DYNAAMIKA (0)

KOOLIFM2



KOOLIFÜÜSIKA: MEHAANIKA2 (kaugõppele) 2. DÜNAAMIKA 2.1 Newtoni seadused. Newtoni seadused on klassikalise mehaanika põhialuseks. Neist lähtuvalt saab
kehale mõjuvate jõudude kaudu arvutada keha liikumise. Newtoni I seadus Iga vaba keha on kas paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt. Vaba keha all mõistame keha, millele ühtegi jõudu ei mõju või millele mõjuvad
jõud tasakaalustavad üksteist. Newtoni I seadus tähendab, et me vaatame keha
liikumist inertsiaalsest taustsüsteemist. Rangelt võttes on inertsiaalsüsteemiks
mistahes kinnistähega seotud taustsüsteem, paljudel juhtudel võime ka
maapinnaga seotud taustsüsteemi lugeda inertsiaalsüsteemiks. Iga
inertsiaalsüsteemi suhtes ühtlaselt liikuv taustsüsteem on samuti
inertsiaalsüsteem.  Newtoni II seadus Kehale mõjuv jõud määrab keha kiirenduse. Valemina a m F r r =  , kus m on vaadeldava keha mass. Juhul kui kehale mõjub samaaegselt mitu erinevat jõudu, määrab keha kiirenduse
kehale mõjuv kogujõud. Nüüd on Newtoni II seadus kujul a m F k r r =  , kus kehale mõjuv kogujõud  k F r  on võrdne kõikide kehale mõjuvate jõudude vektorsummaga n k F F F F r L r r r + + + = 2 1  . 1


Newtoni II seadust nimetatakse ka dünaamika, täpsemalt küll klassikalise
mehaanika põhiseaduseks, sest see võimaldab kehale mõjuvate jõudude kaudu
leida tema liikumise. Keha trajektoori leidmiseks peame lisaks kehale mõjuvatele
jõududele teadma veel algtingimusi – keha asukohta ja kiirust mingil ajahetkel. Newtoni III seadus Newtoni III seadus kahe keha jaoks 21 12 F F r r − =  , kus  12 F r  on esimese keha poolt teisele kehale mõjuv jõud ja  21 F r  vastavalt teise keha poolt esimesele kehale mõjuv jõud. Mitme keha korral kehtib analoogiline
seos mistahes kahe keha jaoks. Newtoni III seadust nimetatakse ka mõju ja vastasmõju seaduseks. Näidisülesanne 1. Leida jõud, mis on vajalik kehale massiga 400 g kiirenduse 1,2 m/s 2 andmiseks. Lahendus. Teeme illustreeriva joonise. Lähtume Newtoni II seadusest a m F =  , mis võimaldab keha massi ja kiirenduse kaudu arvutada kehale mõjuva jõu. Asendades massi ja kiirenduse väärtused, saame N N F 48 , 0 ) 2 , 1 4 , 0 ( = ⋅ =  . Vastus: kehale massiga 400 g kiirenduse 1,2  2 / s m  andmiseks on vaja jõudu 0,48 N. NB! Siin ülesandes oli tegemist Newtoni II seaduse lihtsaima rakendusega. Keha kiirendus
on alati kehale mõjuva jõu suunaline. Viimane järeldub Newtoni teise seaduse vektorkujust a m F r r = . Kuna sama seos kehtib ka jõu ja kiirenduse väärtuste jaoks: F = ma, siis me ülesande lahendamisel lähtusime Newtoni II seaduse skalaarkujust. 2 Antud:
m = 400 g = 0,4 kg
a = 1,2 m/s 2 F = ?


Näidisülesanne 2. Kehale massiga 5 kg mõjub jõud 30 N. Leida keha kiirendus. Lahendus. Teeme selgitava joonise Lahenduses lähtume Newtoni II seadusest a m F =  , millest kiirendus avaldub järgmiselt m F a =  . Asendades andmed, saame ) 5 30 ( = a m/s 2 = 6 m/s2. Vastus: keha kiirendus on 6 m/s 2 (suunatud kehale mõjuva jõu suunas). Näidisülesanne 3. Kehale massiga 500 g, mis liigub kiirusega 3 m/s, hakkab mõjuma
konstantne liikumissihiline jõud 2 N. Leida keha kiirus ja tema poolt läbitud teepikkus 5
sekundi pärast peale jõu mõjumise algust. Lahendus. Teema selgitava joonise. Kuna kehale mõjub liikumissihiline jõud, siis jätkab  keha liikumist samas suunas. Hetke, mil
kehale   hakkab   mõjuma   jõud,   võtame   alghetkeks   ja   sellest   hetkest   hakkame   lugema   aega.
Konstantse jõu mõjul hakkab keha liikuma ühtlaselt kiirenevalt, mistõttu keha liikumise (kiiruse ja
läbitud teepikkuse) arvutamiseks kasutame ühtlaselt muutuva liikumise valemeid 2 , 2 0 0 t a t v s t a v v + = + =  . Arvutusteks vajamineva kiirenduse aga leiame Newtoni II seadusest 3 Antud:
m = 5 kg
F = 30 N
a = ? Antud:
m = 500 g = 0,5 kg 0 v  = 3 m/s F = 2 N
t = 5 s
v = ?
s = ?


m F a a m F = ⇒ =  . Asendades siit kiirenduse, saame m t F t v s m t F v v 2 , 2 0 0 + = + =  , mis peale andmete asendamist ja lihtsaid arvutusi annab ) 5 , 0 5 2 3 ( ⋅ + = v  m/s = 23 m/s, ) 5 , 0 2 5 2 5 3 ( 2 ⋅ ⋅ + ⋅ = s m = 65 m . Vastus: 5 sekundit peale jõu mõjumise algust on keha kiirus 23 m/s ja keha on läbinud 65 m.
Antud ülesanne on näiteks selle kohta, et kiirendusega liikumisel mõjub kehale mingi jõud ja see
jõud annabki kehale kiirenduse. 2.2 Kehadele mõjuvaid jõudusid Mehaanikas on peamisteks jõududeks raskusjõud, elastsusjõud ja hõõrdejõud. Raskusjõud g m P =  , kus g on raskuskiirendus ja m on vaadeldava keha
mass. Maa pinnal on raskusjõud tingitud peamiselt Maa
ja keha vahelisest gravitatsioonijõust. Elastsusjõud x k F − =  , kus k on jäikus, x deformatsiooni suurus
ja märk näitab seda, et elastsusjõud on
alati deformatsiooniga vastassuunaline (suunatud tasakaaluasendi x = 0 poole). Hõõrdejõud Ühe keha libisemisel teise keha pinnal mõjub kehale liikumissuunale vastupidine
hõõrdejõud 4


N h F F µ =  , kus µ on hõõrdetegur (liughõõrdetegur), mille väärtus sõltub kokkupuutuvatest
pindadest ja  N F  on libiseva keha kokkupuutepinnaga risti olev jõukomponent (jõu normaalkomponent). Tavaliselt me eeldame, et kokkupuutuvad pinnad on
piisavalt siledad ja kokkupuutepind on tasapinnaline. Lisaks liughõõrdele räägitakse ka seisuhõõrdejõust. Juhul kui keha on teise keha
pinnal paigal ja me püüame teda välise jõu toimel liikuma panna, siis väikese jõu
korral keha tavaliselt liikuma ei hakka, seda takistab pindade vaheline
hõõrdejõud, nn seisuhõõrdejõud. Maksimaalset seisuhõõrdejõudu
iseloomustatakse analoogilise valemiga  N s m F F µ = , kus suurust  s µ  nimetatakse seisuhõõrdeteguriks. Samade pindade korral on seisuhõõrdetegur alati suurem
liughõõrdetegurist. Kesktõmbejõud Ringjoonelisel liikumisel mõjub ringi tsentrisse suunatud kesktõmbejõud r v m F 2 =  , kus v joonkiirus ja r ringi raadius. Kiirendust  r v a / 2 =  nimetatakse kesktõmbekiirenduseks. Kesktõmbejõud ei kujuta endast eraldi jõuliiki, vaid annab jõu, mida tuleb
rakendada ringjoont  (või ringjoone kaart) mööda liikuvale kehale, et see saaks
püsida ringjoonelisel trajektooril. Auto liikumisel teekurvis tekitab selle rehvide
ja tee vaheline seisuhõõrdejõud. Näidisülesanne 4. Kui suur on inimesele massiga 70 kg mõjuv raskusjõud Maa pinnal? Lahendus. Kehale mõjuv raskusjõud avaldub valemiga g m P =  . Arvutamine annab tulemuseks ) 8 , 9 70 ( ⋅ = P  N = 690 N. Vastus: kehale massiga 70 kg mõjub raskusjõud 690 N. 5 Antud:
m= 70 kg
g = 9,8 m/s 2 P = ?


