8.kl matemaatika ülesandeid koos lahendustega (1)

Ülesanded lahendustega

1. Maalil ja Juulil on kokku 480 krooni. Kui Maali annaks Juulile 120 krooni, siis jääks talle niisama palju raha, kui oli enne Juulil. Kui palju oli raha Maalil ja Juulil?
Lahendus:
Olgu Maalil x krooni ja Juulil y krooni. Kokku on neil siis x + y = 480 krooni. Kui Maali annaks Juulile 120 krooni, siis jääb talle x - 120 krooni, mis on niisama suur summa, kui oli enne Juulil x – 120 = y.
Saame võrrandisüsteemi: 
Kontroll:
Maalil ja juulil on kokku 300 + 180 = 480 krooni. Kui Maali annaks Juulile 120 kooni, siis talle endale jääks 300 – 120 = 180 krooni, mis on samapalju kui Juulil esialgu.
Vastus: Maalil oli 300 krooni ja Juulil 180 krooni.
 
 
2. Arvuta kujundi pindala, mida piiravad jooned x = 0; y = -2; y = 5; y = -2x + 10.
Lahendus:
Leiame joonte lõikepunktid.
1) Joonte x = 0; y = -2 lõikepunkt on A(0;-2).
2) Joonte y = 5 ja y = -2x + 10 lõikepunkt.
Koostame võrrandisüsteemi:
Joonte y = 5 ja y = -2x + 10 lõikepunkt on B(2,5; 5).
3) Joonte x = 0 ja y = 5 lõikepunkt on C(0;5).
4) Joonte y = -2x + 10 ja y = -2 lõikepunkt.
Koostame võrrandisüsteemi:
Joonte y = -2x + 10 ja y = -2 lõikepunkt on D(6; -2).
Skitseerime graafiku:
 
 
 
Saime trapetsi. Trapetsi pindala valem on .
Leiame lõikude AD, CD, AC pikkused.
a = AD = 6 pü;
b = CD = 2,5 pü;
h = AC = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 pü.
Pindala on seega
Vastus: Kujundi pindala on 29,75 pindalaühikut.
 
3. Arvutada võimalikult täpselt, kui suure massiga on pealt lahtine klaasist ristkülikukujuline akvaarium koos veega. Akvaariumi mõõtmed on: pikem külg 1,23 m, lühem külg 0,68 m, kõrgus 0,72 m, klaasi paksus 0,5 cm. Vee tase moodustab akvaariumi kõrgusest 75%. Klaasi tihedus on 2,5*103 kg/m3, ja vee tihedus 1,0*103 kg/m3.
Lahendus:
Kuna akvaarium on klaasist, siis on meil vaja kõigepealt arvutada klaasitükkide ruumala st akvaarium koosneb 5 klaasitükist: põhjast ning neljast külgtahust.
1)      Leiame klaasist põhja ruumala:   1,23 . 0,68 . 0,5 = 0,004182 (m3).
2)      Arvutame suurema klaasist külje ruumala:   (0,72 - 0,005) . 1,23 . 0,005 = 0,0043972 (m3).
Kahe suurema külje ruumala on seega:  2 . 0,0043972 = 0,0087944 (m3).
3)      Arvutame väiksema klaasist külje ruumala:  (0,68 - 0,005) . (0,72 – 0,005) . 0,005 = 0,0024131 (m3).
Kahe väiksema külje ruumala on seega:  2 . 0,0024131 = 0,0048262 (m3).
4)      Arvutame klaasi koguruumala:   0,004182 + 0,0087944 + 0,0048262 = 0,0178026 (m3).  
5)      Arvutame klaasi kogumassi:  0,0178026 . 2,5 . 103 = 44,5065 (kg).
6)      Vee kõrguseks on 0,75% ehk ¾ akvaariumi kõrgusest. Saame:    ¾ . 0,72 = 0,54 (m). 
7)      Vee ruumala on  (1,23 – 0,001) . (0,68 – 0,001) . 0,54 = 0,4506251 (m3).  
8)      Arvutame vee massi. Saame:   0,4506251 . 1,0 . 103 =450,6251 (kg).  
9)      Akvaariumi mass koos veega on    450,6251 + 44,5065 = 495,1316 (kg).
Vastus: Akvaariumi mass on 495,1316 kg.
 
4. Kolmnurga kõrgus on alusest 3 dm pikem ja pindala on 20 dm2. Leida kolmnurga alus ja kõrgus.
Lahendus:
Olgu kolmnurga kõrgus x dm, siis alus on x + 3 dm. Kolmnurga pindala valemist saame:
Lahend x2 ei sobi ülesannete tingimustega, kuna pikkus ei saa olla negatiivne.
Kolmnurga alus on 5 + 3 = 8 dm.
Kontroll:
Kolmnurga kõrgus on 5 dm ja alus 8 dm. Kolmnurga pindala on seega
Vastab ülesande tingimustele.
Vastus: Kolmnurga kõrgus on 5 dm ja alus 8 dm.
 
