiseaduseks, sest see võimaldab kehale mõjuvate jõudude kaudu
leida tema liikumise. Keha trajektoori leidmiseks peame lisaks kehale mõjuvatele
jõududele teadma veel algtingimusi – keha  asukohta  ja kiirust mingil ajahetkel.
Newtoni III seadus
Newtoni III seadus kahe keha jaoks
r
r
F = −F  ,
12
21
r
r
kus  F  on esimese keha poolt teisele kehale mõjuv jõud ja  F  vastavalt teise
12
21
keha poolt esimesele kehale mõjuv jõud. Mitme keha korral kehtib analoogiline
seos mistahes kahe keha jaoks.
Newtoni III seadust nimetatakse ka mõju ja vastasmõju seaduseks.
Näidisülesanne 1. Leida jõud, mis on vajalik kehale massiga 400 g kiirenduse 1,2 m/s2
andmiseks .
Lahendus.
Antud:
Teeme illustreeriva joonise.
m = 400 g = 0,4 kg
a = 1,2 m/s2
F = ?
Lähtume Newtoni II seadusest
F = m a  ,
mis võimaldab keha massi ja kiirenduse kaudu arvutada kehale mõjuva jõu.
Asendades massi ja kiirenduse väärtused, saame
F = ( ,
0 4 ⋅ ,
1 2 ) N = ,
0 48
N  .
Vastus: kehale massiga 400 g kiirenduse 1,2 
2
m / s  andmiseks on vaja jõudu 0,48 N.
NB! Siin ülesandes oli tegemist Newtoni II seaduse lihtsaima rakendusega. Keha kiirendus
on alati kehale mõjuva jõu  suunaline . Viimane järeldub Newtoni teise seaduse vektorkujust
r
r
F = m a . Kuna sama seos kehtib ka jõu ja kiirenduse väärtuste jaoks: F = ma, siis me
ülesande lahendamisel lähtusime Newtoni II seaduse skalaarkujust.
2
Näidisülesanne 2. Kehale massiga 5 kg mõjub jõud 30 N. Leida keha kiirendus.
Lahendus.
Teeme selgitava joonise
Antud:
m = 5 kg
F = 30 N
Lahenduses lähtume
Newtoni II seadusest
a = ?
F = m a  ,
millest kiirendus avaldub järgmiselt
F
a =
 .
m
Asendades andmed, saame
30
a = (
) m/s2 = 6 m/s2.
5
Vastus: keha kiirendus on 6 m/s2 (suunatud kehale mõjuva jõu suunas).
Näidisülesanne 3. Kehale massiga 500 g, mis liigub kiirusega 3 m/s, hakkab mõjuma
konstantne  liikumissihiline jõud 2 N. Leida keha kiirus ja tema poolt läbitud  teepikkus  5
sekundi pärast peale jõu mõjumise algust.
Lahendus.
Teema selgitava joonise.
Antud:
m = 500 g = 0,5 kg
v0  = 3 m/s
F = 2 N
t = 5 s
v = ?
s = ?
Kuna kehale mõjub liikumissihiline jõud, siis jätkab  keha liikumist samas suunas. Hetke, mil
kehale   hakkab   mõjuma   jõud,   võtame   alghetkeks   ja   sellest   hetkest   hakkame   lugema   aega.
Konstantse jõu mõjul hakkab keha liikuma ühtlaselt kiirenevalt, mistõttu keha liikumise (kiiruse ja
läbitud teepikkuse) arvutamiseks kasutame ühtlaselt muutuva liikumise valemeid
2
a t
v = v + a t
s = v t +
 .
0
0
2
Arvutusteks vajamineva kiirenduse aga leiame Newtoni II seadusest
3
F
F = m a
⇒
a =
 .
m
Asendades siit kiirenduse, saame
F t
F t 2
v = v +
s = v t +
0
 ,
m
0
2 m
mis peale andmete asendamist ja lihtsaid  arvutusi  annab
2 ⋅ 5
2 ⋅ 52
v = (3 +
)  m/s = 23 m/s,
s = (3 ⋅ 5 +
) m = 65 m .
5
0
2 ⋅ 5
0
Vastus: 5 sekundit peale jõu mõjumise algust on keha kiirus 23 m/s ja keha on läbinud 65 m.
Antud ülesanne on näiteks selle kohta, et  kiirendusega  liikumisel mõjub kehale mingi jõud ja see
jõud  annabki  kehale kiirenduse.
2.2  Kehadele  mõjuvaid jõudusid
Mehaanikas  on peamisteks jõududeks raskusjõud, elastsusjõud ja hõõrdejõud.
Raskusjõud
P = m g  ,
kus g on  raskuskiirendus  ja m on vaadeldava keha
mass. Maa pinnal on raskusjõud tingitud peamiselt Maa
ja keha vahelisest gravitatsioonijõust.
