(deformatsioon). 2. Mis on jõu mõjusirge? Sirget, mida mööda on jõud suunatud, nim jõu mõjusirgeks. Jõu mõjusirge saadakse jõuvektori sirge pikendamisel mõlemale poole. 3. Mida nimetatakse absoluutselt jäigaks kehaks? Absoluutselt jäigaks kehaks nim sellist keha, mille mistahes kahe punkti vaheline kaugus jääb alati muutumatuks. 4. Millal võib kahte jõusüsteemi nimetada ekvivalentseteks? Kui ühe jõusüsteemi võib asendada teisega nii, et keha liikumises või tasakaalus mitte midagi ei muutu, siis neid jõusüsteeme nim ekvivalentseteks. 5. Millal võib kahte jõusüsteemi nimetada ekvivalentseteks, ja millisel tingimusel on kaks jõusüsteemi ekvivalentsed? Vt. 4 6. Millist jõusüsteemi võib nimetada tasakaalus olevaks jõusüsteemiks? Jõusüsteemi, mis rakendatuna paigalolevale kehale ei kutsu esile selle liikumist, nim tasakaalus olevaks
(deformatsioon) · Mis on jõu mõjusirge? Sirget, mida mööda jõud mõjub nimetatakse jõu mõjusirgeks. Jõu mõjusirge saadakse kui pikendatakse jõuvektorit mõlemas suunas. · Mida nimetatakse absoluutselt jäigaks kehaks? Absoluutselt jäigaks kehaks nimetatakse keha, mille mistahes kahe punkti vaheline kaugus jääb alati muutumatuks. · Millal nimetatakse kahte jõusüsteemi ekvivalentseteks? Kahte jõusüsteemi nimetatakse ekvivalentseteks kui ühe jõusüsteemi võib asendada teisega ilma, et keha liikumises või tasakaalus midagi muutuks. · Millist jõusüsteemi nimetatakse tasakaalus olevaks jõusüsteemiks? Jõusüsteemi, mis rakendatuna paigalolevale kehale ei kutsu esile selle liikumist või rakendatuna liikuvale kehale ei kutsu esile selle liikumise muutumist, nimetatakse tasakaalus olevaks jõusüsteemiks ehk nulliga ekvivalentseks jõusüsteemiks. · Mis vahe on üksikjõul ja jaotatud jõul
ja mille tulemuseks on kehade liikumise muutus või kehaosakeste vastastikuse asendi muutus(deformatsioon). 2. Mis on jõu mõjusirge? jõu mõjusirge on sirge, millel asub jõud. 3. Mida nimetatakse absoluutselt jäigaks kehaks? absoluutselt jäigaks kehaks nim. sellist keha, mille, mis tahes kahe punkti kaugus jääb alati muutumatuks. 4. Millal võib kahte jõusüsteemi nimetada ekvivalentseteks? Kui ühe jõusüsteemi saab asendada teise jõusüsteemiga ilma keha liikumist või paigalseisumuutmata, siis need jõusüsteemid on ekvivalentsed. Nt. ( F 1, F 2, ... , F n) ( P 1, P 2, ..., P k) 5. Millist jõusüsteemi võib nimetada tasakaalus olevaks jõusüsteemiks? tasakaalus (olevaks) jõusüsteemiks ehk nulliga ekvivalentseks - nim. jõusüsteemi, mis mõjudes
Rakendusmehaanika Kordamisküsimused 1. Jõusüsteem: · Mitu ühele ja samale kehale mõjuvat jõudu moodustavad jõusüsteemi · Kui üht jõusüsteemi saab asendada teisega, ilma et keha seisund (liikumine või paigalseis) muutuks, siis selliseid jõusüsteeme nimetatakse ekvivalentseteks. · Kui jõusüsteemiga on ekvivalentne üksainus jõud, siis seda jõudu nimetatakse süsteemi resultandiks. 2. Tasakaaluaksioom: Tasakaaluaksioom. Kaks absoluutselt jäigale kehale rakendatud jõudu on tasakaalus siis ja ainult siis, kui nad on samal sirgel ja võrdvastupidised. 3. Superpositsiooniaksioom Tasakaalus olevate jõusüsteemide lisamine või eemaldamine ei mõjuta jäiga keha tasakaalu või liikumist. Ei kehti deformeeruva keha juhul (miks?)