Näidisülesanne 5. Vedru venitamiseks 6 cm võrra tuleb rakendada jõudu 48 N. Kui suur on
sellise vedru jäikus? Kui suurt jõudu on vaja vedru venitamiseks 4 cm võrra? Lahendus. Vedru venitamisel mõjub vedrus välisele jõule vastassuunaline
elastsusjõud x k F − =  , kus  k  on vedru jäikus ja  x  deformatsiooni suurus.  Miinusmärk näitab elastsusjõu suunda. Kuna deformatsiooni suurus ja jõud on antud, saame leida vedru jäikuse 1 1 1 1 x F k x k F = → =   (miinusmärgi võime arvutamisel ära jätta, sest see on seotud ainult jõu suunaga). Arvutamine annab tulemuseks ) 06 , 0 48 ( = k  N/m = 800 N/m . Jõu vedru venitamiseks 4 cm võrra saame, kasutades äsja leitud jäikuse avaldist, arvutada
valemist ) 04 , 0 800 ( 2 2 ⋅ = = x k F  N = 32 N . (Teine võimalus on lähtuda jõudude suhtest F2/F1 = x2/x1.) Vastus: vedru jäikus on 800 N/m, vedru venitamiseks 4 cm võrra on vaja jõudu 32 N. Näidisülesanne 6. Auto pidurdusteekond kiiruselt 90 km/h on asfaldil 36 m. Kui suur on
autole pidurdamisel mõjuv jõud? Auto mass koos juhiga on 1400 kg. Lahendus. Teeme joonise. 6 Antud: = 0 v  90 km/h = 25 m/s s = 36 m
m= 1400 kg
F = ? Antud:
x1 = 6 cm = 0,06 m
F1 = 48 N
x2 = 4 cm = 0,04 m
k = ?
F2 = ?


Autole pidurdamisel mõjuva jõu saame arvutada Newtoni II seadusest a m F =  . Eeldades,   et   auto   pidurdamisel   on   liikumine   ühtlaselt   aeglustuv,   tuleb   meil   arvutada   auto
pidurduskiirendus, teades algkiirust ja pidurdusteekonda. Lähtudes ühtlaselt aeglustuva liikumise
valemitest, võime kirjutada s v a 2 2 0 =      (= 8,7 m/s 2) , mis peale asendamist annab jõu arvutamiseks valemi s v m F 2 2 0 =  . Asendades algandmed, saame jõu väärtuseks ) 36 2 25 1400 ( 2 ⋅ ⋅ = F  N = 12200 N = 12,2 kN. Vastus: autole pidurdamisel mõjuv jõud on 12,2 kN. Nagu näha, on pidurdamisel mõjuv jõud
küllalt suur. See on tingitud asjaolust, et tänapäeva autodel on väga hea pidurid, mis tagavad
suure pidurduskiirenduse (antud juhul a = 8,7 m/s 2). Kommentaar: ABS pidurid. Kõik tänapäeva autod varustatakse blokeerumisvastaste, nn ABS
piduritega, mis tagavad vajadusel autode pidurdamise auto rehvide ja tee seisuhõõrde piiril. Sel
juhul on maksimaalne jõud, millega autot saab pidurdada  N s m F F µ = , kus  s µ  on auto rehvide ja tee seisuhõõrdetegur. Horisontaalsel teel sõites  mg P F N = = , mis annab auto maksimaalseks pidurduskiirenduseks a =  s µ g (ühelt poolt  ma F m = , teiselt poolt  mg F s m µ = ). Kui näiteks heade teeolude korral on rehvide (eeldame, et ka rehvid on head) ja asfaldi
vaheline seisuhõõrdetegur  s µ =0,9, siis saame maksimaalseks pidurduskiirenduseks 8,8 m/s 2. Milles on ABS pidurite eelis? Eelis on selles, et nad vajadusel (järsul pidurdamisel) tagavad
maksimaalse pidurduskiirenduse ja väldivad rataste blokeerumist. Juhul kui järsul pidurdamisel
rattad blokeeruks ja auto hakkaks teel „lohisema”, siis pidurduskiirendus oluliselt väheneb ja
pidurdusteekond pikeneb. Põhjus on selles, et „lohisemisel” määrab pidurduskiirenduse
liugehõõrdejõud  N h F F µ = , liugehõõrdetegur on aga alati seisuhõõrdetegurist oluliselt väiksem. Juhul kui horisontaalsel teel sõites on seisuhõõrdetegur  s µ =0,9, siis vastav liugehõõrdetegur on µ = 0,8, mis teeb pidurduskiirenduseks 7,8 m/s 2. Eriti kardinaalne vahe on jäisel pinnal sõitmisel, kus hõõrdetegurid on vastavalt  s µ =0,2 ja µ = 0,1. Nüüd erinevad pidurduskiirendused kaks korda, mis tähendab, et pidurdusteekond pikeneb bokeerunud rataste
korral kaks korda. 7


Näidisülesanne 7. Kui suur on 50 cm pikkuse nööri otsas horisontaaltasandis tiirlevale
kuulikesele mõjuv kesktõmbejõud, kui kuulikese mass on 50 g ja kuulike teeb täistiiru 1
sekundiga?  Lahendus. Teeme joonise, mis kujutab
kuulikese tiirlemist nööri otsas.. Kuulikesele mõjuv kesktõmbejõud arvutatakse valemiga r v m F 2 =  . Mass ja raadius on antud, puudu on kuulikese joonkiirus. Selle saame lihtsalt arvutada, kuna
kuulike teeb ühe täistiiru aja T jooksul (seda nimetatakse ka kuulikese tiirlemisperioodiks) ja
selle ajaga läbitud teepikkus on võrdne ringjoone pikkusega  r s π 2 = . Kuulikese joonkiirus T r v π 2 =  . Asendades kiiruse, saame kesktõmbejõu arvutamiseks valemi 2 2 4 T r m F π =  . Arvutamine annab tulemuseks ) 1 5 , 0 4 05 , 0 ( 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ = π F  N = 1 N Vastus: kuulikesele mõjuv kesktõmbejõud on 1 N. Selle tekitab kuulikese tiirlemisel kuulikest
hoidva niidi tõmme. Näidisülesanne 8. Horisontaalse pöörleva ketta äärel on klotsike. Kui suur peaks olema
klotsikese kiirus, et ta kettalt maha libiseks, kui ketta raadius on 50 cm ja seisuhõõrdetegur
ketta ning klotsi vahel on 0,5? Kui suur on sel juhul ketta pöörlemissagedus? Lahendus. Teeme joonise. 8 Antud:
r = 50 cm = 0,50 m
µs = 0,5
g = 9,8 m/s 2 v = ?
f = ? Antud:
m = 50 g = 0,05 kg
r = 50 cm = 0,50 m
T = 1 s
F = ?


Vaatame juhtu kui klotsike on ketta äärel ja pöörleb koos kettaga. Kui ketta äärepunkti kiirus
(nn joonkiirus) on v, on selle kesktõmbekiirendus (suunaga ketta keskpunkti) r v a 2 =  . Kuna ketta äärel olev klotsike liigub sama kiirusega, peab vastavalt Newtoni II seadusele
mõjuma klotsikesele ketta keskpunkti suunatud kesktõmbejõud r mv ma F 2 = =  . Kust selline jõud tekib? Ainuke jõud, mis klotsikese liikumist saab mõjutada, on antud juhul
ketta ja klotsikese vaheline hõõrdejõud, mille maksimaalne väärtus on g m P F s s h µ µ = =  . Järelikult sõltub klotsikese püsimine kettal hõõrdejõu suurusest. Juhul kui kesktõmbejõud on
väiksem või võrdne maksimaalse seisuhõõrdejõuga, saab klotsike püsida kettal h F F ≤  , kui aga kesktõmbejõud on hõõrdejõust suurem  ) ( h F F > , ei saa klotsike enam kettal püsida. Leiame klotsikese piirkiiruse, millest suurematel kiirustel libiseb klotsike kettalt maha. See
vastab jõudude võrdsusele  h F F = , mis pikemalt välja kirjutades annab g r v ehk mg r mv s s µ µ = = 2 2  . Siit avaldub kiirus järgmiselt g r v s µ =  . Arvutamine annab kiiruseks ) 8 , 9 5 , 0 50 , 0 ( ⋅ ⋅ = v  m/s = 1,6 m/s . Leiame sellele kiirusele vastava ketta pöörlemissageduse. Kui klotsike on veel ketta äärel, on
äärepunkti joonkiirus samuti v. Ühe täistiiru tegemiseks kuluv aeg ehk pöörlemisperiood T
arvutatakse järgmiselt: äärepunkt läbib ühe täitiiru jooksul teepikkuse s = 2 π r, seega v r T π 2 =  . Pöörlemissagedus on võrdne pöörlemisperioodi pöördväärtusega 9


r v T f π 2 1 = =  . Arvutamine annab pöörlemissageduseks ) 5 , 0 2 6 , 1 ( ⋅ ⋅ = π f  p/s = 0,5 p/s . Vastus: klotsike ei saa enam kettal püsida kui tema joonkiirus on suurem kui 1,6 m/s, st ketta
pöörlemissagedus on suurem kui 0,5 pööret sekundis. 2.3 Newtoni seaduste lihtsamaid rakendusi Selleks, et illustreerida Newtoni II seaduse lihtsamaid rakendusi, vaatame
mõningaid huvipakkuvaid erijuhte. Vaba langemine Vabaks lastud keha liikumine. Maa pinna lähedal vabaks
lastud keha langeb vabalt raskuskiirendusega g. See asjaolu
järeldub sellest, et kehale mõjub peale lahtilaskmist Maa
keskmesse suunatud raskusjõud g m P r r =  . Võrreldes seda Newtoni II seadusega  a m F r r =  ja arvestades, et antud juhul  P F r r = , saamegi tulemuseks g a r r =  , mis tähendab, et keha kiirendus on võrdne raskuskiirendusega (ja suunatud alati
vertikaalselt alla). Kui keha langeb kõrguselt h, on kõrgus ja langemise aeg t seotud vastavalt
ühtlaselt muutuva liikumise valemite järgi järgmiselt (kehal algkiirus puudus) 2 2 t g h =  , maapinnale langemisel on keha kiirus 10