Elastsusjõud
F = − k x  ,
kus k on jäikus, x deformatsiooni suurus
ja märk näitab seda, et elastsusjõud on
alati deformatsiooniga vastassuunaline (suunatud tasakaaluasendi x = 0 poole).
Hõõrdejõud
Ühe keha libisemisel teise keha pinnal mõjub kehale liikumissuunale  vastupidine
hõõrdejõud
4
F = µ F
h
N  ,
kus µ on hõõrdetegur (liughõõrdetegur), mille väärtus sõltub kokkupuutuvatest
pindadest ja  FN  on libiseva keha kokkupuutepinnaga risti olev jõukomponent
(jõu normaalkomponent). Tavaliselt me eeldame, et kokkupuutuvad pinnad on
piisavalt siledad ja kokkupuutepind on tasapinnaline.
Lisaks liughõõrdele räägitakse ka seisuhõõrdejõust. Juhul kui keha on teise keha
pinnal paigal ja me püüame teda välise jõu toimel liikuma panna, siis väikese jõu
korral keha tavaliselt liikuma ei hakka, seda takistab pindade vaheline
hõõrdejõud, nn seisuhõõrdejõud. Maksimaalset seisuhõõrdejõudu
iseloomustatakse analoogilise valemiga  F = µ F
µ
m
s
N , kus suurust 
s  nimetatakse
seisuhõõrdeteguriks.  Samade  pindade korral on seisuhõõrdetegur alati suurem
liughõõrdetegurist.
Kesktõmbejõud
Ringjoonelisel  liikumisel mõjub ringi tsentrisse suunatud kesktõmbejõud
v 2
F = m
 ,
r
kus v  joonkiirus  ja r ringi raadius. Kiirendust  a
v2
/ r  nimetatakse
kesktõmbekiirenduseks.
Kesktõmbejõud ei kujuta endast eraldi jõuliiki, vaid annab jõu, mida tuleb
rakendada  ringjoont   (või ringjoone kaart) mööda liikuvale kehale, et see saaks
püsida ringjoonelisel trajektooril. Auto liikumisel teekurvis tekitab selle rehvide
ja tee vaheline seisuhõõrdejõud.
Näidisülesanne 4. Kui suur on inimesele massiga 70 kg mõjuv raskusjõud Maa pinnal?
Lahendus.
Antud:
Kehale mõjuv raskusjõud avaldub valemiga
m= 70 kg
g = 9,8 m/s2
P = m g  .
P = ?
Arvutamine annab tulemuseks
P = ( 70 ⋅ 8
9 )  N = 690 N.
Vastus: kehale massiga 70 kg mõjub raskusjõud 690 N.
5
Näidisülesanne 5. Vedru venitamiseks 6 cm võrra tuleb rakendada jõudu 48 N. Kui suur on
sellise vedru jäikus? Kui suurt jõudu on vaja vedru venitamiseks 4 cm võrra?
Lahendus.
Antud:
Vedru venitamisel mõjub  vedrus  välisele jõule vastassuunaline
x1 = 6 cm = 0,06 m
elastsusjõud
F1 = 48 N
x2 = 4 cm = 0,04 m
F = − k x  ,
k = ?
F2 = ?
kus  k  on vedru jäikus ja  x  deformatsiooni suurus.  Miinusmärk näitab
elastsusjõu suunda.
Kuna deformatsiooni suurus ja jõud on antud, saame leida vedru jäikuse
F1
F = k x
→
k =
1
1
 
x1
(miinusmärgi võime arvutamisel ära jätta, sest see on seotud ainult jõu suunaga).
Arvutamine annab tulemuseks
48
k = (
)  N/m = 800 N/m .
0 06
Jõu vedru venitamiseks 4 cm võrra saame, kasutades äsja leitud jäikuse  avaldist , arvutada
valemist
F = k x = (800 ⋅ ,
0 04 )  N = 32 N .
2
2
(Teine võimalus on lähtuda jõudude  suhtest  F2/F1 = x2/x1.)
Vastus: vedru jäikus on 800 N/m, vedru venitamiseks 4 cm võrra on vaja jõudu 32 N.
Näidisülesanne 6. Auto  pidurdusteekond  kiiruselt 90 km/h on asfaldil 36 m. Kui suur on
autole   pidurdamisel  mõjuv jõud? Auto mass koos  juhiga  on  1400  kg.
Lahendus.
Antud:
Teeme joonise.
v =
0
 90 km/h = 25 m/s
s = 36 m
m= 1400 kg
F = ?
6
Autole pidurdamisel mõjuva jõu saame arvutada Newtoni II seadusest
F = m a  .
Eeldades,   et   auto   pidurdamisel   on   liikumine   ühtlaselt    aeglustuv ,   tuleb   meil   arvutada   auto
pidurduskiirendus, teades algkiirust ja pidurdusteekonda. Lähtudes ühtlaselt aeglustuva liikumise
valemitest, võime kirjutada
v 2
a
0
     (= 8,7 m/s2) ,
2 s
mis peale asendamist annab jõu arvutamiseks valemi
m v 2
F
0
 .
