Algebralised tehted funktsioonidega. Liitfunktsiooni mõiste. võrratust x>M. x. nende korrutis (x)(x) on lõpmatult kahanev piirprotsessis xa. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil Liitfunktsiooni määramispiirkond. Põhilised Muutuva suuruse x piirväärtus on miinus lõpmatus ehk ristkoordinaadistikus. Funktsiooni f graafiku definitsioon on elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsiooni definitsioon. muutuv suurus x läheneb miinus lõpmatusele, kui iga 12.Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine (sama järku, = {(, ()|| }. (JOONIS) Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. mistahes suure positiivse arvu M korral saab näidata ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). Tõestada, et lõpmatult
alused. · Õpetada lahendama mainitud teooriaga seotud põhilisi ülesandeid. · Näidata esitatud teooria võimalikke rakendusi praktikas ja teistes teadus- harudes. · Harjutada üliõpilasi matemaatilise sümboolikaga. Maht: 5 EAP ainepunkti, nädalatundide arv 2-0-2. Eeldusained: pole. Õppeaine sisu (orienteeruva loenguteks jaotusega): 1. Kasutatav sümboolika. Funktsiooni mõiste ja omadused. Elementaarfunktsioonid. 2. Jada piirväärtus. Arv e. 3. Funktsiooni piirväärtus. Joone asümptoodid. Lõpmata väikesed ja lõpmata suured suurused. Funktsiooni pidevus. Lõigul pidevate funktsioonide omadused. 4. Funktsiooni tuletis. Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetri-liselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 5. Kõrgemat järku tuletised. Leibnizi valem
muutumispiirkonnaks. Funktsioon f on eeskiri, mis seab ühe muutuva suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast X vastavusse teise muutuva suuruse y kindla väärtuse selle muutumispiirkonnast Y. Arvu x nimetatakse funktsiooni f argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja hulka X funktsiooni f määramispiirkonnaks, arvu y nimetatakse funktsiooni väärtuseks ehk sõltuvaks muutujaks ja hulka Y funktsiooni väärtuste hulgaks. Loetleme siinkohal üles põhilised elementaarfunktsioonid: 1) konstantne funktsioon y = c ; 2) astmefunktsioon y = x , kus on reaalarv; 3) eksponentfunktsioon y = a x , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1) ; 4) logaritmfunktsioon y = log a x , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1) ; 5) trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x ; 6) arkusfunktsioonid y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arc cot x . Toome sisse liitfunktsiooni mõiste.
e.i.2. y=arcosx X[-1;1] Y=[0;] e.i.3. y=arctanx X=R Y e.i.4. y=arccotx X=R Y(0;) e.i.5. Arkusfunktsiooni graafikud on trigonomeetriliste funktsioonide ahendite graafikute peegeldused üle sirge y=x (JOONISED) 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Liitfunktsiooni mõiste. Liitfunktsiooni määramispiirkond. Põhilised elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsiooni definitsioon. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. a. Algebralised tehted funktsioonidega Funktsioonide f ja g summa on kujutis, mis seab igale xX vastavusse muutuja y väärtuse valemiga y=f(x) + g(x). Kehtib seos y=(f+g)(x)=f(x)+g(x). f ja g vahe y=(f-g)(x)=f(x)-g(x). f ja g korrutis y=f(x)*g(x). f ja g jagatis y=f(x)/g(x), g(x)0 Summa vahe ja korrutise korral X=R b
P P0 Funktsiooni pidevus Olgu antud funktsioon w = f ( x, y , z ,...) ( x, y, z ,...) D ja punkt P0 = ( x0 , y 0 , z 0 ,...) D . Kui kehtib võrdus lim f ( P ) = f ( P0 ) , siis öeldakse, et funktsioon f on pidev punktis P0. P P0 Kui funktsioon on pidev oma määramispiirkonna igas punktis, siis öeldakse et antud funktsioon on pidev. Kõik elementaarfunktsioonid on pidevad. Funktsiooni määramispiirkonna punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse antud funktsiooni katkevuspunktiks. Mitme muutuja funktsiooni diferentseerimine Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Olgu antud funktsioon w = f ( x, y , z ,...) . Funktsiooni f osatuletiseks muutuja x järgi nim. ühe muutuja funktsiooni tuletist, mis saadakse funktsiooni f ülejäänud muutujate lugemisel konstantideks.
Seega võime kirjutada võrduse z = (g f)(x) = g[f(x)]. Liitfunktsiooni g f määramispiirkond ei tarvitse kattuda f määramispiirkonnaga. Liitfunktsioon g f on määratud ainult sellistel x-i väärtustel hulgas Xf , mille korral f(x) asub funktsiooni g määramispiirkonnas. Tõepoolest, ainult sellisel juhul saame me leida funktsiooni g väärtuse kohal f(x) ehk suuruse g[f(x)]. Seega on g f määramispiirkond järgmine: Xgf = {x || x Xf , f(x) Yg} . Põhilised elementaarfunktsioonid. Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa, y = ax, y = sinx, y =cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooni definitsioon. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel.