t g v =  . (vaata sellekohast näidisülesannet 13 eelmisest peatükist kinemaatika) Horisontaalselt visatud keha liikumine. Visates keha horisontaalselt algkiirusega 0 v , jääb keha vertikaalsihiline liikumine samasuguseks, nagu me eelnevas vaatasime. Horisontaalsuunas aga jätkab keha ühtlast liikumist talle antud
kiirusega  0 v , sest horisontaalsihis kehale ühtegi jõudu ei mõju (jõud oli suunatud vertikaalselt alla) ja Newtoni II seadusest järeldub, et horisontaalsuunaline
kiirendus on võrdne nulliga. Kui aga kiirendus on võrdne nulliga, liigub keha
ühtlaselt. Vaadates nüüd keha mingil ajahetkel t, saame öelda, et horisontaalsuunas on keha
läbinud teepikkuse t v s h 0 = ja sama aja jooksul langenud allapoole teepikkuse 2 2 t g h = võrra. Kiiruse arvutamist vaatasime eelmises peatükis (näidisülesanne 15). Olgu veel lisatud, et vaba langemisega seotud ülesannetes me jätsime hõõrdejõu,
mis antud juhul kujutab endast õhutakistust, arvestamata. Sõltuvalt keha kiirusest
mõjub reaalsetele kehadele õhus liikumisel alati õhutakistus, mis sõltuvalt
kiirusest on väikestel kiirustel võrdeline kiirusega, suurtel kiirustel aga võrdeline
kiiruse ruuduga. Õhutakistuse arvestamine teeb ülesande väga keeruliseks,
mistõttu seda vaadatakse ainult üldfüüsika kursuses. Väikeste kiiruste ja kõrguste
korral on õhutakistus väike ja selle võib jätta arvestamata. Lõpetuseks mainime veel seda, et analoogiline arutluskäik sobib ka sel juhul kui
keha visatakse horisondi suhtes mingi nurga α all algkiirusega  0 v . Jällegi liigub keha horisontaalsuunas ühtlase kiirusega ja vertikaalsuunas ühtlaselt muutuvalt
(kiirendus võrdub raskuskiirendusega). Keha liikumise arvutamiseks tuleb keha
kiirus lahutada horisontaalsihiliseks ja vertikaalsihiliseks komponendiks: α α sin , cos 0 0 v v v v v h = =  . Horisontaalsihiline kiirus  h v  liikumisel ei muutu, vertikaalsihiline kiirus aga muutub, kusjuures  v v  on vertikaalsihilise liikumise algkiirus. 11


Liikumine kahe samasihilise jõu mõjul Kaks vastassuunalist jõudu.  Vaatame Newtoni II seaduse rakendamist juhul kui
kehale mõjub kaks vastassuunalist jõudu  1 F r  ja  2 F r . Sel juhul on kogujõud 2 1 F F F k r r r + =  . (Vektorsummas on jõud alati plussmärgiga, st
vektorid alati liidetakse). Newtoni II seadus on
aga kujul a m F F r r r = + 2 1  . Keha kiirendus on alati kogujõu (jõudude summa) suunas. Kui me teame jõudude
väärtusi,  on  ilmne,   et  keha liigub  suurema   jõu   suunas.  Jõudude  väärtused   aga
alati   teada   ei   ole   ja   need   tuleb   lahenduse   käigus   leida.   Sel   juhul   käitutakse
järgmiselt, oletatakse, et kiirendus on ühe jõu, näiteks  1 F r  suunas (vaata joonist) ja kirjutatakse   sellele   vastavalt   välja   Newtoni   II   seaduse   skalaarkuju.   Selle
saamiseks loetakse kiirenduse suund positiivseks, mis tähendab, et nii kiirendus
kui   ka   kõik   kiirendusega   samasuunalised   vektorid   võetakse   avaldisse
plussmärgiga, vastassuunalised aga miinusmärgiga (matemaatika seisukohalt on
tegemist   vektorite   projektsioonidega   vektorite   sihilisele   koordinaatteljele,   kus
kiirenduse suund on võetud positiivseks suunaks). Antud näite korral saaksime a m F F = − 2 1 . Kui nüüd edasise lahendamise käigus osutub, et kiirenduse väärtus tuleb
positiivne, on meie oletus õige ja kiirendus on tõepoolest meie poolt valitud
suunas. Teisalt tähendab see ka seda, et  2 1 F F > , s.t. jõu  1 F r  väärtus on suurem kui jõu  2 F r  väärtus. Lahenduse   käigus   võib   ka   selguda,   et   kiirendus   tuleb   negatiivne   (täpsemalt
väljendades,  kiirenduse  projektsioon  tuleb  negatiivne). Sel  juhul  on  kiirenduse
tegelik  suund  joonisel kujutatuga vastupidine.  Viimane  omakorda tähendab, et
vaadeldaval   juhul   on   jõud   2 F   suurem   kui   1 F .   Seetõttu   võime   juhul,   kui   meil alguses   jõudude   väärtused   teada   ei   ole,   märkida   kiirenduse   suuna   suvaliselt,
hilisem lahenduskäik annab kiirenduse tegeliku suuna.
Näidisülesanne 9. Auto massiga 3 t liigub paigalt ja saavutab liikudes ühtlaselt kiirenevalt 5
sekundi pärast kiiruse 10 m/s. Kui suur on mootori veojõud, kui autole mõjub liikumisel
konstantne takistusjõud 1000 N. 12


Lahendus. Lahendame ülesande, lähtudes Newtoni seaduse üldkujust. Kõigepealt
teeme joonise Nagu  näha,  mõjutab auto liikumist kaks jõudu, mootori veojõud   v F r , mis on auto liikumise sihiline ja takistusjõud  t F r , mis on liikumisele vastassuunaline. Takistusjõud  t F r  ei ole siin mitte hõõrdejõud   tavamõistes,   vaid   auto   liikumist   takistav   jõud,   millesse   annab   oma   panuse
tuuletakistus   kui   ka   hõõrdumine   auto   rataste   laagrites,   samuti   veerehõõre,   tingituna   rataste
veeremisest, jt liikumist takistavad jõud. Lähtume Newtoni II seaduse üldisest vektorkujust a m F k r r =  , mille kohaselt autole mõjuv kogujõud on mootori veojõu ja takistusjõu vektorsumma t v k F F F r r r + =  . Seega a m F F t v r r r = +  . Kirjutame   selle   välja  skalaarkujul.   Arvestades,   et   autole   mõjuvad   jõud   on   samasihilised   kuid
erisuunalised ja võttes kiirenduse suuna positiivseks, saame a m F F t v = − (Et takistusjõud on kiirendusega vastassuunaline, tuleb ta võtta miinusmärgiga). Kui auto saavutab paigalseisust aja t jooksul kiiruse v, on tema kiirendus t v a =  . Asendades kiirenduse, saame t v m F F t v = −  , millest mootori veojõud avaldub kujul 13 Antud:
m = 3 t = 3000 kg
t = 5 s
v = 10 m/s t F = 1000 N v F  = ?


t v m F F t v + =  . Arvutamine annab N N F v 7000 ) 5 10 3000 1000 ( = ⋅ + =  . Vastus: mootori veojõud on 7000 N. Nagu lahenduskäigust selgus, läheb autol mootori veojõud
takistusjõu ületamiseks ja autole kiirenduse andmiseks. Näidisülesanne 10. Horisontaalsel pinnal lebab risttahukas massiga 5 kg. Kui suure
kiirendusega hakkab risttahukas liikuma kui teda tõmmata horisontaalsihilise jõuga 50 N?
Risttahuka ja horisontaalpinna vaheline hõõrdetegur on 0,8. Lahendus. Teeme joonise, millel on kujutatud risttahukale mõjuvad jõud. Nüüd
jõudusid rohkem kui kaks. Kehale (risttahukale) mõjub tõmbejõud  T r , keha liikumisel mõjub veel liikumist takistav hõõrdejõud  h F r  ja liikumistasandiga risti olev raskusjõud  P r . Jälle saab rakendada eespool toodud kahe
jõu ülesannet, sest keha libisemisel horisontaalpinnal määravad liikumise liikumissihilised jõud.
Kehale mõjub küll vertikaalsihiline raskusjõud, kuid see on
vastavalt Newtoni III seadusele tasakaalustatud pinna
toereaktsiooniga (horisontaalpinna poolt risttahukale mõjuva
jõuga, mida me joonisele ei kandnud). Seetõttu mingit
vertikaalsihilist liikumist ei ole. Küll aga annab raskusjõud
keha libisemisel mõjuva ja liikumist takistava hõõrdejõu. Hõõrdejõud avaldub teatavasti kujul N h F F µ =  , kus  µ  on pindadevaheline hõõrdetegur ja  N F  pinnaga risti olev rõhumisjõud (nn. normaaljõud). Kuna antud juhul on selleks raskusjõud ( P F N = ), siis avaldub hõõrdejõud kujul g m P F h µ µ = =  . Nagu öeldud, on keha tegelik liikumine määratud kahe jõuga ja liikumisvõrrand tuleb endiselt
kujul a m F T h r r r = + , kus  T r  on kehale liikumise sihis mõjuv tõmbejõud. 14 Antud: 5 = m kg T = 50 N
µ  = 0,8 8 , 9 = g m/s 2 a = ?


