Matemaatiline analüüs kontrolltöö (1)

Mitme muutuja funktsioon. Piirväärtus. Diferentseerimine

Mitme muutuja funktsioon

Mitme muutuja funktsiooni üldkuju:
Kahe puntki vaheline kaugus: Puntkide
ja
vaheliseks kauguseks nimetatakse reaalarvu .
Punkti ε-ümbrus: Olgu ε mingi arv. Punkti
ε-ümbruseks
nim. kõigi selliste punktide
hulka, mille kaugused punktist P0 on väiksemad kui ε, s.t
.
Hulga sisepunkt: Punkti
nim. hulga D sisepunktiks kui leidub punkti P0 selline ε-ümbrus, mis kuulub hulka D, s.t .
Hulga rajapunkt: Punkti P0 nim. hulga D rajapunktiks, kui igas punkti P0 ε-ümbruses leidub nii hulga D punkte kui ka punkte, mis ei kuulu hulka D, s.t .
Hulga raja: Hulga D kõigi rajapunktide hulka nim. hulga D rajaks.
Lahtine hulk: Hulka D nim. lahtiseks kui kõik tema punktid on sisepunktid.
Kinnine hulk: Hulka D nim. kinniseks kui hulka D kuuluvad ka kõik tema rajapunktid.

Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus

 Asendusvõte: .
 Asendusvõte: .
Piirväärtus ei tohi sõltuda lähenemisteest (φ-st). Vastasel korral teda ei leidu.
Kui on vaja tõestada, et antud piirväärtust ei leidu, siis piisab tõestusest, et ühte kindla lähenemisteega piirväärtust ei leidu – tekib määramatus – või kahe erineva lähenemisteega ja saadud piirväärtused ei ole võrdsed.

Korduvad piirväärtused

Olgu antud 2-muutuja funktsioon ja punkt .
Kui leiduvad piirväärtused ja , siis kirjutame .
Kui leiduvad piirväärtused ja , siis kirjutame .
Kui A = B, siis sellest ei järeldu, et leidub ühekordne piirväärtus .
Kui , siis sellest järeldub, et ei leidu ühekordset piirväärtust .
Kui leidub ühekordne piirväärtus , siis ei järeldu et leidub A või leidub B.

Funktsiooni pidevus

Olgu antud funktsioon ja punkt .
Kui kehtib võrdus , siis öeldakse, et funktsioon f on pidev punktis P0.
Kui funktsioon on pidev oma määramispiirkonna igas punktis, siis öeldakse et antud funktsioon on pidev. Kõik elementaarfunktsioonid on pidevad .
Funktsiooni määramispiirkonna punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse antud funktsiooni katkevuspunktiks.

Mitme muutuja funktsiooni diferentseerimine

Mitme muutuja funktsiooni osatuletised

Olgu antud funktsioon .
Funktsiooni f osatuletiseks muutuja x järgi nim. ühe muutuja funktsiooni tuletist, mis saadakse funktsiooni f ülejäänud muutujate lugemisel konstantideks.
Seda tähistatakse: .
Funktsiooni osatuletise leidmiseks antud punktis leitakse kõigepealt antud funktsiooni osatuletis ning seejärel omistatakse osatuletise kui uue funktsiooni muutujatele etteantud punkti koordinaadid.

Kõrgemat järku osatuletised

Olgu antud funktsioon ning leidugu ja . Siis
Kui funktsioonid ja on pidevad, siis nad on võrdsed.
Järelikult kui funktsioonid ja on diferentseeruvad, siis nad on võrdsed.

Liitfunktsiooni osatuletised

Olgu antud funktsioonid , , , … Siis
wx, wy, wz, … leidmisel on x, y, z … seast üks vastavalt muutuja (ülejäänud konstandid).
Olgu antud funktsioonid , , , … Siis
…
wu, wv, … leidmisel on u, v, … seast üks vastavalt muutuja (ülejäänud konstandid).

Gradient

Olgu antud funktsioon .
Funktsiooni u gradiendiks grad u nim. vektorit grad u.
Funktsiooni u gradiendiks punktis P0 nim. vektorit grad .

Tuletis antud suunas

Olgu antud funktsioon ja ruumivektor .
Leiame vektoriga samasuunalise ühikvektori : .
Funktsiooni u osatuletiseks vektori sihile nim. reaalarvu .
Funktsiooni u osatuletiseks vektori sihile punktis P0 nim. reaalarvu .

Mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal

Olgu antud funktsioon .
Funktsiooni u osadiferentsiaal muutuja x suhtes: , dx – argumendi x muut.
Funktsiooni u täisdiferentsiaal:
Olgu antud funktsioon .
2. järku funktsiooni z täisdiferentsiaal: .
3. järku funktsiooni z täisdiferentsiaal: .
Olgu antud funktsioonid , , , …
1. järku täisdiferentsiaali invariantsus:

Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine

Olgu antud ilmutamata kujul funktsioon ja punkt .
Teoreem 1:

F, Fy on pidevad P0 ümbruses;

;

;

on pidev P0 ümbruses.
1) – 3)  määrab P0 ümbruses ühese pideva funktsiooni .
1) – 4)  on pidev P0 ümbruses, kusjuures .
Olgu antud ilmutamata kujul funktsioon ja punkt .
Teoreem 2:

F, Fz on pidevad P0 ümbruses;

;

;

, on pidevad P0 ümbruses.
1) – 3)  määrab P0 ümbruses ühese pideva funktsiooni .
1) – 4)  , on pidevad P0 ümbruses, kusjuures , .
Kõik elementaarfunktsioonid on pidevad.
Ilmutamata funktsiooist saab osatuletist võtta ka kohe. Sel juhul tuleb silmas pidada, missugune muutuja on osatuletise võtmise juures funktsioon, missugune muutuja ja missugune konstant.

