Võrrandid (0)

Võrrandid Võrrandi mõiste Võrrand on muutujaid sisaldav võrdus, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Näited Ruutvõrrand: x2 2x 1 0 Trigonomeetriline võrrand: sin t cos 2t 1
Eksponentvõrrand x suhtes: e 2 x e 2 x 2a 1 lineaarne võrrand a suhtes:
Juurvõrrand x ja y suhtes: x y x 2 2 xy
Logaritmvõrrand: log u (2u u 2 ) 3 Võrrandi lahend Tundmatu ( muutuja , otsitava) väärtust, mille korral võrrand osutub samasuseks, nimetatakse võrrandi lahendiks ehk juureks. Näide Võrrandi 2x 3 0 3 lahendiks on x , 2 kuna, asendades võrrandis sümboli x arvuga ­3/2, saame samasuse : 3 23 2 3 3 3 3 0. 2 2 Võrrandi lahendite arv Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka lõpmata palju või mitte ühtegi.
Näited Võrrandil 10 x 100 on üks lahend x = 2.
Võrrandil x( x 2) 0 on kaks lahendit x = 2 ja x = 0.
Võrrandil x 2 100 reaalarvude vallas lahendit ei ole.
Võrrandil sin x 0 on lõpmata palju lahendeid x k , kus k on suvaline täisarv. Samaväärsed võrrandid Samaväärseteks ehk ekvivalentseteks nimetatakse võrrandeid, mille kõik lahendid on ühised või millel lahendid puuduvad.
Näited
Võrrandid 2x 4 x 6 ja x2 0 on samaväärsed, kuna kummagi võrrandi ainsaks lahendiks on x = 2. Samaväärsed võrrandid Võrrandid x 3 x 2 6 x 0 ja x 2 x 6 0 ei ole samaväärsed, kuna esimese võrrandi lahendid on x = 0, x = -2 ja x = 3, teise võrrandi lahendid aga x = -2 ja x = 3.
Samaväärsete võrrandite vahele kirjutatakse märk . Näide: x 2 2 x 1 0 x 2 2 x 1 Teisendused , mis annavad samaväärse võrrandi Kui võrrandi pooled vahetada, siis saame esialgse võrrandiga samaväärse võrrandi
Näide 2 x3 4 x 6 x 6 2 x3 4 Teisendused, mis annavad samaväärse võrrandi Kui võrrandi mõlemale poolele liita või mõlemast poolest lahutada üks ja sama arv või muutujat sisaldav avaldis , mis omab mõtet võrrandi kogu määramispiirkonnas, siis saame antud võrrandiga samaväärse võrrandi. f ( x) g ( x) f ( x) c g ( x) c f ( x) g ( x) f ( x) h( x) g ( x) h( x)
Näited 1) 3x 8 6 3x 8 8 6 8 3x 14; 2) 4 x 1 2 x 2 4 x 1 2 x 2 2 x 2 2 x 2
2x2 4x 1 0 Teisendused, mis annavad samaväärse võrrandi Järeldus näidetest: Võrrandi liikmeid võib viia võrduse ühelt poolelt teisele, muutes iga üleviidava liikme ees märgi vastupidiseks. Kui võrrandi mõlemat poolt korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga, siis saame esialgse võrrandiga samaväärse võrrandi. Näited 2 3 4 2 x 3 4 3 1 2 x 3 4 3 1) x 1 3 3 3 3 3
2) 4 sin x 8 16 tan x sin x 2 4 tan x Võrrandi järeldused ja võõrlahendid Kui asendada esialgne võrrand uuega, mille lahenditeks on kõik esialgse võrrandi lahendid ja millel võib olla veel lahendeid, siis nimetatakse uut võrrandit esialgse võrrandi järelduseks. Järelduseks oleva võrrandi lisalahendeid algsetega võrreldes nimetatakse võõrlahenditeks.
Esialgse võrrandi ja järelduse vahele pannakse märk .
Võõrlahendid eraldatakse antud võrrandi tõelistest lahenditest kontrollimisel, asendades muutuja leitud väärtused esialgsesse võrrandisse. Võõrlahendid Näide x x 1 6 x( x 1) 6 x 2 x 6 0 Lähtevõrrandi lahendiks on x = 3, tema järelduse lahenditeks aga x = 3 ja x = -2 (esialgse võrrandi seisukohalt võõrlahend).
Võõrlahendid võivad tekkida siis, kui võrrandi teisendamisel võrrandi määramispiirkond laieneb . Näide Võrrand x x 1 6 (lahend x = 3) on määratud piirkonnas x 1, sellest tuletatud võrrand x x 6 0 (lahendid x = 3 2
ja x = -2) aga kogu arvteljel . Teisendused, millega võivad kaasneda võõrlahendid Võrrandi mõlema poole korrutamine sama algebralise täisratsionaalse avaldisega. Näide Võrrandi 2x ­ 1 = 3 lahendiks on x = 2, võrrandi (2x ­ 1)(x ­ 5) = 3(x ­ 5) lahendeiks aga x = 2 ja x = 5.
Võrrandi mõlema poole astendamine positiivse paarisarvuga. Näide Võrrandi 2x ­ 1 = x ­ 1 lahendiks on x = 0, võrrandi (2x ­ 1) 2 = (x ­ 1)2 3x 2 ­ 2x = 0 lahendeiks aga x = 0 ja x = 2/3. Teisendused, millega võivad kaasneda võõrlahendid Võrrandi f1 ( x) f 2 ( x) ... f n ( x) 0 asendamine võrranditega f1 ( x) 0, f 2 ( x) 0, ... , f n ( x) 0. Näide (sin 2 x 1) tan x 0 sin 2 x 1 0 või tan x 0, , kus k Z sin x 1 0 x (2k 1) 2
2 tan x 0 x k , kus k Z Muutuja väärtused x (2k 1) on aga esialgse võrrandi jaoks 2 võõrlahendid, kuna tan x ei ole muutuja nende väärtuste korral defineeritud. Seega on lahendihulkNäide sin x 0 sin x 0, cos x 1 kuna esialgse võrrandi lahendeiks on x (2k 1) , k Z , tuletatud võrrandi korral lisandub veel võõrlahendite x 2k , k Z komplekt. Lahendite kadu
Kui tuletatud võrrandil on lahendeid vähem kui esialgsel, siis on tegemist lahendite kaoga.
Võrrandite lahendamisel ei tohi kasutada teisendusi, millega kaasneb lahendite kadu. Näide Võrrandit x x x 1 x 6
ei tohi läbi jagada muutujaga x, sest nii kaotaksime lahendi x = 0.