Ülesande edasine lahendamine on sama, mis eelnevas näites. Kirjutame eelmise võrrandi välja
skalaarkujul. Arvestades, et kehale mõjuvad jõud on samasihilised ja võttes kiirenduse suuna
positiivseks, saame a m F T h = −  . Asendame hõõrdejõu a m g m T = − µ ja avaldame kiirenduse g m T a µ − =  . Arvutamine annab tulemuseks ) 8 , 9 8 , 0 5 50 ( ⋅ − = a  m/s 2 = 2,2 m/s2 . Vastus: risttahukas hakkab liikuma kiirendusega 2,3 m/s 2. NB! Hõõrdejõuga ülesannetes peab olema lahendamisel ettevaatlik, sest juhul kui
tõmbejõud on väike, ei hakka keha üldse liikuma ja me ei saa liugehõõrdejõust sel juhul
rääkida. Seetõttu tasub ka hõõrdejõud libisemisel välja arvutada (eelmises ülesandes Fh =
39,2 N) ja siis hinnata, kas antud tõmbejõu korral saab keha üldse liikuma hakata. T < Fh
korral see ilmselt võimalik ei ole. Näidisülesanne 11. Keha massiga 5 kg ripub venimatu niidi otsas. Kui suur on tõmbejõud
niidis keha liikumisel üles kiirendusega 1 m/s 2 ? Lahendus. Teeme joonise, millel on kujutatud kehale mõjuvad jõud:
niiti mööda üles suunatud niidi tõmbejõud  T r  ja alla suunatud keha raskusjõud  P r . Jälle on tegemist kahe samasihilise jõuga. Keha liikumise
üldvõrrand on endine a m P T r r r = +  . Liikumisülesande lahendamiseks tuleb see kirjutada skalaarkujule, arvestades
keha kiirenduse suunda. Meie ülesandes liigub keha etteantud kiirendusega üles. Lugedes
kiirenduse suuna (alt-üles) positiivseks, saame võrrandi a m g m T ehk a m P T = − = − , 15 Antud: 5 = m kg a = 1 m/s 2 8 , 9 = g m/s 2 T = ?


millest niidi tõmme avaldub kujul ) ( a g m T + =  . Arvutamine annab tulemuseks ) ) 1 8 , 9 ( 5 ( + ⋅ = T  N = 54 N. Kiirendusega   üles   liikumisel   on   niidi   tõmme   alati   suurem   keha   raskusjõust.   See   on   ka
arusaadav,  sest  tuleb  ju  tasakaalustada   allapoole suunatud  raskusjõudu   ja  alles  seda  ületava
tõmbejõu saab keha hakata liikuma kiirendusega üles. Juhul kui niidi tõmme on raskusjõuga
võrdne,   on   keha   kogukiirendus   võrdne   nulliga.   Keha   võib   olla   paigal   või   liikuda   ühtlase
kiirusega kas üles või alla. Vastus: niidi tõmbejõud on 54 N. Näidisülesanne 12. Keha massiga 5 kg ripub venimatu niidi otsas. Kui suur on tõmbejõud
niidis keha liikumisel alla kiirendusega 2 m/s 2 ? Lahendus. Teeme joonise, millel on kujutatud kehale mõjuvad
jõud: niiti mööda üles suunatud niidi tõmbejõud T r  ja alla suunatud keha raskusjõud  P r . Jälle on tegemist kahe samasihilise jõuga. Keha
liikumise üldvõrrand on endine a m P T r r r = +  . Liikumisülesande lahendamiseks tuleb see kirjutada skalaarkujule,
arvestades keha kiirenduse suunda. Meie ülesandes liigub keha etteantud kiirendusega üles.
Lugedes kiirenduse suuna (ülalt-alla) positiivseks, saame võrrandi ma T mg ehk a m T P = − = −  . millest niidi tõmme avaldub kujul ) ( a g m T − =  . Arvutamine annab tulemuseks )) 2 8 , 9 ( 5 ( − ⋅ = T  N = 39 N. Vastus: niidi tõmbejõud on 39 N. 16 Antud: 5 = m kg a = 2 m/s 2 8 , 9 = g m/s 2 T = ?


NB! Siin toodud arutluskäik kehtib kiirenduste jaoks, mis rahuldavad tingimust  a ≤ g.
Erijuhul a = g on niidi tõmme võrdne nulliga ja keha langeb vabalt raskuskiirendusega g
(sellist olekut nimetatakse kaaluta olekuks). Keha kaal Iga  keha  iseloomustab   tema   mass.  Lisaks  sellele  räägitakse  veel keha  kaalust.
Keha kaal on definitsiooni kohaselt jõud, mis on võrdne selle keha poolt alusele
või toele mõjuva jõuga. Sellest definitsioonist lähtudes on selge, et keha kaal pole
kindel   fikseeritud   suurus,   vaid   sõltub   tema   liikumisolekust.   Kaal   võib   omada
väga erinevaid väärtusi ja olla isegi võrdne nulliga. Sel juhul räägitakse kaaluta
olekust. Eelmises kahes näites me tegelesime sisuliselt keha kaalu arvutamisega, sest keha
mõjutab niiti niidi tõmbega võrdse kuid vastassuunalise jõuga, mis definitsiooni
kohaselt   ongi   keha   kaal.   Nägime,   et   keha   liikumisel   allapoole   keha   kaal   on
väiksem  kehale  mõjuvast   raskusjõust,   liikumisel   ülespoole  aga   sellest  suurem.
Erijuhul   kui   keha   langeb   allapoole   vaba   langemise   kiirendusega
(raskuskiirendusega)   on   niidi   tõmme   võrdne   nulliga   ja   sel   juhul   räägitakse
kaaluta olekust. Juhul kui keha liigub üles või alla ühtlase kiirusega (kiirendus on
võrdne nulliga), on niidi tõmme võrdne kehale mõjuva raskusjõuga ja keha kaal
samuti võrdne temale mõjuva raskusjõuga.. Analoogiline   on   olukord   keha   kaaluga   liikuvas   liftis,   mis   sõltub   nii   lifti
kiirendusest kui liikumise suunast. Nüüd mõjub liftis olevale kehale raskusjõud ja
niidi tõmbejõu asemel lifti põranda poolt kehale mõjuv ülespoole suunatud jõud
(keha omakorda mõjutab lifti põrandat sama suure, kuid vastassuunalise jõuga,
mis on antud juhul keha kaaluks). Kõrvalolev joonis kujutab lifti liikumist kiirendusega a ülespoole.
Lifti liikumine on tingitud lifti trossi poolt mõjuvast tõmbejõust T r , mis tingib liftis olevale kehale (ka liftis sõitvas inimesele) põranda
poolt mõjuva jõu  1 T r . Analoogiliselt niidi otsas rippuva kehaga saame tulemuseks ) ( 1 a g m T + =  . Lifti liikumisel kiirendusega a allapoole saaksime tulemuseks ) ( 1 a g m T − =  . Nagu öeldud, on keha kaal võrdne jõuga, millega keha mõjutab lifti põrandat,
seega jõuga   1 T r −   , mida me joonise selguse huvides joonisele ei kandnud. Kaalu 17


väärtuse   saame   aga   arvutada   ülaltoodud   valemitest.   Erijuhul   kui   keha   liigub
ühtlaselt (a = 0) on kaal võrdne kehale mõjuva raskusjõuga, üldjuhul aga mitte. NB! Tasub teada, et vanemates õpikutes mõisteti kaalu all kehale mõjuvat raskusjõudu ja
sama võib leida ka mitmes kaasaegses õpikus. Seetõttu tasub iga raamatu korral selgeks
teha, kuidas selle autorid kaalu käsitlevad. Näidisülesanne 13. Üle liikumatu ploki asetatud paela otstele on kinnitatud koormused
massiga 1 kg ja 2 kg. Millise kiirendusega hakkavad koormused liikuma? Ploki mass,
hõõrdumine plokis ja paela mass jätta arvestamata. Lahendus. Anname kaks lahendust, millest esimene on
üldine ja võimaldab lahendada ka teisi
plokiülesandeid, teine aga lähtub lihtsatest
füüsikalistest kaalutlustest. Esimese lahenduse
korral kasutame juba tuntud kahe
vastassuunalise jõu valemeid, teise lahenduse
korral aga lähtume üldisest füüsikalisest
ettekujutusest ploki liikumisel. Teeme joonise, millel on kujutatud kehadele mõjuvad jõud. Igale
kehale mõjub tema raskusjõud (suunatud allapoole) ja paela
tõmbejõud (suunatud üles). Lahendus 1. Kehale massiga  1 m  mõjub allapoole suunatud raskusjõud  g m P r r 1 1 =  ja ülespoole suunatud paela tõmbejõud  T r . Teisele kehale massiga  2 m  mõjub analoogiliselt allapoole suunatud raskusjõud  g m P r r 2 2 =  ja ülespoole suunatud paela tõmme  T r  (kuna paela tõmme on paelas igal pool ühesugune, on ka mõlemale kehale mõjuva tõmbejõu väärtused ühesugused). Kui kehad poleks paelaga seotud, liiguks nad mõlemad raskusjõu mõjul allapoole. Nüüd pole
see aga võimalik, sest kui üks keha liigub allapoole, peab teine keha liikuma samapalju üles, ja
vastupidi. Kumb keha liigub üles, kumb alla, sõltub sellest, kummale kehale mõjuv jõud (antud
juhul raskujõud) on suurem. Antud juhul  2 1 m m > , mistõttu ka  2 1 P P > . Seega liigub keha massiga  1 m  kiirendusega a allapoole ja keha massiga  2 m  sama kiirendusega üles. Kirjutame nüüd välja mõlema keha liikumisvõrrandid. Vastavalt Newtoni II seadusele T P a m T P a m r r r r r r + = + = 2 2 1 1  . Võttes kiirenduse suuna positiivseks, saame nendest 2 2 1 1 P T a m T P a m − = − =  . 18 Antud: kg m 2 1 = kg m 1 2 = 2 / 8 , 9 s m g = a = ?