Seega võime kirjutada võrduse z = (g ◦ f)(x) = g[f(x)]. Liitfunktsiooni g ◦ f määramispiirkond ei tarvitse kattuda f määramispiirkonnaga. Liitfunktsioon g ◦ f on määratud ainult sellistel x-i väärtustel hulgas Xf , mille korral f(x) asub funktsiooni g määramispiirkonnas. Tõepoolest, ainult sellisel juhul saame me leida funktsiooni g väärtuse kohal f(x) ehk suuruse g[f(x)]. Seega on g ◦ f määramispiirkond järgmine: Xg◦f = {x || x ∈ Xf , f(x) ∈ Yg} . Põhilised elementaarfunktsioonid. Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa, y = ax, y = sinx, y =cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooni definitsioon. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel.
Hüperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid on: , hüperboolne siinus , hüperboolne koosinus , hüperboolne tangens , hüperboolne kotangens Funktsioonide sinh x, cosh x, tanh x ja coth x pöördfunktsioonid on nn areafunktsioonid: x = arsinh y areasiinus, x = arcosh y areakoosinus, x = artanh y areatangens, x = arcoth y areakotangens. Nii hüperboolsed triginomeetrilised funktsioonid, kui ka areafunktsioonid on elementaarfunktsioonid. 7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk, mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. MUUTUVA SUURUSE PIIRVÄÄRTUSE DEFINITSIOON Olgu x järjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes
antud funktsioone. Astmefunktsioon: y = xa Logaritmfunktsioon: y = logax Eksponentfunktsioon: y = ax Trigonomeetrilised funktsioonid: y= sin x, y =cos x, y= tan x , y = cot x Arkusfunktsioonid: y = arcsin x , y = arccos x , y = arctan x , y = arccot x Eksponentfunktsioon: y = ax 30.Elementaarfunktsioonid Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest (y = kx, y = ax2 + bx + c) 31.Liitfunktsiooni mõiste Liitfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis saadakse kahe funktsiooni järjest rakendamisel. 32.Pöördfunktsiooni mõiste; pöördfunktsiooni määramis ja muutumispiirkond Funktsiooni pöördfunktsioon on funktsioon -1, mis seab igale muutumispiirkonna väärtusele y vastavusse need väärtused x
X 7. Liitfunktsioon ja pöördfunktsioon. Definitsioon : Kui y=f(u), kus u=g(x), siis öeldakse, et y on muutuja x suhtes liitfunktsioon , ja kirjutatakse: y=f[g(x)]. 8. Põhilised elementaarfunktsioonid (omadused, graafikud). Liigitus Üldkuju Määramispiirkond Muutumispiirkond x Eksponentfunktsioon y=a a>0,a≠1 X=(∞;∞) Y=(0;∞) Logaritmfunktsioon y=logx a>0,a≠1
Parabool (mõiste, kanooniline võrrand, tähiste selgitused) Parabooliks nim kõigi selliste punktide P hulka tasandil, millest iga punkti kaugused etteantud sirgest s ja sellel mittekuuluvast punktist F on võrdsed. Sirget s nim selle parabooli juhtjooneks, punkti F aga fookuseks. Teist järku joon, mille iga punkt paikneb fikseeritud punktist (fookusest) ja etteantud juhtjoonest võrdsel kaugusel. Kanooniline võrrand: 28. Ühe ja mitme muutuja funktsiooni mõisted. Elementaarfunktsioonid. Ühe muutuja funktsioon kui igale muutuja x väärtusele piirkonnas X vastab üks kindel muutuja y väärtus piirkonnas Y, siis öeldakse, et on antud funktsioon x-st ehk y=f(x). X sõltumatu muutuja, y sõltuv muutuja. Mitme muutuja funktsioon kui iga vektori (x1, x2, ..., xn) korral saab leida ühe kindla muutuja w väärtuse, siis see w on funktsioon muutujatest x1, x2, ..., xn. w=f(x1,x2,...,xn).
seosed: 1. 2. 3. 4. Summa, vahe ja korrutise määramispiirkonnaks on X, jagatise puhul aga kus · Liitfunktsiooniks nimetame funktsiooni mis saadakse mitme funktsiooni järjest rakendamisel. · Liitfunktsiooni määramispiirkond - on määratud ainult sellistel x väärtustel, mille korral asub funktsiooni g määramispiirkonnas. Järelikul on määramispiirkond järgmine · Elementaarfunktsioonid funktsioonid mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena. Põhilised elementaarfunktsioonid on nt: jne. · Polünoomfunktsioon n astme polünoom on defineeritud avaldisega · Ratsionaalfunktsioon - on kahe polünoomi jagatis. 6. · Ilmutatud funktsioon Funktsiooni ilmutatud kujuks on võrrad mille vasakul pool on y ja
Seega võime kirjutada võrduse z = (g f)(x) = g[f(x)]. Liitfunktsiooni g f maaramispiirkond ei tarvitse kattuda f maaramispiirkonnaga. Liitfunktsioon g f on maaratud ainult sellistel x-i väärtustel hulgas Xf , mille korral f(x) asub funktsiooni g maaramispiirkonnas. Tõepoolest, ainult sellisel juhul saame me leida funktsiooni g väärtuse kohal f(x) ehk suuruseg[f(x)]. Seega on g f maaramispiirkond järgmine: Xgf = {x || x Xf , f(x) Yg} Põhilised elementaarfunktsioonid: konstantne, astme, eksponent, trigonomeetrilised funktsioonid ja nende pöördfunktsioonid. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid. Polünoom on hulkliige, mis on moodustatud muutujatest (ehk