2 s
Asendades  algandmed , saame jõu väärtuseks
1400 ⋅ 252
F = (
)  N = 12200 N = 12,2 kN.
2 ⋅ 36
Vastus: autole pidurdamisel mõjuv jõud on 12,2 kN. Nagu näha, on pidurdamisel mõjuv jõud
küllalt suur. See on tingitud asjaolust, et tänapäeva autodel on väga hea  pidurid , mis tagavad
suure pidurduskiirenduse (antud juhul a = 8,7 m/s2).
Kommentaar: ABS pidurid. Kõik tänapäeva autod varustatakse blokeerumisvastaste, nn ABS
piduritega, mis tagavad vajadusel autode  pidurdamise  auto rehvide ja tee seisuhõõrde  piiril . Sel
juhul on maksimaalne jõud, millega autot saab pidurdada  F = µ F
µ
m
s
N , kus 
s  on auto rehvide
ja tee seisuhõõrdetegur. Horisontaalsel teel sõites  F = P = mg
N
, mis annab auto
maksimaalseks pidurduskiirenduseks a =  µ
F =
F = µ
s g (ühelt poolt 
ma
m
,  teiselt  poolt 
mg
m
s
Kui näiteks heade teeolude korral on rehvide (eeldame, et ka  rehvid  on head) ja  asfaldi
vaheline seisuhõõrdetegur  µs =0,9, siis saame maksimaalseks pidurduskiirenduseks 8,8 m/s2.
Milles on ABS pidurite eelis? Eelis on selles, et nad vajadusel (järsul pidurdamisel) tagavad
maksimaalse pidurduskiirenduse ja väldivad rataste blokeerumist. Juhul kui järsul pidurdamisel
rattad  blokeeruks ja auto  hakkaks  teel „lohisema”, siis pidurduskiirendus oluliselt väheneb ja
pidurdusteekond pikeneb. Põhjus on selles, et „lohisemisel” määrab pidurduskiirenduse
liugehõõrdejõud  h
F = µ N
F , liugehõõrdetegur on aga alati seisuhõõrdetegurist oluliselt
väiksem. Juhul kui horisontaalsel teel sõites on seisuhõõrdetegur  µs =0,9, siis vastav
liugehõõrdetegur on µ = 0,8, mis teeb pidurduskiirenduseks 7,8 m/s2. Eriti kardinaalne vahe on
jäisel pinnal sõitmisel, kus hõõrdetegurid on vastavalt  µs =0,2 ja µ = 0,1. Nüüd erinevad
pidurduskiirendused kaks korda, mis tähendab, et pidurdusteekond pikeneb bokeerunud rataste
korral kaks korda.
7
Näidisülesanne 7. Kui suur on 50 cm pikkuse nööri otsas horisontaaltasandis tiirlevale
kuulikesele mõjuv kesktõmbejõud, kui kuulikese mass on 50 g ja  kuulike  teeb täistiiru 1
sekundiga ? 
Lahendus.
Teeme joonise, mis kujutab
Antud:
kuulikese tiirlemist nööri otsas..
m = 50 g = 0,05 kg
r = 50 cm = 0,50 m
T = 1 s
F = ?
Kuulikesele mõjuv kesktõmbejõud arvutatakse valemiga
v 2
F = m
 .
r
Mass ja raadius on antud, puudu on kuulikese joonkiirus. Selle saame lihtsalt arvutada, kuna
kuulike teeb ühe täistiiru aja T jooksul (seda nimetatakse ka kuulikese tiirlemisperioodiks) ja
selle  ajaga  läbitud teepikkus on võrdne ringjoone pikkusega  s = 2π r . Kuulikese joonkiirus
2π r
v =
 .
T
Asendades kiiruse, saame kesktõmbejõu arvutamiseks valemi
2
m 4π r
F =
 .
2
T
Arvutamine annab tulemuseks
0 05 ⋅ 4
2
⋅ π ⋅
5
0
F = (
)  N = 1 N
12
Vastus: kuulikesele mõjuv kesktõmbejõud on 1 N. Selle tekitab kuulikese tiirlemisel kuulikest
hoidva niidi tõmme.
Näidisülesanne 8.  Horisontaalse  pöörleva  ketta  äärel on klotsike. Kui suur peaks olema
klotsikese kiirus, et ta  kettalt  maha libiseks, kui ketta raadius on 50 cm ja seisuhõõrdetegur
ketta ning  klotsi  vahel on 0,5? Kui suur on sel juhul ketta pöörlemissagedus?
Lahendus.
Antud:
Teeme joonise.
r = 50 cm = 0,50 m
µs = 0,5
g = 9,8 m/s 2
v = ?
f = ?