2 2 Võrrandi lahendite arv Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka lõpmata palju või mitte ühtegi. Näited Võrrandil 10 x 100 on üks lahend x = 2. Võrrandil x( x 2) 0 on kaks lahendit x = 2 ja x = 0. Võrrandil x 2 100 reaalarvude vallas lahendit ei ole. Võrrandil sin x 0 on lõpmata palju lahendeid x k , kus k on suvaline täisarv. Samaväärsed võrrandid Samaväärseteks ehk ekvivalentseteks nimetatakse võrrandeid, mille kõik lahendid on ühised või millel lahendid puuduvad. Näited Võrrandid 2x 4 x 6 ja x2 0 on samaväärsed, kuna kummagi võrrandi ainsaks lahendiks on x = 2. Samaväärsed võrrandid Võrrandid x 3 x 2 6 x 0 ja x 2 x 6 0 ei ole samaväärsed, kuna esimese võrrandi lahendid on x = 0, x = -2 ja x = 3, teise võrrandi lahendid aga x = -2 ja x = 3. Samaväärsete võrrandite vahele kirjutatakse märk . Näide: x 2
lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus on lõpmatult kasvav. Tõkestatud suuruse def. : *0 10. Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega. Liitfunktsiooni piirväärtuse valem: 11. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine: 1. Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus , siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. 2. Kui = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul ~ . 3. Kui = 0, siis nimetatakse suurust kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks suhtes. Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine: 1.Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus , siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kasvavateks suurusteks. 2.Kui = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks lõpmatult kasvavateks suurusteks märkides seda kujul ~ . 13
ja kõrgemat järku suurused). Olgu W ja Z lõpmatult kahanevad suurused protsessis [ , Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus lim,+ , siis nimetatakse suurusi W , ja Z sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. [ , Kui lim,+ = 1, siis nimetatakse suurusi W ja Z ekvivalentseteks lõpmatult , kahanevateks suurusteks märkides seda kujul W~Z. [ , Kui lim,+ , = 0, siis nimetatakse suurust W kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks Z suhtes. LIISI KINK 7
a. nende suuruste kahanemis kiirusi saab võrrelda kasutades suhet , . Kui selline suhe koondub nulliks, siis lugejas olev kahaneb kiiremini, kui nimetajas olev . Kui aga sellisel suhtel on nullist erinev piirväärtus, siis on ja kahanemiskiirused samas suurus järgus. 1. Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus lim/xa/(x)/(x) , siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. 2. Kui lim xa/ (x)(x) = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks (märkides seda kujul ~ .) 3. Kui lim xa (x)(x) = 0, siis nimetatakse suurust kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks suhtes.' Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine - Olgu ja lõpmatult kasvavad suurused protsessis x a. 1.Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus lim xa (x)/(x) , siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kasvavateks suurusteks. 2
α (x) 1) Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus lim , siis x→ a β (x) nimetatakse suurusi α ja β sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. α (x) 2) Kui lim = 1, siis nimetatakse suurusi α ja β ekvivalentseteks x→ a β (x) lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul α ∼ β. α (x) 3) Kui lim = 0, siis nimetatakse suurust α kõrgemat järku lõpmatult x→ a β (x) kahanevaks suuruseks β suhtes. α ( x)
(deformatsioon). 2. Mis on jõu mõjusirge? Sirget, mida mööda on jõud suunatud, nim jõu mõjusirgeks. Jõu mõjusirge saadakse jõuvektori sirge pikendamisel mõlemale poole. 3. Mida nimetatakse absoluutselt jäigaks kehaks? Absoluutselt jäigaks kehaks nim sellist keha, mille mistahes kahe punkti vaheline kaugus jääb alati muutumatuks. 4. Millal võib kahte jõusüsteemi nimetada ekvivalentseteks? Kui ühe jõusüsteemi võib asendada teisega nii, et keha liikumises või tasakaalus mitte midagi ei muutu, siis neid jõusüsteeme nim ekvivalentseteks. 5. Millal võib kahte jõusüsteemi nimetada ekvivalentseteks, ja millisel tingimusel on kaks jõusüsteemi ekvivalentsed? Vt. 4 6. Millist jõusüsteemi võib nimetada tasakaalus olevaks jõusüsteemiks? Jõusüsteemi, mis rakendatuna paigalolevale kehale ei kutsu esile selle liikumist, nim tasakaalus olevaks
Ax = = = = b. .............. am1 am 2 amn xn am1 x1 + am 2 x2 + + amn xn bm Seega on lineaarne võrrandisüsteem (2) esitatav maatrikskujul Ax = b. (3) Samaväärsed võrrandisüsteemid Definitsioon Kaht lineaarset võrrandisüsteemi nimetatakse samaväärseteks ehk ekvivalentseteks, kui neil on ühed ja samad lahendid. Lineaarse võrrandisüsteemi teisendamisel samaväärsele kujule kasutatakse järgmisi teisendusi: 1) süsteemi suvalist võrrandit korrutatakse mistahes nullist erineva arvuga; 2) süsteemi suvalisele võrrandile liidetakse juurde mistahes arvuga korrutatud mingi teine võrrand samast süsteemist. Teoreem Võrrandisüsteemist (3) lõpliku arvu teisendustega 1) ja 2) saadud võrrandisüsteem on samaväärne esialgsega.
0 Uᵧ(x ), st ∃M>0:｜f(x)｜≤M (x……... 0 29. Tõestada, et kahe samas piirprotsessis lõpmata suure suuruse korrutis on l˜opmata suur suurus selles piirprotsessis. telos 30. Sõnastada ekvivalentne suurus. Lõpmata väikeseid (suuri) suurusi α(x) ja β(x) nimetatakse piirprotsessis x⇢x ekvivalentseteks lõpmata 0 väikesteks (suurteks), kui lim( x läheneb x ) alfa x/beetax=1. Seda fakti tähistatakse 0 α(x)~β(x) (x⇢x 0) 31. telos 32. Funktsiooni pidevus. Katkev funktsioon, katkevuspunkt. Funktsiooni pidevuse omadused koos tõestustega
Mida nimetatakse jõuks? Jõud on vektoriaalne suurus mis väljendab ühe keha mõju teisele. Mis on jõu mõjusirge? Sirge mida mööda jõud mõjub on jõu mõjusirge. Mida nimetatakse absoluutselt jäigaks kehaks? Absoluutselt jäik keha on selline keha mille punktide vahelised kaugused jäävad alati muutumatuks. S.t. absoluutselt jäik keha ei deformeeru. Millal nimetatakse kahte jõusüsteemi ekvivalentseteks? Ekvivalentseks jõusüsteemiks nimetatakse jõusüsteemi, millega saab asendada kehale mõjuva algse jõusüsteemi ilma, et keha tasakaal sellest muutuks. Millist jõusüsteemi nimetatakse tasakaalus olevaks jõusüsteemiks, ja millistel tingimustel on suvaline ruumiline jõusüsteem tasakaalus? Tasakaalus olevaks jõusüsteemiks nimetatakse jõusüsteemi, mis rakendatuna paigalseisvale kehale ei kutsu esile selle liikumist. Jõudude vektorite summa = 0
Kui (x) on lõpmatult kahanev piirprotsessis x->a ja (x) on tõkestatud siis korrutis (x)(x) on lõpmatult kahanev piirprotsessis x->a. 12. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine. Olgu (x) ja (x) kahanevad suurused protsessis x->a. · Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus lim , siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. · Kui lim = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul ~ . · Kui lim = 0, siis nimetatakse suurust kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks suhtes. Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine. Olgu ja lõpmatult kasvavad suurused protsessis x->a. · Kui eksisteerib lõplik nullis erinev piirväärtus lim , siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kasvavateks suurusteks.