Kiirenduse leidmiseks tuleb võrranditest elimineerida niidi tõmme T. Selleks liidame ülemiste
võrrandite vastavad pooled. Tulemuseks saame 2 1 2 1 P P a m a m − = +  . Asendades  g m P 1 1 =  ja  g m P 2 2 =  ning võttes kiirendused sulgude ette g m m a m m ) ( ) ( 2 1 2 1 − = + saame kiirenduse g m m m m a 2 1 2 1 + − =  . Asendades arvandmed, saame koormuste kiirenduseks 2 2 / 3 , 3 / ) 8 , 9 1 2 1 2 ( s m s m a = ⋅ + − =  . Vastus: koormused hakkavad liikuma kiirendusega 3,3  2 / s m . Seejuures liigub suurema massiga koormus alla ja väiksema massiga koormus üles (meie oletus kehade liikumise kohta
oli õige, kuna kiirenduse väärtus tuli positiivne). Lahendus 2. Kui meid huvitab ainult kiirendus, nagu antud ülesandes nõutakse, siis saab selle leida
lihtsamalt, arvestades, et kiirendus on arvutatav kogujõu ja massi suhtest. Kehadele mõjuvad
nende raskusjõud, mis püüavad panna kehi liikuma eri suundades, seetõttu on nende kogujõud
võrdne jõudude vahega, kusjuures suuremast jõust tuleb lahutada väiksem g m m P P F k ) ( 2 1 2 1 − = − =  . Kuna kiirendusega a hakkavad liikuma mõlemad kehad, on kogumass, mis liigub, võrdne
nende masside summaga 2 1 m m m k + =  . Kogujõu ja kogumassi suhtest saamegi kiirenduse g m m m m m F a k k 2 1 2 1 + − = =  . Nagu näha, saime sama valemi, mis esimese lahenduse korral. Arvutamine annab loomulikult
sama tulemuse 2 / 3 , 3 s m a =  . 19


Vastus: koormused hakkavad liikuma kiirendusega 3,3  2 / s m . Jõu lahutamine komponentideks Newtoni II seaduse üldkuju võimaldas seda seadust rakendada juhul kui kehale
mõjub   mitu   jõudu   korraga.   Keha   liikumise   määrab   kogujõud   ehk   kehale
mõjuvate jõudude kogusumma. Osutub, et vahel on vaja toimida ka vastupidi ja
lahutada kehale mõjuv jõud kaheks komponendiks, mille vektorsumma on võrdne
etteantud jõuga ja vaadata eraldi liikumisi lahutamisel saadud komponentjõudude
sihis. Vaatame jõu lahutamist komponentideks veidi
lähemalt, sest sellega tuleb füüsikas tihti kokku
puutuda. Mingi jõu  F r  lahutamisel kaheks komponendiks tuleb meil leida sellised kaks
vektorit, mille vektorsumma on võrdne selle
sama jõuvektoriga 2 1 F F F r r r + =  . Sellist lahutamist saab teha lõpmata mitmel viisil ja sõltub sellest, milliseid
komponentvektoreid me otsime. Tõepoolest, kuna kahe vektori summa on võrdne
vektoriga, mis on ehitatud nendest vektoritest ehitatud rööpküliku diagonaalile,
siis on selge, selliseid rööpkülikuid, mis on sama diagonaaliga, on lõpmata palju.
Vektori lahutamisel komponentideks tulebki toimida nii, et joonestada rööpkülik,
mille diagonaal oleks lahutatava vektori sihiline ja pikkus võrdne selle vektori
mooduliga. Rööpküliku külgedele ehitatud vektorid ongi otsitavad
komponentvektorid. Füüsikalise probleemi korral ei toimita vektori lahutamisel
komponentideks juhuslikult, vaid lähtutakse ülesande füüsikalisest sisust. Sel
juhul antakse komponentvektorite suunad ette ja sel juhul on tulemus ühene. Oletame, et me oleme kehale mõjuva jõu lahutanud kaheks komponendiks  1 F r  ja 2 F r . Kirjutades mõlema komponendi jaoks Newtoni II seaduse kujul 1 1 a m F r r =      ja      2 2 a m F r r = , kus  1 a r  ja  2 a r  on jõukomponentide sihilised kiirendused, on Newtoni II seadus a m F r r = kehtiv, kusjuures keha tegelik kiirendus on võrdne nn komponentkiirenduste
summaga  2 1 a a a r r r + = . Seega lubab matemaatika meil alati vajadusel vaadata keha 20


liikumisi mingites etteantud suundades, lahutades jõu vastavalt komponentideks.
See, millisel viisil komponentideks lahutamist teha, sõltub tihti sellest kuidas
vaadeldav keha liikuda saab. Näidisülesanne 14. Kui suure kiirendusega libiseb keha mööda kaldpinda alla, kui kaldpinna
kaldenurk on 20 0 ? Hõõrdumist kaldpinna ja keha vahel ei arvestata. Lahendus. Vaatame keha kaldpinnal ja selgitame, millised jõud
keha liikumist mõjutavad.
Kehale mõjub raskusjõud P r , kuid kuna keha asetseb
kaldpinnal, siis ta vertikaalselt allapoole liikuda ei saa, keha saab
liikuda ainult kaldpinda mööda alla. Keha
ilmselt mõjutab ka kaldpinda, rõhudes sellele
pinna ristsihis mingi kindla jõuga, mis sõltub
kaldpinna kaldest. Kuna keha kaldpinnaga risti olevas sihis liikuda ei saa, siis mõjub kaldpinna
poolt kehale ristsihilist jõudu tasakaalustav jõud. Toodud arutelust ilmneb, et keha liikumist mööda kaldpinda alla mõjutab kaldpinna sihiline
jõud, tema rõhumist kaldpinnale aga pinnaga risti olev jõud. See tähendab, et antud ülesandes
tuleb kehale mõjuv raskusjõud lahutada kaheks teineteisega risti olevaks komponendiks. Olgu keha mass m (mass pole meil küll antud, aga seda läheb meil jõu leidmisel esialgu vaja),
siis keha raskusjõud g m P r r =  . Lahutame selle kaheks ristsihiliseks komponendiks. Jooniselt on näha, et kui kaldpinna
kaldenurk on teada, avalduvad komponentjõud järgmiselt α α cos , sin 2 1 P F P F = =  . Nagu öeldud, on jõud  2 F r  tasakaalustatud pinna poolt mõjuva nn toereaktsiooniga, keha liikumise aga tingib kaldpinna sihiline jõud  1 F r . See jõud määrab ära keha kiirenduse. Newtoni II seadusest  1 F a m r r =  ehk skalaarkujul 1 F ma = saame α α sin sin mg P ma ≡ =  , 21 Antud: 0 20 = α g = 9,8  m/s 2 a = ?


mis peale massi taandumist annab keha kiirenduseks libisemisel mööda kaldpinda α sin g a =  . Arvutamine annab tulemuseks 2 2 0 / 4 , 3 / ) 20 sin 8 , 9 ( s m s m a = ⋅ =  . Vastus: keha libiseb mööda kaldpinda alla kiirendusega 3,4 m/s 2  . Näidisülesanne 15. Millise kiirendusega liigub keha mööda kaldpinda alla, kui kaldpinna
kõrgus on 1 m, pikkus 2 m ja hõõrdetegur keha ning kaldpinna vahel on 0,1? Lahendus. Teeme joonise. Kehale
mõjuva raskusjõu lahutame
samamoodi kaheks
komponendiks, nagu
eelmises ülesandes: α α cos , sin 2 1 P F P F = =  . Erinevus on nüüd selles, et kaldpinna
kaldenurga asemel on antud kaldpinna kõrgus ja pikkus. Nendest saab samuti leida kaldpinna
kaldenurga siinuse ja koosinuse s h s s h 2 2 cos , sin − = = α α  , lähtudes sellest, et meil on tegemist täisnurkse kolmnurgaga, mille hüpotenuus on s, kaatetid h ja  2 2 h s −  . Hõõrdejõu olemasolu korral mõjutab keha liikumist kaks jõudu, jõud  1 F  ja liikumist takistav hõõrdejõud  N h F F µ = , kus  N F  on hõõrduvate pindade normaali sihis mõjuv jõud. Kuna antud juhul  2 F F N = , siis hõõrdejõud α cos 2 kP kF F h = =  . Kuna hõõrdejõud on alati liikumisele vastassuunaline, siis võime vastavalt Newtoni II
seadusele kirjutada ) cos (sin cos sin 1 α α α α k mg kP P F F F ma h k − = − = − = =  . 22 Antud:
h= 1 m
s = 2 m 1 , 0 = µ g = 9,8  m/s 2 a = ?


