Vajad kellegagi rääkida?
Küsi julgelt abi LasteAbi
Logi sisse

Matemaatiline analüüs I teooria (0)

1 Hindamata
Punktid

Lõik failist

1. Tõkestatud hulga mõiste. Ülalt/alt tõkestatud hulga mõiste. Tuua näide.
Tõkestatud hulga definitsioon – Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a,b) nii, et A(a,b). Tõkestamata hulgad on lõpmatud vahemikud.
2. Sõnastada arvu ε-ümbrus, arvu parem- ja vasakpoolne ümbrus.
kuitahes v ̈aikese positiivse arvu ε korral saab n ̈aidata sellist suuruse x v ̈a ̈artust, millest alates k ̃oik j ̈argnevad muutuva suuruse v ̈a ̈artused kuuluvad arvu a u ̈mbrusesse (a − ε, a + ε), st rahuldavad v ̃orratust |x − a| 3. Sõnastada hulga kuhjumispunkt, sisepunkt ja rajapunkt.
*Arv a on reaalarvude hulga X kuhjumispunkt, kui igas arvu a ümbruses leidub vähemalt üks temast erinev hulga X punkt.*Arv a on hulga X sisepunkt, kui leidub arvu a ümbrus, mis kuulub hulka X*Arv a on hulga X rajapunkt, kui arvu a igas ümbruses leidub nii hulga X punkt, kui ka neid punkte, mis ei kuulu hulka X
4. Funktsiooni mõiste. Määramispiirkond. Muutumispiirkond . Funktsiooni graafik .
Funktsiooni mõiste: Kui hulga X igale elemendile x on mingi eeskirja abil vastavusse seatud üks kindel element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on defineeritud funktsioon f ja kirjutatakse y=f(x).
Määramispiirkond. Hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks.
Muutumispiirkonna mõiste – Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. Funktsiooni f graafik on kõikide järjestatud paaride (x, f(x)) hulk, kus x on määramispiirkonna X element.
5. Funktsiooni põhilised esitusviisid (loetleda, selgitada, tuua näiteid).
*Esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. *Analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. * Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Suvaline y- teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis.
6. Funktsioonide liigid. Näited.
*Paaris- ja paaritud fun. Fun f nimetatakse paarisfun kui iga x ∈ X korral kehtib v ̃ ordus f(−x) = f(x). Fun f nimetatakse paarituks fun, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = −f(x). *Perioodilised fun. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x).
*Kasvavad ja kahanevad fun. Olgu D funktsiooni f määramispk alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib v ̃orratus x1 f(x2),siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik t ̃ouseb, kahanemispiirkonnas aga langeb.* Konstantne funktsioon. y = C.* Astmefunktsioon y = xa,kus a on nullist erinev. * Eksponentfunktsioon on funktsioon j ̈argmisel kujul: y = ax ,kus astme alus a on konstantne ja rahuldab v ̃orratust a > 0. * Trigonomeetrilised funktsioonid y=sinx,y= cosx ,y=tanx ja y=cotx
7. Liitfunktsioon ja pöördfunktsioon.
Liitfunktsioon ja selle komponendid (näide). Funktsioonide y = f(u) ja u = g(x) liitfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=f(g(x)). Funktsioone f ja g nimetatakse liitfunktsiooni f(g(x)) komponentiteks. Liitfunktsiooni y = komponendid on seesmine funktsioon u = 1 – x2 ja väline funktsioon y =
Pöördfunktsioon (näide). Funktsiooni pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni mis igale arvule seab vastavusse arvu kusjuures .
Näide: y = pöördfunktsioon on x = log2
8. Põhilised elementaarfunktsioonid (omadused, graafikud)
1) konstantne funktsioon y0c
2)Astmefunktsioon y=xa ,
3)Logaritmfunktsioon y = loga x
4)Eksponentfunktsioon y=ax ,
5)Trigonomeetrilised funktsioonid y=sin x, y=cos x , y = tan x , y = cot x, ,
6) Arkusfunktsioonid y= arcsin x, y= arccos x , y= arctan x ja y= arccot x.
7)Hüperboolsed funktsioonid y=sh x, y=ch x, y=th x, y=cth x
8)Areafunktsioonid y= arsh x, y=arch x, y= arth x, y=arcth x
9. Jada mõiste. Punkti ümbruse erinevad definitsioonid .
Jada. Definitsioon nimetatakse funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk N. Näide: αn = (1, , , ...)
10,12Jada piirväärtus. Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x1, x2, x3, ... piirväärtuseks, kui iga kuitahes vaikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist jada elementi xn , millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a ümbrusesse (a – ε, a + ε). Jada piirväärtust tähistatakse lim xn = a
11. Koonduva jada ja hajuva jada mõiste.
Koonduv jada- lõplikku piirväärtust omav jada. Hajuv - mitteomav.
13. * Öeldakse, et jada (Xn) on tõkestatud, kui leidub selline arv M>0, et |Xn|0, et Xn≤M (n e N) tõkestatkse Or(1)*Öeldakse, et jada on alt tõkestatud, kui leidub selline arv m>0, et Xn≥M (n e N). Tõkestakse Or(1)
Monotoonsed jadad -
Osajada- iga jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmatu hulga jada elementide väljajätmisel, nim selle jada osajadaks
14. Tõestada jada piirväärtuse aritmeetiliste tehetega seotud omadused.
15. Tõestada jada piirväärtuse omadused
V:1)Konstantse jada piirväärtuseks on see constant , sest Xn=c -> Xn->c
Tõestus:
2)Jada koonduvusest järeldub selle jada tõkestatus Xn->a-->Xn=O(1)
Tõestus:
3)Kui jada piirväärtus a on nullist erinev, siis jada teatud elemendist alates on jada liikme absoluutväärtus suurem kui |a|/2
4) Kui jada {Xn} koondub ja selle jada piirväärtuseks on arv a, siis koondub ka jada {|Xn|}, kusjuures selle jada piirväärtuseks on |a| st Xn-> a -> |Xn| ->|a|
16. F-ni piirväärtuse mõiste.Arvu A nim F-i piirväärtuseks punktis a, kui iga arvu ε>0 korral leidub
niisugune arv δ>0, et kehtib võrratus |f(x)-a|
Matemaatiline analüüs I teooria #1
Punktid 50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.
Leheküljed ~ 1 leht Lehekülgede arv dokumendis
Aeg2015-04-07 Kuupäev, millal dokument üles laeti
Allalaadimisi 10 laadimist Kokku alla laetud
Kommentaarid 0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid
Autor basiilio Õppematerjali autor