Kui (x) on lõpmatult kahanev piirprotsessis x->a ja (x) on tõkestatud siis korrutis (x)(x) on lõpmatult kahanev piirprotsessis x->a. 12. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine. Olgu (x) ja (x) kahanevad suurused protsessis x->a. · Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus lim , siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. · Kui lim = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul ~ . · Kui lim = 0, siis nimetatakse suurust kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks suhtes. Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine. Olgu ja lõpmatult kasvavad suurused protsessis x->a. · Kui eksisteerib lõplik nullis erinev piirväärtus lim , siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kasvavateks suurusteks.
Kui (x) ja (x) on lõpmata väikesed suurused piirprotsessis x-> x0 lim (x) / (x)=0, siis öeldakse, et suurus (x) on võrreldes suurusega (x) kõrgemat järku lõpmata väike suurus selles piirprotsessis. DEF 4. Kui (x) ja (x) on lõpmata suured suurused piirprotsessis x-> x0 lim (x) / (x)=, siis öeldakse, et suurus (x) on võrreldes suurusega (x) kõrgemat järku lõpmata suur suurus selles piirprotsessis. DEF 5. Lõpmata väikeseid (suuri) suurusi (x) ja (x) nim. piirprotsessis x-> x0 ekvivalentseteks lõpmata väikesteks (suurteks), kui lim (x) / (x)=1 1.7 Funktsiooni pidevus DEF 1. Funktsiooni f(x) nim. pidevaks punktis x0, kui on täidetud kolm tingimust: 1. f(x0) 2. lim f(x) 3. lim f(x)=f(x0) DEF 2. Funktsiooni f(x), mis ei ole pidev punktis x0 nim. katkevaks funktsiooniks punktis x0, kusjuures punkti x0 nim. funktsiooni f(x) katkevuspunktiks. DEF 3. Punkti x0 nim. funktsiooni f(x) esimest liiki katkevuspunktiks, kui punktis x0
Võrdust, mis on tõene tundmatu mistahes võimalike väärtuste korral, nimetatakse samasuseks. Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Võrrandi lahendamise eesmärgiks on leida kõik tundmatu väärtused, mille asendamisel võrrandisse tundmatu kohale võrrandi mõlemad pooled võrdsustuvad. Kahte võrrandit nimetatakse samaväärseteks ehk ekvivalentseteks, kui neil on kõik lahendid ühesed või lahendid puuduvad. Võrduse liikmeid võib viia teisele poole võrdusmärki, kusjuures ülekantava liikme ees muudetakse märk vastupidiseks. Kui pärast võrrandi lihtsustamist on võrrandis oleva tundmatu kõrgeim aste üks, siis sellist võrrandit nimetatakse lineaarvõrrandiks. Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis esitub kujul ax 2 bx c 0, kus a 0. a, b ja c
Võrdust, mis on tõene tundmatu mistahes võimalike väärtuste korral, nimetatakse samasuseks. Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Võrrandi lahendamise eesmärgiks on leida kõik tundmatu väärtused, mille asendamisel võrrandisse tundmatu kohale võrrandi mõlemad pooled võrdsustuvad. Kahte võrrandit nimetatakse samaväärseteks ehk ekvivalentseteks, kui neil on kõik lahendid ühesed või lahendid puuduvad. Võrduse liikmeid võib viia teisele poole võrdusmärki, kusjuures ülekantava liikme ees muudetakse märk vastupidiseks. Kui pärast võrrandi lihtsustamist on võrrandis oleva tundmatu kõrgeim aste üks, siis sellist võrrandit nimetatakse lineaarvõrrandiks. Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis esitub kujul ax 2 bx c 0, kus a 0. a, b ja c on
Lõpmata väikese suuruse korrutis tõkestatud suurusega on lõpmata väike suurus. Kahe samas piirprotsessis lõpmata suure suuruse korrutis on samuti lõpmata suur suurus.) Kui (x) ja (x) on lõpmata väikesed suurused piirprotsessis x a ja lim( x a )(x)/(x)=0, siis öeldakse, et (x) on võrreldes suurusega (x) kõrgemat järku lõpmata väike suurus selles piirprotsessis (alfa läheb nulliks kiiremini kui beeta) Lõpmata väikeseid suurusi (x) ja (x) piirprotsessis x a nim ekvivalentseteks selles piirprotsessis ,kui lim( x a )(x)/(x)=1 Funktsiooni f(x) nim pidevaks punktis a, kui on täidetud kolm tingimust... Funktsiooni, mis ei ole pidev punktis a, nim katkevaks punktis a ja nim funkts f(x) katkevuspunktiks Funkts f(x) katkevuspunkti a nim esimest liiki katkevuspunktiks, kui punktis a eksisteerivad funkts f(x) lõplikud ühepoolsed piirväärtused, kuid seejuures lim f ( x ) lim f ( x ) või pole funktsiooni väärtus punktis x = x0 määratud.
