Lineaarsed võrrandisüsteemid (2)

Lõik failist

Sarnased õppematerjalid

8

pdf

Determinandid gümnaasiumiõpikus

d) e) f) vabaliikmetega. Neid determinante tähistatakse lühidalt tähtedega Dx ja Dy. a 2 ab b 2 a b u v u v u 3 v 3 a1 x + b1 y = c1 477. Lahenda võrrandisüsteemid determinantide abil. Seega võrrandisüsteemi lahend esitub kujul a 2 x + b 2 y = c 2 ¦ x 3y 4 ¦5 x 6 y 11 ¦3x 4 y 0 a) § b) § c) § x Dx ja y Dy

Matemaatika

5

doc

Determinantarvutus

Determinandid, lineaarsed võrrandisüsteemid Ülesanne 1 Lahenda võrrandisüsteem determinantide abil. x + y + z = 26 3x - y + z = 20 - x + 7 y - 2 z = 15  1 1 1 1 1 D = 3 - 1 1 3 - 1 = 2 - 1 + 21 - 1 - 7 + 6 = 20 -1 7 - 2 -1 7 26 1 1 26 1 Dx = 20 - 1 1 20 - 1 = 52 + 15 + 140 + 15 - 182 + 40 = 80 15 7 - 2 15 7 1 26 1 1 26 Dy = 3 20 1 3 20 = - 40 - 26 + 45 + 20 - 15 + 156 = 140 - 1 15 - 2 - 1 15 1 1 26 1 1 Dz = 3 - 1 20 3 - 1 = - 15 - 20 + 546 - 26 - 140 - 45 = 300 - 1 7 15 - 1 7 Dx 80 x = D = 20 = 4 Dy 140 y= = = 7 D 20 Dz 300 z = D = 20 = 15 Kontroll:  I vp1 = 4 + 7 + 15 = 26 pp1 = 26 vp1 = pp1 II vp 2 = 3 4 - 7 + 15 = 20 pp 2 = 20 vp 2 = pp 2 III vp 3 = -4 + 7 7 - 2 15 = 15 pp 3 = 15 vp 3 = pp 3 x= 4 Vastus: y = 7 z = 15 Ülesanne 2 Lahenda tekstülesanne determinantide abil. Ema

Matemaatika

156

pdf

Kõrgem matemaatika

8.1 Sissejuhatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 8.2 Diferentsiaalvõrranditest üldiselt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 8.3 Esimest järku diferentsiaalvõrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 8.4 Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 8.5 Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 9 Pindala ja Riemann'i integraal 83 9.1 Pindala leidmine lõplike summade abil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 9.2 Riemann'i summad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 9.3 Määratud (Riemann'i) integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kõrgem matemaatika

32

doc

Matemaatika I küsimused ja mõisted vastustega

Sisujuht 16. Esimest liiki katkevuspunkt - niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, ................................................... 3 17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri ............................................ 4 20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. ..................................... 4 1. Arvuhulgad: naturaal-, täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud. Nende omadused. ...............6 2. Reaalarvu absoluutväärtus, absoluutväärtuse omadused. .....

Matemaatika

13

doc

Kõrgema matemaatika eksam

1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ­ ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks ­ diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks ­ kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks. · Maatriksite liitmine: mõõtmed peavad olema samad. Ühemaatriksi elemendid liidetakse teise maatriksi vastavate elementidega: A = (a ij) ja B = (bij) A+B =(cij) kus cij = aij + bij. ·

Kõrgem matemaatika

9

doc

Eesti Sportlased Pekingi Olümpiamängudel

Eesti sportlased Pekingi olümpiamängudel 27. august 2008 XXIX suveolümpiamängud, Peking · 8.08. - 24.08.2008 Iluvõimlemine IRINA KIKKAS - raskelt väljateenitud olümpiadebüüt lõppes mitmete eksimuste tõttu tagasihoidlikult, muidu kindlate sooritustega hiilgav sportlanna ei pidanud suurvõistluste pingele vastu Koht Võistlusala Osavõtjaid Tulemus 20. individuaalne mitmevõistlus 24 62,775 punkti Jahilaskmine ANDREI INESIN - sooritus lõppes 115 märgi tabamisega, mis jättis kaks aastat tagasi maailmameistriks kroonitud mehe oma viiendal olümpial kokkuvõttes teise kümnesse Koht Võistlusala Osavõtjaid Tulemus 18. kaarrada 41 115 (22+24+20+24+25) Jalgrattasport REIN TAARAMÄE sai eraldistardist sõidus kõrge 17. koha, mägistel teedel kulgenud grupisõidus kuulus talle 48. koht Koht Võ

Kehaline kasvatus

8

doc

Konspekt eksamiks

x/gx=y/gy=. c) n-muutuja ja mitme kitsendusega ül. z=(x1x2...xn), g(x1x2...xn)=c, z=(x1x2...xn) +[c-g(x1x2...xn)], z=c-g(x1;x2...xn)=0, z1=1-g1=0, zn=n-gn=0 d) Teist järku tingimused: vaba opt ül: d2z=fxxdx2+2fxydxdy+fyydy2, kitsendusega: d2z=fxxdx2+2fxydxdy+fyydy+fyd2y, Lagrange'i: d2z=zxxDx2+zxydxdy+zyxdydx+zyydy2 TT kitsendusi arvastades: z max, kui d2z<0, dg=0, z min, kui d2z>0, dg=0, TT hessi det kaudu: q=au2+2huv+bv2,kui u+v=0 18. Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid, mittelineaarsed diferentsiaalvõrrandid, faasidiagramm. üldkuju dy/dt+uy=w *konstantse koraja ja vabaliikmega LDV-d Dy/dt+u(t)y=w(t) u(t)=k1 , w(t)=k2 Homogeenne juht: u(t)= k1, w(t)=0 , dy/dt+ay=0 , y(t)Ae -at , a=0 korral y(t)=yc+yp=A+bt Mittehom.juht: dy/dt+ay=b , yc=Ae-at , y(t)=yc+yp , yp=b/a *Muutuva koefitsendi ja vabaliikmega LDV: dy/dt+u(t)y=w(t) Homogeenne juht: w(t)=0 , dy/dt+u(t)y=0 , y=Ae -u(t)dt Mittehom: y(t)= e-u(t)dt (A+weu(t)dt dt)

Kõrgem matemaatika

78

pdf

Majandusmatemaatika

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Kasumifunktsioon lineaarse nõudlus- ja kulufunktsiooni korral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3. VÕRRANDID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Lineaarsed võrrandid. Tasuvusanalüüs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ruutvõrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4. PROTSENT- JA FINANTSARVUTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Raamatupidamise alused

Meedia

Kommentaarid (2)