3.1 Funktsiooni mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Üksühesus ja pealekujutus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 Liitfunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4 Pöördfunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.5 Põhilised elementaarfunktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 SISUKORD 3.6 Elementaarfunktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.7 Jadad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
(T)=X ja iga t korral T kehtib (t)=f((t)) nim. funktsiooni f parameetriliseks esituseks ning kõneldakse parameetriliselt esitatud funktsioonist f. DEF 16. Punkti (x;y) kohavektori pikkust nim. polaarraadiuseks. Nurka , mille punkti (x;y) kohavektor moodustab x-telje pos. Suunaga nim. polaarnurgaks, kusjuures vastu kellaosuti liikumise suunda mõõdetud nurk loetakse positiivseks ja kellaosuti liikumise suunas mõõdetud nurk negatiivseks. 1.2 Elementaarfunktsioonid 1.Konstantne funktsioon y=c 2.Astmefunktsioon y=x 3.Eksponentfunktsioon y=ax 4.Logaritmfunktsioon y=logax 5.Trigonomeetrilised funktsioonid y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx DEF 1. Elementaarfunktsiooniks nim. iga funkstiooni, mis on esitatav põhiliste elementaarfunktsioonide kaudu. DEF 2. Funktsiooni Pn(x)=a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an nim. n-astme polünoomiks ehk täisratsionaalseks funktsiooniks. Algebra põhiteoreem: igal komplekssete kordajatega n-astme polünoomil Pn(x) on täpselt n
ekvivalentseks lõpmata väikesteks (suurteks) suurusteks, kui limx x0 x/x =1 32. Funktsioon on pidev punktis a, kui leidub f(a), leidub lim_{xto a} , f(x) ja 8. Põhilised elementaarfunktsioonid (omadused, graafikud) lim_{xto a}=f(a)*Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle 1) konstantne funktsioon y0c funktsiooni katkevuspunktiks.*Katkev funktsioon- funktsioon y = f(x) on katkev 2)Astmefunktsioon y=xa , kohal a, kui on täidetud nt tingimus et f(x) pole määratud kohal a
Tähistused: argument(muutuja) x; argument(muutuja) y; määramispiirkond X; muutumispiirkond Y Näited: 2. Funktsiooni graafik (definitsioon, piltlik esitus). Definitsioon: funktsiooni graafik= {(x,f(x)): x∈X} Piltlikult: 3. Pöördfunktsioon (definitsioon). Näiteid. Kuidas leida pöördfunktsioone? Definitsioon: funktsiooni kujul f(x)-1 nimetatakse pöördfunktsiooniks Leidmine: 4. Põhilised elementaarfunktsioonid. Nende omadused (määramis- ja muutumispiirkonnad) ja graafikud. 5. Funktsiooni piirväärtus (definitsioon, tähistus). Graafiline esitus (ülesanne lk 7). Millal piirväärtus ei eksisteeri? Definitsioon: Arvu L nimetatakse funtsiooni piirväärtuseks kohal a, kui iga ε>0 puhul leidub niisugune arv δ>0, et iga x≠a puhul, mis rahuldab värratus |x-a|< δ, kehtib värratus |f(x)-L|< ε Piirväärtus ei eksisteeri: 1
Tõkestatud funktsioonid. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse piirkonnas A tõkestatud funktsiooniks, kui leidub reaalarv k, nii et | f (x)| k iga x A korral. 2. Liitfunktsioon, pöörfunktsioon, elementaarfunktsioon. o Pöördfunktsioon. Funktsiooni y = f (x) (x X) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni x = f-1 (y), mis igale arvule y Y = y (X) seab vastavusse arvu x X. o Elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena. Konstantne funktsioon y = c. Astmefunktsioon y = xa Eksponentfunktsioon y = ax Logaritmfunktsioon y = logax Trigonomeetrilised funktsioonid Arkusfunktsioonid
1. analüütiline esitus valemi(te) abil, 2. numbriline esitus tabeli abil, 3. geomeetriline esitus graafiku abil. Märkus. Kui funktsiooni y = f(x) korral on antud vaid teda määrav eeskiri,mää- ramispiirkond X pole aga fikseeritud, siis loetakse määramispiirkonnaks nende argumendi väärtuste x hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri omab mõtet (nn loomulik määramispiirkond). Näiteks on funktsiooni y = x -4 määramispiirkond X = [4,). Elementaarfunktsioonid. Matemaatilises analüüsis enim uuritud ja kõige sagedamini esinevad funktsioonid on elementaarfunktsioonid. Põhilisteks elementaarfunktsioonideks nimetatakse järgmisi funktsioone: 1) konstantne funktsioon y = c; 2) astmefunktsioon y = x ; 3) eksponentfunktsioon y = ax (a > 0); 4) logaritmfunktsioon y = log a x (a > 0, a 1 ); 5) trigonomeetrilised funktsioonid y =sin x, y =cos x, y = tan x, y = cot x; 6) arkusfunktsioonid y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x.