lõpmatult kasvav suurus samas protsessis. 19. Sõnastada lõpmatult kahanevate suuruste võrdluslaused (sama järku, ekvivalentsed ja erinevat järku suurused). (lk 16) 1. Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus limx→a f(x)/g(x) , siis nimetatakse suurusi f(x) ja g(x) sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. 2. Kui limx→a f(x)/g(x) = 1, siis nimetatakse suurusi f(x) ja g(x) ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul f(x) ∼ g(x). 3. Kui limx→a f(x/g(x) = 0, siis nimetatakse suurust f(x) kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks g(x) suhtes. 20. Sõnastada lõpmatult kasvavate suuruste võrdluslaused (sama järku, ekvivalentsed ja erinevat järku suurused). (lk 16- 17) 1. Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus limx→a f(x)/g(x) , siis nimetatakse suurusi f(x) ja g(x) sama järku lõpmatult kasvavateks suurusteks. 2
Rakendusmehaanika kordamisküsimused. Teoreetiline mehaanika 1. Jõu mõiste. Suurust, mis on kehade vastastikuse mõju mõõduks, nimetatakse jõuks. Jõudu kui vektorsuurust tähistame tähisega F, selle vektori moodulit F. Jõud on kehade vastastikuse mõju mõõduks. 2. Jõusüsteemide ekivalentsus Kui ühe jõusüsteemi võib asendada teisega nii, et keha liikumises või tasakaalus mitte midagi ei muutu, siis neid jõusüsteeme nim ekvivalentseteks. 3. Jõusüsteemi resultant Kui kehale on rakendatud ainult üks jõud siis see jõud asendab tervet jõusüsteemi ning on vastava jõusüsteemi resultant. Resultandiks nim koonduvate jõudude geomeetrilist summat, resultant rakendub nende jõudude lõikepunktis. 4. Koondatud ja jaotatud jõud Koondatud jõud-mõjub kehale ühes punktis. Jaotatud jõud-mõjub mingile pinna või ruumi osale. Absoluutselt jäikade kehade puhul asendatakse jaotatud jõud
Kui suurus on l~opmatult kahanev ja suurus on t~okestatud, siis nende korrutis on l~opmatult kahanev. 12. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). 1. Kui eksisteerib l~oplik nullist erinev piirv¨a¨artus lim xa (x)/ (x), siis nimetatakse suurusi ja sama j¨arku l~opmatult kahanevateks suurusteks. 2. Kui lim xa (x)/ (x) = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks l~opmatult kahanevateks suurusteks m¨arkides seda kujul . 3. Kui lim xa (x) /(x) = 0, siis nimetatakse suurust k~orgemat j¨arku l~opmatult kahanevaks suuruseks suhtes. Tõestada, et lõpmatult kahanevate suuruste ja vahe on kõrgemat järku lõpmatult kahenev suhtes. Kui ja on ekvivalentsed l~opmatult kahanevad suurused, siis - on k~orgemat j¨arku l~opmatult kahanev suurus nii kui suhtes. T~oestus. Kuna vastavalt eeldusele on ja ekvivalentsed l~opmatult kahanevad suurused,
xa ja B(x) on t õkestatud, siis korrutis a(x)B(x) on lõpmatult kahanev piirprotsessis xa 14) · Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused) 1 Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus , siis nimetatakse suurusi a ja B sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. 2 Kui = 1 , siis nimetatakse suurusi a ja B ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul a B 3 Kui , siis nimetatakse suurust a kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks B suhtes. · Tõestada, et lõpmatult kahanevate suuruste a ja B vahe on kõrgemat järku lõpmatut kahanev a suhtes Kui a ja B on ekvivalentsed lõpmatult kahanevad suurused, siis aB on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus nii a kui B suhtes.
xa ja B(x) on t õkestatud, siis korrutis a(x)B(x) on lõpmatult kahanev piirprotsessis xa 14) · Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused) 1 Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus , siis nimetatakse suurusi a ja B sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. 2 Kui = 1 , siis nimetatakse suurusi a ja B ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul a B 3 Kui , siis nimetatakse suurust a kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks B suhtes. · Tõestada, et lõpmatult kahanevate suuruste a ja B vahe on kõrgemat järku lõpmatut kahanev a suhtes Kui a ja B on ekvivalentsed lõpmatult kahanevad suurused, siis aB on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus nii a kui B suhtes.
x →−∞ β (x) nim. piirprotsessis x → x0 Pidev paremalt punktis , kui sinx ekvivalentseteks lõpmata väikesteks/suurteks suurusteks, kui lim =1 ∆ x → 0−¿ ∆ y=0 10. x→ 0 x α (x ) lim =1
(x)(x) on lõpmatult kahanev piirprotsessis x a. 12. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused): Olgu (x) ja (x) lõpmatult kahanevad suurused protsessis x a. See tähendab, et mõlemad need suurused l. Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus......................., siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. 2. Kui......................., siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul . 3. Kui.........................., siis nimetatakse suurust kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks suhtes.henevad nullile, kui x a. Tõestada, et lõpmatult kahanevate suuruste ja vahe on kõrgemat järku lõpmatult kahenev suhtes: Kui ja on ekvivalentsed lõpmatult kahanevad suurused, siis - on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus nii kui suhtes. Tõestus. Kuna vastavalt eeldusele
nullile. Nende suuruste kahanemise kiirusi saame võrrelda, kui ksutada suhet . Kui selline suhe koondub nulliks, siis lugejas olev kahaneb kiiremini, kui nimetajas olev . Kui aga sellisel suhtel on nullist erinev piirväärtus, siis on ja kahanemiskiirused samas suurusjärgus. 1) Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus , siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kahanevaks suurusteks. 2) Kui , siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul . 3) Kui , siis nimetatakse suurust kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks suhtes. Tõestada, et lõpmatult kahanevate suuruste ja vahe on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suhtes: (Teoreem sellest oli: Kui ja on ekvivalentsed lõpmatult kahanevad suurused, siis on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus nii kui suhtes.)