8
Vaatame juhtu kui klotsike on ketta äärel ja pöörleb koos kettaga. Kui ketta äärepunkti kiirus
(nn joonkiirus) on v, on selle kesktõmbekiirendus (suunaga ketta  keskpunkti )
v 2
a =
 .
r
Kuna ketta äärel olev klotsike liigub sama kiirusega, peab vastavalt Newtoni II seadusele
mõjuma klotsikesele ketta keskpunkti suunatud kesktõmbejõud
mv2
F= ma =
 .
r
Kust selline jõud tekib? Ainuke jõud, mis klotsikese liikumist saab mõjutada, on antud juhul
ketta ja klotsikese vaheline hõõrdejõud, mille maksimaalne väärtus on
F = µ P = µ m g
h
s
s
 .
Järelikult sõltub klotsikese püsimine kettal hõõrdejõu  suurusest . Juhul kui kesktõmbejõud on
väiksem või võrdne maksimaalse seisuhõõrdejõuga, saab klotsike püsida kettal
F ≤ h
F  ,
kui aga kesktõmbejõud on hõõrdejõust suurem  (F >
h
F
, ei saa klotsike enam kettal püsida.
Leiame klotsikese piirkiiruse, millest suurematel kiirustel libiseb klotsike kettalt maha. See
vastab jõudude võrdsusele  F = Fh , mis  pikemalt  välja kirjutades annab
mv2
v2
= µ mg
ehk
= µ g  .
r
s
r
s
Siit avaldub kiirus järgmiselt
v =
rµ g  .
s
Arvutamine annab kiiruseks
v = (
5
0 0 ⋅ 5
0 ⋅ 8
9 )  m/s = 1,6 m/s .
Leiame sellele  kiirusele  vastava ketta pöörlemissageduse. Kui klotsike on veel ketta äärel, on
äärepunkti joonkiirus samuti v. Ühe täistiiru tegemiseks kuluv aeg ehk pöörlemisperiood T
arvutatakse järgmiselt: äärepunkt läbib ühe täitiiru jooksul teepikkuse s = 2 π r, seega
2π r
T =
 .
v
Pöörlemissagedus on võrdne pöörlemisperioodi pöördväärtusega
9
1
v
f =
 .
T
2π r
Arvutamine annab pöörlemissageduseks
1 6
f = (
)  p/s = 0,5 p/s .
2 ⋅ π ⋅ 5
0
Vastus: klotsike ei saa enam kettal püsida kui tema joonkiirus on suurem kui 1,6 m/s, st ketta
pöörlemissagedus on suurem kui 0,5 pööret sekundis.
2.3 Newtoni seaduste lihtsamaid rakendusi
Selleks, et  illustreerida  Newtoni II seaduse lihtsamaid rakendusi, vaatame
mõningaid huvipakkuvaid erijuhte.
Vaba  langemine
Vabaks  lastud  keha liikumine. Maa pinna lähedal vabaks
lastud keha langeb vabalt raskuskiirendusega g. See asjaolu
järeldub sellest, et kehale mõjub peale lahtilaskmist Maa
keskmesse suunatud raskusjõud
r
r
P = m g  .
r
r
Võrreldes seda Newtoni II seadusega  F = a
m  ja arvestades, et
r
r
antud juhul  F = P , saamegi tulemuseks
r
r
a = g  ,
mis tähendab, et keha kiirendus on võrdne raskuskiirendusega (ja suunatud alati
vertikaalselt alla).
Kui keha langeb kõrguselt h, on kõrgus ja langemise aeg t seotud vastavalt
ühtlaselt muutuva liikumise valemite järgi järgmiselt (kehal  algkiirus  puudus)
2
g t
h =
 ,
2
maapinnale langemisel on keha kiirus
10
v = g t  .
(vaata sellekohast näidisülesannet 13 eelmisest peatükist kinemaatika)
Horisontaalselt  visatud keha liikumine. Visates keha horisontaalselt algkiirusega
v0 , jääb keha vertikaalsihiline liikumine samasuguseks, nagu me eelnevas
vaatasime. Horisontaalsuunas aga jätkab keha ühtlast liikumist talle antud
kiirusega  v0 , sest horisontaalsihis kehale ühtegi jõudu ei mõju (jõud oli suunatud
vertikaalselt alla) ja Newtoni II seadusest järeldub, et horisontaalsuunaline
kiirendus on võrdne nulliga. Kui aga kiirendus on võrdne nulliga, liigub keha
ühtlaselt.
Vaadates nüüd keha mingil ajahetkel t, saame öelda, et horisontaalsuunas on keha
läbinud teepikkuse
s = v t
h
0
ja sama aja jooksul langenud allapoole teepikkuse
2
g t
h = 2
võrra.
Kiiruse arvutamist vaatasime eelmises peatükis (näidisülesanne 15).
Olgu veel lisatud, et vaba langemisega seotud ülesannetes me jätsime hõõrdejõu,
mis antud juhul kujutab endast õhutakistust, arvestamata. Sõltuvalt keha kiirusest
mõjub reaalsetele kehadele õhus liikumisel alati õhutakistus, mis sõltuvalt
kiirusest on väikestel kiirustel võrdeline kiirusega, suurtel kiirustel aga võrdeline
kiiruse  ruuduga . Õhutakistuse  arvestamine  teeb ülesande väga keeruliseks,
mistõttu seda vaadatakse ainult üldfüüsika kursuses. Väikeste kiiruste ja kõrguste
korral on õhutakistus väike ja selle võib jätta arvestamata.