vôrdsetel kaugustel. d punkti X(x;y) kaugus juhtjoonest; F(p/2; 0) juhtjoone vôrrand x = -p/2 x + p/2 = 0. d = |Ax+By+C | / (A2+B2)1/2 = |x+p/2| / (12 + 02)1/2 = |x + p/2|. |XF| = [(x p/2)2 + (y 0)2]1/2. d = |XF| |x+p/2| = [(x-p/2)2+y2]1/2 lihtsustades: y2 = 2px parabooli vôrrand. p fookuse kaugus juhtjoonest. 28. Ühe ja mitme muutuja funktsiooni mõisted. Elementaarfunktsioonid. Ühe muutuja funktsioon kui igale muutuja x väärtusele piirkonnas X vastab üks kindel muutuja y väärtus piirkonnas Y, siis öeldakse, et on antud funkts. x-st (y on funkts. x-st) e. y = f(x). x sôltumatu muutuja, y sôltuv muutuja. Mitme muutuja funktsioon kui iga vektori (x1;x2;...;xn) korral saab leida ühe kindla muutuja w väärtuse, siis see w on funktsioon muutujatest x1;x2;...;xn. xi R, i = 1,2,...,n. n-môôtmeline vektor (x1;x2;...;xn) |Rn. w=f(x1;x2; ...;xn).
Teoreem (pidevuse aksioom) Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja; igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. 3. Funktsiooni mõiste. Funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond, graafik. Funktsiooni põhilised esitusviisid. Liitfunktsioon, pöördfunktsioon. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Perioodilised funktsioonid. Põhilised elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsioonid. Funktsioon - Kui igale arvule x X on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv y , siis öeldakse, et hulgas X on määratud funktsioon y=f(x) ja kirjutatakse y=f(x), x X Määramis ja muutumispiirkond - Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks ja hulka Y = { y | y = f ( x ) , x X } tema väärtuste hulgaks ehk muutumispiirkonnaks Funktsiooni graafik - funktsiooni graafikuks nimetatakse punktide (x,y) hulka {(x,y)|y=(x), x X }
kui: f −1 (y) = x ⟺ f(x) = y. a. Pöördfunktsiooni leidmine: Näide: f(x)=4x-160 b. Kirjutame y=f(x) – y=4x-160 c. Avaldame x – 4x=y-160 → x=y/4+40 −1 −1 d. Vahetame y ja x, saame, et y= f (x) – y=x/4+40 Seega: f (x)= x/4+40 5. Põhilised elementaarfunktsioonid: a. Lineaarne funktsioon: y=ax+b. Määramispiirkond X=(- ∞ ; ∞ ¿ . Muutumispiirkond Y=(- ∞ ; ∞ ¿ , kus a ≠ 0 2 b. Ruutfunktsioon: y=a x +bx+c. Määramispiirkond X=(- ∞ ; ∞ ¿ . Muutumispiirkond −b −b ( )
y = cotx, x (0,) x = arccoty : X = R, Y = (0,) Arkusfunktsioonide graafikud on trigonomeetriliste funktsioonide ahendite graafikute peegeldused üle sirge y = x. 5. Algebralised tehted funktsioonidega. y = (f + g)(x) = f(x) + g(x) y = (f - g)(x) = f(x) - g(x) y = (fg)(x) = f(x)g(x) y = (f/g)(x) = f(x)/g(x) Liitfunktsiooni mõiste. z = (g f)(x) = g[f(x)] Liitfunktsiooni määramispiirkond. Xgf = {x||x Xf, f(x) Yg} Põhilised elementaarfunktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa, y = ax, y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx, y = log a x, y = arcsinx, y = arccosx, y = arctanx ja y = arccotx. Elementaarfunktsiooni definitsioon. funktsioon, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. n- astme polünoom on defineeritud avaldisega: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ..
-1 x X , kusjuures y = f (x), . Näide: y = pöördfunktsioon on x = log2 Üksühene funktsioon ja selle graafik . Kui iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Näide: Näide: Funktsioon, millel pole pöördfunktsiooni. y = x + arctanx Näide: y = tanx pöördfunktsioon. y = arctanx 6. Põhilised elementaarfunktsioonid ja nende graafikud. Graafikute teisendused (näiteks, kuidas funktsiooni y = f(x) graafikust visandada funktsiooni y = -b f(x+a) graafik, kui a<0, b>0). Elementaarfunktsiooni definitsioon. Funktsioon, mis ei ole elementaarfunktsioon (tooge näide). Põhilised elementaarfunktsioonid ja nende graafikud. Graafikute teisendused. Elementaarfunktsiooni definitsioon. Funktsioone, mis saadakse põhilistest
Tasandi üldvõrrand ruumis. Tasand võib olla määratud punktiga P(xp; yx; zp) ja normaalvektoriga n = (n1; n2; n3) Tasandi normaal (ristsirge) on risti selle tasandi kõigi sirgetega, mis asetsevad antud tasandil. (st vektorid n ja PQ on risti) tasandi vektorvõrrand: PQ n = 0 tasandi üldvõrrand: Ax + By + Cz + D = 0 x,y,z tasandi punkti koordinaadid; a,b,c kordajad vektorkujul: koordinaatkujul: 25. Ühe ja mitme muutuja funktsiooni mõisted. Elementaarfunktsioonid. Ühe muutuja funktsioon kui igale muutuja x väärtusele piirkonnas X vastab üks ja ainult üks muutuja y väärtus piirkonnas Y, siis öeldakse, et hulgas X on antud funktsioon f ja kirjutatakse kujul y = f(x). x sõltumatu muutuja / argument, y sõltuv muutuja Mitme muutuja funktsioon sõltuv muutuja y sõltub korraga mitmest sõltumatust muutujast x (funktsiooni väärtus sõltub mitmest argumendist). Kui üksteisest sõltumatute muutujate x1 , x2 , ..