1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. ε-ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed Lõpmata väikeseid (suuri) suurusi α(x) ja β(x) piirprotsessis x → a nimetatakse ekvivalentseteks ümbrused. Lõpmatuse ümbrused selles piirprotsessis, kui Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈ V seab vastavusse skalaari || 8. Funktsiooni pidevus punktis. Uhepoolne pidevus. Katkevuspunktide liigid. u|| ∈ R, kusjuures on taidetud järgmised tingimused: Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on taidetud kolm tingimust:
kõrgemat järku suurused). Tõestada, et lõpmatult kahanevate suuruste ja vahe on kõrgemat järku lõpmatult kahenev suhtes. Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). KAHANEVATE VÕRDLEMINE 1. Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus , siis nimetatakse ja sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks 2. Kui , siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul ~ 3. Kui , siis nimetatakse suurust kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks suhtes. · Teoreem: Kui ja ekvivalentsed lõpmatult kahanevad suurused, siis on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus nii kui suhtes. · Teoreemi tõestus: Kuna vastavalt eeldusele on ja ekvivalentsed lõpmatult kahanevad suurused, siis Seega
ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). Tõestada, et lõpmatult kahanevate suuruste ja vahe on kõrgemat järku lõpmatult kahenev suhtes. Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). KAHANEVATE VÕRDLEMINE 1. Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus , siis nimetatakse α ja β sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks 2. Kui , siis nimetatakse suurusi α ja β ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul α~β 3. Kui , siis nimetatakse suurust α kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks β suhtes. Teoreem: Kui α ja β ekvivalentsed lõpmatult kahanevad suurused, siis α – β on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus nii α kui β suhtes. Teoreemi tõestus: Kuna vastavalt eeldusele on α ja β ekvivalentsed lõpmatult kahanevad suurused, siis Seega
Maatriksi astak: miinoriks on selle maatriksi ridade ja veergude eemaldamise teel moodustatud det. Astak on selle maatriksi nullist erinevate miinorite kõrgeim järk. Maatriksi astak on r, kui sellel maatriksil 1)leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor 2)puuduvad nullist erinevad r-ist nõrgemat järku miinorid. Maatriksi A astakut tähistatakse rank(A) või r(A). Def. Kui maatriksitel A ja B on ühesugused järgud ja astakud, siis nim neid maatrikseid ekvivalentseteks ja kirjutatakse A~B (omadused: 1)refleksiivuss iga A~A 2)sümmeetria A~B B~A 3)transitiivsus A~B ja B~C A~C). Astaku leidmine: tuleb maatriks elementaarteisenduste abil teisendada tereppmaatriksiks, seejärel kasutada teoreemi treppmaatriksi astakust. Kronecker-Capelli teoreem.Öeldakse, et maatriksi astak on r, kui selle maatriksi rea ja veeru elementidest saab moodustada vähemalt ühe 0-st erineva r-järku miinori ja mitte ühtegi 0-st erinevat r+1 järku miinorit. Pöördmaatriks
1. Lõpmata väikeste suuruste summa on lõpmata väike(0+0=0) 2. Tõkestatud suuruse ja lõpmata väikese suuruse korrutis on lõpmata väike (A*0=0) 3. Lõpmata väikeste suuruste korrutis on ka lõpmata väike (0*0=0) 1 Lõpmata väikesi suurusi ja nimetatakse sama järku lõpmata väikesteks suurusteks, kui lim on lõplik nullist erinev suurus. Lõpmata väikeseid suurusi nimetatakse ekvivalentseteks, ~ kui lim =1 . Lõpmata väikest suurust nimetatakse kõrgemat järku lõpmata väikeseks suuruseks võrreldes -ga, kui lim = 0 . Kui 0 , siis öeldakse ka, et lugeja läheneb 0-le kiiremini kui nimetaja. Pöördväärtus on lõpmata suur. Arv e e (Euleri arv) on naturaallogaritmi alus
x 0 ja teine tegur on tõkestatud, kuna sin[f(x)] [-1, 1]. Seega teoreem põhjal saame )] = 0. 12. Lõplikult kahanevate suuruste võrdlemine. Olgu (x) ja (x) lõpmatult kahanevad suurused protsessis x a. See tähendab, et mõlemad need suurused lähenevad nullile, kui x a. 1. Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus =m siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. 2. Kui l = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul . 3. Kui = 0, siis nimetatakse suurust kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks suhtes. 13. Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis a, kui 1. f on määratud argumendi väärtusel a, st a X, 2. eksisteerib lõplik piirväärtus 3. = f(a). Geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevus joone pidevust. Pideva funktsiooni muut läheneb nullile, kui selle funktsiooni argumendi muut läheneb nullile.