Peale massi taandamist, saame kiirenduse arvutamise valemi ) cos (sin α α k g a − =  , mis siinuse ja koosinuse avaldist arvestades annab ) ( ) ( 2 2 2 2 h s k h s g s h s k s h g a − − ≡ − − = Arvutamine annab ) ) 1 2 1 , 0 1 ( 2 8 , 9 ( 2 2 − ⋅ − = a m/s 2 = 4,1 m/s2. Vastus: keha liigub mööda kaldpinda alla kiirendusega 4,1 m/s 2 . Siin ülesandes sõltub keha liikumine hõõrdejõu suurusest ja seda tasuks ülesande lahendamisel analüüsida. Kui  h F F < 1 , siis keha ei saa liikuma hakata. Antud ülesanne on ka näide selle kohta, kus ülesande
füüsikaline sisu on lihtne (tuleb selgitada liikumapanev jõud ja liikumist takistav jõud), kuid
lahendamine nõuab head matemaatika oskust. Näidisülesanne 16. Trammi ringtee raadius on 50 m. Tramm liigub sellel teeosal kiirusega 18
km/h. Kui suur peaks olema tee profiili kalle, et tramm ei avaldaks rööbastele külgsurvet? Lahendus. Teeme joonise trammile
mõjuvatest jõududest Kui tramm sõidab ringteel (kurvis), siis ta liigub sõltuvalt kiirusest teatava
kesktõmbekiirendusega  r v a / 2 =  ja selle peab tekitama ringi keskpunkti poole suunatud kesktõmbejõud r v m F 2 =  . Kui me tahame, et tramm ei avaldaks kurvis liikumisel rööbastele survet, on ainukeseks
trammile mõjuvaks jõuks tema raskusjõud. See peab tagama kurvis liikumiseks vajaliku
kesktõmbejõu. Lahutame raskusjõu kaheks komponendiks selliselt, et üks oleks suunatud kurvi
tsentrisse ja teine risti kaldteega. Nagu jooniselt on näha, avaldub kurvi tsentrisse suunatud jõukomponent raskusjõu kaudu
järgmiselt 23 Antud:
r = 50 m
v = 18 km/h = 5 m/s
g = 9,8 m/s 2 ? = α


α α tan tan mg P F ≡ =  . Juhul kui see jõukomponent tekitab kurvis liikumiseks vajaliku kesktõmbejõu, saame r v m mg 2 tan = α  , millest omakorda saab avaldada  α tan  (ja tangensi väärtusest nurga α) g r v 2 tan = α Arvutamine annab 051 , 0 8 , 9 50 5 , 2 tan 2 = ⋅ = α  . Nüüd on nurga leidmiseks kaks võimalust, kalkulaatorilt saame nurga väärtuseks
nurgakraadides 0 9 , 2 = α  . Kui me annaks vastuse radiaanides, saaks kasutada asjaolu, et väikeste nurkade korral α α = tan , millest rad 051 , 0 = α  . Vastus: selleks, et tramm ei avaldaks kiirusega 18 km/h liikudes rööbastele külgsurvet, peab
tee profiili kalle olema 2,9 0  (0,051 rad). Kuna teine jõukomponent on antud juhul kaldteega
risti, ei avalda trammi rattad rööbastele külgsurvet. Kommentaar. Analoogiline olukord on ka autoga kurvis liikumisel. Kurvis liikumiseks peab
tekkima vajalik kesktõmbejõud. Selleks ehitatakse teekurvid kaldu (nö profileeritakse). Kuna
auto ei liigu rööbastel, siis sõltub auto liikumine kurvis oluliselt tee kaldest, samuti tee ja
rehvide vahelisest hõõrdejõust. Sõltuvalt teekaldest saame ülaltoodud valemist leida kiiruse, mille korral autole kurvis liikumisel külgsurvet ei avaldata  α tan g r v =  . Seda kiirust võib lugeda ohutuks kiiruseks kurvi läbimisel. Kui aga auto kiirus on suurem, on suurem ka
kesktõmbejõud ja vajalik täiendav kesktõmbejõud saab tekkida tee ja rehvide vahelisest
hõõrdejõust. Siin on aga loomulik piir, sest kui hõõrdejõust enam ei piisa, libiseb auto lihtsalt
teelt välja. Lisaks selle võib auto paiskuda ka külili, sest autole mõjuvad jõud on rakendatud
erinevalt, hõõrdejõud mõjub teekatte ja rataste vahel, raskusjõud ja kesktõmbejõud on aga
rakendatud masskeskmesse, mistõttu autole rakendatud jõumomendid ei ole tasakaalus. Ülalöeldu on ka põhjuseks, miks teekurvid ehitatakse alati kaldega sissepoole. Kurvi kalle on
enamasti arvutatud selliselt, et seda saaks auto lubatud sõidukiirusega ohutult läbida. Kui kurvi
ees kiirust piiravat märki ei ole, siis tasuks arvestada meil lubatud piirkiirusega 90 km/h.
Suurematel kiirustel ja ka libedaga muutub kurvi läbimine riskantseks. 24


2.3 Harmoonilised võnkumised Võnkumised kujutavad endast perioodilisi liikumisi, kus keha oma liikumisel
teatud ajavahemiku järel läbib samu punkte. Liikumine on ruumis piiratud ja
toimub teatud äärepunktide vahel, läbides nn tasakaaluasendit ja kordudes
perioodiliselt. Üks lihtsamaid perioodilisi liikumisi on siinuseline liikumine, kus keha
kõrvalekalle oma tasakaaluasendist avaldub kas siinuse või koosinuse kaudu.
Siinuselisi võnkumisi nimetatakse harmooniliseks võnkumiseks. Kirjeldades
harmooniliselt võnkuva keha liikumist x-teljel, avalduks keha kõrvalekalle
järgmiselt ) cos( α ω + = t A x ,  kus A on võnkumiste amplituud (maksimaalne kõrvalekalle tasakaaluasendist) ja
ω  võnkumiste ringsagedus. Suurust  α ω + t  nimetatakse võnkumiste faasiks ja suurust α võnkumiste algfaasiks (faasi väärtus ajahetkel t = 0). Harmoonilised võnkumised tekivad siis kui kehale mõjub elastsusjõud x k F − =  . Võnkumiste ringsagedus on ära määratud jõuteguri k ja võnkuma keha massi m
kaudu järgmiselt m k = ω  . Võnkeperiood T , mis annab aja, mille jooksul võnkumine kordub, on seotud
ringsagedusega järgmiselt k m T π ω π 2 2 = =  . Ringsagedus on seotud võnkumiste sagedusega f (täisvõngete arvuga ajaühikus)
valemiga π ω 2 = f  . 25


Võnkeperiood (ühele täisvõnkele kuluv aeg) T ja võnkesagedus on teineteise
pöördväärtused f T 1 =  . NB! Reaalsetes süsteemides tekivad harmoonilised võnkumised enamasti suhteliselt
väikestel hälvetel tasakaaluasendist, sest ainult väikestel hälvetel on jõud võrdeline
hälbega. Suurematel hälvetel lineaarsus kaob. Seetõttu on praktilistes rakendustes vaja
alati teada, millistel hälvetel võime kehale mõjuvad jõudu lugeda elastsusjõuks. Isegi
vedrude korral, kus jõud on võrdeline hälbega ka suhteliselt suurte hälvete korral, on
olemas oma elastsuspiir, millest alates vedru „venib” välja ja tema algolek ei taastu.  Vedru otsa riputatud keha võnkumine. Riputades vedru otsa kuulikese massiga m
tekivad kuulikese väljaviimisel tasakaaluasendist harmoonilised võnkumised.
Kuna kuulikesele mõjub ühelt poolt vedru elastsusjõud  x k F − =  ja teiselt poolt raskusjõud  g m P = , siis tekib uus tasakaaluasend  0 x , kus need kaks jõudu on tasakaalus. Jõudude võrdsusest  g m x k = 0  saame võnkeperioodi arvutada vedru pikenemise  0 x  ja raskuskiirenduse g kaudu järgmiselt g x k m T 0 2 2 π π = =  . Matemaatilise pendli võnkumine. Matemaatiliseks pendliks loetakse
idealiseeritud süsteemi, mis kujutab endast venimatu ja kaalutu niidi otsa
riputatud punktmassi. Viies pendli välja vertikaalsest tasakaaluasendist, tekivad
väikestel hälvetel harmoonilised võnkumised, mille periood avaldub pendli
pikkuse l ja raskuskiirenduse g kaudu järgmiselt g l T π 2 =  . Võnkumised on veel küllalt heas lähenduses vaadatavad harmoonilistena isegi
siis, kui niidi maksimaalne kõrvalekalle on 30 0 . Suurematel hälvetel on pendli võnkumine perioodiline, aga ei avaldu enam harmoonilistel võnkumistel kehtiva
lihtsa seosega. Näidisülesanne 17. Vedru otsa riputatud kuulikese mõjul pikeneb vedru 6 cm võrra. Kui suur
on sellise vedrupendli võnkeperiood? 26


Lahendus. Teeme joonise. Vasakul on vedru
vabas olekus. Kuulikese riputamisel
pikeneb vedru  0 x  võrra. Tekib tasakaaluasend, kus kuulikese
raskusjõud on tasakaalustatud vedru
elastsusjõuga 0 x k g m =  . Siit saame leida vedru elastsusjõu koefitsiendi (vedru jäikuse) 0 x g m k =  . Kuulikese väljaviimisel tekkinud uuest tasakaaluasendist hakkavad vedru elastsusjõu mõjul
toimuma harmoonilised võnkumised, mille ringsagedus arvutatakse valemist 0 x g m k = = ω  . Viimases võrduses me arvestasime varem saadud elastsusjõu koefitsiendi avaldist. Võnkeperioodi saame leida valemist g x T 0 2 2 π ω π = =  . Arvutamine annab tulemuseks s s T 49 , 0 ) 8 , 9 06 , 0 2 ( = ⋅ ⋅ = π  . Vastus: saadud vedrupendli võnkeperiood on 0,49 s. Näidisülesanne 18. Kui pikk peaks olema kellapendli pikkus, et pendli
võnkeperiood oleks 1 sekund? Eeldame, et kellapendlit võib vaadata
matemaatilise pendlina. Lahendus. 27 Antud: m cm x 06 , 0 6 0 = = g = 9,8 m/s 2 T = ? Antud:
T = 1 s
g = 9,8 m/s 2 l = ?