Yg . Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z=g[f(x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga. Tähistame seda funktsiooni sümboliga . · Liitfunktsiooni määramispiirkond määramispiirkond on: · Põhilised elementaarfunktsioonid konstantne funktsioon, y=xa , y=ax , y=sin x, y=cos x , y = tan x , y = cot x, y =loga x, y= arcsin x, y= arccos x , y= arctan x ja y=arccot x. · Elementaarfunktsiooni definitsioon Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis onsaadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise teel. · Polünoom ja ratsionaalfunktsioon i) nastme polünoom on defineeritud avaldisega
Yg . Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z=g[f(x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga. Tähistame seda funktsiooni sümboliga . · Liitfunktsiooni määramispiirkond määramispiirkond on: · Põhilised elementaarfunktsioonid konstantne funktsioon, y=xa , y=ax , y=sin x, y=cos x , y = tan x , y = cot x, y =loga x, y= arcsin x, y= arccos x , y= arctan x ja y=arccot x. · Elementaarfunktsiooni definitsioon Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis onsaadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise teel. · Polünoom ja ratsionaalfunktsioon i) nastme polünoom on defineeritud avaldisega
1 ÜHE MUUTUJA FUNKTSIOON. TEMA MÄÄRAMISPIIRKOND DEFINITSIOON 1. Kui muutuja x igale väärtusele hulgast X on mingi eeskirja f abil vastavusse seatud lõplik reaalarv y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud FUNKTSIOON ja seda tähistatakse y = f(x). DEFINITSIOON 2. Muutuja x väärtuste hulka, mille puhul f(x) väärtus on lõplik, nimetatakse funktsiooni y = f(x) MÄÄRAMISPIIRKONNAKS. X = { x R; f(x) väärtus on lõplik}. PÕHILISED ELEMENTAARFUNKTSIOONID: 1. Astmefunktsioonid: y = x , Q; 2. Eksponentfunktsioonid: y = ax, a > 0, a 1; 3. Logaritmfunktsioonid: y = loga x, a > 0, a 1; 4. Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x; 5. Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x. 2 LIITFUNKTSIOON DEFINITSIOON 1. Funktsiooni, mille argumendiks ei ole
→ . Rangelt kasvav: piirkonnas A⊂X , kui iga x1 , x2 ∈ B korral ELEMENTAARFUNKTSIOONID F-n, mida on võimalik esitada põhiliste elementaarfunktsioonide kaudu, kasutades lõplik arv korda aritmeetilisi operatsioone ja liitf-ni moodustamist. x 1< x 2 ⟹ f ( x1 ) < f (x 2 )
Liitfunktsioon g f on määratud ainult sellistel x-i väärtustel hulgas Xf , mille korral f(x) asub funktsiooni g määramispiirkonnas. Tõepoolest, ainult sellisel juhul saame me leida funktsiooni g väärtuse kohal f(x) ehk suuruse g[f(x)]. Seega on g f määramispiirkond järgmine: Xgf = {x || x Xf , f(x) Yg} . Näiteks annavad f(x) = sin x ja g(y) =? y liitfunktsiooni (g f)(x) =sin x. Kuna Xf = R ja Yg = [0,), siis Xgf = {x || sin x [0,)} ={x || 2k x (2k + 1), k Z)}. Põhilised elementaarfunktsioonid: Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa, y = ax, y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooni definitsioon: Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel
arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y, neist esimene iga x (-/2, /2 ) ja kolmas iga x (0, ) korral. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-/2,/2] , y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0, ] , y = arctan x : X = R, Y = (-/2,/2) , y = arccot x : X = R, Y = (0, ) . 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Liitfunktsiooni mõiste. Liitfunktsiooni määramispiirkond. Põhilised elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsiooni definitsioon. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. Algebralised tehted funktsioonidega. Olgu antud kaks funktsiooni y =f(x) ja y = g(x) ühise määramispiirkonnaga X. Kehtib f ja g summa puhul seos y = (f + g)(x) = f(x) + g(x). Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide f ja g vahe y = (f - g)(x) =f(x) - g(x), korrutis y = (fg)(x) = f(x)g(x) ja jagatis y = (f/g)(x) =f(x)/g(x). Summa, vahe ja korrutise määramispiirkonnaks on X. Jagatise