Lõpetuseks mainime veel seda, et analoogiline arutluskäik sobib ka sel juhul kui
keha  visatakse  horisondi suhtes mingi nurga α all algkiirusega  v0 . Jällegi liigub
keha horisontaalsuunas ühtlase kiirusega ja vertikaalsuunas ühtlaselt muutuvalt
(kiirendus võrdub raskuskiirendusega). Keha liikumise arvutamiseks tuleb keha
kiirus lahutada horisontaalsihiliseks ja vertikaalsihiliseks komponendiks:
v = v cosα ,
v = v sinα
h
0
v
0
 .
Horisontaalsihiline kiirus  vh  liikumisel ei muutu, vertikaalsihiline kiirus aga
muutub,  kusjuures   vv  on vertikaalsihilise liikumise algkiirus.
11
Liikumine kahe samasihilise jõu mõjul
Kaks vastassuunalist jõudu.  Vaatame Newtoni II seaduse rakendamist juhul kui
r
r
kehale mõjub kaks vastassuunalist jõudu  F  ja  F . Sel juhul on kogujõud
1
2
r
r
r
F = F + F  .
k
1
2
(Vektorsummas on jõud alati plussmärgiga, st
vektorid  alati liidetakse). Newtoni II seadus on
aga kujul
r
r
r
F + F = m a  .
1
2
Keha kiirendus on alati kogujõu (jõudude summa) suunas. Kui me teame jõudude
väärtusi,  on  ilmne,   et  keha liigub  suurema   jõu   suunas.  Jõudude  väärtused   aga
alati   teada   ei   ole   ja   need   tuleb   lahenduse   käigus   leida.   Sel   juhul   käitutakse
r
järgmiselt, oletatakse, et kiirendus on ühe jõu, näiteks  F  suunas (vaata joonist) ja
1
kirjutatakse    sellele   vastavalt   välja   Newtoni   II   seaduse   skalaarkuju.   Selle
saamiseks loetakse kiirenduse suund  positiivseks , mis tähendab, et nii kiirendus
kui   ka   kõik   kiirendusega   samasuunalised   vektorid   võetakse   avaldisse
plussmärgiga, vastassuunalised aga miinusmärgiga ( matemaatika  seisukohalt on
tegemist   vektorite   projektsioonidega   vektorite   sihilisele   koordinaatteljele,   kus
kiirenduse suund on võetud positiivseks suunaks). Antud näite korral saaksime
F − F = m a
1
2
Kui nüüd edasise lahendamise käigus osutub, et kiirenduse väärtus tuleb
positiivne, on meie oletus õige ja kiirendus on tõepoolest meie poolt valitud
r
suunas.  Teisalt  tähendab see ka seda, et  F > F
1
2 , s.t. jõu  F  väärtus on suurem kui
1
r
jõu  F  väärtus.
2
Lahenduse   käigus   võib   ka   selguda,   et   kiirendus   tuleb   negatiivne   (täpsemalt
väljendades,  kiirenduse   projektsioon   tuleb  negatiivne). Sel  juhul  on  kiirenduse
tegelik  suund  joonisel kujutatuga vastupidine.  Viimane  omakorda tähendab, et
vaadeldaval   juhul   on   jõud   F
F
2   suurem   kui  
1 .   Seetõttu   võime   juhul,   kui   meil
alguses   jõudude   väärtused   teada   ei   ole,   märkida   kiirenduse   suuna   suvaliselt,
hilisem lahenduskäik annab kiirenduse tegeliku suuna.
Näidisülesanne 9. Auto massiga 3 t liigub paigalt ja saavutab liikudes ühtlaselt kiirenevalt 5
sekundi pärast kiiruse 10 m/s. Kui suur on mootori veojõud, kui autole mõjub liikumisel
konstantne takistusjõud 1000 N.
12
Lahendus.
Lahendame  ülesande, lähtudes Newtoni seaduse üldkujust. Kõigepealt
Antud:
teeme joonise
m = 3 t = 3000 kg
t = 5 s
v = 10 m/s
Ft = 1000 N
Fv  = ?
r
Nagu  näha,  mõjutab auto liikumist kaks jõudu, mootori veojõud   F , mis on auto liikumise
v
r
r
sihiline ja takistusjõud  F , mis on liikumisele vastassuunaline. Takistusjõud  F  ei ole siin mitte
t
t
hõõrdejõud   tavamõistes,   vaid   auto   liikumist    takistav    jõud,   millesse   annab   oma   panuse
tuuletakistus   kui   ka   hõõrdumine   auto   rataste   laagrites,   samuti   veerehõõre,    tingituna    rataste
veeremisest, jt liikumist takistavad jõud.