Teeme joonise, mis kujutab matemaatilise pendli võnkumist. Matemaatilise pendli võnkeperiood arvutatakse valemiga g l T π 2 =  . Kuna meil võnkeperiood on antud, tuleb arvutada pendli pikkus. Selleks võtame perioodi
valemi ruutu g l T 2 2 4π =  , millest pendli pikkus 2 2 4π g T l =  . Arvutamine annab pendli pikkuseks ) 4 8 , 9 1 ( 2 2 π ⋅ ⋅ = l  m = 0,25 m . Vastus: kellapendli pikkus peab olema 0,25 m (25 cm). 2.4 Mitteinertsiaalne taustsüsteem NB! Võib esimesel lugemisel vahele jätta. Seni me eeldasime, et taustsüsteem, milles me liikumisi vaatame on inertsiaalne.
Teisisõnu me eeldasime, et alati kehtib Newtoni I seadus: vaba keha on kas 28


paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt. Inertsiaalses taustsüsteemis kehtib
kehade liikumisel Newtoni II seadus kujul a m F k r r =  . Siit järeldub tõepoolest, et kui kehale jõudusid ei mõju (tegemist on vaba kehaga)
või on kehale mõjuv kogujõud võrdne nulliga, on ka keha kiirendus võrdne
nulliga ja keha liigub ühtlaselt ning sirgjooneliselt (erijuhul võib olla ka paigal). Inertsiaalsed taustsüteemid ei ole aga ainukesed. Lisaks inertsiaalsetele
taustsüsteemidele on olemas mitteinertsiaalsed taustsüsteemid. Need on
taustsüsteemid, mis liiguvad mistahes inrtsiaalsüsteemi suhtes kiirendusega.
Sirget teed mööda ühtlase kiirusega liikuvat autobussi võime lugeda
inertsiaalsüsteemiks. Kui aga autobuss väljub peatusest, siis ta teatud teelõigil
liigub kiirendusega ja sel juhul on autobussiga seotud taustsüsteem juba
mitteinrtsiaalne. Sama on pidurdamise ajal peatusesse jõudmisel.
Mitteinertsiaalses taustsüsteemis Newtoni seadus ülaltoodud kujul ei kehti, sest
lisaks kehadele mõjuvatele tavajõududele tekivad mitteinertsiaalses süsteemis nn
inertsijõud, mis võivad olla üsna keerukad ja sõltuvad otseselt mitteinertsiaalse
taustsüsteemi kiirendusest. Lihtsa kujuga on inetrijõud siis kui mitteinertsiaalne süsteem liigub inertsiaalse
taustsüsteemi suhtes liikumissihilise kiirendusega  0 a r  (näiteks autobuss kiirendamisel või pidurdamisel). Sel juhul mõjub selles süsteemis igale
paigalseisvale kehale inertsijõud 0 a m F i r r − =  . Sellest valemist on näha, et inertsijõud on alati võrdeline keha massiga ja
suunatud süsteemi kiirendusele vastupidises suunas. Illustreerime seda järgmiste
lihtsate joonistega. Vasakpoolsel joonisel alustab auto liikumist ja liigub seetõttu
liikumissuunalise kiirendusega  0 a r . Kõikidele autos olevatele kehadele mõjub kiirendusele vastassuunaline inertsijõud (antud juhul ka liikumisele
vastassuunaline). Auto pidurdamisel on aga vastupidi (parempoolne joonis), auto
kiirendus on liikumisele vastassuunaline, inertsijõud on aga suunatud auto
liikumise suunas. Mõlemad jõud on tänapäeva ohtlikus liikluses üsna olulised. Nimelt, auto väga
järsul pidurdumisel (näiteks autode kokkupõrkel) võib inertsijõud paisata inimese 29


esiistmelt vastu auto esipaneeli ja klaasi, tekitades eluohtlikke vigastusi. Selliste
vigastuste ärahoidmiseks ongi kasutusel turvavööd ja õhkpadjad, mis sellist
liikumist takistavad. Tagant otsasõidul on aga inertsijõu mõjul liikumine
vastassuunaline, mistõttu autos istuja pea paiskub tahapoole ja võib tekkida
kaelaluu murd. Viimase ärahoidmiseks on autoistmetel kaelatoed. Enamasti me loeme Maa pinnaga seotud taustsüsteemi inertsiaalseks. Tegelikult
see üsna heas lähenduses nii ongi, kuid täpsemal analüüsil on vaja arvestada Maa
pinnaga seotud taustsüsteemi mitteinertsiaalsust, mis on tingitud Maa
ööpäevasest pöörlemisest oma telje ümber. Maa pinna punktid liiguvad seetõttu
kiirendusega ja tingivadki vastava taustsüsteemi mitteinertsiaalsuse. See
mitteinertsiaalsus on küll väga väike (ekvaatoril asetseva maapinna punkti
kesktõmbekiirendus on ainult 0,03 m/s2), kuid annab mitmeid otseseid füüsikalisi
efekte, nagu näiteks see, et vabal langemisel ei lange kehad rangelt vertikaalselt,
vaid kalduvad veidi kõrvale. Samal põhjusel ei ole ka raskusjõud ainuüksi kehale
Maa poolt mõjuv gravitatsioonijõud, sellesse annab väikese panuse ka Maa
pöörlemisest tingitud inertsijõud. 2.7 Gravitatsioon Newtoni gravitatsiooniseadus Kahe punktmassi vahel mõjub tõmbejõud (gravitatsioonijõud), mis avaldub kujul 2 2 1 r m m G F =  , kus  1 m  ja  2 m  on kehade massid, r kehadevaheline kaugus ja G gravitatsioonikonstant. Sama kujuga gravitatsiooniseadus kehtib ka siis kui üks või mõlemad kehad on
kerakujulised ja sfäärilise massijaotusega. Sel juhul on r kaugus kerade
keskpunktide vahel. Näidisülesanne 19. Kui suur on Maa ja Kuu vaheline gravitatsioonijõud? Lahendus. Teeme joonise.  F r  kujutab joonisel Maa poolt Kuule mõjuvat gravitatsioonijõudu.
Kuu mõjutab omakorda Maad sellega võrdse, kuid vastassuunalise jõuga  F r − . 30 Antud:
M = 5,96· 10 24 kg m = 7,35·10 22 kg r = 3,84·10 8 m G = 6,67·10 -11 (N·m3)/kg2 F = ?


Maa massi M, Kuu massi m, Maa ja Kuu vahelise keskmise kauguse r ja
gravitatsioonikonstandi võtsime tabelist. Maa ja Kuu on mõlemad sfäärilise massijaotusega, mistõttu nendevahelise gravitatsioonijõu
leidmiseks saab kasutada Newtoni gravitatsiooniseadust tavalisel kujul 2 r m M G F =  , ainult kauguseks tuleb võtta Maa ja Kuu keskpunktide vaheline kaugus. Kõik andmed on meil
olemas, tuleb ainult arvutada tulemus ) ) 10 84 , 3 ( 10 35 , 7 10 96 , 5 10 67 , 6 ( 2 8 22 24 11 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − F  N = 2·10 20 N . Vastus: Maa ja Kuu vaheline gravitatsioonijõud on 2·10 20 N. See jõud on tavamõistes ülisuur ja tingitud sellest, et vaatamata Maa ja Kuu vahelisele ülisuurele kaugusele on ka mõlema
taevakeha massid ülisuured. Tavakehade omavaheline gravitatsioonijõud on reeglina üliväike
ja me seda oma reaalelus ei tunneta. Nii on näiteks kahe 1kg kuulikese vaheline
gravitatsioonijõud kui kuulikestevaheline kaugus on 1 m üliväike: 6,67·10 -11 kg. Gravitatsioonijõud on arvestatav siis kui ühe keha mass on ülisuur, näiteks Maa ja maapinnal
asetseva keha vaheline gravitatsioonijõud. Näidisülesanne 20. Kui suur on Maa ja maapinnal asetseva 1 kg keha vaheline
gravitatsioonijõud? Lahendus. Teeme joonise.
Joonisel on
kujutatud
maapinnal 31 Antud:
M = 5,96· 10 24 kg m = 1 kg
R = 6,37·10 6 m G = 6,67·10 -11 (N·m3)/kg2 F = ?


olevale kehale Maa poolt mõjuv gravitatsioonijõud  F r  (maapinnal olev keha mõjutab Maad sama suure, kuid vastassuunalise jõuga). Kuna Maa
on sfäärilise massijaotusega, saame kasutada Newtoni
gravitatsiooniseadust tavalisel kujul 2 R m M G F =  , ainult, et seekord tuleb kehadevaheliseks kauguseks võtta Maa raadius. Kõik andmed on meil olemas, tuleb ainult arvutada tulemus ) ) 10 37 , 6 ( 1 10 96 , 5 10 67 , 6 ( 2 6 24 11 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − F  N = 9,8 N . Vastus: Maa ja Maa pinnal asetseva 1 kg keha vahel mõjuv gravitatsioonijõud on 9,8 N. 1 kg
kehale mõjuv raskusjõud on teatavasti P = (1·9,8) N = 9,8 N. Miks see nii on selgitame
järgmises näidisülesandes. Näidisülesanne 21. Leida raskuskiirendus Maa pinnal kui see on tingitud ainult Maa ja Maa
pinnal asetseva keha vahelisest gravitatsioonijõust. Lahendus. Maa on ja Maa pinnal asetseva keha
vaheline gravitatsioonijõud on arvutatav
Newtoni gravitatsiooniseadust (vt eelmist
joonist) 2 R m M G F =  , kus M on Maa mass, m Maa pinnal oleva keha mass ja R Maa raadius. Maa pinna lähedal vabaks lastud kehad hakkavad Maa ja keha vahelise gravitatsioonijõu tõttu
langema suunaga Maa keskpunkti poole. Seda nimetatakse vabaks langemiseks. Newtoni II
seaduse kohaselt annab kehale mõjuv jõud kiirenduse g (antud juhul vaba langemise
kiirenduse) mg F =  . Kuna jõuks on gravitatsioonijõud, siis g m R m M G F = = 2  , millest raskuskiirendus 32 Antud:
M = 5,96· 10 24 kg R = 6,37·10 6 m G = 6,67·10 -11 (N·m3)/kg2 g = ?