See tähendab, et ka hulgal Y on määratud funktsioon. Näide 2. Olgu hulk X mingi kooli õpilaste hulk ja hulk Y õpilaste vanuste (aastates) hulk. Hulgal X on määratud funktsioon, sest igale õpilasele vastab üks kindel vanus. Seevastu hulgal Y ei ole määratud funktsioon, sest ühevanuseid õpilasi on koolis mitu. Kui on antud hulga Y element (vanus), siis ei saa me üheselt määrata, missuguse õpilasega on tegemist. 9. Põhilised elementaarfunktsioonid. Nende omadused (määramis-ja muutumispiirkonnad) ja graafikud. 10. Funktsiooni piirväärtus (definitsioon, tähistus). Graafiline esitus. Arvu L nimetatakse funktsiooni f(x) piirväärtuseks kohal a, kui iga ε > 0 puhul leidub niisugune arv δ > 0, et iga x 6= a puhul, mis rahuldab võrratust |x−a| < δ, kehtib võrratus |f(x)−L| < ε. Üldine tähistus: lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑎 11
kuupfunktsioon y = ax3 + bx2 + cx + d on polünoomid Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 27. Defineerida hüperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. (lk 20) Matemaatikas ja selle rakendustes kasutatakse palju nn hüperboolseid trigonomeetrilisi funktsioone. Nendeks on: Hüperboolsed funktsioonid on eksponentfunktsiooni abil määratletud funktsioonid, mis on analoogsed trigonomeetriliste funktsioonidega. Trigonomeetrilised funktsioonid on elementaarfunktsioonid siinus, koosinus, tangens, kootangens, seekans ja kooseekans, mille argument on geomeetriliselt tõlgendatav ühikringjoone kaarepikkusena või vastava kesknurgana. 28. Kirjeldada funktsiooni esitust ilmutatud kujul ja ilmutamata kujul. (lk 21) Analüütiliselt antud funktsioon võib olla kas ilmutatud või ilmutamata kujul. Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y
4. Funktsiooni y = f ( x ) + b graafik on y = f ( x ) graafiku paralleellükke y-telje sihis kaugusele b. 5. Funktsiooni y = Af ( x ) graafik on y = f ( x ) graafik, mille mõõtkava on y-telje sihis muudetud A korda. 3 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Põhilised elementaarfunktsioonid ja nende graafikud 1. Eksponentfunktsioon ja logaritmfunktsioon Liigitus Üldkuju Määramispiirkond Muutumispiirkond Eksponentfunktsioon y = a x = exp a x a > 0, a 1 X = (- , ) Y = (0, ) Logaritmfunktsioon y = log a x a > 0, a 1 X = (0, ) Y = (- , )
on pidev selle vahemiku igas punktis eksisteerivad tuletised nii vasakult ja paremalt ja nad on
Funktsioon y =f(x) on pidev antud lõigul [a,b] kui ta on pidev vahemikus ]a,b[ on võrdsed.
pidev paremalt punktis a ja on pidev vasakult punktis b Teoreem 1 Olgu funktsioonil y= f(x) tuletis kohal x
Elementaarfunktsioonid on pidevad kogu oma määramispiirkonnas Siis see funktsioon on pidev selles punktis.
Definitsioon 3 Funktsiooni y=f(x) piirväärtus vasakult xx0märgitakse Tõestus: Vastavalt eeldusele eksisteerib piirväärtus
Siit järeldub y/x= y '(x)+(x), kus
seejuures x x0 nii, et x
Liitfunktsiooni korral on tegemist kahekordse (või enama) vastavusega ( x u y ) : y = f ( u ) ehk y = f g ( x ) . u = g ( x ) Funktsiooni y = f ( x ) 1) nullkohtade leidmiseks lahendatakse võrrand f ( x ) = 0 ; 2) positiivsuspiirkonna X + leidmiseks lahendatakse võrratus f ( x ) > 0 ; 3) negatiivsuspiirkonna X - leidmiseks lahendatakse võrratus f ( x ) < 0 . 4.2 Elementaarfunktsioonid 1. Konstantne funktsioon y = c (joon. 1). 23 2. Võrdeline sõltuvus (joon. 1): y = kx , k = tan , 0 < , paaritu funktsioon. Määramispiirkond X = . 3. Lineaarfunktsioon (joon. 1): y = kx + b , k = tan , 0 < , ei paaris ega paaritu, kui b 0 . X = . y Joon. 1 4. Pöördvõrdeline sõltuvus (joon. 2): a
y f u ehk y f g x . u g x Funktsiooni y f x 1) nullkohtade leidmiseks lahendatakse võrrand f x 0 ; 2) positiivsuspiirkonna X leidmiseks lahendatakse võrratus f x 0 ; 3) negatiivsuspiirkonna X leidmiseks lahendatakse võrratus f x 0 . 4.2 Elementaarfunktsioonid 1. Konstantne funktsioon y c (joon. 1). 23 2. Võrdeline sõltuvus (joon. 1): y kx , k tan , 0 , paaritu funktsioon. Määramispiirkond X ¡ . 3. Lineaarfunktsioon (joon. 1): y kx b , k tan , 0 , ei paaris ega paaritu, kui b 0 . X ¡ . y Joon. 1 4
7 rangelt monotoonse funktsiooni pööratavusest ja tema pöördfunktsiooni rangest monotoonsusest. Iga rangelt monotoonne funktsioon on pööratav. Seejuures on rangelt kasvava (rangelt kahaneva) funktsiooni pöördfunktsioon samuti rangelt kasvav (rangelt kahanev). NB!! Seal polnud tõestust Teada teoreemi 4.8 pöördfunktsiooni pidevusest: Olgu funktsioon f : D → R intervallis D rangelt monotoonne ja pidev. Siis tema pöördfunktsioon f−1 on intervallis f (D) pidev. 20. Elementaarfunktsioonid. Piirväärtused (*) Selgitada, mis on elementaarfunktsioonid Funktsioone, mis saadakse põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete rakendamisel ja liitfunktsioonide moodustamisel, nimetatakse elementaarfunktsioonideks. Teada teoreemi 4.9 elementaarfunktsioonide pidevusest: Iga elementaarfunktsioon on oma määramispiirkonnas pidev. Tõestada, et Lähtume võrratustest (4.3), neist saame, et ehk