Lähtume Newtoni II seaduse üldisest vektorkujust
r
r
F = m a  ,
k
mille kohaselt autole mõjuv kogujõud on mootori veojõu ja takistusjõu vektorsumma
r
r
r
F = F + F  .
k
v
t
Seega
r
r
r
F + F = m a  .
v
t
Kirjutame   selle   välja  skalaarkujul.   Arvestades,   et   autole   mõjuvad   jõud   on   samasihilised   kuid
erisuunalised ja võttes kiirenduse suuna positiivseks, saame
F − F = m a
v
t
(Et takistusjõud on kiirendusega vastassuunaline, tuleb ta võtta miinusmärgiga).
Kui auto saavutab paigalseisust aja t jooksul kiiruse v, on tema kiirendus
v
a =
 .
t
Asendades kiirenduse, saame
m v
F − F =
 ,
v
t
t
millest mootori veojõud avaldub kujul
13
m v
F = F +
 .
v
t
t
Arvutamine annab
3000 ⋅10
F = (1000 +
) N = 7000 N  .
v
5
Vastus: mootori veojõud on 7000 N. Nagu lahenduskäigust selgus, läheb autol mootori veojõud
takistusjõu ületamiseks ja autole kiirenduse andmiseks.
Näidisülesanne 10. Horisontaalsel pinnal  lebab   risttahukas  massiga 5 kg. Kui suure
kiirendusega hakkab risttahukas liikuma kui teda tõmmata horisontaalsihilise jõuga 50 N?
Risttahuka  ja horisontaalpinna vaheline hõõrdetegur on 0,8.
Lahendus.
Antud:
Teeme joonise, millel on kujutatud risttahukale mõjuvad jõud. Nüüd
m = 5
r
kg
jõudusid rohkem kui kaks. Kehale (risttahukale) mõjub tõmbejõud  T ,
T = 50 N
r
keha liikumisel mõjub veel liikumist takistav hõõrdejõud  F  ja
µ = 0,8
h
r
g =
8
9
m/s2
liikumistasandiga risti olev raskusjõud  P .
a = ?
Jälle saab rakendada  eespool  toodud kahe
jõu ülesannet, sest keha libisemisel
horisontaalpinnal määravad liikumise liikumissihilised jõud.
Kehale mõjub küll vertikaalsihiline raskusjõud, kuid see on
vastavalt Newtoni III seadusele tasakaalustatud pinna
toereaktsiooniga (horisontaalpinna poolt risttahukale mõjuva
jõuga, mida me joonisele ei kandnud). Seetõttu mingit
vertikaalsihilist liikumist ei ole. Küll aga annab raskusjõud
keha libisemisel mõjuva ja liikumist takistava hõõrdejõu.
Hõõrdejõud avaldub teatavasti kujul
F = µ F
h
N  ,
kus  µ  on pindadevaheline hõõrdetegur ja  FN  pinnaga risti olev rõhumisjõud (nn.
normaaljõud). Kuna antud juhul on selleks raskusjõud ( F = P
N
), siis avaldub hõõrdejõud kujul
F = µ P = µ m g
h
 .
Nagu öeldud, on keha tegelik liikumine määratud kahe jõuga ja liikumisvõrrand tuleb endiselt
kujul
r
r
r
T + F = m a ,
h
r
kus  T  on kehale liikumise sihis mõjuv tõmbejõud.
14
Ülesande edasine lahendamine on sama, mis eelnevas näites. Kirjutame eelmise võrrandi välja
skalaarkujul. Arvestades, et kehale mõjuvad jõud on samasihilised ja võttes kiirenduse suuna
positiivseks, saame
T − F = m a
h
 .
Asendame hõõrdejõu
T − µ m g = m a
ja avaldame kiirenduse
T
a =
− µ g  .
m
Arvutamine annab tulemuseks
50
a = (
−
8
0 ⋅ 8
9 )  m/s2 = 2,2 m/s2 .
5
Vastus: risttahukas hakkab liikuma kiirendusega 2,3 m/s2.
NB! Hõõrdejõuga ülesannetes peab olema lahendamisel ettevaatlik, sest juhul kui
tõmbejõud on väike, ei hakka keha üldse liikuma ja me ei saa liugehõõrdejõust sel juhul
rääkida. Seetõttu tasub ka hõõrdejõud libisemisel välja arvutada (eelmises ülesandes Fh =
39,2 N) ja siis hinnata, kas antud tõmbejõu korral saab keha üldse liikuma hakata. T  m , mistõttu ka  P > P . Seega liigub keha
1
2
1
2
massiga  m  kiirendusega a allapoole ja keha massiga  m  sama kiirendusega üles.
1
2
Kirjutame nüüd välja mõlema keha liikumisvõrrandid. Vastavalt Newtoni II seadusele
r
r
r
r
r
r
m a = P + T
m a = P + T  .