vastastikuse asendi muutus ehk deformatsioon. Jõu iseloomustamiseks peab tal olema rakenduspunkt, suund ja moodul. 2. Mis on jõu mõjusirge? Jõu mõjusirge on sirge, mille peal jõu vektor asetseb. 3. Mida nimetatakse absoluutselt jäigaks kehaks? Absoluutselt jäigaks kehaks nimetatakse sellist keha, mille mis tahes kahe punkti vaheline kaugus jääb alati muutumatuks. 4. Millal võib kahte jõusüsteemi nimetada ekvivalentseteks?' Kahte jõusüsteemi võib nimetada ekvivalentseks, kui ühe jõusüsteemi võib asendada teisega nii, et keha liikumises või paigalseisus midagi ei muutu. 5. Millal võib kahte jõusüsteemi nimetada ekvivalentseteks, ja millisel tingimusel on kaks jõusüsteemi ekvivalentsed? Kahte jõusüsteemi võib nimetada ekvivalentseks, kui ühe jõusüsteemi võib asendada teisega nii, et keha liikumises või paigalseisus midagi ei muutu. 6
|x-a|< ja x ei asetse a-st paremal, st x < a. Def. Fun-ni (x) nim-kse lõpmata suureks suuruseks piirprotsessis xa, kui limxa (x)= . Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nim. suvalist poollõiku [a, a + ), kus >0. limxa (x)= 0 limxa 1/(x)= ja limxa 1/(x)= limxa (x)= 0. Arv x kuulub arvu a parempoolsesse ümbrusesse [a, a + ) parajasti siis, kui selle arvu kaugus Def. Lõpmata väikeseid (suuri) suurusi (x) ja (x) piirprotsessis xa nim. ekvivalentseteks arvteljel on arvust a väikesem kui , st |x - a|<, ja x ei asetse a-st vasakul, st x>a. selles piirprotsessis, kui limxa (x)/(x) = 1. Suuruse lõpmatus ümbruseks nim. suvalis vahemiku (M,), kus M > 0. Suuruse miinus lõpmatus ümbruseks nim. suvalist vahemiku (-, -M), kus M > 0 8. Funk-ni f(x) nim. pidevaks punktis a, kui on täidetud 3 tingimust:
sõltuda teatud arvust parameetritest. Selliseid lahendeid nimetatakse SÜSTEEMI ÜLDLAHENDITEKS. Lahendeid, mis saadakse üldlahendist parameetrite fikseerimise teel, nimetatakse SÜSTEEMI ERILAHEN- DITEKS. DEFINITSIOON 4. Kui süsteemil on lahend olemas, siis nimetatakse süsteemi LAHENDUVAKS, vastasel korral aga MITTELAHENDUVAKS ehk vastuoluliseks. 16 DEFINITSIOON 5. Lineaarseid võrrandisüsteeme, millel on samad lahendite hulgad, nimetatakse EKVIVALENTSETEKS. LINEAARSE VÕRRANDISÜSTEEMI LAHENDUVUSTINGIMUS KRONECKER-CAPELLI TEOREEM (1864). Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui süsteemimaatriksi A astak on võrdne laiendatud maatriksi A|B astakuga, st rank A = rank A|B. HOMOGEENNE LINEAARNE VÕRRANDISÜSTEEM DEFINITSIOON 1. Lineaarset võrrandisüsteemi nimetatakse HOMO- GEENSEKS, kui tema vabaliikmete veerg koosneb nullidest, st maatrikskujul AX = 0. TEOREEM 1
sõltuda teatud arvust parameetritest. Selliseid lahendeid nimetatakse SÜSTEEMI ÜLDLAHENDITEKS. Lahendeid, mis saadakse üldlahendist parameetrite fikseerimise teel, nimetatakse SÜSTEEMI ERILAHEN- DITEKS. DEFINITSIOON 4. Kui süsteemil on lahend olemas, siis nimetatakse süsteemi LAHENDUVAKS, vastasel korral aga MITTELAHENDUVAKS ehk vastuoluliseks. 16 DEFINITSIOON 5. Lineaarseid võrrandisüsteeme, millel on samad lahendite hulgad, nimetatakse EKVIVALENTSETEKS. LINEAARSE VÕRRANDISÜSTEEMI LAHENDUVUSTINGIMUS KRONECKER-CAPELLI TEOREEM (1864). Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui süsteemimaatriksi A astak on võrdne laiendatud maatriksi A|B astakuga, st rank A = rank A|B. HOMOGEENNE LINEAARNE VÕRRANDISÜSTEEM DEFINITSIOON 1. Lineaarset võrrandisüsteemi nimetatakse HOMO- GEENSEKS, kui tema vabaliikmete veerg koosneb nullidest, st maatrikskujul AX = 0. TEOREEM 1
kui keha lugeda deformeerunud olekus absoluutselt jäigaks 5. Jõusüsteem. Ekvivalentsed jõusüsteemid. Tasakaalus olev jõusüsteem. Jõusüsteemi resultant. *Jõusüsteem - Jäigale kehale mõjuvate jõudude kogumit nimetatakse jõusüsteemiks *Ekvivalentne jõusüsteem - Kui ühe jõusüsteemi võib asendada teise jõusüsteemiga nii, et keha paigalseisus või liikumises midagi ei muutu, siis neid jõusüsteeme nimetatakse ekvivalentseteks jõusüsteemideks. * Tasakaalus olev jõusüsteem - Jõusüsteemi, mis rakendatuna paigalseisvale jäigale kehale ei kutsu esile selle liikumist, nimetatakse tasakaalus olevaks jõusüsteemiks *Jõusüsteemide resultant - Kui antud jõusüsteem on ekvivalentne üheainsa jõuga, siis seda jõudu nimetatakse antud jõusüsteemi resultandiks. 6. Välisjõud. Sisejõud. Koondatud jõud. Jaotatud jõud. * Välisjõududeks nimetatakse jõudusid, millega antud kehale mõjuvad teised kehad.