Sarnased õppematerjalid

thumbnail
12
odt

Matemaatiline analüüs I 1. kollokvium

1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. ε-ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed ümbrused. Lõpmatuse ümbrused. Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile u,v ∈V seab vastavusse skalaari d(u,v) ∈R, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: 1 ∀u,v∈V d(u,v) ≥ 0; d(u,v) = 0⇔v = u 2 ∀u,v∈V d(u,v) = d(v,u) 3 ∀u,v,w∈V d(u,v) ≤ d(u,w) +d(w,v) Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈ V seab vastavusse skalaari ||u|| ∈ R, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: 1)∀u ∈ V ||u|| ≥ 0; ||u|| = 0 ⇔ u = 0, 2)∀u ∈ V, α ∈ R ||αu|| = |α| ||u||, 3)∀u, v ∈ V ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v|| Punkti ümbrusest võib mõelda kui niisugusest seda punkti sisaldavast hulgast, kus ükskõik mis suunas saab punktist õige pisut eemalduda ilma sellest hulgast väljumata. Punkti ε-ümbrus Hulka Uε(a) := {x ∈ V|d(a, x) < ε, ε > 0} nimetat

Matemaatiline analüüs 1
thumbnail
2
pdf

Kollokvium I, 2012

Teemad: 5. Öeldakse, et { xn} on Cauchy jada ehk fundamentaaljada, kui iga > 0 korral leidub C N, 1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. -ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed et iga naturaalarvu n > C ja naturaalarvu p korral kehtib võrratus |xn+p - xn| < . ümbrused. Lõpmatuse ümbrused. Lause. Jada { xn} koondub parajasti siis, kui ta on Cauchy jada. 2. Funktsiooni mõiste. Reaalmuutuja ühene funktsioon. Määramispiirkond, muutumispiirkond. Jada kuhjumispunktiks nim. arvu, mille igas ümbruseson lõpmata palju vaadeldava jada Paaris ja paaritud funktsioonid. Perioodilised ja antiperioodilised funktsioonid. liikmeid. Pöördfunktsioon. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Lause. Arv a on jada { xn} kuhjumispunkt pa

Matemaatika analüüs i
thumbnail
6
pdf

Matemaatilise analüüsi I kollokviumi vastused

1*(Normi ja kauguse def. Näidata, et reaalarvu abs.väärtus rahuldab normi ja aksioome)Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile seab vastavusse skalaari , kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 1). *Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile seab vastavusse skalaari d(u,v), kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 3). *Lause: Reaalarvu absoluutväärtus rahuldab normi aksioome. Tõestus: 2*( -ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed ümbrused. Lõpmatuse ümbrused)Punkti - ümbrukseks nim. hulka *Reaalarvu a R korral saame U(a) = {x R|a - < x < a + }. *Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. *Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a, a + ), kus > 0. *Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M , ), kus M > 0. *Suuruse miinus lõpmatus ümbruseks nimetatakse suva