1
1
2
2
Võttes kiirenduse suuna positiivseks, saame  nendest
m a = P − T
m a = T − P  .
1
1
2
2
18
Kiirenduse leidmiseks tuleb võrranditest elimineerida niidi tõmme T. Selleks liidame ülemiste
võrrandite vastavad pooled. Tulemuseks saame
m a + m a = P − P  .
1
2
1
2
Asendades  P = m g  ja  P = m g  ning võttes kiirendused  sulgude  ette
1
1
2
2
(m + m ) a = (m − m ) g
1
2
1
2
saame kiirenduse
m − m
a
1
2
g  .
m + m
1
2
Asendades arvandmed, saame koormuste kiirenduseks
2 − 1
2
2
a = (
⋅ 8
9 ) m / s =
3
3
m / s  .
2 + 1
Vastus: koormused hakkavad liikuma kiirendusega 3,3 
2
m / s . Seejuures liigub suurema
massiga koormus alla ja väiksema massiga koormus üles (meie oletus kehade liikumise kohta
oli õige, kuna kiirenduse väärtus tuli positiivne).
Lahendus 2.
Kui meid  huvitab  ainult kiirendus, nagu antud ülesandes nõutakse, siis saab selle leida
lihtsamalt, arvestades, et kiirendus on arvutatav kogujõu ja massi suhtest. Kehadele mõjuvad
nende raskusjõud, mis püüavad panna kehi liikuma eri suundades, seetõttu on nende kogujõud
võrdne jõudude vahega, kusjuures suuremast jõust tuleb lahutada väiksem
F = P − P = (m − m ) g
k
1
2
1
2
 .
Kuna kiirendusega a hakkavad liikuma mõlemad kehad, on kogumass, mis liigub, võrdne
nende masside  summaga
m = m + m
k
1
2  .
Kogujõu ja  kogumassi  suhtest saamegi kiirenduse
F
m − m
a
k
1
2
g  .
m
m + m
k
1
2
Nagu näha,  saime  sama valemi, mis esimese lahenduse korral. Arvutamine annab loomulikult
sama tulemuse
2
a =
3
3
m / s  .
19
Vastus: koormused hakkavad liikuma kiirendusega 3,3 
2
m / s .
Jõu lahutamine komponentideks
Newtoni II seaduse üldkuju võimaldas seda seadust rakendada juhul kui kehale
mõjub   mitu   jõudu   korraga.   Keha   liikumise   määrab   kogujõud   ehk   kehale
mõjuvate jõudude  kogusumma . Osutub, et vahel on vaja toimida ka vastupidi ja
lahutada kehale mõjuv jõud kaheks komponendiks, mille vektorsumma on võrdne
etteantud jõuga ja vaadata eraldi  liikumisi  lahutamisel saadud komponentjõudude
sihis.
Vaatame jõu lahutamist komponentideks veidi
lähemalt, sest sellega tuleb füüsikas tihti kokku
r
puutuda. Mingi jõu  F  lahutamisel kaheks
komponendiks tuleb meil leida sellised kaks
vektorit , mille vektorsumma on võrdne selle
sama jõuvektoriga
r
r
r
F = F + F  .
1
2
Sellist lahutamist saab teha lõpmata mitmel viisil ja sõltub sellest, milliseid
komponentvektoreid me otsime. Tõepoolest, kuna kahe vektori summa on võrdne
vektoriga, mis on ehitatud nendest vektoritest ehitatud rööpküliku diagonaalile,
siis on selge, selliseid rööpkülikuid, mis on sama diagonaaliga, on lõpmata palju.
Vektori lahutamisel komponentideks tulebki toimida nii, et  joonestada  rööpkülik,
mille  diagonaal  oleks lahutatava vektori sihiline ja pikkus võrdne selle vektori
mooduliga. Rööpküliku külgedele ehitatud vektorid ongi otsitavad
komponentvektorid. Füüsikalise probleemi korral ei toimita vektori lahutamisel
komponentideks juhuslikult, vaid lähtutakse ülesande füüsikalisest sisust. Sel
juhul antakse komponentvektorite suunad ette ja sel juhul on tulemus ühene.
r
Oletame, et me oleme kehale mõjuva jõu lahutanud kaheks komponendiks  F  ja
1
r
F . Kirjutades mõlema komponendi jaoks Newtoni II seaduse kujul
2
r
r
r
r
F = m a      ja      F = m a ,
1
1
2
2
r
r
kus  a
a
1  ja 
2  on jõukomponentide sihilised kiirendused, on Newtoni II seadus
r
r
F =
a
m
kehtiv, kusjuures keha tegelik kiirendus on võrdne nn komponentkiirenduste
r
r
r
summaga  a = a + a
1
2 . Seega lubab matemaatika meil alati vajadusel vaadata keha
20
liikumisi mingites etteantud suundades, lahutades jõu vastavalt komponentideks.
See, millisel viisil komponentideks lahutamist teha, sõltub tihti sellest kuidas
vaadeldav keha  liikuda  saab.
