Matemaatiline analüüs I teooria (0)

1. Tõkestatud hulga mõiste. Ülalt/alt tõkestatud hulga mõiste. Tuua näide.
Tõkestatud hulga definitsioon – Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a,b) nii, et A(a,b). Tõkestamata hulgad on lõpmatud vahemikud.
2. Sõnastada arvu ε-ümbrus, arvu parem- ja vasakpoolne ümbrus.
kuitahes v ̈aikese positiivse arvu ε korral saab n ̈aidata sellist suuruse x v ̈a ̈artust, millest alates k ̃oik j ̈argnevad muutuva suuruse v ̈a ̈artused kuuluvad arvu a u ̈mbrusesse (a − ε, a + ε), st rahuldavad v ̃orratust |x − a| 3. Sõnastada hulga kuhjumispunkt, sisepunkt ja rajapunkt.
*Arv a on reaalarvude hulga X kuhjumispunkt, kui igas arvu a ümbruses leidub vähemalt üks temast erinev hulga X punkt.*Arv a on hulga X sisepunkt, kui leidub arvu a ümbrus, mis kuulub hulka X*Arv a on hulga X rajapunkt, kui arvu a igas ümbruses leidub nii hulga X punkt, kui ka neid punkte, mis ei kuulu hulka X
4. Funktsiooni mõiste. Määramispiirkond. Muutumispiirkond . Funktsiooni graafik .
Funktsiooni mõiste: Kui hulga X igale elemendile x on mingi eeskirja abil vastavusse seatud üks kindel element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on defineeritud funktsioon f ja kirjutatakse y=f(x).
Määramispiirkond. Hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks.
Muutumispiirkonna mõiste – Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. Funktsiooni f graafik on kõikide järjestatud paaride (x, f(x)) hulk, kus x on määramispiirkonna X element.
5. Funktsiooni põhilised esitusviisid (loetleda, selgitada, tuua näiteid).
*Esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. *Analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. * Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Suvaline y- teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis.
6. Funktsioonide liigid. Näited.
*Paaris- ja paaritud fun. Fun f nimetatakse paarisfun kui iga x ∈ X korral kehtib v ̃ ordus f(−x) = f(x). Fun f nimetatakse paarituks fun, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = −f(x). *Perioodilised fun. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x).
*Kasvavad ja kahanevad fun. Olgu D funktsiooni f määramispk alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib v ̃orratus x1 f(x2),siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik t ̃ouseb, kahanemispiirkonnas aga langeb.* Konstantne funktsioon. y = C.* Astmefunktsioon y = xa,kus a on nullist erinev. * Eksponentfunktsioon on funktsioon j ̈argmisel kujul: y = ax ,kus astme alus a on konstantne ja rahuldab v ̃orratust a > 0. * Trigonomeetrilised funktsioonid y=sinx,y= cosx ,y=tanx ja y=cotx
7. Liitfunktsioon ja pöördfunktsioon.
Liitfunktsioon ja selle komponendid (näide). Funktsioonide y = f(u) ja u = g(x) liitfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=f(g(x)). Funktsioone f ja g nimetatakse liitfunktsiooni f(g(x)) komponentiteks. Liitfunktsiooni y = komponendid on seesmine funktsioon u = 1 – x2 ja väline funktsioon y =
Pöördfunktsioon (näide). Funktsiooni pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni mis igale arvule seab vastavusse arvu kusjuures .
Näide: y = pöördfunktsioon on x = log2
8. Põhilised elementaarfunktsioonid (omadused, graafikud)
1) konstantne funktsioon y0c
2)Astmefunktsioon y=xa ,
3)Logaritmfunktsioon y = loga x
4)Eksponentfunktsioon y=ax ,
5)Trigonomeetrilised funktsioonid y=sin x, y=cos x , y = tan x , y = cot x, ,
6) Arkusfunktsioonid y= arcsin x, y= arccos x , y= arctan x ja y= arccot x.
7)Hüperboolsed funktsioonid y=sh x, y=ch x, y=th x, y=cth x
8)Areafunktsioonid y= arsh x, y=arch x, y= arth x, y=arcth x
9. Jada mõiste. Punkti ümbruse erinevad definitsioonid .
Jada. Definitsioon nimetatakse funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk N. Näide: αn = (1, , , ...)
10,12Jada piirväärtus. Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x1, x2, x3, ... piirväärtuseks, kui iga kuitahes vaikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist jada elementi xn , millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a ümbrusesse (a – ε, a + ε). Jada piirväärtust tähistatakse lim xn = a
11. Koonduva jada ja hajuva jada mõiste.
Koonduv jada- lõplikku piirväärtust omav jada. Hajuv - mitteomav.
13. * Öeldakse, et jada (Xn) on tõkestatud, kui leidub selline arv M>0, et |Xn|0, et Xn≤M (n e N) tõkestatkse Or(1)*Öeldakse, et jada on alt tõkestatud, kui leidub selline arv m>0, et Xn≥M (n e N). Tõkestakse Or(1)
Monotoonsed jadad -
Osajada- iga jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmatu hulga jada elementide väljajätmisel, nim selle jada osajadaks
14. Tõestada jada piirväärtuse aritmeetiliste tehetega seotud omadused.
15. Tõestada jada piirväärtuse omadused
V:1)Konstantse jada piirväärtuseks on see constant , sest Xn=c -> Xn->c
Tõestus:
2)Jada koonduvusest järeldub selle jada tõkestatus Xn->a-->Xn=O(1)
Tõestus:
3)Kui jada piirväärtus a on nullist erinev, siis jada teatud elemendist alates on jada liikme absoluutväärtus suurem kui |a|/2
4) Kui jada {Xn} koondub ja selle jada piirväärtuseks on arv a, siis koondub ka jada {|Xn|}, kusjuures selle jada piirväärtuseks on |a| st Xn-> a -> |Xn| ->|a|
16. F-ni piirväärtuse mõiste.Arvu A nim F-i piirväärtuseks punktis a, kui iga arvu ε>0 korral leidub
niisugune arv δ>0, et kehtib võrratus |f(x)-a|