Matemaatika analüüs i
thumbnail
4
odt

Matemaatiline Analüüs I kollokvium spikker

1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. ε-ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed Lõpmata väikeseid (suuri) suurusi α(x) ja β(x) piirprotsessis x → a nimetatakse ekvivalentseteks ümbrused. Lõpmatuse ümbrused selles piirprotsessis, kui Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈ V seab vastavusse skalaari || 8. Funktsiooni pidevus punktis. Uhepoolne pidevus. Katkevuspunktide liigid. u|| ∈ R, kusjuures on taidetud järgmised tingimused: Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on taidetud kolm tingimust: 1 ∀u ∈ V ||u|| >= 0; ||u||= 0 ⇔ u = Θ 1) ∃f(a); 2) ∃ limx→a f(x); 3) limx→a f(x) = f(a). Tahistatakse f(x) ∈ C(a) 2 ∀u ∈ V, α ∈ R ||αu|| = |α|||u||

Matemaatiline analüüs
thumbnail
10
docx

Matemaatiline analüüs I 1. kollokvium

1* Normi ka kauguse Def. 1o puudu ||f||∞ = sup|f(x)|(x∈X) 5*(Jada definitsioon. Koonduvad jadad , jada piirväärtus. Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈V Koonduva jada piirväärtuse omadused + tõestus) piirväärtuse ühesuse tõestus.jada Jadaks nimetatakse funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk N seab vastavusse skalaari ¿∨u∨¿ ∈ R , kusjuures on täidetud

Matemaatiline analüüs 1
thumbnail
10
pdf

Matemaatiline analüüs I 1.teooria

Esimese kollokviumi (teooriatöö) kordamisküsimused  1. Tõkestatud hulga mõiste. Ülalt/alt tõkestatud hulga mõiste. Tuua näide.  Definitsioon:​ Hulka​  X ​ nimetatakse tõkestatud hulgaks, kui ​ X ​on ülalt ja alt tõkestatud.  Definitsioon​ :Kui  leidub  niisugune  reaalarv  ​ M​,  et  hulga  ​ X  ​ iga  elemendi  ​ x  ​puhul  kehtib  võrratus  x​ ≤  M,  siis  öeldakse, et hulk ​ X ​on ülalt tõkestatud, kusjuures arvu ​ M ​ nimetatakse hulga​  X​  ülemiseks tõkkeks.  Definitsioon​ :Kui  leidub  niisugune  reaalarv  ​ m​,  et  hulga  X  ​ iga  elemendi  x  ​ puhul  kehtib  võrratus  ​ x​≥m,  siis  öeldakse, et hulk ​ X ​on alt tõkestatud, kusjuures arvu ​ m ​ nimetata

Matemaatiline analüüs
thumbnail
82
docx

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks

1. Reaalarvud Reaalarvude hulga R kirjeldamisel peab oskama välja tuua järgmist: 1) Q ⊂ R – ratsionaalarvude hulk sisaldub reaalarvude hulgas 2) Aritmeetika (tehted reaalarvudega) ja järjestus Aritmeetika. Eeldame, et hulgas R on defineeritud reaalarvude liitmine ja korrutamine järgmiste omadustega: (A1) a + b = b + a kõikide a,b € R korral (liitmise kommutatiivsus) (A2) (a + b)+ c =a +(b + c) kõikide a,b,c € R korral (liitmise assotsiatiivsus) (A3) b + 0 = b iga b € R puhul (nullelemendi olemasolu) (A4) iga b € R puhul leidub -b € R korral omadusega b + (-b) = 0 (vastandelemendi olemasolu) (M1) ab = ba kõikide a,b € R korral (korrutamise kommutatiivsus) (M2) (ab) c = a (bc) kõikide a,b,c € R korral (korrutamise assotsiatiivsus) (M3) 1b = b iga b € R puhul (ühikelemendi olemasolu) (M4) iga b € R {0} puhul leidub b-1 € R omadusega bb-1=1 (pöördelemendi olemasolu) (D) (a + b)

Matemaatiline analüüs
thumbnail
11
docx

Kordamisküsimusi 1. teema kohta - Teooriatöö I

Kordamisküsimusi 1. teema kohta 1. Mis on arvtelg? (lk 2) Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. 2. Defineerida reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Omadused: 1. | − a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| ≤ |a| + |b| 4. |a − b| ≥ | |a| − |b| | 3. Millist hulka nimetatakse tõkestatuks? (lk 3) Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (c, d) nii, et A ⊂ (c, d). Tõkestatud hulgad on näiteks kõik lõplikud vahemikud (a, b), lõigud [a, b] ja poollõigud [a, b), (a, b] 4. Milline suurus on jääv ja milline suurus on muutuv? Mida nimetatakse muutuva suuruse muutumispiirkonnaks? (lk 3) Suurus

Matemaatika analüüs i




Meedia

Kommentaarid (0)

Kommentaarid sellele materjalile puuduvad. Ole esimene ja kommenteeri



Sellel veebilehel kasutatakse küpsiseid. Kasutamist jätkates nõustute küpsiste ja veebilehe üldtingimustega Nõustun