Mitme muutuja funktsiooni diferentsiaalarvutuse rakendusi

Olgu antud ilmutamata kujul funktsioon ja punkt .
Puutujatasandi võrrand punktis P0: .
Puutujatasandi normaal punktis P0: .
Kui funktsioon ei ole antud ilmutamata kujul, tuleb ta ilmutamata kujule viia (kõik võrrandi liikmed ühele poole).
Kui puutujatasandi võrrand satub kujule 0 = 0, siis pole puutujatasand üheselt määratud.
Normaalvektori nullist erinev pikkus ega suund samas sihis ei ole oluline, s.t normaalvektorit võib korrutada suvalise nullist erineva arvuga.

Mitme muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid

Olgu antud funktsioon .
Öeldakse, et funktsioonil f on kohal lokaalne miinimum, kui nii, et korral kehtib võrratus . Tähistus: locmin .
Öeldakse, et funktsioonil f on kohal lokaalne maksimum, kui nii, et korral kehtib võrratus . Tähistus: locmax .
Lokaalse miinimumi ja maksimumi ühine nimetus on lokaalne ekstreemum .
Lokaalne ekstreemum võib olla ainult määramispiirkonna sisepunktis.
Analoogiliselt defineeritakse rangete võrratustega range lokaalne miinimum ja range lokaalne maksimum (ühine nimetus range lokaalne ekstreemum).
Olgu antud funktsioon ja punkt .
Öeldakse, et punkt P0 on funktsiooni f statsionaarne punkt, kui kõik esimest järku osatuletised selles punktis on võrdsed nulliga.
Statsionaarne punkt võib olla ainult määramispiirkonna sisepunktis.
Öeldakse, et punkt on kriitiline punkt, kui ta on kas

statsionaarne punkt;

vähemalt üks esimest järku osatuletis selles punktis ei eksisteeri või on ± lõpmatus.
Teoreem: Funktsioonil f võib lokaalne ekstreemum olla vaid tema kriitilises punktis.
Üheski kriitilises punktis ei pruugi leiduda lokaalset ekstreemumit.
Lokaalseid ekstreemume saab leida alati definitsiooni abil kriitilisi punkte kontrollides.
Teoreem: Olgu antud funktsioon , mis on kaks korda diferentseeruv statsionaarses punktis P0.
Leiame determinandid :
…

kui , , , , ... , siis on funktsioonil f punktis P0 range lokaalne maksimum;

kui , , , , ... , siis on funktsioonil f punktis P0 range lokaalne miinimum.
Teoreem: Olgu antud funktsioon f, mis on kaks korda diferentseeruv statsionaarses punktis P0.

kui , , siis on funktsioonil f punktis P0 range lokaalne maksimum;

kui , , siis on funktsioonil f punktis P0 range lokaalne miinimum;

kui , siis funktsioonil f pole punktis P0 lokaalset ekstreemumit;

kui , siis antud teoreem ei sobi lokaalse ekstreemumi määramiseks punktis P0.
Lokaalsete ekstreemumite määramine:

Tuleb leida kõik funktsiooni f kriitilised punktid;

Tuleb kontrollida, kas statsionaarsetes punktides leidub lokaalseid ekstreemume – kasutada eelmist teoreemi;

Tuleb kontrollida, kas ülejäänud kriitilistes punktides leidub lokaalseid ekstreemume – kasutada definitsiooni.
Lokaalne ekstreemum võib olla ainult määramispiirkonna sisepunktis.

Mitme muutuja funktsiooni globaalsed ekstreemumid

Olgu antud funktsioon .
Öeldakse, et funktsioonil f on kohal globaalne miinimum, kui korral kehtib võrratus . Tähistus: min .
Öeldakse, et funktsioonil f on kohal globaalne maksimum, kui korral kehtib võrratus . Tähistus: max .
Globaalse miinimumi ja maksimumi ühine nimetus on globaalne ekstreemum.
Globaalne ekstreemum võib olla ainult kriitilises punktis või rajapunktis.
Analoogiliselt defineeritakse rangete võrratustega range globaalne miinimum ja range globaalne maksimum (ühine nimetus range globaalne ekstreemum).
Funktsiooni globaalsete ekstreemumite määramine:

Tuleb leida kõik funktsiooni f kriitilised punktid ja funktsiooni väärtused neis punktides;

Tuleb leida funktsiooni f raja;

Tuleb asendada raja esialgsesse funktsiooni f;

Tuleb leida saadud funktsiooni kriitilised punktid ja väärtused neis punktides;

Tuleb leida saadud funktsiooni rajapunktid ja väärtused neis punktides;

Tuleb leida funktsiooni kõigist leitud väärtustest vähim ja suurim;

Tuleb koos vähima ja suurima väärtusega välja kirjutada kõik punktid, kus need väärtused realiseerusid.
Kui funktsiooni f raja koosneb mitmest funktsioonist, siis tuleb läbi viia sammud 3) – 5) iga raja osa jaoks eraldi.