2 R M G g =  . Arvutamine annab tulemuseks ) ) 10 37 , 6 ( 10 96 , 5 10 67 , 6 ( 2 6 24 11 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − g  m/s 2 = 9,8 m/s2 . Vastus: raskuskiirendus, tingituna Maa ja Maa pinnal asetseva keha vahelisest
gravitatsioonijõust, on 9,8 m/s 2. Kommentaar. Siin arvutatud tulemus 9,8 m/s 2 langeb väga hästi kokku meie poolt tavaarvutustes kasutava raskuskiirenduse väärtusega. Sellest võib jääda mulje, et
raskuskiirendus ongi tingitud ainult Maa ja Maa pinnal asetseva keha vahelisest
gravitatsioonijõust. Osutub, et see päris nii ei ole. Raskuskiirendust mõjutab üsna vähesel
määral ka Maa ööpäevasest pöörlemisest tingitud mitteinertsiaalsus, mistõttu näiteks ekvaatoril
on raskuskiirendus väiksem kui poolustel (erinevus on võrdne meie poolt arvutatud ekvaatoril
asetseva maapinna punkti kesktõmbekiirendusega 0,03 m/s 2 ). Nagu juba öeldud, võib paljudel juhtudel lugeda Maa pinnaga seotud taustsüsteemi inertsiaalseks, sest Maa pöörlemisest
tingitud mitteinertsiaalsus on küllalt väike. Täpsematel mõõtmistel tuleb aga mitteinertsiaalsust
arvestatada. 33


NB! Valemid, mis on vaja kindlasti meeles pidada. Newtoni II seadus Kehale mõjuv jõud määrab keha kiirenduse. Valemina a m F r r =  , kus m on vaadeldava keha mass. Juhul kui kehale mõjub samaaegselt mitu erinevat jõudu, määrab keha kiirenduse
kehale mõjuv kogujõud a m F k r r =  . Kehale mõjuv kogujõud  k F r  on võrdne kõikide kehale mõjuvate jõudude vektorsummaga n k F F F F r L r r r + + + = 2 1  . Raskusjõud g m P =  , kus g on raskuskiirendus ja m on vaadeldava keha mass. Elastsusjõud x k F − =  , kus k on jäikus, x deformatsiooni suurus. Hõõrdejõud Ühe keha libisemisel teise keha pinnal mõjub liikumissuunale vastupidine
hõõrdejõud N h F F µ =  , kus µ on hõõrdetegur (liugehõõrdetegur)  N F  on keha kokkupuutepinnaga risti olev jõukomponent (jõu normaalkomponent). 34


Kesktõmbejõud Ringjoonelisel liikumisel mõjub kehale ringi tsentrisse suunatud kesktõmbejõud r v m F 2 =  , kus v joonkiirus ja r ringi raadius. Kiirendust  r v a / 2 =  nimetatakse kesktõmbekiirenduseks. 35


Ülesandeid iseseisvaks lahendamiseks 2.1 Kehale massiga 15 kg mõjub konstantne jõud 35 N. Milline on keha kiirendus? (2,3 m/s 2) 2.2 Kaks keha liiguvad võrdsete jõudude mõjul – esimene kiirendusega 1 m/s 2, teine 4 m/s2. Esimese keha mass on 6 kg. Kui suur on teise keha mass? (1,5 kg) 2.3 Auto massiga 2400 kg, alustades sõitu, saavutab 12 s möödudes kiiruse 32 m/s. Eeldades,
et auto liikumine oli ühtlaselt kiirenev, leida autole mõjuv kiirendav jõud. (6,4 kN) 2.4 Auto massiga 2 t liigub kiirusega 12 m/s. 8 s möödudes on auto kiiruseks 30 m/s. Kui suur
on autot kiirendav jõud? (4,5 kN) 2.5 Reaktiivlennuk kogumassiga 125 t peab õhkutõusmiseks saavutama kiiruse 216 km/h. Kui
suur peab olema lennukile mõjuv tõmbejõud, et tõusta õhku 2 km pikkusel stardirajal?
(Õhutakistust lennukile ei arvestata.) (110 kN) 2.6 Naela lüüakse puusse haamriga, mille mass on 1,5 kg. Haamer tabab naela pead kiirusega 6
m/s, löök kestab 0,001 s. Kui suur on naelale mõjuv keskmine jõud? Kui palju liigub nael ühe
haamrilöögiga puusse? (9 kN, 3 mm) 2.7 Auto massiga 1500 kg liigub esimesed 8 sekundit kiirendusega 2 m/s 2 ja järgmised 10 s kiirendusega 1 m/s 2. Leida autole esimese 8 s jooksul mõjuv jõud, teise 10 s jooksul mõjuv jõud ja auto poolt 18 s jooksul läbitud teepikkus kui auto alustab sõitu paigalseisust. (3 kN, 1,5
kN, 274 m) 2.8 Leida jõud, mis on vajalik kehale massiga 50 kg kiirenduse 4,2 m/s 2 andmiseks, kui a) keha liigub horisontaalselt maapinnaga?, b) keha liigub vertikaalselt üles? (210 N, 700 N) 2.9 Tõstuki mass on 800 kg. Millise kiirendusega ja mis suunas liigub tõstuk, kui tõstukit
hoidvale trossile mõjub jõud: a) 12 kN ?, b) 6 kN ? (5,3 m/s 2 üles. 2,3 m/s2 alla) 2.10 Terastraat peab vastu koormusele 4400 N. Millise suurima kiirendusega võib tõsta traadi
otsa kinnitatud koormust massiga 400 kg, et traat ei katkeks? (1,2 m/s 2) 2.11 Puust klots massiga 1 kg asetseb horisontaalsel puust pinnal. Kui suurt horisontaalse
jõudu on vaja rakendada, et panna klots liikuma? Kui suur peaks olema liikuvale klotsile
mõjuv jõud, et klots liiguks ühtlase kiirusega? Pindadevaheline seisuhõõrdetegur on 0,35,
liugehõõrdetegur 0,20. (3,4 N, 2,0 N) 2.12 Autorehvi ja kiilasjää vaheline hõõrdetegur on 0,05. Kas auto saab hakata horisontaalsel
kiilasjääga kaetud teel liikuma kiirendusega a) 0,4 m/s 2; b) 0,7 m/s2? (a) saab, b) ei saa) 2.13 25 cm pikkuse niidi otsa kinnitatud kuulike massiga 75 g tiirleb horisontaalselt
sagedusega 2 p/s. Leida niidi tõmme. (3,0 N) 2.14 Teekurvil kallutas jalgrattur end 10 0 võrra vertikaalsihist. Millise kiirusega ta sõitis kui kurvi kõverusraadius on 60 m? (10 m/s) 36


2.15 Kaldpinnal kaldenurgaga 30 0 libiseb hõõrdumiseta alla klots. Kui palju aega kulub klotsil kaldpinnal 1 m pikkuse tee läbimiseks, kui klots lastakse liikuma paigalseisust? (0,64 s) 2.16 Kui suurt jõudu tuleb rakendada vedru otsas olevale kehale, et nihutada teda 5 cm võrra?
Vedru jäikus on 500 N/m. (25 N) 2.17 Kui vedru otsa riputada 200-grammise massiga koormis, pikeneb vedru 1 cm võrra. Kui
palju pikeneb vedru siis, kui selle otsa riputada 1,2 kilogrammise massiga koormis? Kui suur
on selle vedru jäikus? (6 cm, 200 N/m) 2.18 Kehale mõjuv raskusjõud on 98 N. Kui suur on selle keha mass? (10 kg) 2.19 Üle liikumatu ploki asetatud paela otstele on kummalegi kinnitatud koormis massiga 0,5
kg. Ühele koormisele lisatakse veel 0,2 kg. Millise kiirendusega hakkavad koormised liikuma?
(1,6 m/s 2) 2.20 Kui suur on kehale massiga 60 kg mõjuv raskusjõud Maa pinnal? Kui suur oleks sellele
kehale mõjuv raskusjõud Kuu pinnal, kus raskuskiirendus on 6 korda väiksem
raskuskiirendusest Maa pinnal? (590 N, 98 N) 2.21 Saksamaal Bremenis on ehitatud 144 m kõrgune torn katseteks kaalutuse tingimustes.
Torni tipust vabastatud konteiner langeb koos katsetatavate objektidega õhutühjas ruumis ja
maandub pehme materjaliga kaetud kaevus. Kui kaua kestab sellises katses kaaluta olek? (5,4
s) 2.22 Hävituslennuki lendurite koolitusel tuleb lenduritel teatud aja vältel (kuni 15 sekundit)
taluda horisontaaltasapinnas tiirleval tsentrifuugil kiirendust 9g . Kui suur on sellise kiirenduse
korral 75-kilogrammise massiga lenduri kaal (jõud, millega lendur mõjutab tsentrifuugi istme
seljatuge)? (6,6 kN) 2.23 Kui suur on 1 m pikkuse niidi otsas rippuva matemaatilise pendli võnkeperiood? Milline
on võnkeperiood siis, kui niidi pikkust vähendada kolmandiku võrra? (2,0 s, 1,6 s) 2.24 Kuidas muutub gravitatsioonijõud kahe keha vahel, a) kui nendevahelist kaugust
suurendada 4 korda, b) kui üks kehadest asendada 5 korda suurema massiga kehaga? c) kui
mõlemad kehad asendada 3 korda väiksema massiga kehaga? (a) väheneb 16 korda, b)
suureneb 5 korda, c) väheneb 9 korda) 37