n- astme pol¨ unoom on defineeritud avaldisega P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an-1 xn-1 + an xn , kus a0 , a1 , a2 , . . . , an-1 , an on konstandid ja an = 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe pol¨ unoomi jagatis a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an-1 xn-1 + an xn R(x) = . b0 + b1 x + b2 x2 + . . . + bm-1 xm-1 + bm xm K~oik funktsioonid ei ole elementaarfunktsioonid. Selle kohta saab tuua u ¨sna lihtsaid n¨aiteid. N¨aiteks ei ole elementaarfunktsioon nn Heaviside'i funktsioon, mis on defineeritud j¨argmise eeskirjaga: { 1 kui x 0, (x) = 0 kui x < 0. 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Para- meetrilisel kujul antud jooned ja funktsioonid. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid
n- astme pol¨ unoom on defineeritud avaldisega P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an-1 xn-1 + an xn , kus a0 , a1 , a2 , . . . , an-1 , an on konstandid ja an = 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe pol¨ unoomi jagatis a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an-1 xn-1 + an xn R(x) = . b0 + b1 x + b2 x2 + . . . + bm-1 xm-1 + bm xm K~oik funktsioonid ei ole elementaarfunktsioonid. Selle kohta saab tuua u ¨sna lihtsaid n¨aiteid. N¨aiteks ei ole elementaarfunktsioon nn Heaviside'i funktsioon, mis on defineeritud j¨argmise eeskirjaga: 1 kui x 0, (x) = 0 kui x < 0. 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Para- meetrilisel kujul antud jooned ja funktsioonid. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Anal¨ uu
Üldistatud De Morgani ehk Shannoni seadus Loogikaseadusi saab tõestada loogika tõeväärtustabelitega või relee- kontaktskeemide abil. De Morgani seaduste tõestus loogika tõeväärtustabelite abil on toodud tabelis. Ühtlasi näitab tabel kätte võimaluse kuidas loogilist NING-EI elementi saab asendada loogikalülitusega mis koosneb VÕI-EI elementidest. Boole'i ehk loogikafunktsioonide teisendamiseks eraldatakse nende hulgast nn elementaarfunktsioonid. Nendeks on esiteks kõik mõeldavad kahe muutuja funktsioonid, sealhulgas eespool vaadeldud inversioon, disjunktsioon ja konjunktsioon; kahe muutuja funktsioone on kokku 16. Teiseks kuuluvad elementaarfunktsioonide hulka kõik rohkem kui kahe argumendiga funktsioonid, milles argumendid on omavahel seotud kas ainult disjunktsiooni- või ainult konjunktsioonitehtega. Boole'i funktsiooni standardesituseks on tema normaalkuju. Loogikafunktsiooni
pidevaks hulgas D , kui ta on pidev selles hulga igas punktis P D . Funktsiooni z = f (P ) nimetatakse pidevaks kõikjal, kui ta on pidev hulgas R m . Def. Mitme muutuja funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest rakendades lõpliku arvu aritmeetilisi tehteid ja liitfunktsiooni moodustamisi, nimetatakse mitme muutuja elementaarfunktsiooniks. Väide. Kõik mitme muutuja elementaarfunktsioonid on oma määramispiirkonnas pidevad. Def. Punkti A D D nimetatakse funktsiooni katkevuspunktiks, kui funktsioon pole pidev selles punktis. Punkt A on funktsiooni z = f (P ) katkevuspunkt, kui kehtib üks järgmistest: 1. punkt A ei kuulu funktsiooni määramispiirkonda; 2. ei eksisteeri piirväärtust lim f (P ) ; P A 3. ei kehti võrdus lim f (P ) = f ( A) . P A
x x0 + 0
Funktsioon on pidev vasakult punktis x0, kui (9.2)` lim f ( x) = f ( x 0 )
x x0 - 0
Definitsioon 2 Funktsioon y =f(x) on pidev antud vahemikus (lahtine hulk), kui ta on pidev selle
vahemiku igas punktis
Funktsioon y =f(x) on pidev antud lõigul [a, b] , kui ta on pidev vahemikus ]a, b[ , on pidev
paremalt punktis a ja on pidev vasakult punktis b
Elementaarfunktsioonid on pidevad kogu oma määramispiirkonnas
Definitsioon 3 Funktsiooni y=f(x) piirväärtus vasakult xx0 märgitakse lim f ( x) = b
x x0 - 0
seejuures xx0 nii, et x
x x0 + 0
Funktsioon on pidev vasakult punktis x0, kui (9.2)` lim f ( x) = f ( x 0 )
x x0 - 0
Definitsioon 2 Funktsioon y =f(x) on pidev antud vahemikus (lahtine hulk), kui ta on pidev selle
vahemiku igas punktis
Funktsioon y =f(x) on pidev antud lõigul [a, b] , kui ta on pidev vahemikus ]a, b[ , on pidev