süsteemidest*. Diakroonia tähistas siis ajalooliste grammatikate uuringuid. Saussure'I jaoks kujutas opositsioon sünkroonia/diakroonia endast omavahel seotud ajaliste teaduslike uuringute dimensioone, samas kui nendesse on kaua suhtutud kui vastandusse strukturaalse suhtumise ja atomistliku lähenemise vahel. 11)Tähistaja/tähistatav nagu 7) küsimus(?) 12)Paradigmaatika ja süntagmaatika: Keelt organiseerib 2 struktuuritelge. Ühelt poolt jagunevad keele elemendid eri liiki ekvivalentseteks klassideks: nimisõna kõik käänded, kõik vastava sõna sünonüümid, kõik antud keele eessõnad jne. Ehitades antud keeles mingit fraasi, valime ekvivalentide igast vastavast klassist meile vajaliku sõna või vormi. Keele elementide niisugust korrastatust nimetatakse paradigmaatiliseks. Teiselt poolt tuleb väljavalitud keeleühikud selleks, et nad moodustaksid antud keele reeglistikuga kooskõlas ahela, omavahel ühildada spetsiaalsete morfeemide abil, viia kooskõlla süntagmad jne
< K. Olgu suvaline väike pos arv. Defineerime = /K. Siis |f(x)g(x)| < K = K* /K = . S.t et f(x)g(x) on lõpmatult väike protsess xa. 7. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine: olgu f ja g lõpmatult väikesed suurused protsessis xa. 1. Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirv. lim(xa) f(x)/g(x) siis nim suurusi f ja g sama järku lõpmatult väikesteks suurusteks. 2. Kui lim(xa) f(x)/g(x) = 1 siis nim suurusi f ja g ekvivalentseteks lõpmatult väikesteks suurusteks märkides seda kujul f~g. 3. Kui lim(xa) f(x)/g(x) = 0 siis nim suurust f kõrgemat järku lõpmatult väikeseks suuruseks g suhtes. Kage ekvivalentse lõpmatult väikese suuruse vahe kohta kehtib järgmine väide: Kui f ja g on ekvivalentsed lõpmatult väikesed suurused fg on kõrgemat järku lõpmata väike suurus nii f kui g suhtes. 8. Piirväärtuse põhiteoreemid: Lim xx0 f(x)=a. Arv a on f-i f(x) piirv. tingimusel, et x+ (x-)
kiirusi? Kõige õigem on seda teha suhet , kasutades. Kui selline suhe koondub() nulliks, siis lugejas() olev kahaneb kiiremini, kui nimetajas() olev . Kui aga sellisel suhtel on nullist erinev piirväärtus, siis on ja kahanemiskiirused samas suurus järgus. 1. Kui eksisteerib lõplik() nullist erinev() piirväärtus lim/xa/(x)/(x) , siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. 2. Kui lim(x)(x) = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks lõpmatult xa kahanevateks suurusteks (märkides seda kujul ~ .) 3. Kui lim(x)(x) = 0, siis nimetatakse suurust kõrgemat järku lõpmatult xa kahanevaks suuruseks suhtes. Toestada, et lopmatult kahanevate suuruste a ja b vahe on korgemat jarku lopmatult kahenev a suhtes. Teoreem 2.6. Kui ja on ekvivalentsed lõpmatult kahanevad suurused, siis - on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus nii kui suhtes. Tõestus
kanda pika vahemaa taha, on kergesti transformeeritav, võimendatav ja küllalt kõrge kasuteguriga, on võimalik muundada teisteks energialiikideks. Automaatsüsteemides suurem osa reguleeritavaid parameetreid on oma füüsikaliselt olemuselt mitteelektrilised suurused (temperatuur, rõhk, nivoo, aine koostis, sisaldus ja kontsentratsioon, jne.). Nende parameetrite reguleerimiseks elektrilistes automaatreguleerimissüsteemides on vajalik need mitteelektrilised suurused muuta ekvivalentseteks elektrilisteks signaalideks ja seda tehakse esmaste elektriliste muunduritega st. anduritega. Elektrilisi andureid, mis muudavad oma elektrilisi parameetreid (takistust, mahtuvust, induktiivsust) vastavuses mõõdetavate mitteelektriliste suuruste muutusele nimetatakse parameetrilisteks anduriteks. Elektrilised andurid, mis muundavad mitteelektrilised suurused ekvivalentseks EMJ või pinge väärtuseks nimetatakse generaatoranduriteks. Kontaktandurid.
programmeerimiskeeles, mis suudab leida selle funktsiooni väärtusi. Kuna · programmide hulk igas programmeerimiskeeles on loenduv ja · kõikide funktsioonide N N hulk on mitteloenduv, siis sellest järeldub, et on olemas mittearvutatavaid funktsioone. 11. LOENG Kontiinumi võimsusega hulgad. CantorBernsteini teoreem. Võimsuste hierarhia Meenutame: Hulki A ja B nimetatakse ekvivalentseteks, kui leidub bijektsioon f : A B . Olgu a , b , c ,d R . Kui a
1 x lim x - (1 + ) =e x ning lim x 0 (1 + x)1/x = e. 5. Ekvivalentsed lõpmata väikesed funktsioonid Definitsioon 4. Funktsiooni = (x) nimetame lõpmata väikeseks (hääbuvaks) piirprotsessis x a, kui lim xa (x)= 0. Definitsioon 5 Lõpmata väikeseid funktsioone = (x) ja = (x) nimetatakse ekvivalentseteks piirprotsessis x a, kui ( x ) lim xa ( x ) = 1. Kirjutame (x) ~ (x), x a. Teoreem 8. Kui piirprotsessis x a lõpmata väikeste funktsioonide y= (x), y= 1(x), y= (x), y=1(x) korral (x) 1(x), (x) 1(x) ja eksisteerib piirväärtus ( x ) lim x a ,
M.O.T.T LISA: TEOREEM 1* kui punkt a kuulub elementaarfunktsiooni f määramispiirkonda, siis limxaf(x) = f(a). 1 lim (1 + ) x = e x x 8. Ekvivalentsed lõpmata väikesed funktsioonid, nende rakendamine piirväärtuste leidmisel Funktsiooni = (x) nimetame lõpmata väikeseks (hääbuvaks) piirprotsessis x a, kui lim xa (x)= 0. Lõpmata väikeseid funktsioone = (x) ja = (x) nimetatakse ekvivalentseteks piirprotsessis x a, kui ( x ) lim xa ( x ) = 1. Kirjutame (x) ~ (x), x a. 9. Funktsiooni pidevus (antud punktis, antud hulgal, kõikjal ). Katkevuspunktid. Elementaarfunktsioonide pidevus oma määramispiirkonnas Olgu antud funktsioon y = f ( x ) , x X ja olgu a X .