Näidisülesanne 14. Kui suure kiirendusega libiseb keha mööda kaldpinda alla, kui kaldpinna
kaldenurk on 20 0 ? Hõõrdumist kaldpinna ja keha vahel ei arvestata.
Lahendus.
Antud:
Vaatame keha  kaldpinnal
ja
0
α = 20
selgitame, millised jõud
keha liikumist mõjutavad.
g = 9,8  m/s 2
r
Kehale mõjub raskusjõud
P
a = ?
, kuid kuna keha asetseb
kaldpinnal, siis ta
vertikaalselt allapoole liikuda ei saa, keha saab
liikuda ainult kaldpinda mööda alla. Keha
ilmselt mõjutab ka kaldpinda, rõhudes sellele
pinna ristsihis mingi kindla jõuga, mis sõltub
kaldpinna kaldest. Kuna keha kaldpinnaga risti olevas sihis liikuda ei saa, siis mõjub kaldpinna
poolt kehale ristsihilist jõudu tasakaalustav jõud.
Toodud  arutelust  ilmneb, et keha liikumist mööda kaldpinda alla mõjutab kaldpinna sihiline
jõud, tema rõhumist kaldpinnale aga pinnaga risti olev jõud. See tähendab, et antud ülesandes
tuleb kehale mõjuv raskusjõud lahutada kaheks teineteisega risti olevaks komponendiks.
Olgu keha mass m (mass pole meil küll antud, aga seda läheb meil jõu leidmisel esialgu vaja),
siis keha raskusjõud
r
r
P =
g
m  .
Lahutame selle kaheks ristsihiliseks komponendiks. Jooniselt on näha, et kui kaldpinna
kaldenurk on teada, avalduvad komponentjõud järgmiselt
F = P sin α ,
F = P cosα  .
1
2
r
Nagu öeldud, on jõud  F  tasakaalustatud pinna poolt mõjuva nn toereaktsiooniga, keha
2
r
liikumise aga tingib kaldpinna sihiline jõud  F . See jõud määrab ära keha kiirenduse. Newtoni
1
r
r
II seadusest  a
m = F  ehk skalaarkujul
1
ma = F1
saame
ma = P sinα ≡ mg sin α  ,
21
mis peale massi taandumist annab keha kiirenduseks libisemisel mööda kaldpinda
a = g sin α  .
Arvutamine annab tulemuseks
0
2
2
a = ( 8
9 ⋅ sin 20 ) m / s = ,
3 4 m / s  .
Vastus: keha libiseb mööda kaldpinda alla kiirendusega 3,4 m/s 2  .
Näidisülesanne 15. Millise kiirendusega liigub keha mööda kaldpinda alla, kui kaldpinna
kõrgus on 1 m, pikkus 2 m ja hõõrdetegur keha ning kaldpinna vahel on 0,1?
Lahendus.
Teeme joonise. Kehale
Antud:
mõjuva raskusjõu lahutame
h= 1 m
samamoodi kaheks
s = 2 m
komponendiks, nagu
µ =
1
0
eelmises ülesandes:
g = 9,8  m/s 2
a = ?
F = P sin α ,
F = P cosα  .
1
2
Erinevus on nüüd selles, et kaldpinna
kaldenurga asemel on antud kaldpinna kõrgus ja pikkus. Nendest saab samuti leida kaldpinna
kaldenurga siinuse ja koosinuse
h
s 2 − h2
sinα =
cosα =
 ,
s
s
lähtudes sellest, et meil on tegemist täisnurkse kolmnurgaga, mille hüpotenuus on s,  kaatetid  h
ja 
2
2
s − h  .
Hõõrdejõu olemasolu korral mõjutab keha liikumist kaks jõudu, jõud  F  ja liikumist takistav
1
hõõrdejõud  h
F = µ N
F , kus  FN  on hõõrduvate pindade  normaali  sihis mõjuv jõud. Kuna antud
juhul  F = F
N
2 , siis hõõrdejõud
F = kF = kP cosα
h
2
 .
Kuna hõõrdejõud on alati liikumisele vastassuunaline, siis võime vastavalt Newtoni II
seadusele kirjutada
ma = F = F − F = P sinα − kP cosα = mg(sinα − k cosα )
k
1
h
 .
22
Peale massi taandamist, saame kiirenduse arvutamise valemi
a = g(sinα − k cosα )  ,
mis siinuse ja koosinuse avaldist arvestades annab
2
2
h
s − h
g
a = g ( − k
) ≡
2
2
h − k s − h )
s
s
s
Arvutamine annab
8
9
a = (
1
( − 1
0 ⋅ 22 − 12 ) ) m/s2 = 4,1 m/s2.
2
Vastus: keha liigub mööda kaldpinda alla kiirendusega 4,1 m/s 2 . Siin ülesandes sõltub keha
liikumine hõõrdejõu suurusest ja seda  tasuks  ülesande lahendamisel analüüsida. Kui  F