paremalt punktis a ja on pidev vasakult punktis b
Elementaarfunktsioonid on pidevad kogu oma määramispiirkonnas
Definitsioon 3 Funktsiooni y=f(x) piirväärtus vasakult xx0 märgitakse lim f ( x) = b
x x0 - 0
seejuures xx0 nii, et x
-2 -4 Joont polaarkoordinaatides esitatud v~orrandiga = a ( [0, +)) nimetatakse Archimedese spiraaliks. Selle joone u ¨heks parameetriliseks esituseks on x = a cos y = a sin ( [0, +)) . 1.2. Elementaarfunktsioonid Alustame k~oige lihtsamatest ja k~oige rohkem uuritud ning rakendustes enim kasu- tatavatest funktsioonidest, st p~ ohilistest elementaarfunktsioonidest . 1. Konstantne funktsioon y = c. Nendime, et X = R Y = {c}. N¨aide 1. Skitseerime funktsioonide y = -1, y = 2 ja y = 3 graafikud 3 2 y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3.2 Bolzano–Cauchy teoreem vahepealsetest väärtustest . . . . . . . . . . 63 3.3.3 Weierstrassi teoreem pideva funktsiooni tõkestatusest . . . . . . . . . 64 3.3.4 Weierstrassi teoreem pideva funktsiooni ekstremaalsetest väärtustest . 65 3.3.5 Pöördfunktsiooni pidevus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.4 Elementaarfunktsioonid, nende pidevus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.4.1 Ratsionaalse astendajaga astme- ja eksponentfunktsioon . . . . . . . 68 3.4.2 Eksponentfunktsioon y = ax , kus x ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.4.3 Logaritm- ja astmefunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.4.4 Trigonomeetrilised funktsioonid ja nende pöördfunktsioonid . . . . . 74 3
JA(NING) ,,b"; disjunktsioon ehk loogiline liitmine. Muutujate ,,a" ja ,,b" disjunktsiooni võib tähistada kas a b või a + b ning loetakse ,,a" VÕI ,,b". Seost, mis esitab ühe kahend- ehk Boole´i muutuja sõltuvust ühest või mitmest kahend- ehk Boole´i muutujast nimetatakse Boole´i ehk loogikafunktsiooniks z = f(a,b,c,...). Kahendmuutujad a,b,c,... on selle funktsiooni argumendid. Boole´i funktsioonide hulgast eraldatakse nn elementaarfunktsioonid, millisteks on kõikmõeldavad kahemuutujafunktsioonid, sealhulgas inversioon, konjunktsioon ja disjunktsioon. Kokku on neid 16, kuid osa neist on sümmeetrilised, ei teisenda muutujat loogikaliselt või on tehniliselt püsiühendus või katkestuskoht ahelas. Seega väheneb loogilisi tehteid tegevate elementaarfunktsioonide arv ja nende sooritamiseks vajalike iseseisva tähendusega loogikaelementide arv 9-le. Samuti kuuluvad
K a=0 a b b k 25 Joonis 1.5. De Morgani seaduse tõestus kontaktskeemide abil Boole'i ehk loogikafunktsioonide teisendamiseks eraldatakse nende hulgast nn elementaarfunktsioonid. Nendeks on esiteks kõik mõeldavad kahe muutuja funktsioonid, sealhulgas eespool vaadeldud inversioon, disjunktsioon ja konjunktsioon; kahe muutuja funktsioone on kokku 16 (tabel 1.5). Teiseks kuuluvad elementaarfunktsioonide hulka kõik rohkem kui kahe argumendiga funktsioonid, milles argumendid on omavahel seotud kas ainult disjunktsiooni- või ainult konjunktsioonitehtega. Tabel 1.5
seega igale argumendi x v¨a¨artusele seab graafik vastavusse u ¨he kindla y v¨a¨artuse. Kolmandaks funktsiooni esitusviisiks on anal¨ uu¨tiline esitusviis. Siin eris- tame funktsiooni esitust ilmutatud kujul, ilmutamata kujul ja funktsiooni parameetrilist esitusviisi. Funktsioon esitatakse ilmutatud kujul v~ordusena y = f (x), kus vasakul pool v~ordusm¨arki on y ja paremal mingisugune anal¨ uu¨tiline avaldis muutuja x suhtes. Ilmutatud kujul on k~oik p~ohilised elementaarfunktsioonid: ruut- funktsioon y = x2 - 2x + 3, trigonomeetrilised funktsioonid, eksponent- ja logaritmfunktsioonid jne. Enne kui asuda funktsiooni ilmutatud kuju ja parameetrilise esitusviisi juurde, peab funktsiooni m~oistet laiendama. Edaspidi loeme muutuja y muu- tuja x funktsiooniks ka juhul, kui igale x v¨a¨artusele vastab kaks y v¨a¨artust, kolm y v¨a¨artust, ... , l~opmatult palju muutuja y v¨a¨artusi. Esimesel juhul
¨ 51 punktile voi~ kahe to¨ o¨ punktide summa vahemalt¨ 111. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 2 / 25 Diferentsiaalarvutus I Kasutatav sumboolika. ¨ ~ Funktsiooni moiste ja omadused. Elementaarfunktsioonid. Jada piirva¨ artus. ¨ Arv e. Funktsiooni piirva¨ artus. ¨ Joone asumptoodid. ¨ ~ Lopmata ¨ vaikesed ja ~ lopmata ~ suured suurused. Funktsiooni pidevus. Loigul pidevate funktsioonide omadused. Funktsiooni tuletis
annaabi.ee 