Kui (x) ja (x) on lopmata ¨ vaikesed suurused piirprotsessis x a ja ¨ lim (x)/(x) = 0, siis oeldakse, ~ et (x) on vorreldes suurusega (x) xa ~ korgemat ¨ jarku ~ lopmata ¨ vaike suurus selles piirprotsessis. ¨ Tahistatakse (x) = o((x)) Definitsioon ~ Lopmata ¨ vaikeseid (suuri) suurusi (x) ja (x) piirprotsessis x a nimetatakse ekvivalentseteks selles piirprotsessis, kui (x) lim = 1. xa (x) ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 6 / 25 ~ Lopmata ¨ vaikesed ~
maatriksile. Süsteemi maatriksist A saadud maatriksi astak on 2, kuna üks tema nullist erinev 2-järku minor on ning kõik tema 3-t järku miinorid on 0-d. Laiendatud maatriksist teisendatud maatriksist on aga võimalik valmistada 3-t järku nullist erineva miinori, nt. Seega laiendatud maatriksi astak on 3. Kronecker-Capelli teoreemi kohaselt LVS-l puuduvad lahendid. 15. Gaussi meetod Definitsioon. Kahte n tundmatuga lineaarvõrrandite süsteemi nimetatakse ekvivalentseteks, kui nendel on ühed ja samad lahendid. Definitsioon. Lineaarvõrrandite süsteemi teisendust, mis seisneb kas (1) süsteemi kahe erineva võrrandi ümbervahetamises; (2) süsteemi teatud võrrandi korrutamises nullist erineva arvuga; (3) süsteemi teatud võrrandile mingi arvuga korrutatud mistahes teise võrrandi liitmises. nimetatakse vastavalt esimest, teist ja kolmandat tüüpi elementaarteisenduseks. Teoreem
1. ``Iga b on a''. 2. ``Mitte ükski b pole a''. 3. ``Mõni b on a''. 4. ``Mõni b ei ole a''. 5. ``b on a''. 6. ``b ei ole a''. 7. ``x on a'', kus x tähistab konkreetset indiviidi. Naäiteks: ``Sokrates on surelik''. 8. ``x ei ole a'', kus x tähistab konkreetset indiviidi. Liike 1-4 loeti teistest olulisemaks. Üldjuhul ignoreeris süllogistika liike (7) ja (8). Liigid (5) ja (6) loeti ekvivalentseteks liikidega (3) ja (4). Keskajal hakati liike 1-4 nimetama tähtedega: A, E, I, O. Aristoteles defineeris süllogismi kui väitluse, kus mingitest etteantud väidetest (eeldustest) järeldub paratamatult uus väide. Konkreetselt vaatles ta ainult selliseid süllogisme, milles olid antud kaks eeldust, nendest tuletati üks järeldus ja nii eeldused kui järeldus olid kategoorilised väited. Taolisi süllogisme saab moodustada neljal viisil (neli nn
x0 1/x 0 x0 2 sin2 x/2 x0 sin x/2 sin x/2 Lause 6. Kui suurus (x) on v~orreldes suurusega (x) k~orgemat j¨arku l~opmata v¨aike piirprotsessis x x0 , siis suurus 1/(x) on v~orreldes suurusega 1/(x) k~orgemat j¨arku l~opmata suur selles piirprotsessis. T~ oestage! Definitsioon 5. L~ opmata v¨ aikeseid (suuri) suurusi (x) ja (x) nimetatakse piir- protsessis x x0 ekvivalentseteks l~ opmata v¨aikesteks (suurteks) suurusteks, kui (x) lim = 1. xx0 (x) Seda fakti t¨ ahistatakse (x) (x) (x x0 ) 53 ehk xx0 (x) (x). N¨ aide 5. Et
jõudusid ja nende kogumeid. Lause 1. Jäigale kehale mõjuvate jõudude kogumit nimetatakse jõusüsteemiks. Järgmises lauses defineeritakse ekvivalentsete jõusüsteemide mõiste. Millal on kaks jõusüsteemi ekvivalentsed? Lause 2. Kui ühe jõusüsteemi võib asendada teise jõusüsteemiga nii, et keha paigalseisus või liikumises midagi ei muutu, siis neid jõusüsteeme nimetatakse ekvivalentseteks jõusüsteemideks. F , F P , P ,, P . Selle võib kirja panna näiteks nii: 1 2 , , Fn 1 2 m Järgmises lauses defineeritakse tasakaalus oleva jõusüsteemi mõiste. Millist jõusüsteemi nimetatakse tasakaalus olevaks jõusüsteemiks?
annaabi.ee 