5. Lihtsusta avaldis 2(a - 4b)2 - (a + 4b)2.
Lahendus:
2(a - 4b)2 - (a + 4b)2 = 2(a2 - 8ab + 16b2) - ( a2 + 8ab + 16b2) = 2a2 - 16ab + 32b2 - a2 - 8ab - 16b2 =
= a2 - 24ab + 16b2.
 
6. Arvuta avaldise (m - 2n)2 - m(m - 8n) väärtus, kui m = 7,3 ja n = 0,2.
Lahendus:
(m - 2n)2 - m(m - 8n) = m2 - 4mn + 4n2 - m2 + 8mn = 4n2 + 4mn = 4n(n + m).
Paneme avaldisse arvud asemele, saame:   4n(n + m) = 4 . 0,2(0,2 + 7,3) = 0,8 . 7,5 = 6.
Vastus: Avaldise (m - 2n)2 - m(m - 8n) väärtus on 6.
 
7. Martin pani 2003 aasta alguses panka 18000 krooni kaheks aastaks hoiule. Pank lisab kummagi aasta lõpul juurde 12% selleks ajaks hoiul olevast summast. Kui suure summa saab Martin kätte 2004. aasta lõpul?
Lahendus:
Esimesel aastal lisandub Martini arvele 12% ehk 0,12 . 18000 = 2160 krooni. Aasta lõpuks on tal 18000 + 2160 = 20160 krooni.
Teisel aastal lisandub Martini arvele veel 12% ehk 0,12 . 20160 = 2419,2 krooni. Teise aasta lõpuks on 20160 + 2419,2 = 22579,2 krooni.
Vastus: 2004 aasta lõpus on Martini hoiusumma kasvanud 22579,2 kroonile.
 
8. Ettevõtja Roman peab muretsema endale auto. Ta tahab teada, millist autot osta, kui välimuselt meeldib Seat Toledo . Valida on ökonoomse - diisli Seat Toledo Stella 1.9 TDi 81 kW ja odavama - bensiini mootoriga Seat Toledo Stella 1.6 16V 77 kW vahel. Mõlemal juhul sooritaks Roman 50000 kroonise sissemakse koos lepingutasuga. Bensiinimootoriga auto korral on liisingu makse iga kuu 3729.27 krooni. Diisli puhul aga 4962.58 krooni. Seejuures jätame arvestamata kindlustuse ja muud jooksvad kulud. Roman arvestab diisli liitri hinnaks 10 krooni ja bensiini hinnaks 11.50. Diiselauto keskmine kütusekulu 100 km kohta on 5 liitrit. Bensiini mootori korral 6,9 liitrit. Arvutada, millise läbisõidu korral milline auto on kasulik osta.
Lahendus:
1) Teeme arvutused bensiinimootori kohta.  Arvutame, kui palju kulub raha bensiinile 1 km läbimisel: 
Prognoosi kohaselt sõidab Roman aastas x km. Aastas kulub bensiinimootoriga auto peale 0,7935x + 12 . 3729,27 krooni.
2) Teeme arvutused diiselmootori kohta. Arvutame, kui palju kulub raha diislile 1 km läbimisel:
Prognoosi kohaselt sõidab Roman aastas x km. Aastas kulub diiselmootoriga auto peale 0,5x + 12 . 4962,58 krooni.
3) Leiame läbisõidu, mille korral on mõlema mootori korral auto kulud võrdsed.
0,7935 x + 44751,24 = 0,5x + 59550,96;
0,7935x - 0,5x = 59550,96 – 44751,24;
0,2935x = 14799,72;
x = 50424 (km).
Selgitus:
Saime teada, et 4202 kilomeetrise läbisõidu korral on mõlema auto kulud võrdsed.
1) Vaatame, mis juhtub, kui läbisõit on alla 50424 km. Näiteks 4000 km. 
Bensiinimootoriga auto kulu on aastas siis 0,7935 . 4000 + 12 . 3729,27 = 3174 + 44751,24 = 47925,24 krooni.
Diiselmootoriga auto kulu on aastas siis 0,5 . 4000 + 12 . 4962,58 = 2000 + 59550,96 = 61550,96 krooni.
Seega odavam on ülal pidada bensiinimootoriga autot.
2) Vaatame, mis juhtub, kui läbisõit on üle 50424 km. Näiteks 54000 km.
Bensiinimootoriga auto kulu on aastas siis 0,7935 . 54000 + 12 . 3729,27 = 42849 + 44751,24 = 87600,24 krooni.
Diiselmootoriga auto kulu on aastas siis: 0,5 . 54000 + 12 . 4962,58 = 27000 + 59550,96 = 86550,96 krooni.
Seega diiselmootoriga autole kulub vähem raha.
Vastus: Läbisõidu korral alla 50 424 km on kasulikum bensiini motor , sellest suurema läbisõidu korral osutub kasulikumaks aga diisel .